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2º cuatrimestre 2008
C.P.U. MATEMATICA Trabajo Práctico 2 FUNCIONES. FUNCIONES LINEAL, MÓDULO Y CUADRÁTICA. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA. I. FUNCIONES 1. De acuerdo a la siguiente descripción: "Saqué del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la temperatura bajó con rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba a 60°. Luego fue enfriándose con más lentitud. A los 20 minutos de haberla sacado estaba a 30° y 20 minutos después seguía teniendo algo más de 20°, temperatura de la cual no bajó, pues era la temperatura que había en la cocina". a) Hacer un gráfico que refleje la evolución de la temperatura del agua a lo largo del tiempo. b) El siguiente gráfico, ¿corresponde a la situación descripta? ºC 100
60 30 20
5
20
40
minutos
¿Coincide con el tuyo? ¿Son ambos posibles? 2. La siguiente tabla contiene las temperaturas registradas durante un día de agosto en Buenos Aires: Hora
O
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Temp.
9°
8,5°
8°
7°
5,50
6°
8°
12°
10°
2,5°
2°
1,5°
a) Representar gráficamente los datos. b) ¿Puede saberse a partir de ellos, con exactitud, qué temperatura había a las 12 hs 30 min? c) Si fuera necesario tener un valor estimado de la temperatura a las 12 hs 30 mín, ¿qué valor propondrías? d) ¿Entre qué horas penetró en Buenos Aires un frente frío ese día? 3. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función?
4. Definir una función f que describa la siguiente relación entre x e y, f(x)=y, y analizar su dominio. a) “y es doble de x” b) “y es el cuadrado de x” c) “el producto de x por y es 1” d) “la suma de x e y es 3”
e) “y es la raíz cuadrada de x”
f) “si x>2, y es la mitad de x, en otro caso y=3”
g) “f(x) es al área de un cuadrado de lado x” 1
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5. Para cada uno de los siguientes gráficos, hallar la expresión A(x) que representa el área de la región sombreada en función de la variable x. a)
b) 2
2
x
c)
x
1
x
1
x
d) 3 2
x
6. En cada caso, hallar: • ceros de f, C 0 = {x ∈ Domf / f ( x) = 0}
• positividad de f, C + = {x ∈ Domf / f ( x) > 0}
• negatividad de f, C − = {x ∈ Domf / f ( x) < 0} 4
a)
-4
b)
1
3
3
-5
-3
1
2
1 x −1 a) calcular f(2), f(5), f(0), f(-1), f(1,01) y f(-5). b) Decidir si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados: 2 ∈ Domf 1∈ Domf 0 ∉ Domf
7. Dada f ( x ) =
0 ∈ Im( f )
2 ∈ Im( f )
− 1∉ Im( f )
8. Para cada una de las siguientes funciones calcular su dominio y, si existen, los puntos de intersección con los ejes. 1 2x + 1 a) f ( x) = 3 x − 1 b) f ( x) = − x + 3 c) f ( x) = 2 3x − 4 2 4− x x 2 d) f ( x) = e) f ( x) = f) f ( x) = 2 2 x+6 − 2x + 8 x +1 1 2 g) f ( x) = 1 + h) f ( x) = 2 x + 4 i) f ( x) = x − 3x + 9 2
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II. FUNCION LINEAL 9. En cada caso, hallar la función lineal f que cumpla lo pedido, hacer el gráfico correspondiente y encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f. b) f (−2) = 3 y f (1) = 5 c) f (−2) = 7 y f (3) = 7 a) f (0) = 3 y f (−1) = 4 d) f (1) = 0 y el punto (2,−3) pertenece al gráfico de f. 10. Sea la recta r de ecuación y = 2 x − 3 . a) Hallar tres puntos de r. b) ¿ (5,7 ) ∈ r ? ¿ (− 2,1) ∈ r ? c) Encontrar k para que: i. (− 4, k ) ∈ r ii. (k ,2 ) ∈ r iii. (k − 1,3k ) ∈ r d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados. 11. