1
GABARITO / 6 TRU 003: Mecânica das Estruturas II T1000 e T2000 3a. Prova 17/11/2006
( ) (2 Pontos) 1a. Questão: Seja a treliça da figura, composta de barras de mesma rigidez axial EA , e sujeita à carga vertical Q posicionada no nó central inferior. Use o teorema de Clapeyron e a energia de deformação para obter o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga.
Dados: a = 4 × 10 mm 3
5
3
4
h=3a/4
Q = 200 × 10 3 N E = 200 × 10 3 N / mm 2
α
1 Q
a
A = 750 mm 2 α = arctan 0,75 = 36,87º
2 a
Q/2
Q/2
Solução: a- Forças normais nas barras: aplicando Ritter, e sendo a força cortante na primeira metade do vão igual a V = Q / 2 e o momento no centro do vão igual a M = Qa / 2 , obtém-se:
N4 = −
2 4 5 M Qa V Q = = Q= Q =− = − Q e N1 = 6 sinα 2 × 0,6 6 h 2 × 0,75a 3
Por outro lado, o equilíbrio do nó central inferior obriga a ter-se N 3 = Q , pois as duas barras horizontais não conseguem equilibrar a carga vertical. Ver a figura seguinte.
N3=Q N1
N2=N1 Q
Com isto, pode-se calcular a energia de deformação acumulada na treliça (ver a Tabela): 2
1 5 N j l j 1 27 Q 2 a UN = ∑ = 2 1 EA 2 8 EA
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2
j
Tabela Nº. de repetições:
1,2
r 2
3
1
4,5
2
Nj
lj
rN 2j l j
4 Q 6 Q
a
32 2 64 2 Q a= Q a 36 72 3 2 54 2 Q a= Q a 4 72 125 2 Q a 72 5 243 27 ∑ rN 2j l j = 72 Q 2 a = 8 Q 2 a 1
5 − Q 6
3 a 4 5 a 4
O trabalho realizado pela carga Q é estocado na treliça em forma de energia de deformação, sem perda por calor ou por energia cinética (vibração). Logo, aplicando Clapeyron determina-se o deslocamento vertical da carga atuante:
1 1 27 Q 2 a 27 Qa 27 200 × 103 × 4 × 103 = = 18 mm Qδ v = , ou seja, δ v = 2 2 8 EA 8 EA 8 200 × 103 × 750
( ) (3 Pontos) 2a. Questão: Considere o pilar auto-equilibrado da figura, sujeito a duas forças verticais F1 , de mesma linha de ação e ambas com excentricidades iguais a l 10 . No que segue, use o Teorema de Castigliano e considere unicamente a energia de deformação por flexão da barra maior DE (as duas barras menores, AD e BE, têm EI → ∞ ). Assim sendo, pede-se calcular:
l/10
F1
D
a- Qual a diminuição δ AB da distância vertical original dos pontos A e B? b- Qual o deslocamento horizontal do ponto C do pilar?
A x
l/2
Dados: l = 6 × 10 mm , ( EI ) pilar = 5,405 ×10 3
12
Nmm 2 ,
F1 = 100092,6 N C
l/2
B E l/10
F1
Solução:
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3 a- Notando que foi aplicado na estrutura um par de forças, o teorema de Castigliano dá o deslocamento relativo entre ambas (se fosse pedido apenas, p. ex., o deslocamento vertical da força em A, teria quer ser aplicada nesse ponto apenas uma força fictícia, e não duas).
l/10 F1
D A
x
l/2
M=F1l/10 C
l/2
B E
F1
l/10
Sendo U =
δ AB =
1 M2 ∂U dx e pelo teorema de Castigliano δ AB = , tem-se: ∫ ∂F1 2 EI
1 l ∂M 2 1 l ∂M 2 ∂M 1 l 1 l ∂M ∂M [∫ dx = dx 2 M dx M dx = = ∫ ∫ ∫ 2 EI 0 ∂F1 2 EI 0 ∂M ∂F1 2 EI 0 EI 0 ∂F1 ∂F1
Como M ( x ) =
δ AB =
F1l ∂M l 1 l ∂M 1 F1l 2 l F1l 3 = cte, e = , resulta δ AB = M dx = dx = . 10 ∂F1 10 EI ∫0 ∂F1 EI 100 ∫0 100EI
100092,6 × (10 × 103 )3 = 40 mm 100 × 5,405 × 1012
Esta é a medida da aproximação entre si das duas forças. Cada qual se desloca verticalmente 20 mm . Note-se que é em geral preferível derivar primeiro e integrar depois, e não o contrário!
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4 b- A determinação do deslocamento horizontal em C é feita através de uma força horizontal F2 fictícia aplicada nesse ponto. Essa força terá de ser retirada da estrutura, pois não faz parte do sistema de forças aplicadas. O diagrama de momento fletor está dado na figura seguinte. Note-se que para a integral a ser feita, interessa neste diagrama apenas a função M (x ) , a não ser que se use a Tabela de Kurt-Beyer, quando interessarão os pontos de máximos. l/10 F1
D A
F2/2
l/2
M(x)=F1l/10+F2x/2 x C
M=F1l/10+F2l/4
F2 l/2
B F2/2
E
F1
l/10
∂U
O teorema de Castigliano agora se escreve: δ hC = ∂F2 F
.
