CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Congruencia de triángulos.

1 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos. Si ABC  DEF , entonces:

AB  FD; AC  DE; BC  FE A  D; B  F ; C  E

Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro. Si

AB  DF ; BC  FE; B  F Entonces ABC  DEF

DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

AB  DE; BC  EF  ABC  DEF


2

TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB TESIS:

CAB  CBA

RAZÓN 1. En CA se toma un punto D y en CB se toma un punto E, tal que CD  CE

AFIRMACIÓN 1. Postulado de construcción de segmentos 2. Dos puntos determinan un segmento

2. Trazamos DB y AE 3. CA  CB 4. CD  CE 5. C  C 6.  CAE  CBD

3. De hipótesis 4. De 1. Construcción. 5. Propiedad reflexiva 6. L – A – L. De 3, 4, 5 7. De 6. Ángulos correspondientes en 7. CAE  CBD triángulos congruentes. 8. De 1 8. CD  CE 9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9 11. De 10. La ley cancelativa 11. AD  BE 12. De 6. Partes correspondientes de 12. CDB  CEA; DB  AE triángulos congruentes 13. De 11 y 12. L – A – L 13. ABD  EAB 14. De 13. Ángulos correspondientes en 14. EAB  DBA triángulos congruentes. 15. CAB  CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo. HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero TESIS:

A

B

C


3

TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base. HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB ABC es isósceles con CA  CB A–D–B TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

1. CA  CB 2. 1  2 3. CD  CD 4. CDA  CDB 5. AD  DB 6. D punto medio de AB 7. CD es mediana 8.

CDA 

9. m (

CDB

CDA) + m (

CDB) = 180º

10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 12. CD  AB 13. CD es altura 14. CD es mediatriz

1. De hipótesis. 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De 5. Definición de punto medio 7. De 6. Definición de mediana 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 10. Propiedad de los Reales 12. De 11. Definición de perpendicularidad 13. De 12. Definición de altura 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.

NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes. HIPÓTESIS:

A  P; AB  PQ; B  Q TESIS: ABC  PQR NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.


4

TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

AB  DE HIPÓTESIS: AC  DF

BC  EF TESIS: ABC  DEF

1. En el semiplano de borde AB que no contiene a C, se traza AP , tal que

BAP  D y AP  DF

1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.

2. Trazamos PB

2. Dos puntos determinan un segmento

3. AB  DE 4. APB  DEF

3. De hipótesis. 4. De 3 y 1. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles 8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 9. De hipótesis y de 1 10. De 9. Definición de triangulo isósceles. 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 12. Adición de ángulos. 13. Adición de ángulos 14. Sustitución de 8 y 11 en 13 15. De 12 y 14. Ley transitiva 16. De 15, 6, 9. L – A – L 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva

5. PB  EF 6. PB  EF  BC 7. PBC es isósceles 8.

BCP  BPC

9. AP  DF  AC 10. CAP es isósceles 11.

ACP  APC

12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 15. m ( ACB) = m( APB) 16. ABC  APB 17. ABC  DEF


5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS  Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son congruentes. HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB  AC

BD y CE son bisectrices TESIS: BD  CE 1. m  ACB   m  ABC 

m  ACB  2 m  ABC  ECB   2 DBC   m  ECB 

1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.

2. m  DBC  

2. De hipótesis. Definición de bisectriz

3. m 

3. De hipótesis. Definición de bisectriz

4. m 

5. BC  BC 6. ECB  DBC 7. BD  CE

4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes. 5. Propiedad reflexiva. 6. De 1, 4, 5. A – L – A 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.

 Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) AC  BD 2) AD  BC HIPÓTESIS: K es punto medio de AB K es punto medio de CD TESIS: AC  BD y AD  BC

1. K es punto medio de AB

1. De hipótesis

2. AK  KB 3. K es punto medio de DC 4. CK  KD 5. AKC  DKB 6. AKC  DKB

2. De 1. Definición de punto medio

7. AC  BD

3. De hipótesis. 4. De 3. Definición de punto medio. 5. Por ser opuestos por el vértice. 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.


