Dinamik Dersi Konular: Bölüm I: Kinematik: Maddesel Noktanın Kinematiği: 1. Genel Giriş, Düzgün Doğrusal Hareket. 2. Verilen Bir Grafikten Diğer Bir Grafiğin Oluşturulması 3. Genel Eğrisel Hareket 4. Eğik Atış, n-t Koordinat Sistemi 5. Eğrisel Hareket: Silindirik / Polar Koordinat Sistemi 6. İki Maddesel Noktanın Birbirine Göre Bağıl Hareketi BÖLÜM II: Kinetik Maddesel Noktanın Kinetiği 7. Kuvvet ve İvme, Hareket Denklemleri 8. n-t Koordinat Sistemi, Silindirik Koordinat Sistemi BÖLÜM III: Maddesel Noktanın Kinetiği: İş ve Enerji 9. İş ve Enerji Prensibi 10. Güç ve Verim, Enerjinin Korunumu BÖLÜM IV: Maddesel Noktanın Kinetiği: İmpuls ve Momentum 11. İmpuls ve Momentum, Lineer Momentumun Korunumu 12. Darbe (İmpact)
Dersin haftalık olarak düzenli çalışılması önerilir.
Mekanik: Cisimlerin kuvvetlere nasıl tepki gösterdiğini inceler 1) Maddesel nokta, Rijit Cisim
Statik
2) Deforme Cisim
Dinamik: 1. Kinematik – hız, ivme ve yol analizi 2. Kinetik -kuvvetin etkisini inceler
Mekanik: Cisimlerin kuvvetlere nasıl tepki gösterdiğini inceler 1) Maddesel nokta, Rijit Cisim
2) Deforme Cisim
-Elastisite ve cisimlerin dayanımı -Akışkanlar Mekaniği
1
Dinamiğin Uygulama Alanları: Maddesel Nokta Roket, taşıt veya uçak gibi büyük cisimlerin hareketleri maddesel nokta olarak incelenir. Niçin? Genel bir soru: Şekildeki roketin hız ve ivmesini zamanın bir fonksiyonu olarak bulabilirmiyiz?
UYGULAMA (devam)
Bir tren düz bir hat boyunca hareket ediyor. Treni bir maddesel cisim olarak kabul edebilirmiyiz? Soru: Eğer tren sabit bir ivmeyle hızlanıyorsa (belli bir zaman sonra) trenin aldığı yolu ve hızını nasıl bulabiliriz?
2
UYGULAMA (devam) Aynı soruları bir futbol topu için sorabilirmiyiz? Bunun için doğru model ne olmalı? Maddesel nokta, rijit cisim veya deforme cisim Duruma göre cevap değişir: • Bir maddesel nokta modeli topun fırlatıldığı veya durduğu andaki aldığı yol, ivme veya hızın bulunmasında kullanılır. •Bir rijit cisim modeli dönmenin etkisiyle hareketi inceler. • Bir deforme cisim modeli enerji transferini tanımlamak için kullanılır.
Bu Dersin Amacı • Gerçek hayattaki problemler için modelleme yeteneğinin kazandırılması. • Problem çözümlerinde kullanılacak mantıksal ve matematiksel bilgilerin verilmesi • Hareket oluşumundaki kuvvetin rolünü incelemek
3
Dinamik Kinematik
BÖLÜM I Maddesel Noktanın Kinematiği Düzgün Doğrusal Hareket Amaç: Düz bir yolda ilerleyen maddasel nokta için konum, yol, hız ve ivme analizi.
4
KONUM VE YOL ANALİZİ Düz bir yolda ilerleyen maddesel nokta s koordinatında yol alıyor. r: vektör olarak P noktasının konumu s: alınan yol (OP)
Yer değiştirme Vektör olarak: Δ r = r’ - r
Mesafe: Δ s = s’ - s
HIZ Hız birim zamanda alınan yoldur. Vektor olarak incelenir ( şiddeti ve yönü vardır). Birimi m/s, km/saat veya ft/s.
