Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de

Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de Laplace Ejercicios seleccionados de los textos: • Cálculo, Trascendentes tempranas – J. Stewart – 6° edición • Calculus – T. Apostol – Vol II • Cálculo Vectorial – J. Marsden, A. Tromba – 3° edición

1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r . 2) Calcule los valores extremos de f ( x, y )  e  xy en la región descripta por la desigualdad

x 2  4 y 2  1. 3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y , z )  xyz sujeta a la restricción x 2  2 y 2  3z 2  6 . 4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies x 2  xy  y 2  z 2  1 2

y

2

x  y  1 que están más próximos al origen. 5) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x 2  4 y 2  4 a la recta x  y  4 .





6) Considerar la función f ( x, y )  x 2  xy  y 2 en el disco unitario D  ( x, y ) / x 2  y 2  1 . Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para la f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D.

Soluciones 1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r

Comencemos con un esquema. Llamemos con a, b y c a las dimensiones de la caja rectangular inscripta en la esfera. Cómo la esfera de radio r y la caja rectangular son simétricas respecto al origen, podemos dibujar un corte con un plano que pase por el origen de coordenadas y obtenemos el esquema siguiente (el eje x está saliendo de la hoja):

r b

La función que debemos maximizar es el volumen de la caja, es decir, a.b.c, sujeto a la restricción de que los vértices de la caja estén sobre la esfera. Una vez ubicado el sistema de coordenadas, observamos que

a  2x b  2y c  2z Y la restricción está dada por la ecuación

x2  y2  z 2  r 2 c La función volumen queda expresada por V ( x, y, z )  8 xyz con x  0, y  0, z  0 Llamemos g ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2 . Nuestro problema queda expresado así:

Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II

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V ( x, y, z )

Maximizar Sujeto a

g(x,y,z) = r2

Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange a éste problema. El sistema que debemos resolver es:

8 yz   2 x 8 xz   2 y    8 xy   2 z  x 2  y 2  z 2  r 2

V ( x, y, z )   g ( x, y, z )  2  g ( x, y , z )  r

Como x , y y z son positivos, λ es no nulo y podemos multiplicar la primer ecuación por x, la segunda por y y la tercera por z y dividir por λ para obtener el sistema equivalente:

4 xyz /   x 2  2 4 xyz /   y  2 4 xyz /   z x 2  y 2  z 2  r 2  Las primeras tres ecuaciones nos dicen que x 2  y 2  z 2 y reemplazando en la última ecuación obtenemos

3x 2  r 2  x  r / 3,

y   4r

3

x0 Además

x2  y2  z 2

   x yzr x  0, y  0, z  0  Luego el volumen máximo es V (

r 3

,

r 3

2) Calcule los valores extremos de

,

r 3

3

)  8r 3 / 3 3 

8 9

r3 3

f ( x, y )  e  xy en la región descripta por la desigualdad

x2  4 y2  1 Observemos que la región



B  ( x, y )  R 2 / x 2  4 y 2  1



es una región cerrada y acotada, por lo tanto la función f alcanzará en B su máximo y mínimo en el interior o en la frontera. Para hallarlos, trabajaremos en dos etapas:



Buscaremos los puntos críticos de f resolviendo el sistema f  (0,0) y nos quedaremos sólo con aquellos puntos que sean interiores a B (puntos que verifican x 2  4 y 2  1 ).


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

Buscaremos valores extremos en la frontera de la región B (elipse de ecuación x 2  4 y 2  1 ) mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

Busquemos los valores extremos interiores a la región B:

f ( x , y )  (  y e  x y ,  x e  x y )  y e  x y  0 f ( x, y )  (0,0)    ( x, y )  (0,0) pues e  x y  0 ( x, y )  R 2 x y   x e  0 Punto crítico: (0,0)  B. Analizaremos ahora si es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla, mediante la prueba de la segunda derivada:

f xx ( x, y )  y 2 e  x y , f xx (0,0)  0 f yy ( x, y )  x 2 e  x y , f yy (0,0)  0 f xy ( x, y )  x y e  x y  e  x y  f yx ( x, y ) f xy (0,0)  1 D

f xx (0,0)

f xy (0,0)

f yx (0,0)

f yy (0,0)