6



HIPÓTESIS: ABC es equilátero.

AE  BF  CD TESIS: EFD es equilátero.

1.

1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero. 4. De 3. Adición de segmentos 5. Sustitución de 2 en 4 6. De 5. Ley cancelativa 7. De 6, 2, 1. L – A – L 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero

A B  C

2. AE  BF  CD 3. AB = BC = CA 4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 6. EB = FC = DA 7. AED  EBF  FCD 8. DE  EF  FD 9.

DEF

es equilátero.

 HIPÓTESIS: DE  AE DE  EC; AE  EB D A D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS:

1)CEG  BEF 2)CFH  BGH

1.

D A 2. DE  AE

1. De hipótesis. 2. De hipótesis.

3. AEG = DEF 4. DEF  EAG 5. DFE  EGA

3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. De 1,2, 3, A – L – A 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes


6. EFH  EGH 7. FEG  FEG 8. EF  EG 9. CEG  BEF 10. C  B 11. HFC  HGB 12. EC  EB 13. FC  GB 14. FHC  BGH

7 6. De 5. Por tener el mismo suplemento 7. Propiedad reflexiva 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De 6, 7, 8. A – L – A 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 11. Tienen el mismo suplemento 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes 13. De 12 y 8. Resta de segmentos 14. De 10, 11, 13. A – L –A

 HIPÓTESIS: AB  EF DB  LF AC y EH son medianas AC  EH TESIS: LEF  ABD 1. LF  DB

1. De hipótesis.

2. AC y EH son medianas 3. H y C son puntos medios

2. De hipótesis 3. De 2. Definición de mediana 4. De 3. Definición de punto medio

4. LH  HF y DC  CB 5. m( HF ) 

m( DB) m( LF ) y m(CB)  2 2

5. De 4. Definición de punto medio.

6. HF  CB

6. De 1 y 5. Propiedad transitiva

7. EH  AC; EF  AB 8. EHF  ACB

7. De hipótesis 8. De 6 y 7. L – L – L 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 1, 7, 9. L – A – L

9.

F B

10.

ABD  LEF


8

 HIPÓTESIS: CA  CB DA  DB C–E–D;A–E–B TESIS: AB  CD

1. AC  BC 2. ABC es isósceles. 3.

1

2

4. AD  BD 5. ADB es isósceles. 6.

3

4

7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 10. m ( CAD) = m ( CBD) 11. CAD  CBD 12.

ACD  DCB

13. CE es bisectriz 14. CE es altura 15. CE  AB 16. CD  AB

1. De hipótesis. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 4. De hipótesis. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. Adición de ángulos. 8. Adición de ángulos 9. Sustitución de 3 y 6 en 8 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 13. De 12. Definición de bisectriz 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura. 15. De 14. Definición de altura. 16. De 15 y de hipótesis C – E – D


9

 HIPÓTESIS: AB  AF

AC  AE A – B – C; A – F – E TESIS: 1)BE  CF

2)AD es bisectriz de

1. 2. 3. 4. 5.

AB  AF A A AC  AE

ABE  ACF BE  CF

6. BC  AC  AB 7. FE  AE  AF 8. FE  AC  AB 9. BC  FE 10. ABE  AFC 11. CBD es el suplemento de ABE 12. DFE es el suplemento de AFC 13. CBD  DFE 14. C  E 15. BDC  DFE 16. DB  DF 17. AD  AD 18. BAD  FAD 19. BAD  FAD 20. AD es bisectriz de

CAE

CAE

1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva 3. De hipótesis 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. Resta de segmentos 7. Resta de segmentos. 8. Sustitución de 1 y 3 en 7. 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva. 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios 12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 15. De 14, 9, 13. A – L – A 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 17. Propiedad reflexiva. 18. De1, 16, 17. L – L – L 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 20. De 19. Definición de bisectriz.