birim zaman aralığındaki Δt Ortamama hız vort = Δr/Δt Zamana göre türevi v = dr/dt Hızın uzunluğu: v = ds/dt
Alınan yol boyunca ortalama hız: (vsp)avg = sT/ Δ t
5
İVME İvme birim zamanda hızdaki değişim oranı olarak tanımlanabilir. Bir vektördür. Birimi m/s2 or ft/s2. Zamana göre hızın türevi Vektör olarak: a = dv/dt Uzunluk olarak: a = dv/dt = d2s/dt2 İvme hızın artması veya azalmasına göre (+) veya (-) olabilir. Hız ve ivme deklemleri birleştirilirse
a ds = v dv
Hız ve ivme deklemlerinin bulunması v = ds/dt ;
a = dv/dt veya
Hız: v
t
Yol: v
s
∫ dv = ∫ a dt ; ∫ v dv = ∫ a ds vo
o
a = v dv/ds
vo
so
s
t
so
o
∫ ds = ∫ v dt
• so ve vo ilk yol ve hız t = 0 iken.
6
İvme sabit ise 3 denklem çıkarılabilir : v
t
∫ dv = ∫ a c dt vo
o
s
t
∫ ds = ∫ v dt so v
v = vo + act
Î
s = s o + v ot + (1/2) a ct 2
Î
v2 = (vo )2 + 2ac(s - so)
o s
∫ v dv = ∫ a c ds vo
Î
so
ÖRNEK Soru: Bir motorsiklet sürücüsü düz bir yol boyunca 27 m/s lik bir hızla seyahat ediyor. Sürücü frene bastığında motorun hızı -6t m/s2 lik bir ivmeyle azalıyor. İstenen:Motorun frene basıldıktan sonraki durma mesafesini bulunuz. Plan: Koordinat sistemini oluştur. Gidiş yönünü positif s koordinat olarak al. İvme zamanın bir fonksiyonu olduğundan hızı bulmak için integral al ve alınan yolu bul. Soruyu çözerken başlangıç verilerini kullan.
7
ÖRNEK (devam) Çözüm: 1) Hızın bulunması.
v
t
vo
o
a = dv / dt => dv = a dt => ∫ dv = ∫ (−6t )dt => v – vo = -3t2 => v = -3t2 + vo 2) Durma zamanını bulunması . v = 0, vo = 27 m/s kullan (niye?). 0 = -3t2 + 27 => t = 3 s 3) Şimdi 3 saniyedeki durma mesafesini bul. so = 0 olarak al: v = ds / dt => ds = v dt => => s – so = -t3 + vot
s
t
so
o
∫ ds = ∫ (−3t 2 + vo)dt
=> s – 0 = -(3)3 + (27)(3) => s = 54 m
GRUP ÇALIŞMASI Verilen:A topu 40 ft yükseklikten aşağı doğru bırakılıyor. Aynı zamanda B topu ise 5 ft yükseklikten yukarı doğru dikey olarak fırlatılıyor. Toplar 20 ft yükseklikte karşılaşıyor. Bul: B topunun fırlatma hızını bulunuz. Plan: ???
8
GRUP ÇALIŞMASI Verilen:A topu 40 ft yükseklikten aşağı doğru bırakılıyor. Aynı zamanda B topu ise 5 ft yükseklikten yukarı doğru dikey olarak fırlatılıyor. Toplar 20 ft yükseklikte karşılaşıyor. Bul: B topunun fırlatma hızını bulunuz. Plan: Koordinat sistemini belirleyip sabit ivme formullerini kullanınız. A topunun 20ft lik yolu alacağı zamanı bulunuz. Son olarak B topunun aynı zamanda 20 ft lik yolu alacağı hızı bulunuz.
ÖRNEK
Soru: Şekildeki başlangıçta duran araba, düz bir yolda ilerlemeye başlıyor. Arabanın hızı aşağıda verildiği gibi zamana bağlı bir fonksiyondur. Arabanın 3 sn sonraki aldığı yolu ve ivmesini hesaplayınız.
