01/12/2016
Unidad Temática IX Cinemática del Cuerpo Rígido
Contenido: Traslación y rotación de un cuerpo rígido. Medidas angulares. Coordenadas angulares, velocidad y aceleración angulares. Cinemática de la rotación alrededor de un eje fijo. Relaciones entre velocidad angular y lineal, y entre aceleración angular y lineal. Energía cinética rotacional. El momento de inercia. Momento de inercia de objetos sencillos. Teorema del eje paralelo (Steiner). Objetos rodantes.
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Traslación: un cuerpo realiza un movimiento de traslación cuando cada partícula que lo constituye tiene el mismo desplazamiento en el mismo intervalo de tiempo. Ej: un auto viajando en un tramo de carretera recto. Rotación: un cuerpo rígido realiza un movimiento de rotación cuando cada partícula que lo constituye excepto las que están sobre el eje de rotación, describe una trayectoria circular. El eje de rotación es la recta que pasa por los centros de los movimientos circulares de las partículas. Ej: movimiento del disco duro de una PC.
Medidas angulares. Desplazamiento angular. Velocidad y aceleración.
s R
Objeto plano en x-y, capaz de rotar con respecto a un eje que pasa por O perpendicular al plano x-y.
Long Long
s R
adimensional (radian)
Radián: ángulo correspondiente a un arco igual a un radio. Si s = R => = 1 radián
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Radián: ángulo correspondiente a un arco igual a un radio. Si s = R => = 1 radián
Grados
Radianes
Grados
Radianes
360°
2π
45°
π/4
180°
Π
30°
π/6
90°
π/2
57,3°
1
60°
π/3
Coordenadas angulares, velocidad y aceleración angulares Magnitudes empleadas en la descripción de un movimiento angular
• Coordenada angular del objeto • Velocidad angular del objeto • Aceleración angular del objeto
En 3D mirando desde z positivo, es positivo cuando se mide en sentido contrario al giro de las agujas de un reloj
es positivo
es positivo y es negativo
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Velocidad angular y su módulo El modulo de la velocidad angular es igual a la rapidez con que cambia la coordenada angular
d dt
La velocidad angular es un vector cuya dirección la determina el eje de rotación y el sentido la regla de la mano derecha. Rotación antihoraria sentido según + z Rotación horaria sentido según - z Rotación antihoraria en el plano x y
1 s
d k dt
Unidad de
Aceleración angular
La aceleración angular es un vector orientado según el eje de rotación. Su sentido coincide con el de la velocidad angular si su efecto es aumentarla, y tiene sentido contrario si la disminuye. Su módulo se define como la rapidez con que cambia la velocidad angular
d d 2 dt dt 2
1 s2
Unidad de
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Cinemática de la rotación alrededor de un eje fijo Consideremos el disco de la figura con eje de rotación perpendicular que pasa por O, que gira con velocidad angular constante.
d dt
0
t
t
0
0
d dt dt t
(t ) 0 t
Angulo descripto en función del tiempo
Aceleración angular constante Supongamos que el disco gira con aceleración angular constante
d d dt dt
0
t
d dt t
(t ) 0 t
0
Velocidad angular en función del tiempo
d dt (0 t ) dt 0 dt t dt
t t 1 d 0 dt t dt 0 t t 2 0 0 0 2 1 Angulo descripto en 0 0 t t 2 función del tiempo 2
2 02 2 ( 0 )
Velocidad angular en función de
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Relaciones entre la velocidad angular y lineal y la aceleración angular y lineal.
Vt
ds d ( R) d R R dt dt dt
Vt R at
Vt r
dVt d ( R) d R R dt dt dt
at R
Del M.C.U.:
Vt 2 aR R R 2
at r
Aceleración radial o centrípeta
Si el módulo de la velocidad lineal varía, aR representa la componente radial de la aceleración lineal y aT la tangencial.
a at 2 aR 2 a R 2 2 R 2 4 R 2 4
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0 0
0 0
0 0
Energía cinética rotacional. Momento de inercia. Un sólido rígido en rotación es una masa en movimiento, por tanto tiene energía cinética. Consideremos a la rueda formada por N partículas de masa mi y radios Ri ( i = 1,2,3, . . . , N). La velocidad tangencial será vi y la velocidad angular es común a todas las partículas.
La energía cinética de cada partícula es: La energía cinética de la rueda es la suma de la Ec de las partículas que la componen
Eci
1 mi Vi 2 con Vi Ri 2
N N N 1 1 Ec Eci mi Vi 2 mi Ri 2 2 i 1 i 1 2 i 1 2
1 N Ec 2 mi Ri 2 2 i 1
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N
I mi Ri 2
Definimos:
Momento de Inercia
i 1
Unidades
Ec Ec
1 I 2 2 1 mV 2 2
[ I ] = kg m2 Energía cinética rotacional Energía cinética traslacional
m V2
I 2
El momento de inercia de un cuerpo es una medida de la resistencia del mismo al cambio en su movimiento de rotación, así como la masa es una medida de la resistencia al cambio en su movimiento lineal.