10 PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO

1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( ) 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( ) 3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( ) 4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triángulo son rectas. ( ) 15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triángulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( ) EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

En la figura se tiene que: AG  GE  ED  FG  GB  BC . Demostrar que: D  C


11

2. HIPÓTESIS: CD es altura. AD  DB TESIS: 1) ACD  BCD 2) CA  CB

3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. 4. HIPÓTESIS: TESIS:

E  B; ADE  ACB; B – C – D – E

EAD  BAC

5. HIPÓTESIS: AB  AD; AE es bisectriz de A–C–E TESIS:

1) BC  CD 2) BCE  DCE

6. HIPÓTESIS: ABC es equilátero AE  BF  CD TESIS: EFD es equilátero.

BAD


12

7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA  CB . D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD. 8. HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D–F–H–B ED  EA DE  EC AE  EB

D A

TESIS:


9. HIPÓTESIS: AI  IC  CD  BI  IH  HF TESIS: EH  EC

10. HIPÓTESIS: B es punto medio de AC AD  CE; BD  BE

TESIS:

1) E  D 2)APC es isosceles.


13

11. AB  AF

HIPÓTESIS: BD  DF BAC  FAE

TESIS:

1) AC  AE 2) BC  FE

12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. 13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB  AC . R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC  DB .En base con esta información se puede demostrar que AR  AD ? Justificar la respuesta. 14. HIPÓTESIS:

TESIS:

AE  BC AC  BE

1) DEA  DCB 2)ABD es isosceles

15. HIPÓTESIS:

TESIS:

1

2

3 4 A–E–CyD–E–B

1) AE  EC 2) DE  AC


14

16. HIPÓTESIS: AB  AF ; DB  DF ; 1  TESIS:

2

1) B  F 2) DC  DE

SUGERENCIA: Trazar AD 17. OED 

HIPÓTESIS:

ODE

A C AE  DC

TESIS:

1) BF  BH 2)OF  OH

18. HIPÓTESIS: AF  AB; FE  BC; DF  DB TESIS:

1) EAD  CAD 2) ED  CD

19. HIPÓTESIS:

TESIS:

EAD  CAD AF  AB

1) DF  DB 2) EF  CB


15

20. HIPÓTESIS: AR  SC; AB  CD; BS  DR TESIS:

1) BSA  DRS 2) PR  PS

21. HIPÓTESIS: BD es mediana AE  BF ; CF  BF

TESIS: AE  CF

22. HIPÓTESIS:

AC  AE CF y EB son medianas

TESIS: AD  CE

23. HIPÓTESIS:

AB  BC; DC  BC ABD  DCA

TESIS: ABC  DCB

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes. 25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC  AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero.


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27. HIPÓTESIS: TR  TS ; PR  PS TESIS:

TRP  TSP

28. HIPÓTESIS: A – B – C – D

1 2

AB  CD TESIS:

A D

29.

HIPÓTESIS:

TESIS:

AB  AC BD  CE

1)ACD  ABE 2)BDC  CEB

30. HIPÓTESIS:

  CE biseca a BF

TESIS:

C E


17

31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB  AC , se toma un punto E sobre AB y se toma un punto F sobre AC de tal manera que AE  AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA  FHA y que EFH  FEH

SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura se tiene que: AG  GE  ED  FG  GB  BC . Demostrar que: D  C

1. AG  GE  ED  FG  GB  BC 2. AD  AG  GE  ED 3. FC  FG  GB  BC 4. FC  AG  GE  ED 5. AD  FC 6. AGB  FGE 7. GA  GE  GB  GF 8. AGB  FGE 9.