0

1

1

0

 1 < 0

Como D < 0, f(0,0) no es un máximo relativo ni un mínimo relativo. (0,0) es un punto silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (0,0, f(0,0)) Si representamos la superficie de ecuación z  e  x y podemos ver que en el punto crítico (0,0) no hay máximo ni mínimo: x

-0.2 -0.1

0

Claramente se ve que en el punto (0,0) la función no posee un extremo

0.1 0.2 1.04 1.02 z 1 0.98 0.96 -0.2 -0.1 0 y

0.1 0.2

Busquemos los valores extremos en la frontera de la región B: La frontera de B está formada por los puntos de la elipse de ecuación x 2  4 y 2  1 . Nuestro problema ahora es hallar los máximos o mínimos de la función f sujeta a la condición x 2  4 y 2  1 . Sea g ( x, y )  x 2  4 y 2 . La condición x 2  4 y 2  1 equivale a g ( x, y ) 1 . Nuestro problema queda expresado:


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Maximizar / Minimizar

f (x,y)

Sujeta a

g (x,y) = 1

Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar valores extremos, tenemos que resolver el siguiente sistema:

 f ( x , y )   g ( x , y )   g ( x, y )  1



 y e  x y   2 x  x y  x e   8 y  2 2  x  4 y 1

( E1) ( E 2) ( E 3)

El sistema con incógnitas x, y y  no es lineal. • Sabemos que e  x y  0 y podemos deducir que   0 , dado que en caso contrario de las ecuaciones E1 y E2 obtendríamos que x = 0 e y = 0 pero estos valores no verifican E3. • Razonando de manera muy similar obtenemos que x  0 e y  0 . ¿Por qué razonamos primero de esta manera, en vez de empezar a resolver el sistema? Porque ahora tenemos la libertad de dividir por cualquiera de estas expresiones, dado que ninguna es nula! Ahora vamos a resolver el sistema. La forma de resolver este tipo de sistemas (no lineales) no es única, dependerá del sistema y de la forma particular en que cada persona decida como comenzar. Dividiendo miembro a miembro la ecuación E2 por la E1 obtenemos:

 x e x y  8 y   y ex y  2 x



x 4y  y x

 x 2  4 y 2 (*)

Reemplazando x2 en la ecuación E3 por la expresión obtenida en (*) tenemos:

x2  4 y2

 2 2 o y  2   8 y  1  y1  2 2 2 4 4 x  4 y  1 La expresión (*) también puede expresarse así: x  2 y , por lo cual obtenemos cuatro puntos en

 2 2  2 2   2 2     2 , 4  ,  2 , 4  ,   2 , 4       

los que evaluar la función: 

 2 2  ,   , 4   2

Para saber cual es el máximo y el mínimo, evaluamos f en cada uno de estos puntos:

( x, y )

f ( x, y )

Conclusión

(0,0)

1

Punto silla

,  2 ,  2   

e1 4

 2 2     ,   2 , 2   2 , 4   2 4    

e 1 4

 2 2    2 , 4   

 2

4 


Máximo Absoluto Mínimo Absoluto

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Observación: es importante destacar la diferencia entre el valor máximo o mínimo y el punto donde se alcanza ése valor: -

el

mínimo

de

f

en

la

región

1

B

vale

e

B

vale

e

4

y

lo

alcanza

en

los

puntos

y

lo

alcanza

en

los

puntos

 2 2     y   2 , 2  ,  2 4   2 4     -

el

máximo

de

f

en

la

región

1

4

      2 , 2  y  2 , 2   2 4   2 4     IMPORTANTE: no debemos olvidar que el sistema tiene tres incógnitas: x, y y  . Al resolver el sistema debemos hallar ternas ( x, y ,  ) que verifiquen TODAS las ecuaciones. En este ejercicio, si despejamos  de la primer ecuación tenemos  

 x e x y y reemplazamos con los valores 8y

obtenidos para x e y anteriormente llegamos a las soluciones

       