Ejemplo: Considere una molécula de oxigeno (O2) rotando en el plano xy alrededor del eje z. El eje pasa por el centro de la molécula y es perpendicular a su longitud. La masa de cada átomo de oxigeno es de 2,66x10-26 kg, y a la temperatura ambiente la separación entre átomos es d = 1,21x10-10 m (considere a los átomos como masas puntuales). (a) Calcule el momento de inercia de la molécula respecto del eje z. (b) Si la velocidad angular de la molécula alrededor del eje z es 4,60x1012 rad/s, cual es su energía rotacional?. 2
I M i Ri 2 M d / 2 M d / 2 2
2
i 1
1 1 I M d 2 (2, 66 1026 kg ) (1, 2110 10 m) 2 2 2 I 1,95 1046 kg m 2
EcR
1 1 I 2 (1,95 1046 kg m2 ) (4, 60 1012 1/ s) 2 2 2 EcR 2, 06 1021 J
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Ejemplo: Se fijan 4 pequeñas esferas a las esquinas de un marco de masa despreciable en el plano x-y. El radio de las esferas es mucho menor que las dimensiones del marco. (a) Si el sistema rota alrededor del eje y con velocidad determine el momento de inercia y la energía rotacional con respecto e este eje. (b) Si el sistema rota en el plano x-y alrededor del eje z, repita los calculos de (a) respecto de este eje. 2
I y mi ri 2 M a 2 M a 2 2 M a 2 i 1
EcR
1 1 I y 2 2 M a2 M a2 2 2
4
I z mi ri 2 M a 2 M a 2 mb 2 mb 2 i 1
I z 2 M a 2 2 mb 2
EcR
1 I y 2 M a 2 mb2 2
El momento de inercia no es una propiedad intrínseca del cuerpo como la masa, sino que depende de la masa y de la posición del eje de rotación. Momento de inercia de un cuerpo continuo.
I mi ri 2 i
i mi dm 0 I lim
i mi dm
m r
2
i i
r 2 dm r 2 dV V
i
V
Si la densidad es uniforme Según el cuerpo la densidad puede ser volumétrica, superficial o lineal (, , λ)
I r 2 dV V
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Ejemplo: Momento de inercia de un aro uniforme de masa M y radio R, con respecto a un eje que pasa por su centro.
I R 2 dm R 2 dm R 2 M V
V
Ejemplo: Calcule el momento de inercia de una varilla rígida uniforme de longitud L y masa M con respecto a un eje perpendicular que pasa por su CM.
dm dx M / L dx I y r 2 dm
L/2
x3 I y M / L 3
L/2
L/2
x 2 M / L dx
L/2
1 M L2 12
Ejemplo: Momento de inercia de un cilindro uniforme de masa M, radio R y longitud L, con respecto a su eje central (z en la figura)
M M V R2 L
dV dA L (2 r dr ) L M dm dV 2 r dr L R2 L dm dV
I z r 2 dm r 2 dV V
V
2M r dr R2
2M R2
R
0
r 3 dr
R
2 M r4 1 I z 2 M R2 R 4 0 2
No depende de L. Vale para un disco.
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Teorema de Steiner o del eje paralelo Relaciona el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el CM del cuerpo con el momento de inercia con respecto a un eje paralelo arbitrario que pasa por O.
I r 2 dm ( x 2 y 2 ) dm V
V
I [( xCM x ') 2 ( yCM y ') 2 ] dm V
I ( x ' 2 y ' 2 ) dm 2 xCM x ' dm V
V
2 yCM y ' dm ( xCM 2 yCM 2 ) dm V
2 V x ' dm V y ' dm 0 I ICM M D ( xCM 2 yCM 2 ) dm M D 2 I CM ( x ' 2 y ' 2 ) dm V
Teorema de Steiner
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Momentos de Inercia de cuerpos rígidos homogéneos con diferentes geometrías
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Objetos rodantes (sin deslizamiento)
ds d R R dt dt dV d CM R R dt dt
VCM aCM
P eje de rotación en reposo instantáneo. La velocidad angular de todos los puntos con respecto a P es la misma y la V tangencial depende de la distancia a P.
EcR
EcR
1 1 I P 2 ICM M R 2 2 2 2
1 1 1 1 ICM 2 M R 2 2 I CM 2 M VCM 2 2 2 2 2
La energía cinética total de un cuerpo rodante es igual a la suma de la energía cinética rotacional respecto del CM + la energía cinética traslacional del CM.
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