9
ÖRNEK (devam) Arabanın hızı zamana bağlı bir fonksiyon
3 sn sonra
ÖRNEK (devam) İvme
3 sn sonra
m/sn2
10
Dinamik Kinematik
Verilen Bir Grafikten Diğer Bir Grafiğin Oluşturulması
Verilen s-t grafiğinden v-t grafiğinin çıkarılması
1
Verilen v-t grafiğinden a-t grafiğinin çıkarılması
ÖRNEK Bir araba düz bir yolda ilerliyor. Arabanın zamana bağlı olarak aldığı yol grafikte verildiği gibidir. 0-30 sn zaman aralığında arabanın v-t ve a-t grafiklerini çiziniz.
2
ÖRNEK (devam)
ÖRNEK (devam) v-t Grafiği v-t grafiği için v bu formülden bulunur
3
ÖRNEK (devam) v-t Grafiği
ÖRNEK (devam) a-t Grafiği a-t grafiği için a bu formülden bulunur
4
ÖRNEK (devam) a-t Grafiği
Verilen v-t grafiğinden s-t grafiğinin çıkarılması
5
Verilen a-t grafiğinden v-t grafiğinin çıkarılması
ÖRNEK Duran bir roketli araba düz bir yolda harekete başlıyor. İlk 10 sn de araç sabit şekilde ivmeleniyor, arkasından frene basıldığında yine sabit bir ivme ile hızı azalıyor. Verilen a-t grafiğinden faydalanarak v-t ve s-t grafiklerini çiziniz. Arabanın durma zamanını ve toplam aldığı yolu hesaplayınız.
6
ÖRNEK (devam)
ÖRNEK (devam) v-t grafiği Başlangıçta v = 0 ve t = 0 olduğundan
Son hız v=0 ise
7
ÖRNEK (devam)
ÖRNEK (devam) s-t grafiği
ise
8
ÖRNEK (devam) s-t grafiği
Verilen a-s grafiğinden v-s grafiğinin çıkarılması
9
Verilen v-s grafiğinden a-s grafiğinin çıkarılması a = v(dv/ds)
GRUP ÇALIŞMASI Soru: Bir motorsikletin hız yol ilişkisi (v-s grafiği) şekilde verildiği gibidir. Buna göre a-s grafiğini oluşturunuz. Motorun 400 ft lik mesafeyi nekadar zamanda alacağını bulunuz.
10
GENEL EĞRİSEL HAREKET Her bir uçağın x, y, z eksenlerinde hareketi vardır ve zamana göre değişmektedir. Problem: Uçakların herhangibir pozisyonunda hız ve ivmelerini nasıl hesaplayabiliriz? Herbir uçağın hızı aynımıdır?
UYGULAMA
Bir lunaparkta şekildeki araba dönerek aşağı doğru sabit bir hızla kaymaktadır. Problem: Arabanın pozisyonunu ve ivmesini nasıl hesaplarız? Böyle bir eğlence aracında hız ve ivme neden hesaplanmalıdır?
1
KONUM VE YERDEĞİŞTİRME ANALİZİ Genel eğrisel harekette pozisyon analizi: Maddesel cismin pozisyonu vektör olarak r = r(t). r nin hem şiddeti hem de doğrultusu zamana göre değişir.
Yerdeğiştirme analizi: vector çıkarma: Δ r =
r’ - r
HIZ ANALİZİ Hız birim zamanda alınan yol veya cismin pozisyonundaki zamana bağlı yerdeğişimidir. Δt zaman aralığında cismin Ortalama hızı
vavg = Δr/Δt . v = dr/dt . Hız, v, daima eğrisel yola teğettir. Δr zaman sıfıra giderken (t→0) limit alınırsa
2
İVME ANALİZİ İvme cismin hızındaki hız değişim oranıdır.
aavg = Δv/Δt = (v – v’)/Δt a = dv/dt = d2r/dt2
İvmenin normal ve teğetsel bileşenleri vardır.