( x, y )



2 2  , 2 4  2 2  , 2 4 

1 1  e 4 4

1 14 e 4

   2 , 2   2 4   

1 14 e 4

    2 , 2   2 4  

1 1  e 4 4

En el contexto del problema nos interesan los puntos ( x, y ) por eso no hacemos énfasis en los valores de  , pero no debe olvidarse que las ternas deben verificar el sistema. Veamos el problema desde el punto de vista geométrico. Grafiquemos la superficie de ecuación z  f ( x, y )  e  x y y la restricción: x

-1 -0.5

0 3

0.5 1 4 3 z 2 1 0

2 z 1 -1 -0 .5

-2 0

-1

-0-.5 0. 250 1 0. 25 0 .5 y

0 y

1 2

0

x

0. 5

Restricción: cilindro elíptico

Superficie Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II

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Juntemos ahora ambas superficies en un mismo gráfico: El ejercicio resuelto previamente nos dio los extremos de la función (hojuela) en el interior y la frontera del cilindro elíptico. 3 -1

2 1

z

-0.5

0 -1 0

-0.5 0 y

x

0.5 0.5 1 1

-1 -0.5

-1

Si graficamos ahora la curva intersección del cilindro y la superficie junto con la superficie veremos algo así:

-0.5 0 0.5

0

1

0.5 1 2

El método de los multiplicadores de Lagrange nos dio los extremos de la función sobre dicha curva.

1.5 1 0.5

3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función f ( x, y , z )  xyz sujeta a la restricción x 2  2 y 2  3z 2  6 Llamemos g ( x, y, z )  x 2  2 y 2  3 z 2 El problema queda expresado por: Maximizar / Minimizar Sujeta a

f ( x, y, z ) g(x, y, z) = 6

Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange, el sistema que debemos resolver es


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f ( x, y, z )  g ( x, y , z )   g ( x, y , z )  6



(e1)  yz   2 x  xz   4 y ( e 2)   (e3)  xy   6 z  x 2  2 y 2  3z 2  6 (e 4)

Caso 1: si suponemos que x, y y z son no nulas, podemos multiplicar la primera ecuación por x, la segunda por y y la tercera por z obtenemos una relación entre los cuadrados de las variables:

 xyz   2 x 2  2 2 2 2  yxz   4 y  x  2 y  3z  2  zxy   6 z Reemplazando en la cuarta ecuación tenemos

3 x 2  6  x 2  2  x   2  y  1 ,

z 

2 3

Los puntos críticos son 8. Para evaluar la función en cada punto, es útil ver que el valor absoluto va a ser el mismo para todos los puntos (porque se multiplican las coordenadas) y lo único distinto va a ser el signo, de acuerdo a la cantidad de factores positivos o negativos. De esta manera tenemos que: •

f













2 , 1 , 2 3  f  2 ,  1 , 2 3  f  2 , 1,  2 3  f





2 ,  1,  2 3 

2 2 3  3 3 En todos estos puntos   •





f  2 , 1, 2 3  f





yz 1 3   2x 2 3 6



2 ,  1, 2 3  f









2 , 1 ,  2 3  f  2 ,  1,  2 3 

2 2 3  3 3

En estos otros cuatro puntos  

yz 1 3   2x 6 2 3

Caso 2: ¿Qué sucede si alguna de las variables es nula? Supongamos que x = 0. El sistema quedaría:

(e1)  yz  0 0   4 y ( e 2)   (e3) 0   6 z 2 2 2 y  3z  6 (e4) De (e1) tenemos:

yz  0  y  0  z  0 y no simultáneamente nulas pues sino no se verificaría (e4). y  0    0, z   2 z  0    0, y   3 Obtenemos los puntos (0,0, 2 ) y (0,  3,0) Razonando de manera similar con y = 0 o z = 0 se pueden obtener los puntos ( 6 ,0,0)


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La función f evaluada en cada uno de estos puntos da 0. Resumiendo todo lo razonado anteriormente: • Valor máximo de f:

2 2 3  3 3

=

• Valor mínimo de f: 