F A

10. FE  AB 11. FEC  ABD 12.

D C

1. De hipótesis 2 Suma de segmentos 3 Suma de segmentos Sustitución de 1 en 3 5 De 2 y 4, propiedad transitiva 6. Ángulos opuestos por el vértice 7 De 1 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 11. De 10, 9 y 5, L – A – L 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes


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2. HIPÓTESIS: CD es altura. AD  DB TESIS: 1) ACD  BCD 2) CA  CB

1. AD  DB 2. D es punto medio de AB 3. CD es mediana 4. CD es altura 5. ABC es isósceles 6. CD es bisectriz 7. ACD  BCD 8. CA  CB

1. De hipótesis 2. De 1, definición de punto medio 3. De 2, definición de mediana 4. De hipótesis 5. De 3 y 4, por ser una mediana también altura 6. De 5, 3 y 4, en un triángulo isósceles la altura sobre la base es también bisectriz. 7. De 6, definición de bisectriz 8. De 5, definición de triangulo isósceles.


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3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. HIPÓTESIS ABC es isósceles

AD y BE son medianas TESIS AD  BE

1. ABC es isósceles 2. CA  CB 3. AD es mediana 4. D es punto medio de

1. De hipótesis 2. De 1, definición de triangulo isósceles 3. De hipótesis 4. De 3, definición de mediana

CB 5. BE es mediana

5. De hipótesis

6. E es punto medio de

6. De 5, definición de mediana

CA 7. AE  BD

7. De 6, 4 y 2, por ser mitades de segmentos congruentes

8.

EAB  DBA

9. AB  AB 10. ABE  ABD 11. AD  BE

8. De 1, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 9. Propiedad reflexiva 10. De 9, 8 y 7 L – A – L 11. De 10, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes


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4. HIPÓTESIS: TESIS:

E  B; ADE  ACB; B – C – D – E

EAD  BAC

Este ejercicio se demuestra utilizando el teorema L – A – A, que se demostrará en la siguiente unidad. 1. De hipótesis 1. E  B 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes 2. ABE es isósceles 3. De 2, definición de triangulo isósceles 3. AB  AE 4. ADE  ACB 5. ABC  ADE 6.

EAD  BAC

4. De hipótesis 5. De 3, 1 y 4 L – A – A 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes


21

5. HIPÓTESIS: AB  AD; AE es bisectriz de A–C–E TESIS:

1. AB  AD 2. AE es la bisectriz de 3. 1  2

BAD

1) BC  CD 2) BCE  DCE

BAD

4. AC  AC 5. ACB  ACD 6.

ACB  ACD

7. 8. 9.

BCE es el suplemento de ACB DCE es el suplemento de ACD BCE  DCE

1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De 2, definición de bisectriz 4. Propiedad reflexiva 5. De 1, 3 y 4, L – A – L 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. Definición de ángulos suplementarios 8. Definición de ángulos suplementarios 9. De 7 y 8, por tener el mismo suplemento


6.

22

HIPÓTESIS: ABC es equilátero.

AE  BF  CD TESIS: EFD es equilátero

1.

A B  C

2. AE  BF  CD 3. AB = BC = CA 4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 6. EB = FC = DA 7. AED  EBF  FCD 8. DE  EF  FD 9.

DEF

es equilátero.

1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo. 2. De hipótesis. 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero. 4. De 3. Adición de segmentos 5. Sustitución de 2 en 4 6. De 5. Ley cancelativa 7. De 6, 2, 1. L – A – L 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero


23

7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA  CB . D es el punto medio de AC y E es el punto medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD HIPÓTESIS ABC isósceles, con CA  CB D y E son puntos medios. TESIS ACE  BCD

1. CA  CB 2. C  C 3. D es punto medio de CA y E es punto medio de CB 4. CD  CE 5. ACE  BCD

1. De hipótesis 2. Propiedad reflexiva 3. De hipótesis 4. De 1 y 3, por ser mitades de segmentos congruentes 5. De 1, 2 y 4 L – A – L


24

8. HIPÓTESIS: DE  AE DE  EC; AE  EB D A D – F – H – B; A – G – H – C

TESIS:


1.

D A 2. DE  AE

1. De hipótesis. 2. De hipótesis.

3. AEG = DEF 4. DEF  EAG 5. DFE  EGA

3. De hipótesis. Son ángulos rectos. 4. De 1,2, 3, A – L – A 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes


25

9. HIPÓTESIS: AI  IC  CD  BI  IH  HF TESIS: EH  EC

En este ejercicio también emplearemos el teorema L – A – A que se demostrará en la próxima unidad.