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas. a) y = 2 x − 3 b) 3x − y = 1 c) 2 x − 5 y = 2 d) 3x = 2 y e) x / 2 + y / 3 = 1 f) y = 5 12. cada caso, dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido y graficar: a) Pasa por los puntos (1,2) y (-1,3). b) Pasa por el (2,1/2) y es paralela a y = 2x + 5. c) Es perpendicular a y = 2/3 x – 2 y pasa por el (-1,-1) d) Es perpendicular a y = –x +3 y pasa por el origen de coordenadas. e) Es vertical y pasa por el punto (2,-3). f) Es horizontal y pasa por (2,-5). g) Es perpendicular a la recta y = 5 y pasa por el punto (5,8). 13. a) Probar analíticamente que el triángulos cuyos vértices son: A = (1,4), B = (0,2) y C = (2,1) es rectángulo. Graficar. b) Decidir cuántos pares de lados paralelos tiene el cuadrilátero ABCD siendo A = (-2,-5), B = (2,7), C = (1,1) y D = (-1,-5). 14. Decidir analíticamente si los puntos (1,2) (-3,4) y (3,5) están alineados. 15. Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico. a)
b)
c)
2
7 4
1 2
d)
2
e)
2
3
f)
5
-3
-7/2
3
1
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16. a) Graficar la siguientes funciones. si x < 2 si x < −1 ⎧ x ⎧ 1 i. f ( x) = ⎨ ii. f ( x) = ⎨ ⎩− x + 4 si x ≥ 2 ⎩− 2 x + 1 si x ≥ −1
⎧− 2 si x ∈ (− 1,3) iii. f ( x) = ⎨ ⎩ x si x ∉ (− 1,3)
b) Hallar C 0 , C + y C − . 17. Graficar y hallar la imagen de f en cada caso. : R → R dada por f ( x) = 2 x + 3 : (− 1,3) → R dada por f ( x) = 2 x + 3 : (− 2,4] → R dada por f ( x) = 2 x + 4 : R → R dada por f ( x) = 5 si x < 1 ⎧ 2x f : R → R dada por f ( x) = ⎨ ⎩− x + 4 si x ≥ 2 ⎧ 2 si x ≤ 0 f : R → R dada por f ( x) = ⎨ ⎩− x + 1 si x ≥ 0
a) b) c) d)
f f f f
e) f)
18. ¿Cuál debe ser el dominio de f(x) = 2.x +1 para que su imagen sea el intervalo [ 0 ; 4 ) ? 19. Hallar k para que los puntos (-2,3), (0, -1) y (2, k-3) estén alineados. 20. Hallar la intersección entre los siguientes pares de rectas y graficar. r : x + 2 y = −1 r : y = x −1 r : y = −3 x + 4 a) b) c) r ′ : 2 x − 3 y = −9 r ′ : y = −x + 2 r ′ : y = −2 r : y = 5x − 2 r′ : x = 2
d)
e)
r : 2x − y = 3 r ′ : −4 x + 2 y = −9
f)
r : y = 3x − 5 r ′ : 6x − 2 y = 2
21. Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: y = 3 y que pasa por el punto de intersección de la recta y = –2/3 x + 3 con la recta y = 1/3 x – 9. 22. Dados los puntos del plano P = (1,6), Q = (3,4) y R = (-2,3), hallar el punto de intersección de la recta que pasa por P y Q con la recta perpendicular a y = 2x – 1 que pasa por R. 23.
a) Hallar b de manera que las rectas r : 2 x − 4 y r ′ : y = x + b se corten en el punto de coordenadas (1,-2). b) Para el valor de b encontrado, graficar y describir el conjunto de valores de x para los cuales resulta el gráfico de r por encima del gráfico de r´.
24. En cada caso, hallar las coordenadas del punto P. r′
a) r
2
r ⊥ r′
r′
b)
r ⊥ r′
r P
4
2
3
4
P
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25. Dibujar los gráficos de las funciones lineales f y g y representar sobre el eje x el conjunto {x ∈ R / f ( x) ≥ g ( x)}. a) f ( x) = 3x + 2 y g ( x) = −5 1 b) f ( x) = 2 x − 1 y g ( x) = x + 2 26. a) Dar una ecuación de una recta que no se interseque con la recta r: x+3y = 4 y que pase por el punto (-3,1). b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto (1,2).