 2 ,1, 2 3  f  2 ,  1, 2 3  f  2 , 1,  2 3  f  2 ,  1,  2 3 

= f

2 2 3  = f  2 , 1, 2 3  f 2 ,  1 , 2 3  3 3 = f 2 , 1 ,  2 3  f  2 ,  1,  2 3

















4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies x 2  xy  y 2  z 2  1 2

y

2

x  y  1 que están más próximos al origen. Para resolver este problema no es necesario que busquemos la curva intersección de las superficies, sino que podemos comprender que imponen dos restricciones al problema: que los puntos más próximos al origen pertenezcan a las dos superficies. Sean g ( x, y, z )  x 2  xy  y 2  z 2 y h( x, y, z )  x 2  y 2 La función a minimizar es la distancia al origen: d 

x 2  y 2  z 2 , pero trabajaremos con el

cuadrado de la distancia por ser más sencillos los cálculos: f ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2 Nuestro problema queda expresado:

f ( x, y, z ) g ( x, y, z )  1 h( x, y, z )  1

Minimizar Sujeto a

Apliquemos el método de multiplicadores de Lagrange, teniendo ahora dos restricciones:

f ( x, y, z )   g ( x, y, z )   h( x, y , z )   g ( x, y , z )  1 h ( x , y , z )  1 

       

2 x   (2 x  y )   2 x 2 y   ( 2 y  x)   2 y 2 z   (2 z )   .0



,   R

z  z  z (1   )  0  z  0    1

x 2  xy  y 2  z 2  1 x2  y2  1


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1° CASO: z  0 Analizando las dos últimas ecuaciones del sistema, obtenemos  xy  0  x  0  y  0 y no simultáneamente nulas, pues sino no se verificaría la última ecuación.

x  0  y  1 ,   0 ,   1 (verificar) y  0  x  1 ,   0 ,   1 (verificar) Obtenemos los puntos  1,0,0  y (0,1,0) . Evaluando la función distancia tenemos:

d (1,0,0)  d (0,1,0)  1 2° CASO:   1 Reescribimos el sistema:

       

2 x  ( 2 x  y )   2 x 2 y   ( 2 y  x)   2 y 2 z   ( 2 z )   .0 x 2  xy  y 2  z 2  1 x2  y2  1

        

x ( 4  2 )  y y ( 4  2 )  x zz x 2  xy  y 2  z 2  1 x2  y2  1

La expresión 4  2   0 pues en caso contrario, de la primer ecuación obtendríamos y=0 y de la segunda x=0, pero esos valores no verifican la ultima ecuación del sistema. Trabajemos con las dos primeras ecuaciones (y luego veremos si los resultados obtenidos verifican las restantes ecuaciones):

 x (4  2  )  y  x (4  2  )  y    2  y (4  2  )  x  x (4  2  )  x

 x  0  4  2  1

 y0

 x y

pues no verifica la última ecuación del sistema

Reemplazando la igualdad obtenida en la última ecuación del sistema, obtenemos

x y

1 2

Reemplazando estos valores en la ecuación x 2  xy  y 2  z 2  1 , vemos que no existe solución real para este caso:

1 1 1   z2 1   z2  no tiene solución real. 2 2 2 1 • La misma situación se obtiene para x  y   2 • x y

Conclusión: la mínima distancia vale 1 y se alcanza en los puntos

 1,0,0


y (0,1,0)

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5) Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de un punto de la elipse x 2  4 y 2  4 a la recta x  y  4 La función que vamos a maximizar y minimizar es la distancia de un punto de la elipse a la recta dada. Recordando lo aprendido en Algebra I, si tenemos la recta dada en la forma ax  by  c  0 , la distancia de un punto P ( xo , y o ) a la recta está dada por la expresión d  Sean d ( x, y ) 

x y4 2

axo  by o  c a 2  b2

.