1. AI  IC  CD  BI  IH  HF 2. AD  AI  IC  CD 3. BF  BI  IH  HF 4. BF  AI  IC  CD 5. AD  BF 6. BIC  AIH 7. IB  IH  IA  IC 8. BIC  AIH 9.

B A

10. AH  BC 11. AHD  BCF 12.

D F

HEF  CED 14. FH  DC 15. ECD  EHF 13.

16. EH  EC

1. De hipótesis 2 Suma de segmentos 3 Suma de segmentos Sustitución de 1 en 3 5 De 2 y 4, propiedad transitiva 6. Ángulos opuestos por el vértice 7 De 1 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 11. De 10, 9 y 5, L – A – L 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 13. Por ser ángulos opuestos por el vértice 14. De hipótesis 15. De 14, 13 y 12, por teorema L – A – A 16. De 15, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes


26

10. HIPÓTESIS: B es punto medio de AC

AD  CE; BD  BE TESIS:

1) E  D 2)APC es isosceles.

1. B es punto medio de AC

1. De hipótesis

2. AB  BC

2. De 1, definición de punto medio

3. AD  CE; BD 4. BCE  ABD 5.

D E

6.

C A

 BE

7. APC es isósceles

3. De hipótesis 4. De 2 y 3, por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. De 6, por tener dos ángulos congruentes


27

11. AB  AF

HIPÓTESIS: BD  DF BAC  FAE

TESIS:

1. AB  AF

1. De hipótesis

2. BD  DF

2. De hipótesis

3. AD  AD 4. ADB  ADF 5. B  F 6. BAC  FAE 7. ABC  AFE

3. De hipótesis

1) AC  AE 2) BC  FE

8. AC  AE

4. De 1, 2 y 3, teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De hipótesis 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A 8. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes

9. BC  FE

9. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes


28

12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. De este ejercicio vamos a hacer el numeral c. HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles, con CA  CB

BE

AD es bisectriz del ángulo CAB BE es bisectriz del ángulo CBA

TESIS: AD  BE

4. AD es la bisectriz de CAB 5. 3  4 6. m( EAB)  m( 3)  m( 4)

1. De hipótesis, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles 2. De hipótesis. 3. De 2, definición de bisectriz de un ángulo 4. De hipótesis 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo 6. Suma de ángulos

7. m( DBA)  m( 1)  m( 2)

7. Suma de ángulos

8. m( 4)  m( 3)  m( 1)  m( 2)

8. De 1, 6 y 7, propiedad transitiva

9. 2m( 4)  2m( 2)

9. De 3,5 y 8, suma de ángulos

10. m( 4)  m( 2)

10. De 9, propiedad cancelativa

1.

EAB  DBA

2. BE es la bisectriz de 3. 1  2

11. AB  AB 12. ABE  ABD 13. AD  BE

CBA

11. Propiedad reflexiva 12. De 11, 10 y 1, teorema A – L – A 13. De 12, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes


29

13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB  AC . R es un punto que pertenece al lado AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC  DB .En base con esta información se puede demostrar que AR  AD ? Justificar la respuesta.

Para demostrar que AR  AD ? deberíamos demostrar primero que el triángulo ARC es congruente con el triángulo ADB y el teorema L – L – A no lo hemos demostrado y además veremos más adelante que este teorema no se cumple siempre. Para que este teorema se cumpla es necesario que los lados opuestos a los ángulos congruentes sean los lados mayores en los triángulos. El teorema L – L – A si se cumple en los triángulos rectángulos.


30

14. HIPÓTESIS:

TESIS:

AE  BC AC  BE

1) DEA  DCB 2)ABD es isosceles

1. AE  BC

1. De hipótesis

2. AC  BE

2. De hipótesis

3. AB  AB 4. AEB  BCA

3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice 7. De 1, 5 y 6, por el teorema L – A – A 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 9. Resta de segmentos 10. Resta de segmentos 11. Sustitución de 2 y 8 en 10 12. De 11 y 9, propiedad transitiva 13. De 12, definición de triangulo isósceles

5.