III. FUNCION MODULO 27. A partir del gráfico de f ( x ) =| x | graficar las siguientes funciones: g ( x) =| x | +1
h( x) =| x − 2 |
i ( x) =| x − 2 | +1
j ( x) = | x − 1 | −3
k ( x) = − | x | +1
l ( x ) = 2− | x − 4 |
28. Sea f ( x ) = x − 3 − 2 . a) Graficar indicando vértice y puntos de intersección con los ejes. b) Hallar C 0 , C + , C − e imagen de f. c) Hallar B = {x / f ( x) ≥ 4} 29. Idem 28. para f ( x) = 1 − x + 4 . 30. Sea f : [− 3,4 ) → R dada por f ( x) = x + 2 − 3 a) Graficarla aproximadamente indicando vértice e intersecciones con los ejes. b) Hallar C 0 , C + , C − e imagen de f. IV. FUNCION CUADRÁTICA 31. En cada caso graficar la función cuadrática f, especificando coordenadas del vértice, eje de simetría y concavidad de la parábola que representa y hallar la imagen, ceros y conjuntos de positividad y negatividad de f. 3 1 a) f ( x) = x 2 − x − 2 b) f ( x) = x − 2x2 + c) f ( x) = ( x − 2) 2 − 3 2 2 2 d) f ( x) = 3x 2 + 3 x + 4 e) y + 1 = 7 − x 2 f) x 2- x = y − 2 3 32. Dar la ecuación de una función cuadrática f que verifique lo pedido: a) sus raíces sean –1 y 5 y (0,1) esté en el gráfico de f. b) su vértice sea el (-1,2), en cero valga 1. c) Sea cóncava hacia abajo y no tenga raíces reales. d) No tenga raíces reales y el gráfico de f pase por el (1,4). e) Sus raíces sean 3 y ½ y su coeficiente principal valga 3 f) Sus raíces sean –3 y 1 y cuya imagen sea el conjunto [− 2,+∞ ) . g) El eje de simetría sea la recta x = 5 , (1,0) y (-2,3) están en el gráfico de f. h) C + = (− 4,0) e Im f = (− ∞,5] 5
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33. Sea la función cuadrática f ( x ) = x 2 − x − 2 . Describir los conjuntos A = {x ∈ R / f ( x) = 0}, B = {x ∈ R / f ( x) > 0}, C = {x ∈ R / f ( x) ≤ 0} , D = {x ∈ R / f ( x) = 4} , E = {x ∈ R / f ( x) ≤ 4} y B = {x ∈ R / 0 ≤ f ( x) < 4} . 34. a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las funciones siguientes y graficar. 1 1 x − x2 + i. f ( x) = x 2 − x − 2 ii. f ( x) = iii. f ( x) = ( x + 1) 2 − 2 x 2 2 5 3 g ( x) = −2 x + −2 g ( x) = − x g ( x) = 2 x 2 2 iv. f ( x) = x 2 − 4 v. f ( x) = − x 2 + 4 g ( x) = − x 2 + x − 3 g ( x) = −2 x 2 + 8 b) Hallar {x ∈ R / f ( x) ≤ g ( x)} y representarlo sobre el eje x.