, g ( x, y )  x 2  4 y 2

Nuestro problema puede expresarse: Maximizar / minimizar

d(x,y)

Sujeta a

g(x,y) = 1

Como para aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange necesitamos las derivadas parciales de f, nos será útil prescindir del valor absoluto, analizando el problema primero. Como se puede observar en el gráfico, los puntos que estamos buscando están ubicados en el semiplano definido por inecuación x  y 4  0. Entonces podemos trabajar con la función

máxima distancia mínima distancia

f ( x , y )  (  x  y  4) / 2 en vez de la expresión de d(x,y) con el valor absoluto.

Resolveremos el problema

x y4 2

Maximizar / minimizar

f ( x, y ) 

Sujeta a

x2  4 y2  4

El sistema esta expresado por:

 1  2   2 x   1  8 y  2  x 2  4 y 2  4   De las dos primeras ecuaciones podemos deducir que x  0, y  0 y   0


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Igualando las dos primeras ecuaciones obtenemos la relación x  4 y que junto con la tercer ecuación nos da los valores x  

4 5

 10 10   x  0 da     , x  0 da     16 16  

 4 1   4 1  ,  y  ,  5 5  5 5 

Los puntos encontrados son:  Finalmente,

 4 1  4 5 ,  1,247  2  5 5

distancia mínima: f 



distancia máxima: f  



4 1  4 5 ,  4.409  5 5 2

que corresponden a las longitudes de los segmentos perpendiculares a la recta de color rosa y azul respectivamente.





6) Considerar la función f ( x, y )  x 2  xy  y 2 en el disco unitario D  ( x, y ) / x 2  y 2  1 . Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo para la f en el círculo unitario. Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos de f en D Para buscar los extremos en el interior del disco unitario, procedemos a resolver la ecuación  f ( x, y )  (0,0) para buscar los puntos críticos de la función, y nos quedaremos con aquellos que estén dentro del círculo.

 f ( x, y )  ( 2 x  y , x  2 y )  2x  y  0  f ( x, y )  (0,0)    ( x, y )  (0,0)  x  2y  0 Para saber si la función tiene un máximo, mínimo o punto silla en (0,0) evaluamos:

D

f xx (0,0) f yx (0,0)

f xy (0,0) 2 1  30 f yy (0,0) 1 2  f (0,0) es un mínimo relativo

f x x (0,0)  2  0 Más aún, f (0,0)  0 Busquemos los extremos en la circunferencia unitaria x 2  y 2  1 utilizamos el método de los multiplicadores de Lagrange. Sea g ( x, y )  x 2  y 2 . Debemos resolver el problema Maximizar / Minimizar

f(x,y)

Sujeta a

g(x,y)=1

El sistema que debemos resolver es


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 2x  y   2x  f ( x , y )   g ( x , y )    x  2 y  2 y   g ( x, y )  1  x2  y2  1 

(e1) (e 2) (e3)

Reescribiendo el sistema:

 2 x (1   )   y   2 y (1   )   x x 2  y 2  1 

 y   2 x (1   )

Observemos que   1 pues sino de las dos primeras ecuaciones obtenemos x = 0, y = 0 y no se verifica la tercer ecuación. Reemplazando la expresión para y obtenida en la primer ecuación en la segunda tenemos:





2  2 x (1   ) (1   )   x  4 x (1   ) 2  x  x 4 (1   ) 2  1  0  x  0  (1   ) 2 

1 4

Caso 1: x  0  y  0 por la primer ecuación del sistema pero g (0,0)  0  1 . Se descarta este caso. Caso 2: (1   ) 2 

1 4

 

1 2

 

3 2

x   y 1  •   12   y   x  x  y  2 x 2  y 2  1  1  1   1  1 Obtenemos los puntos  , ,  y   2 2 2  2  x  y 1  •   32   y  x  x  y  2 x 2  y 2  1  1  1   1  1 Obtenemos los puntos  , ,  y   2 2 2  2  Resumamos todo el análisis en una tabla:

( x, y )

f ( x, y )

Conclusión

( 0,0 )

0

Mínimo absoluto

 1 1  ,   2  2

½

Mínimo relativo

1   1 ,   2 2 

½

Mínimo relativo

 1 1  ,   2  2

3/2

Máximo absoluto

 1 1  ,   2 2 

3/2

Máximo absoluto


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Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de

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