DEA  DCB

6. EDA  CDB 7. EDA  CDB 8. DE  DC 9. DA  AC  DC 10. DB  BE  DE 11. DB  AC  DC 12. DA  DB 13. ABD es isósceles


31

15. HIPÓTESIS:

1

2

3 4 A–E–CyD–E–B

TESIS: 1. 1  2 2. 3  4 3. DB  DB 4. DBA  DBC 5. DA  DC 6. ADC es isósceles 7. DE es bisectriz de

ADC

8. DE es mediana 9. E es punto medio de AC 10. AE  EC 11. DE es altura 12. DE  AC

1) AE  EC 2) DE  AC

1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3, por el teorema A – L – A 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. De 5, definición de triangulo isósceles 7. De 1, definición de bisectriz de un ángulo 8. De 7 y 6, la bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles es también mediana 9. De 8, definición de mediana 10. De 9, definición de punto medio 11. De 6 y 8, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura 12. De 11, definición de altura en un triangulo


32

16. HIPÓTESIS: AB  AF ; DB  DF ; 1  TESIS:

2

1) B  F 2) DC  DE

SUGERENCIA: Trazar AD

1. AB  AF

1. De hipótesis

2. DB  DF

2. De hipótesis

3. AD  AD 4. ADB  ADF 5. B  F 6. 1  2 7. ABC  AFE

3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De hipótesis 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 9. Resta de segmentos 10. Resta de segmentos 11. Sustitución de 2 y 8 en 10 12. De 9 y 11, propiedad transitiva

8. BC  EF 9. DC  DB  BC 10. DE  DF  EF 11. DE  DB  BC 12. DC  DE


33

17.

OED  ODE

HIPÓTESIS:

A C AE  DC

TESIS:

A C OED  ODE 3. AE  DC 4. AD  AE  ED 5. EC  DC  ED 6. EC  AE  ED 7. AD  EC 8. FAD  HCE 1. 2.

9. FA  HC 10. ABC es isósceles

BA  BC BF  BA  FA BH  BC  HC BH  BA  FA BF  BH EOD es isósceles 17. OE  OD 11. 12. 13. 14. 15. 16.

18. FD  HE 19. 20. 21. 22.

OF  FD  OD OH  HE  OE OH  FD  OD OF  OH

1) BF  BH 2)OF  OH

1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De hipótesis 4. Suma de segmentos 5. Suma de segmentos 6. Sustitución de 3 en 5 7. De 4 y 6, propiedad transitiva 8. De 7, 2 y 1, por el teorema A – L – A 9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 10. De 1, por tener dos ángulos congruentes 11. De 10, definición de triangulo isósceles 12. Resta de segmentos 13. Resta de segmentos 14. Sustitución de 11 y 9 en 13 15. De 12 y 14, propiedad transitiva 16. De 2, por tener dos ángulos congruentes 17. Definición de triangulo isósceles 18. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 19. Resta de segmentos 20. Resta de segmentos 21. Sustitución de 18 y 17 en 20 22. De 21 y 19, propiedad transitiva


34

18. HIPÓTESIS: AF  AB; FE  BC; DF  DB TESIS:

1) EAD  CAD 2) ED  CD

1. AF  AB

1. De hipótesis

2. DF  DB

2. De hipótesis

3. AD  AD 4. ADF  ADB

3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2 y 3 por el teorema L – L – L 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 7. Definición de ángulos suplementarios 8. Definición de ángulos suplementarios 9. De 6, 7 y 8 por tener el mismo suplemento 10. De hipótesis 11. De 10, 9 y 2, por el teorema L – A – L 12. De 11, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

5.

EAD  CAD

6.

1 2

7. El suplemento de 8. El suplemento de 9. 3  4 10. FE  BC 11. FED  BCD 12. ED  CD

3 es 1 4 es 2

19. Para demostrarlo analizar el ejercicio 18.


35

20.

