Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral

SMA - 1

Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral 1. ∫ (2 x 3 + 3 x 2 + x + 7)dx = …….

Jawab: pakai rumus : ∫ k x n dx =

∫ (2 x

3

+ 3 x 2 + x + 7)dx =

=

k x n +1 + c n +1

2 4 3 3 1 2 x + x + x + 7x + c 4 3 2 1 4 1 x + x 3 + x 2 + 7x + c 2 2

2. ∫ sin 3x sin 2 x dx = …… Jawab: ingat rumus trigonometri : -2 sin α sin β = cos( α + β ) – cos( α - β ) 1 sin α sin β = - ( cos( α + β ) – cos( α - β ) ) 2 =

∫ sin 3x sin 2 x

dx =

=

1 ( cos( α - β ) - cos( α + β ) ) 2

1

1

∫ 2 cos(3x − 2 x)dx - ∫ 2 cos(3x + 2 x)dx 1

∫ 2 cos x dx

-

1

∫ 2 cos 5x dx

Æ pakai rumus ∫ cos(ax + b) dx =

Sehingga menjadi : =

1 1 1 sin x sin 5x + c 2 2 5

=

1 1 sin x sin 5x + c 2 10

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

1 sin (ax+b) + c a

SMA - 2

3.

∫x

2

2 x 3 + 3 dx = …….

Jawab : cara subtitusi: misal: u = 2x 3 +3 du du = 6x 2 Æ dx = dx 6x 2 Sehingga : 1

2 ∫x

2 x 3 + 3 dx =

2 ∫x u2

du 6x 2

1

=

=

4.

∫x

2

1 1 1 1 ∫ 6 u 2 du = 6 1 + 1 u 2 2

+1

1 2 32 1 u + c = (2x 3 +3) 6 3 9

+c

2x3 + 3 + c

cos x dx = ……

Jawab : Pakai rumus integral parsial :

∫ u dv = uv - ∫ v du

misal : u = x 2 Æ du = 2x dx dv = cos x dx Æ v = ∫ cos x dx = sinx Sehingga :

∫x

2

cos x dx = x 2 . sinx - 2 ∫ x sin xdx

∫ x sin x dx

perlu diparsialkan lagi tersendiri :

misal u = x Æ du = dx dv = sinx dx Æ v = ∫ sin x dx = - cos x

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 3

sehingga :

∫ x sin x dx = x . (-cos x) - ∫ − cos xdx = - x cos x + ∫ cos xdx = -x cos x + sinx +c

Maka :

∫x

2

cos x dx = x 2 . sinx - 2 ∫ x sin xdx = x 2 . sinx – 2 (-x cos x + sinx) + c = x 2 . sinx + 2x cos x – 2 sin x + c = (x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c

5.

∫ x cos(2 x

2

+ 3)dx =……

jawab: misal : u = 2x 2 +3 Æ du = 4x dx Ædx =

du 4x

sehingga :

∫ x cos(2 x

2

+ 3)dx =

∫

x cos u

du 4x

1

=

∫ 4 cos u du

=

1 sin u + c 4

=

1 sin(2 x 2 + 3) + c 4

4

6.

∫x

(2 + x) 3 dx = …..

3

jawab :

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 4 misal : u = x Æ du = dx dv = (2+x) 3 dx Æ v = ∫ (2 + x) 3 dx Æ ∫ (ax + b) n dx = =

1 (ax+b) n+1 + c a(n + 1)

1 (2 + x) 4 4

∫ u dv = uv - ∫ v du 4

4 1 4 (2 + x) dx = | x ( 2 + x ) ∫3 4 3 3

=

4

-

1

∫ 4 (2 + x)

4

dx

3

4 4 1 1 1 (2 + x) 4 | (2 + x) 5 | 4 4 5 3 3

=

1 1 (1296 – 625) (7776 – 3125) 4 20

=

671 4651 4 20

=

3355 − 4651 1296 4 = -64 =20 20 5

π 2

7. ∫ sin 2 x cos x dx = …. π

6

Jawab:

Cara 1: Pakai rumus : ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx = π

1 sin n+1 (ax+b) +c a(n + 1)

π

2

2 1 3 2 ∫π sin x cos x dx = 3 sin x π| 6

6

=

1 1 1 7 7 ( 13- ( )3) = . = 3 2 3 8 24

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 5 Cara 2: Cara subtitusi : misal u = sin x Æ du = cos x dx π 2

∫ sin π

2

x cos x dx =

∫u

2

du =

1 3 u 3

6

π 2 1 = sin 3 x | π 3 6

=

1 1 1 7 7 ( 13- ( )3) = . = 3 2 3 8 24

8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :

Jawab : Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 2 - 2x : 3x = x 2 - 2x ⇔ x 2 - 5x = 0 ⇔ x(x - 5) = 0 didapat titik potong di x = 5 dan x = 0

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 6 5

L = ∫ (3 x − ( x 2 − 2 x)) dx 0

5

= ∫ (5 x − x 2 ) dx 0

5 1 5 = x2 - x3 | 2 3 0 5 2 1 3 = 5 - 5 2 3 125 125 375 − 250 125 = = = 2 3 6 6 5 = 20 satuan luas 6 9. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :

Jawab: cari titik potong kedua persamaan : 8-2x 2 = x + 2 ⇔ 2x 2 +x – 6 = 0 ⇔ (2x - 3)( x + 2) = 0 Didapat titik potong x =

3 dan x = -2 2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 7 3 2

∫ ((8 − 2 x

L=

2

) − ( x + 2))dx

2

− x)dx

−2

3 2

=

∫ (6 − 2 x

−2

3 2 2 1 = 6x - x 3 - x 2 | 3 2 −2

= {6 .

3 2 3 3 1 3 2 2 1 - ( ) - ( ) } - {6 . -2 - (-2) 3 - (-2) 2 } 2 3 2 2 2 3 2

= {9 -

2 27 1 9 16 . - . } – {-12 + - 2} 3 8 2 4 3

= 9-

54 9 16 - + 12 +2 24 8 3

54 9 16 - 24 8 3 552 − 54 − 27 − 128 343 7 = = = 14 satuan luas 24 24 24 = 23 -

10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 2 dan y = x +6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360 0 adalah….. Jawab:

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 8 Titik potong kurva : x2 = x + 6

⇔ x2 - x – 6 = 0 ⇔ (x- 3)(x+2) = 0 titik potong di x = 3 dan x = -2

3

∫ ((x + 6)

V= π

2

- ( x 2 ) 2 ) dx

−2

3

∫ (( x

= π

2

+ 12 x + 36) − x 4 ) dx

4

+ x 2 + 12 x + 36 ) dx

−2

3

= π

∫ (− x

−2

= π {= π {(-

3 1 5 1 3 x + x + 6 x 2 + 36x} | 5 3 −2

243 32 8 + 9 + 54 + 108) – ( + 24 – 72)} 5 5 3

243 32 8 +171 + + 48) 5 5 3 275 8 + + 219) = π (5 3 8 8 = π (219 – 55 + ) = π (164 + ) 3 3 2 = 166 π satuan volume 3 = π (-

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya