Congruencia de triángulos.
1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC DEF , entonces:
AB FD; AC DE; BC FE A D; B F ; C E
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si
AB DF ; BC FE; B F Entonces ABC DEF
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
AB DE; BC EF ABC DEF
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB TESIS:
CAB CBA
RAZÓN 1. En CA se toma un punto D y en CB se toma un punto E, tal que CD CE
AFIRMACIÓN 1. Postulado de construcción de segmentos
2. Trazamos DB y AE 3. CA CB 4. CD CE 5. C C 6. CAE CBD 7. CAE CBD
2. Dos puntos determinan un segmento 3. De hipótesis 4. De 1. Construcción. 5. Propiedad reflexiva 6. L – A – L. De 3, 4, 5 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 8. De 1 9. De 8. Adición de segmentos 10. Sustitución de 3 en 9 11. De 10. La ley cancelativa
8. CD CE 9. CA + AD = CB + BE 10. CA + AD = CA + BE 11. AD BE
CDB CEA; DB AE
12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes 13. De 11 y 12. L – A – L 13. ABD EAB 14. De 13. Ángulos correspondientes en 14. EAB DBA triángulos congruentes. 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. 15. CAB CBA NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo. 12.
HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero TESIS:
A
B
C
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base. HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB ABC es isósceles con CA CB A–D–B TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1. CA CB 2. 1 2 3. CD CD 4. CDA CDB
1. De hipótesis. 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. 3. Propiedad reflexiva
5. AD DB 6. D punto medio de AB 7. CD es mediana 8. CDA CDB 9. m (
CDA) + m (
CDB) = 180º
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 12. CD AB 13. CD es altura 14. CD es mediatriz
4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 5. Definición de punto medio 7. De 6. Definición de mediana 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 10. Propiedad de los Reales 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. De 12. Definición de altura 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes. HIPÓTESIS:
A P; AB PQ; B Q TESIS: ABC PQR NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.
Congruencia de triángulos.
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TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.
AB DE HIPÓTESIS: AC DF
BC EF TESIS: ABC DEF
1. En el semiplano de borde AB que no contiene a C, se traza AP , tal que
1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.
BAP D y AP DF 2. Trazamos PB
2. Dos puntos determinan un segmento
3. AB DE 4. APB DEF
3. De hipótesis.
5. PB EF 6. PB EF BC 7. PBC es isósceles 8. BCP BPC 9. AP DF AC 10. CAP es isósceles 11. ACP APC
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 15. m ( ACB) = m( APB) 16. ABC APB 17. ABC DEF
4. De 3 y 1. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles 8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 9. De hipótesis y de 1 10. De 9. Definición de triangulo isósceles. 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 12. Adición de ángulos. 13. Adición de ángulos 14. Sustitución de 8 y 11 en 13 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16. De 15, 6, 9. L – A – L 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva
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EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes. HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB AC
BD y CE son bisectrices TESIS: BD CE 1. m ACB m ABC
m ACB 2 m ABC ECB 2 DBC m ECB
2. m DBC 3. m 4. m
5. BC BC 6. ECB DBC 7. BD CE
1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes. 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. De hipótesis. Definición de bisectriz 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes. 5. Propiedad reflexiva. 6. De 1, 4, 5. A – L – A 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.
Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC BD 2) AD BC HIPÓTESIS: K es punto medio de AB K es punto medio de CD TESIS: AC BD y AD BC
1. K es punto medio de AB
1. De hipótesis
2. AK KB 3. K es punto medio de DC 4. CK KD 5. AKC DKB 6. AKC DKB 7. AC BD
2. De 1. Definición de punto medio 3. De hipótesis. 4. De 3. Definición de punto medio. 5. Por ser opuestos por el vértice. 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.
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HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE BF CD TESIS: EFD es equilátero.
1.
A B C
1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero. 4. De 3. Adición de segmentos 5. Sustitución de 2 en 4 6. De 5. Ley cancelativa 7. De 6, 2, 1. L – A – L 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero
2. AE BF CD 3. AB = BC = CA 4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 6. EB = FC = DA 7. AED EBF FCD 8. DE EF FD 9.
DEF
es equilátero.
HIPÓTESIS: DE AE DE EC; AE EB D A D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS:
1)CEG BEF 2)CFH BGH
1.
D A 2. DE AE
1. De hipótesis. 2. De hipótesis.
3. AEG = DEF 4. DEF EAG 5. DFE EGA
3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. De 1,2, 3, A – L – A 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos.
6. EFH EGH 7. FEG FEG 8. EF EG 9. CEG BEF 10. C B 11. HFC HGB 12. EC EB 13. FC GB 14. FHC BGH
7 6. De 5. Por tener el mismo suplemento 7. Propiedad reflexiva 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De 6, 7, 8. A – L – A 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 11. Tienen el mismo suplemento 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13. De 12 y 8. Resta de segmentos 14. De 10, 11, 13. A – L –A
HIPÓTESIS: AB EF DB LF AC y EH son medianas AC EH TESIS: LEF ABD 1. LF DB
1. De hipótesis.
2. AC y EH son medianas 3. H y C son puntos medios
2. De hipótesis
4. LH HF y DC CB 5. m( HF )
m( LF ) m( DB) y m(CB) 2 2
6. HF CB 7. EH AC; EF AB 8. EHF ACB 9. F B 10.
ABD LEF
3. De 2. Definición de mediana 4. De 3. Definición de punto medio 5. De 4. Definición de punto medio. 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva 7. De hipótesis 8. De 6 y 7. L – L – L 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 1, 7, 9. L – A – L
Congruencia de triángulos.