AR  SC HIPÓTESIS: AB  CD

BS  DR

1) BSA  DRS TESIS:

2) PR  PS

1. AR  SC

1. De hipótesis

2. AB  CD

2. De hipótesis

3. BS  DR 4. AS  AR  RS 5. CR  SC  RS 6. CR  AR  RS

3. De hipótesis 4. Suma de segmentos 5. Suma de segmentos 6. Sustitución de 1 en 5 7. De 4 y 6, propiedad transitiva 8. De 2, 3 y 7, teorema L – L – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes 10. De 9, por tener dos ángulos congruentes 11. De 10, definición de triangulo isósceles.

7. AS  CR 8. ABS  CDR 9.

BSA  DRS

10. RPS es isósceles 11. PR  PS


36

21. HIPÓTESIS:

BD es mediana AE  BF y CF  BF

TESIS: AE  CF

1. BD es mediana 2. D es punto medio de

AC 3. AD  DC 4.

AED  DFC

5. 1  2 6. AED  CFD 7. AE  CF

1. De hipótesis 2. De 1, definición de median en un triangulo 3. De 2, definición de punto medio 4. De hipótesis, por ser ángulos rectos por definición de perpendicularidad. 5. Por ser ángulos opuestos por el vértice 6. De 5, 4 y 3, por el teorema L – A – A 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes


37

22.

AC  AE HIPÓTESIS: CF , EB y AD se cortan en G

EB y CF son medianas TESIS: AD  CE

1. AC  AE 2. ACE es isósceles

1. De hipótesis 2. De 1, definición de triángulos isósceles

3. CF y EB son medianas

3. De hipótesis

4. AD es mediana 5. AD es altura 6. AD  CE

4. De 3 y de hipótesis, las 3 medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad. 5. De 2 y 4, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura 6. De 5, definición de altura de un triangulo


38

23. HIPÓTESIS:

AB  BC; DC  BC ABD  DCA

TESIS: ABC  DCB

ABD  DCA 2. DCA y ABC son rectos 1.

3. El complemento de 4. El complemento de 5. ACB  DBC 6. DCB  ABC 7. BC  BC 8. DCB  ABC

ACB es DCA DBC es ABD

1. De hipótesis 2. De hipótesis, por definición de perpendicularidad 3. De 2, definición de ángulos complementarios 4. De 2, definición de ángulos complementarios 5. De 1, 3 y 4, por tener el mismo complemento 6. De 2, por ser ángulos rectos. 7. Propiedad reflexiva 8. De 7, 6 y 5, por el teorema A – L – A


39

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA  CB D, E y F son puntos medios TESIS: DF  EF

2. F es punto medio de AB

1. De hipótesis, por ser ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles 2. De hipótesis

3. AF  FB

3. De 2, definición de punto medio de un segmento

4. CA  CB

4. De hipótesis 5. De 4 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes 6. De 5, 3 y 1, por el teorema L – A – L 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

1.

A B

5. DA  EB 6. DAF  EBF 7. DF  EF


40

25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC  AB HIPÓTESIS:

M es punto medio de AC BM  MC

TESIS: EC  AB

1. M es punto medio de AC

1. De hipótesis

2. AM  MC 3. 1  2

2. De 1, definición de punto medio 3. Por ser ángulos opuestos por el vértice 4. De hipótesis 5. De 2, 3 y 4, por el teorema L – A – L 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

4. BM  ME 5. MEC  MAB 6. EC  AB


41

26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero. HIPÓTESIS:

ABC es equilátero D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo

TESIS DEF es equilátero

1. AB  BC  CA 2. AF  FB  BE  EC  CD  DA 3.

A B  C

4. DFA  DEC  EFB 5. DF  DE  EF 6. DEF es equilátero

1. De hipótesis, definición de triángulo equilátero 2. De 1 y de hipótesis, definición de punto medio, por ser mitades de segmentos congruentes 3. Por ser ángulos opuestos a lados congruentes en un triangulo 4. De 2 y 3, por el teorema L – A – L 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 6. De 5, definición de triángulo equilátero