EĞRİSEL HAREKETİN KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİNDE İNCELENMESİ Pozisyon analizi:
Yön vektörü
r=xi+yj+zk . x, y, z bileşenleri zamanına bağlı fonksiyondur
x = x(t), y = y(t), and z = z(t)
Yön vektörünün uzunluğu: r = (x2 + y2 + z2)1/2 Birim vektör: ur = (1/r)r
3
Hız Analizi
İvme Analizi
4
ÖRNEK Şekildeki uçurtma x ve y eksenlerinde x=(30t) ft ve y=(9t2) ft ile yol almaktadır. 2 sn sonraki (a) Uçurtmanın aldığı yolu (b) Hızı ve yönünü (c) İvmeyi ve yönünü bulunuz
ÖRNEK (devam) Uçurtma ipinin aldığı şeklin foknsiyonun çıkarmak için her iki yöndeki Denklemlerden t elimine edilir. t=x/30 Î y=9(x/30)2 Î y = x2 /100 2 sn sonra Î x=30(2)=60ft y=9(2)2 =36 ft
Hız Analizi
5
ÖRNEK (devam) İvme Analizi
Grup Çalışması Verilen: İki maddesel noktanın (A ve B roketleri) hareketi aşağıda verildiği gibidir.
rA = [3t i + 9t(2 – t) j] m rB = [3(t2 –2t +2) i + 3(t – 2) j] m Bul:
İki cisim çarpışma noktasını ve çarpışma hızlarını bulunuz.
Plan: 1) Maddesel cisimlerin her ikisinin konumu aynı olduğunda çarpışma gerçekleşir. (Aynı noktaya geldiklerinde çarpışırlar) rA = rB . 2) Hızları pozisyon vektörlerinden bulunur.
6
EĞİK ATIŞ
EĞİK ATIŞIN UYGULANMASI Fırlatılan nesne x-y koordinat sisteminde 2 aşamada incelenir. • yatay yönde sıfır ivme • dikey yönde sabit ivme (örneğin, yerçekimi ivmesi). Kırmızı top durgun pozisyondan düşmeye başlıyor. Sarı top ise yatay yönde bir hızla ilerliyor.
1
YATAY YÖNDEKİ KİNEMATİK DENKLEMLER
ax = 0 olduğunda yatay yöndeki hız sabittir (vx = vox) Öyleyse x yönündeki hareket:
x = xo + (vox)(t) Neden ax =0 (cismin havadaki hareketini düşünün)?
DİKEY YÖNDEKİ KİNEMATİK DENKLEMLER Pozitif y yukaru yönde ise, ay = -g :
• vy = voy – g t • y = yo + (voy) t – ½ gt2 • vy2 = voy2 – 2g(y – yo)
2
ÖRNEK 1 Şekildeki bilya bir tüpün içinde hızlanıp yatay yönde 12 m/sn lik hızla dışarı fırlıyor. Borunun yerden yüksekliği 6 m ise topun yatayda alacağı yolu bulunuz (R=?).
ÖRNEK 1 (devam)
Dikey
Yatay
3
ÖRNEK 2 Şekildeki gibi bir top 5 ft yükseklikten eğik yönde 40 ft yüksekliğindeki bir binanın üzerine doğru fırlatılıyor. Fırlatma hızı 70 ft/sn ve fırlatma açısı 60 derece ise R mesafesini bulunuz.
ÖRNEK 2 (devam)
Yatay
Dikey
4
ÖRNEK 3 Şekildeki bilgiler ışığında topun duvarın hemen üzerinden geçmesi için gerekli ilk hız ve açısını bulunuz. Top duvarın üstünde maksimum yüksekliğe ulaşıyor. Not: Topun çapını dikkate almayınız.
ÖRNEK 3 (devam) Yatay
Dikey
5
GRUP ÇALIŞMASI
Verilen:Kayakcı rampadan θA = 25o lik bir açıyla fırlıyor. Bul: Kayakcının ilk hızını bulunuz (vA). Plan: ???
GRUP ÇALIŞMASI Verilen:Kayakcı rampadan θA = 25o lik bir açıyla fırlıyor. Bul: Kayakcının ilk hızını bulunuz (vA).
Plan: A noktasına x,y kordinat sistemini kurunuz (çözümde 0 noktası A noktası olacak). x ve y deki Kinematik denklemleri kullanarak çözünüz..
6
EĞRİSEL HAREKET: NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNAT SİSTEMİ
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE HIZ Hız vektörü herzaman teğetseldir.
v = vut
Î
v = ds/dt
ut birim vektör.
7
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
.
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
. .
8
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
. .
