1.6 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (1.6_CvR_T_061, Revisión: 11-09-06, C8)
En algunos casos se requiere optimizar funciones sujetas a restricciones. En otras palabras, la condición: d f = fxdx + fydy = 0 no necesariamente implica que fx = fy = 0, ya que dy y dx no son independientes. Ejemplo 1: Encontrar el (o los) punto(s) en la elipse 5x2 - 6xy + 5y2 = 8 que se encuentren más cercanos al origen. Equivalentemente: encontrar x,y tal que (x2+y2)1/2 sea mínima, sujeta a la restricción 5x2-6xy+5y2=8, i.e.: F(x,y) = x2+y2= mínima, para g(x,y) = 5x2 - 6xy + 5y2 - 8=0 Sabemos que: Fx = 2x = 0, Fy = 2y = 0 ⇒ x = y = 0 (0,0) minimiza a F, pero no cumple con la restricción, i.e., no está contenido dentro de la elipse. En este caso: dF = 2xdx + 2ydy = 0 Pero: dg = (10x-6y)dx + (10y-6x)dy=0 → restricción
10x − 6y dx , asumiendo que el denominador ≠ 0 en el mínimo. 6x −10y ⎡ ⎛ 5 x − 3 y ⎞⎤ ⎟⎟⎥ dx = 0 ⇒ dF = ⎢2 x + 2 y⎜⎜ ⎝ 3 x − 5 y ⎠⎦ ⎣ ⎛ 5x − 3 y ⎞ ⎟⎟ = 0 ⇒ y = + x ⇒ 2 x + 2 y⎜⎜ ⎝ 3x − 5 y ⎠ ∴Los puntos caen sobre las rectas y = +x , pero deben también estar contenidos en la elipse. Los puntos que satisfacen estas condiciones son: ⇒ dy =
(
y
y=x
y=-x
-1
2
2
)(
2 , 2 , − 2 ,− 2
)
⎛ − 1 , 1 ⎞, ⎛ 1 ,− 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
Mínimos
x
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La generalización de este método puede plantearse de la siguiente manera: Para F(x1, x2,....,xm)=max (o mínima) sujeta a las restricciones: g1 ( x1 , x2 ,..., xm ) = C1 # g n ( x1 , x2 ,..., xm ) = C n donde F1,g1,...gn tienen primeras derivadas parciales continuas y n
Los valores de λn son los MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. El problema se reduce x1, x2,...,xm, λ1,...,λn de las m+n ecuaciones. Para lograr esto: entonces a buscar ∂F * = 0, j = 1,2,..., m → ∂x j gj=0, j=1,...n
Puntos estacionarios para F* sin restricciones.
Ejemplo 2: Para F(x, y)=x2+y2, g(x, y)=5x2-6xy+5y2-8, → F*=x2+y2-λ(5x2-6xy+5y2-8) ∂F * ⎫ = 2 x − 10λx + 6λy = 0 ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂F * = 2 y + 6λx − 10λy = 0⎬ ∂y ⎪ 5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 = 8 ⎪ ⎪⎭ 2x x Resolviendo obtenemos: λ = = 10 x − 6 y 5 x − 3 y 2 2 ⇒ y±x y además 5x -6xy+5y =8 → mismo resultado que antes. Ejemplo 3: Determinar la distancia mínima del origen hacia la recta: y= - 2x+5 1 x Recta perpendicular: 2 ⇒ 2y = x Intersección: y= - 2x+5= - 2(2y)+5= - 4y+5 ⇒ y =1, x=2 y=
y
5 y=-2x+5 Perpendicular a la recta
Distancia: r = x 2 + y 2 = 5
x
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Verificando con el método de multiplicadores de Lagrange: Minimizar: Restricción:
(x2+y2)1/2=f(x, y) y= -2x+5→ y+2x-5=0
F*(x, y, λ)=(x2+y2)1/2-λ(y+2x-5)=0
x − 2λ = 0 ( x + y 2 )1/ 2 y −λ = 0 2 ( x + y 2 )1/ 2 y + 2x = 5
→
2
λ = y ( x 2 + y 2 ) −1 / 2 ⇒ x( x 2 + y 2 ) −1 / 2 − 2 y ( x 2 + y 2 ) −1 / 2 = 0 ⇒ x = 2y ⇒ y + 2(2 y ) = 5 ⇒ y = 1, x = 2
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