2 →0
Como se mostrou no item anterior, a derivada da energia de deformação em relação à força F2 resulta na integral do produto M × que na derivada
∂M . Observando que em M se deve anular a força F2 , e ∂F2
∂M x = não aparece F2 (e por isso nela não há força a anular), tem-se, ∂F2 2
considerando a simetria do diagrama de momento fletor:
∂U 1 δ hC = = 2× EI ∂F2 F2 → 0
l/2
∫ 0
M
∂M 2 dx = ∂F2 EI
l/2
∫ 0
F1l x Fl 1 l F l3 dx = 1 [ ( ) 2 ] = 1 10 2 10 EI 2 2 80 EI
Comparando com o resultado anterior, vê-se que este deslocamento é 100 / 80 = 1,25 vezes maior. Logo, δ hC = 50 mm .
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5 ( ) (2,5 Pontos) 3a. Questão: Seja a viga contínua da figura, uma vez hiperestática, sujeita a momentos M 0 aplicados nos apoios extremos. a- Use o teorema de Menabrea para obter a reação X do apoio interno B. Considere apenas a energia de deformação por flexão. b- Desenhar o diagrama de momento fletor. Dados: M 0 = 100 kNm,
l = 10 m . B
A
M0
C
l X/2
l
M(x)=M0+Xx/2 para x l
x x
M0
X
X/2
Solução: Conforme o teorema de Menabrea (aplicável a estruturas hiperestáticas), a energia de deformação U = U ( M 0 , X ) , função do carregamento, passa por um mínimo para a variável X , pois o deslocamento vertical do apoio B é zero, ou seja:
∂U = δ vB = 0 ∂X Dada a função M (x ) , cf. se lê no desenho acima, obtém-se como na questão anterior, e já observando a simetria:
0= l
1 l ∂M M dx , ou ∫ EI 0 ∂X x
x
∫ ( M 0 + X 2 ) × 2 dx = 0, ou seja, 0
l
M 0 ∫ xdx + 0
X l 2 x dx = 0 2 ∫0
M 100 = −30 kN X = −3 0 = −3 l 10 O sinal negativo indica que a reação em C é dirigida para cima, ao contrário do pressuposto. Note que a rigidez EI não aparece na equação de X . b- O diagrama de momento fletor é poligonal, pois em cada vão a força cortante é constante. Em A tem-se a reação
M (l ) = M 0 +
X = −15 kN . Logo, em B o momento fletor vale: 2
X l = 100 − 15 × 10 = −50 kNm , tração na fibra superior. 2
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6
-50
B
A
C
100
X/2
100
x x
M(x)=M0+Xx/2 para x l
X/2
X
( ) (2,5 Pontos) 4a. Questão: Na viga isostática e contínua da figura seguinte, aplica-se na rótula E um par de momentos M E . Sendo constante a rigidez à flexão da viga, pede-se: a- Determinar o deslocamento vertical δ vD no ponto D causado pelo par de momentos. Use o PTV e a tabela de Kurt-Beyer. Nesta tabela α = 0,5 é a posição relativa do vértice do triangulo. b- Retira-se agora o par de momentos e aplica-se em D uma força vertical Q . Nesta condição, obter a rotação relativa ϕ E na rótula E, usando o teorema de Betti-Maxwell. Dados: l = 6 × 10 mm, E = 10 N / mm , I = 144 × 10 mm 3
5
2
7
4
M E = 320 × 106 Nmm, Q = 640 × 103 N
A
D
B
δ vD l/2
l/2
l/2
ME
l/2
ϕE
Q A
C
E
D
B
E
C
Solução: a- Para obter o deslocamento vertical em D, δ vD , produzido pelo par de momentos M E , aplicado em E, considera-se a mesma viga sujeita a uma força virtual unitária em D. Tem-se, assim, dois sistemas, o real e o virtual, cujos respectivos momentos fletores estão dados na figura seguinte.
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7
A
D
B
E
Momentos reais M l/2
1
l/2
1/2 l/4
2M E
C
ME M
1/2
Momentos virtuais M Aplicando o PTV, tem-se o trabalho virtual realizado pela força virtual unitária (do segundo sistema) ao longo do deslocamento real δ vD (do primeiro sistema) dado por: l
1 × δ vD = ∫ 0
2l M 1 l M M dx + ∫ × 0 × dx = M M dx EI EI ∫0 l EI
Tabela KB: EIδ vD =
δ vD =
1 l M l2 l (1 + 0,5) × ( 2M E ) × = E , ou 6 4 8
M E l 2 320 × 106 × (6 × 103 ) 2 = = 10 mm 8 EI 8 × 105 × 144 × 107
b- Nos dois sistemas de forças das figuras iniciais desta questão, um deles pode ser considerado virtual, e o outro real. A força Q do segundo sistema realiza um trabalho virtual ao longo do deslocamento δ vD do primeiro, enquanto o par de momentos M E do primeiro sistema realiza um trabalho virtual ao longo da rotação relativa ϕ E do segundo, e estes trabalhos são iguais entre si (teorema de Betti-Maxwell). Logo:
Qδ vD = M Eϕ E , donde ϕ E =
Q 640 × 103 δ vD = × 10 = 20 × 10 − 3 rad = 20 mrad 6 ME 320 × 10
É mais fácil compreender o teorema de Betti-Maxwell através do PTV, como segue ( M 1 é o momento fletor do primeiro sistema, produzido pelo par M E , M 2 é o momento fletor do segundo sistema, produzido por Q ): (a) O sistema 1 é real, enquanto o sistema 2 é virtual: τ e = M Eϕ E = (b) O sistema 2 é real, enquanto o sistema 1 é virtual: τ e = Qδ vD =
∫
M
∫ EI1 M 2 dx = τ i . M2 M 1dx = τ i . EI
Como a estrutura é elástica linear, as duas integrais τ i que representam os trabalhos internos são iguais. Portanto, Qδ vD = M Eϕ E . Note-se que o PTV foi aplicado 2 vezes.
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