Problem Çözümünde İzlenecek Yol Koordinat sisteminin belirlenmesi Hız analizi Î İvme analizi Î Teğetsel ivme
s = so + vot + (1/2)(at)ct2 v = vo + (at)ct v2 = (vo)2 + 2(at)c(s – so) Normal ivme
9
ÖRNEK 1
Şekildeki yarış arabası durgun pozisyonda iken 7 ft/sn2 lik sabit ivmeyle hızını artırmaya başlıyor. 8 ft/sn2 lik ivmeye ne kadar zamanda ulaşır ve hızı ne olur.
ÖRNEK 1 (devam)
10
ÖRNEK 2 Duran bir araba A noktasından harekete başlıyor. Hareket boyunca ivmesi at=(0.2t) m/sn2 ise aracın B noktasındaki ivmesini bulunuz.
ÖRNEK 2 (devam)
11
Grup Çalışması Verilen: Başlangıçta duran bir motorbot yarıçapı ρ = 50 m olan eğrisel harekete başlıyor. Bu hareket sırasında hız
v = (0.2 t2) m/s dir. Bul: 3 sn sonraki motorbotun hız ve ivmesini bulunuz. Plan: bot başlangıçta duruyor (v = 0 when t = 0). 1) t = 3s sonraki hızı bul. v(t). 2) ivmenin normal ve teğetsel bileşenlerini bul. Sonra da ivmenin uzunluğunu bul.
12
EĞRİSEL HAREKET: SİLİNDİRİK / POLAR KOORDİNAT SİSTEMİ UYGULAMA
Silindirik koordinatlar genellikle helisel eğri hareketlerde kullanılır.
Problem: Çocuk helisel kaydıraktan aşağı doğru 2 m/s lik sabit hızla kayıyor. Kaydırağın eğimini hesaplayınız.
POZİSYON (POLAR KOORDİNAT SİSTEMİ)
r = rur
1
HIZ (POLAR KOORDİNAT)
İVME (POLAR KOORDİNAT)
2
SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ
PROBLEM ÇÖZÜMÜNDE İZLENECEK YOL Koordinat sisteminin belirlenmesi Gerekli türev ve integrallerin alınması
Hız analizi İvme analizi
3
ÖRNEK OA çubuğu yatay yönde θ=(t3) rad ile dönüyor. Aynı zamanda B bileziği yukarı doğru kayıyor ve r=(100t2) mm. Bir sn sonra Bilezikteki hız ve ivmeyi hesaplayınız.
ÖRNEK (devam)
Hız Î
4
ÖRNEK (devam) İvme Î
GRUP ÇALIŞMASI Verilen:
r = 5 cos(2θ) [m] θι = w= 3t2 [rad/s] θo = 0
Bul: θ = 30° iken hız ve ivme . .. Plan: r ve r değerlerini θ = 30° iken bul
Çözüm:
t t . θ = ∫ θ dt = ∫ 3t2 dt = t3 to= 0
θ = 30° ise
θ=
0
π = t3. Î t = 0.806 s. 6
. θ = 3t2 = 3(0.806)2 = 1.95 rad/s
5
İKİ MADDESEL NOKTANIN BİRBİRİNE GÖRE BAĞIL HAREKETİ
Î
İKİ MADDESEL NOKTANIN BİRBİRİNE GÖRE BAĞIL HAREKETİ
Birinci yöntem
1
İKİ MADDESEL NOKTANIN BİRBİRİNE GÖRE BAĞIL HAREKETİ
İkinci yöntem
Örnek 1 B bloğu yukarı doğru hareket ediyorsa A bloğunun hızını ve yönünnü bulunuz
2
Örnek 2 A bloğunun hızını ve yönünnü bulunuz
BAĞIL HAREKET ANALİZİ Konum analizi:
3
BAĞIL HAREKET ANALİZİ (devam)
Hız analizi:
İvme analizi:
Örnek 1 Bir tren 60 mil/saat lik sabit hızla şekilde görüldüğü gibi yol alıyor. Eğer araba 45 mil/saat lik sabit hızla ilerliyor ise trenin arabaya göre bağıl hızını bulunuz.
Sorulan:
vT/A =?