35. a) Graficar indicando vértice, eje de simetría, raíces ,concavidad e intersecciones con los ejes coordenados, la parábola f ( x) = 3x 2 − 6 x − 9 b) Hallar una ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola hallada en a) y por el punto (2, f(2)).Graficar. 36. a) Hallar la ecuación de una parábola tenga vértice en (1,1) y unas de sus raíces sea x = 0. Graficar indicando cuál es la imagen de la parábola. b) Hallar la intersección de la parábola con la recta r : y = 2 x − 3 .Graficar. c) Hallar la ecuación de una recta paralela a r que no corte a la parábola. 37. a) Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje se simetría sea la recta x = 0, 1 sea raíz y pase por el (0,4). Graficar. b) Hallar la intersección de la parábola hallada con la recta y = 4 − 4 x .Graficar. c) Hallar los valores de x para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta. Señalar en el gráfico. 38. Dada la parábola y = ax 2 + 2 x + 3 a) Hallar el valor de a si el vértice de la parábola es el punto (1,4). b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad, eje de simetría, vértice e intersecciones con los ejes. c) Hallar A = {x ∈ R / y > 3} 39. Graficar las siguientes funciones y hallar imagen de f. si x ≥ 2 ⎧− x + 2 si x > 0 ⎧ 5 a) f (x) = ⎨ 2 b) f ( x) = ⎨ 2 ⎩x + 2 si x ≤ 0 ⎩− x + 4 si x < 2
⎧− ( x + 1) 2 + a si x < 1 sea (− ∞;2] ∪ [5; ∞ ) . 40. Hallar a, b∈ R para que la imagen de f (x) = ⎨ ⎩4 x + b si x ≥ 1
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⎧ y = ax 2 − bx ⎧ y = −ax 2 + bx 41. Los sistemas S1 : ⎨ y S2 : ⎨ , con a y b positivos, están representados en ⎩ y = bx ⎩ y = bx alguno de los gráficos siguientes. ¿Cuál corresponde a cada uno?
1
2
3
4
5
6
42. Cada uno de los gráficos de las funciones:
f1 ( x) = ax 2 − bx , f 4 ( x) = ax 2 + bx
y
f 2 ( x) = − ax 2 + bx ,
f 3 ( x) = − ax 2 − bx ,
f 5 ( x) = − ax 2 − bx ,
con a y b positivos, están representados en alguno de
los cuadros. ¿Cuál es el gráfico que corresponde a cada función?
1
2
3
4
5
6
2 1− x − 5 a) Hallar el dominio de f y graficarlo en la recta. b) Hallar los valores de x en el dominio de f para los cuales resulta f(x)<0.
43. Dada f ( x ) =
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44. Dada f ( x ) = 2 − 2 x − 1 a) Hallar el dominio de f y graficarlo en la recta real. b) Resolver f(x)>2. 45. Dada f ( x ) = 1 − 6 − x − x 2 a) Hallar el dominio de f. b) Hallar las intersecciones del gráfico de f con los ejes coordenados. 46. Hallar dominio de f y los puntos de corte del gráfico de f con los ejes. 2x + 1 − 1 2 1− x2 2 a) f ( x ) = b) f ( x) = x − 4 + c) f ( x ) = 2x − 1 x2 −1 1− x V. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 47. Dadas las siguientes funciones:
f ( x) = 3x − 5 i ( x) = x + 2 Calcular: a) f( 2 ) d) f ( g (2)) g) i o f ( x)
1 x k ( x) = x + 6
g ( x) = x 2 + x
h( x ) =
j ( x) = x 3 b) g (−1)
c) h(5)
e) k (h(1)) h) (k o g o f )(1)
48. Dadas las funciones f ( x ) =
f) f (i ( x)) i) j o k ( x)
2
y g( x ) = 2 x + 4 se pide: x−2 a) Calcular los dominios de ambas funciones. b) Hallar todos los x que verifican f(x) = 4 y los z que verifican g(z) = 2. c) Hallar g o f (x) y f o g (0) . x −1 y g ( x) = x + 1 . x a) Hallar el dominio de f y resolver f(x)=2. b) Resolver f o g( x ) = 0
49. Sean f ( x) =
VI. FUNCIÓN INVERSA 50. Calcular las inversas de las siguientes funciones lineales y graficar las funciones y sus inversas en un mismo par de ejes y comparar. 1 1 5 f ( x) = x + 1 g ( x) = 2 − 3x h( x ) = x − 3 i ( x) = x + 2 3 3 51. Hallar la función lineal f si se sabe que f (−1) = −3 y f
−1
(5) = 3 .
52. Sea f : R → R la función que tiene como función inversa a f -1(x) = a. se sabe que f -1(7) = 4 y f (– 2) = 0.
8
3
x + 1 + b . Hallar a y b reales si