42

27. HIPÓTESIS

TESIS

1. RTS es isósceles

TR  TS PR  PS

TRP  TSP

5. m( TRP)  m( TRS )  m( 1)

1. De hipótesis, definición de triangulo isósceles 2. De 1, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 3. De hipótesis, definición de triangulo isósceles 4. De 3, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles 5. Resta de ángulos

6. m( TSP)  m( TSR)  m( 2)

6. Resta de ángulos

2.

TRS  TSR

3. RPS es isósceles 4.

1 2

7. m( TSP)  m( TRS )  m( 1) 8.

TRP  TSP

7. Sustitución de 2 y 4 en 6 8. De 5 y 7, propiedad transitiva


43

28.

A B C  D HIPÓTESIS

1 2 AB  CD

TESIS

1. 1  2 2. BEC es isósceles 3. EB  EC

3 es el suplemento de 1 4 es el suplemento de 2 3 4 7. AB  CD 8. ABE  DEC 4. 5. 6.

9.

A D

A D

1. De hipótesis 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes 3. De 2, en un triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes 4. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios 5. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios 6. De 1, 4 y 5, por tener el mismo suplemento 7. De hipótesis 8. De 7, 6, y 3, por el teorema L – A – L 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes


44

29. HIPÓTESIS AB  AC

BD  CE TESIS 1)ACD  ABE

2)BDC  CEB

1. AD  AB  BD 2. AE  AC  CE

1. Suma de segmentos 2. Suma de segmentos 3. De hipótesis

3. AB  AC 4. BD  CE 5. AE  AB  BD 6. AD  AE 7. A  A 8. ACD  ABE 9. ABC es isósceles 10.

1 2

11. El suplemento de 12. El suplemento de 13. DBC  ECB 14. BC  BC 15. BDC  CEB

DBC es 1 ECB es 2

4. De hipótesis 5. Sustitución de 3 y 4 en 2 6. De 1 y 5, propiedad transitiva 7. Propiedad reflexiva 8. De 7, 6 y 3, por teorema L – A – L 9. De 3, definición de triangulo isósceles 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles 11. Definición de ángulos suplementarios 12. Definición de ángulos suplementarios 13. De 10, 11 y 12, por tener el mismo suplemento 14. Propiedad reflexiva 15. De 14, 13 y 4, por teorema L – A – L


45

30. HIPÓTESIS:

  CE biseca a BF

TESIS:

1.    2. El suplemento de 3. El suplemento de 4. CBD  EFD 5. BD  DF 6. CDB  FDE 7. BDC  DFE 8.

C E

CBD es  EFD es 

C E

1. De hipótesis 2. Definición de ángulos suplementarios 3. Definición de ángulos suplementarios 4. De 1, 2 y 3, por tener el mismo suplemento 5. De hipótesis, CE biseca a BF 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice 7. De 4, 5 y 6, por el teorema A – L – A 8. De 7, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes


46

31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB  AC , se toma un punto E sobre AB y se toma un punto F sobre AC de tal manera que AE  AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA  FHA y que EFH  FEH HIPÓTESIS ABC es isósceles

AB  AC AE  AF AH es altura TESIS 1) EHA 

FHA 2) EFH  FEH

1. AE  AF

1. De hipótesis

2. AH  AH

2. Propiedad reflexiva

3. AH es altura

3. De hipótesis 4. De hipótesis, en un triángulo isósceles la altura sobre la base también es bisectriz del ángulo opuesto a la base del triangulo 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo 6. De 5, 1 y 2, por L –A – L 7. De 6, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes 8. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De 8, definición de triangulo isósceles 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles

4. AH es bisectriz 5. 1  2 6. AEH  AFH 7. EHA  FHA 8. EH  HF 9. EHF es isósceles 10. EFH  FEH


47

Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise  De Internet Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

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