4
Örnek 1 (devam) Birinci Yöntem:
Örnek 1 (devam) İkinci Yöntem:
5
Örnek 2 İki uçak aynı yükseklikte uçuyor. A uçağı aynı doğrultuda uçarken B uçağı bir daire çiziyor. A plotu tarafından B uçağının hangi hız ve ivmede hissedildiğini bulunuz.
İstenen: ?
Örnek 2 (devam) Hız:
İvme:
6
BÖLÜM II Maddesel Noktanın Kinetiği: Kuvvet ve İvme
Bir objedeki hareket ona etki eden kuvvetlere bağlıdır UYGULAMA Sistemdeki asansör ipe bağlanmış bir motor sayesinde aşağı yukarı hareket etmektedir. Problem: Asansörü kaldıran kablodaki çekme kuvvetini nasıl bulabiliriz? Kablodaki çekme kuvveti asansörün toplam ağırlığından fazlamıdır?
1
NEWTONUN HAREKET KANUNLARI Newton’un üç hareket denklemi: 1. kanun: Başlangıçta duran veya düz bir çizgi boyunca sabit hızla ilerleyen bir cisime etkiyen kuvvetler sıfırsa aynı durumunu korur. 2. kanun: Eğer etkiyen kuvvetler sıfıra eşit değilse, cisim etkiyen kuvvetle aynı yönde ivmelenir. İvme etkiyen kuvvetle orantılıdır. 3. kanun: İki cisim arasındaki etki ve tepki kuvvetleri eşit, zıt yönlü ve aynı eksendedir.
2
NEWTONUN HAREKET KANUNLARI (devam)
F = ma F partiküle veya maddesel cisme etki eden kuvvet. a ivme m cismin kütlesi Kütle ve Ağırlık:
W = mg
Birimler:
F=ma için birim (Kütle uzunluk / zaman2)
Metrik (SI):
Uzunluk Zaman Kütle metre sn kg
Metrik Yerçekimi:
metre
sn
İngiliz Sistemi:
foot
sn
lb
İngiliz yerçekimi:
foot
sn
slug (lb/g)
metrik slug (kg/g)
Kuvvet N = kg·m/s2 kg poundal = lb·ft/s2 lb
3
NEWTONUN HAREKET KANUNLARI (devam)
BİR SİSTEMDEKİ HAREKET DENKLEMLERİ
4
HAREKET DENKLEMLERİ: Kartezyen koordinat sistemi
ÖRNEK 1 50 kg kütlesindeki kasaya 400N luk bir kuvet uygulanıyor. Kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise kuvvet uygulanmaya başladıktan 5 sn sonraki kasanın hızını bulunuz.
Serbest Cisim Diyagramı Î
5
ÖRNEK 1 (devam) Sürtünme kuvvetiÎ Hareket Denklemleri: Î
Kinematik:
ÖRNEK 2 10 kg kütlesindeki bir top güllesi dikey yönde 50 m/sn lik hızla ateşleniyor. Güllenin ulaşacağı maksimum yüksekliği (a) Hava sürtünmesini dikkate almadan (b) Fhava =(0.01v2) N luk hava sürtünmesi için hesaplayınız.
6
ÖRNEK 2 (devam) (a) Serbest Cisim Diagramı:
Hareket Denklemi
Kinematik
ÖRNEK 2 (devam) (b) Serbest Cisim Diagramı:
Hareket Denklemi
Kinematik
7
ÖRNEK 3 Şekildeki 100 kg kütlesindeki A bloğu serbest bırakılıyor. Eğer makara ve ipin ağırlığı dikkate alınmazsa, 20 kg kütlesindeki B bloğunun 2 sn sonraki hızını bulunuz.
ÖRNEK 3 (devam) A ve B bloklarındaki hareketler ayrı ayrı incelenir. Serbest Cisim Diagramları:
Hareket denklemleri:
8
ÖRNEK 3 (devam)
Kinematik:
9
HAREKET DENKLEMLERİ: NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNAT SİSTEMİ Uygulama:
Yarış pistleri genellikle virajlarda arabaların kaymaması için hafif meyilli ve sürtünme katsayısını artırmak için daha pürüzlü yapılır.
PROBLEM: Arabanın virajda kaymadan maksimum hız ve min sürtünmeyle gitmesi için (θ) açısı ne olmalıdır?