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HIPÓTESIS: CA CB DA DB C–E–D;A–E–B TESIS: AB CD
1. AC BC 2. ABC es isósceles. 3. 1 2 4. AD BD 5. ADB es isósceles. 6. 3 4 7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 10. m ( CAD) = m ( CBD) 11. CAD CBD 12. ACD DCB 13. CE es bisectriz 14. CE es altura 15. CE AB 16. CD AB
1. De hipótesis. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 4. De hipótesis. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. Adición de ángulos. 8. Adición de ángulos 9. Sustitución de 3 y 6 en 8 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 13. De 12. Definición de bisectriz 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura. 15. De 14. Definición de altura. 16. De 15 y de hipótesis C – E – D
Congruencia de triángulos.
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HIPÓTESIS: AB AF
AC AE A – B – C; A – F – E TESIS: 1)BE CF
2)AD es bisectriz de
1. 2. 3. 4. 5.
AB AF A A AC AE
ABE ACF BE CF
6. BC AC AB 7. FE AE AF 8. FE AC AB 9. BC FE 10. ABE AFC 11. CBD es el suplemento de ABE 12. DFE es el suplemento de AFC 13. CBD DFE 14. C E 15. BDC DFE 16. DB DF 17. AD AD 18. BAD FAD 19. BAD FAD 20. AD es bisectriz de
CAE
CAE
1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. Resta de segmentos 7. Resta de segmentos. 8. Sustitución de 1 y 3 en 7. 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva. 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios 12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 15. De 14, 9, 13. A – L – A 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 17. Propiedad reflexiva. 18. De1, 16, 17. L – L – L 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 20. De 19. Definición de bisectriz.
Congruencia de triángulos.
10 PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO
1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( ) 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( ) 3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( ) 4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triángulo son rectas. ( ) 15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triángulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( ) EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
En la figura se tiene que: AG GE ED FG GB BC . Demostrar que: D C
Congruencia de triángulos.
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2. HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB TESIS: 1) ACD BCD 2) CA CB
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. 4. HIPÓTESIS: TESIS:
E B; ADE ACB; B – C – D – E
EAD BAC
5. HIPÓTESIS: AB AD; AE es bisectriz de A–C–E TESIS:
1) BC CD 2) BCE DCE
6. HIPÓTESIS: ABC es equilátero AE BF CD TESIS: EFD es equilátero.
BAD
Congruencia de triángulos.
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7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD. 8. HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D–F–H–B ED EA DE EC AE EB
D A
TESIS:
1)CEG BEF 2)CFH BGH
9. HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF TESIS: EH EC
10. HIPÓTESIS: B es punto medio de AC AD CE; BD BE
TESIS:
1) E D 2)APC es isosceles.
Congruencia de triángulos.
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11. AB AF
HIPÓTESIS: BD DF BAC FAE
TESIS:
1) AC AE 2) BC FE
12. Demostrar que en un triangulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. 13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se puede demostrar que AR AD ? Justificar la respuesta. 14. HIPÓTESIS:
TESIS:
AE BC AC BE
1) DEA DCB 2)ABD es isosceles
15. HIPÓTESIS:
TESIS:
1
2
3 4 A–E–CyD–E–B
1) AE EC 2) DE AC
Congruencia de triángulos.
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16. HIPÓTESIS: AB AF ; DB DF ; 1 TESIS:
2
1) B F 2) DC DE
SUGERENCIA: Trazar AD
17. OED
HIPÓTESIS:
ODE
A C AE DC
TESIS:
1) BF BH 2)OF OH
18. HIPÓTESIS: AF AB; FE BC; DF DB TESIS:
1) EAD CAD 2) ED CD
19. HIPÓTESIS:
TESIS:
EAD AF AB
1) DF DB 2) EF CB
CAD
Congruencia de triángulos.
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20. HIPÓTESIS: AR SC; AB CD; BS DR TESIS:
1) BSA DRS 2) PR PS
21. HIPÓTESIS: BD es mediana AE BF ; CF BF
TESIS: AE CF
22. HIPÓTESIS:
AC AE CF y EB son medianas
TESIS: AD CE
23. HIPÓTESIS:
AB BC; DC BC ABD DCA
TESIS: ABC DCB
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes. 25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero.
Congruencia de triángulos.
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27. HIPÓTESIS: TR TS ; PR PS TESIS:
TRP TSP
28. HIPÓTESIS: A – B – C – D
1 2
AB CD TESIS:
A D
29.
HIPÓTESIS:
TESIS:
AB AC BD CE
1)ACD ABE 2)BDC CEB
30. HIPÓTESIS:
CE biseca a BF
TESIS:
C E
Congruencia de triángulos.
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31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH
Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