NORMAL VE TEĞETSEL KOORDİNAT SİSTEMİ (devam)
1
n-t koordinat sisteminde problem çözümü • n-t koordinatlarını, bir nesne bilinen bir eğrisel yolda ilerliyorsa kullan. • n-t koordinat sistemini oluştur. • Serbest cisim diyagramını ve kinetik diyagramları çiz. normal ivme (an) teğetsel ivme (at) leri çizerken dikkat et. • hareket denklemini yaz ve çöz. • kinematik denklemler:
at = dv/dt = v dv/ds
an = v2/ρ
ÖRNEK 1 Şekildeki araba eğimli bir virajda yol alıor. Tekerlek ile yol Arasında sürtünme olmadığı durumda bile arabanın sağa veya sola kaymadan yol alması için gerekli açıyı (θ) bulunuz. Arabanın hızı sabit olup 100 ft/sn dir.
2
ÖRNEK 1 (devam) Serbest Cisim Diyagramı Î
Hareket denklemleri:
ÖRNEK 2 Şekildeki blok 2kg kütlesinde olup 1 m/sn lik ilk hızla sürtünmenin yok sayıldığı pürüzsüz bir yüzeyde aşağı doğru kayıyor. Bloğun yüzeyden ayrıldığı açıyı bulunuz (θ=?).
3
ÖRNEK 2 (devam) Serbest Cisim Diyagramı Î
Hareket denklemleriÎ
ÖRNEK 2 (devam) Kinematik analiz Î
4
GRUP ÇALIŞMASI Soru: 200 kg lık snowmobil yokuştan aşağı iniyor. A noktasına geldiğinde 4 m/s lik hıza ulaşıyor ve 2 m/s2 lik ivmeyle hızlanmaya devam ediyor. Bul:
A noktasındaki oluşan normal kuvvet ve sürtünme kuvvetini bulunuz.
Plan: 1) snowmobili maddesel cisim olarak kabul et. Serbest cisim diyagramını ve kinetik diyagramı çiz. 2) n-t koordinat sisteminde hareket denklemlerini kullan. 3) A noktasındaki eğimi ve yarıçapı hesapla.
GRUP ÇALIŞMASI (devam) Çözüm: 1) n-t koordinat sistemini kullanarak A noktasındaki serbest cisim diyagramını çiz. Snowmobil ve sürücüyü maddesel nokta olarak kabul et.: W θ
F N n
= θ
t
man n
mat t
W = mg = snowmobil ve sürücünün ağırlığı N = normal kuvvet (yerin tepkisi) F = sürtünme kuvveti
5
HAREKET DENKLEMLERİ: SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ r, θ , ve z koordinatları kullanılır :
SİLİNDİRİK KOORDİNAT SİSTEMİ İVME
6
Teğetsel ve Normal Kuvvetler
ψ Açısının Hesaplanması
tan ψ =
r dθ r = dr dr d θ
ψ saat yönünün tersinde positif değer alır.
7
ÖRNEK 2 lb kütlesindeki maddesel cisim şekildeki gibi bir yolda ilerliyor. İlerleme yönleri r=(10t2) ft ve θ=(0.5t) rad dır. 1 sn sonraki F kuvvetini bulunuz. Çözüm: serbest cisim diagramı
ÖRNEK (devam) Hareket Denklemi
Hareket Denklemi
8
BÖLÜM III Maddesel Noktanın Kinetiği: İş ve Enerji
Bir Kuvvetin Yaptığı İş: İş: Kuvvet x Yol
1
Değişken Bir Kuvvetin Yaptığı İş:
Düzgün Doğrusal Hareket Yapan Bir Kuvvetin Yaptığı İş:
2
Bir Cismin Ağırlığının Yaptığı İş:
Yay Kuvvetinin Yaptığı İş:
3
Yay Kuvvetinin Yaptığı İş (devam): Yaylar basmaya maruz kaldığında yapılan iş negatif olur. (Bu genel bir kabuldür. Bazen iş koordinat sistemine göre de değerlendirilir. – veya + iş.)
ÖRNEK Yayın ucuna bağlı 10 kg kütlesindeki bir küp pürüzsüz bir yüzeyde durgun vaziyette iken P=400N luk bir kuvvet uygulanıyor. Küpün s=2m hareket etmesi durumunda yapılan işi bulunuz.
4
ÖRNEK (devam)
Yatay Kuvvet Î
veya
Yay Kuvveti Î Ağırlık Î
veya
Normal Kuvvet Î alınan yol olmadığı için iş sıfır. Toplam iş Î
İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ
5
BİR SİSTEM İÇİN İŞ VE ENERJİ PRENSİBİ
Sürtünme Kuvvetinin Etkisi
6
ÖRNEK 10 kg kütlesindeki bir cisim şekildeki gibi C noktasından A noktasına kadar yay sıkıştırılarak itiliyor ve bu durumda yay 0.2 m sıkışmış oluyor. Bu konumda iken cisim serbest bırakıldığında D noktasına ulaştığındaki hızını bulunuz. Cisim yaya bağlı değildir. Cisimile yüzey arasındaki kinetik Sürtünme katsayısı 0.2 dir.
ÖRNEK (devam)
7
ÖRNEK 2 kg kütlesindeki bir blok v0 =1 m/sn lik ilk hızla pürüzsüz yarıçapı 0.5m olan bir silindirin yüzeyinden aşağı doğru kayıyor. Bloğun silindirin yüzeyinden ayrılmaya başladığı andaki yaptığı açıyı hesaplayınız.
ÖRNEK (devam)
8
GÜÇ VE VERİM Güç: Birim zamanda yapılan iş.
Î
Güç birimleri:
Verim: Bir sistemin çıkış gücü ile giriş gücü arasındaki orandır veya güç yerine enerji de kullanılabilir. Başka bir tanımı ise alınan güç ile verilen güç arasındaki orandır.
1
ÖRNEK 2 ton kütlesindeki spor arabanın motor verimi 0.63 dür. Araba doğrusal hareket halinde iken havanın sürtünme kuvveti Fhava =1.2v2 N dur. Eğer araba 50m/sn lik sabit hızla ilerliyorsa, motorun maksimum gücünü bulunuz.
ÖRNEK (devam)
2
Potansiyel Enerji Yerçeki ile oluşan potansiyen enerji
Potansiyel Enerji (devam)
Elastik potansiyen enerji
3
Toplam Potansiyel Enerji
Toplam Potansiyel Enerji (devam)
4
Enerjinin Korunumu
1. Durum
2. durum
3. Durum
ÖRNEK 100kg kütlesindeki R cismi 0.75m yukarıdan yayların üzerine serbest olarak bırakılıyor. Şekildeki iç içe geçirilmiş iki yay için gerekli veriler verilmiştir. Buna göre cismi durdurmak için yayların ne kadar küçüleceklerini bulunuz.
5
ÖRNEK (devam) Potansiyel Enerji:
ÖRNEK (devam) Enerjinin Korunumu:
6
BÖLÜM IV Maddesel Noktanın Kinetiği: İmpuls ve Momentum
Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi Hareket Denklemi:
Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi:
1
Lineer İmpulsÎ
Lineer MomentumÎ
Lineer İmpuls ve Momentum PrensibiÎ
2
ÖRNEK 1 100 kg kütlesindeki kasaya durgun iken 200N luk bir kuvet uygulanıyor. Kuvvet uygulanmaya başladıktan 10 sn sonraki kasanın hızını ve etkiyen normal kuvveti bulunuz.
Serbest Cisim Diyagramı Î
ÖRNEK 1 (devam)
Lineer İmpuls ve Momentum PrensibiÎ
Yatay
Dikey
3
ÖRNEK 2 Eğer şekildeki sistem sebest bırakılırsa 6 sn sonra B bloğunun hızını bulunuz.
ÖRNEK 2 (devam) Serbest Cisim DiagramıÎ
A Bloğu:
B Bloğu:
Kinematik:
4
Bir Sistemdeki Lineer Momentumun Korunumu:
ÖRNEK 3 15 Ton kütlesindeki A vagonu sebest olarak 1.5 m/sn lik hızla yol alıyor. 12 ton kütlesindeki diğer vagon ise ters yönde 0.75 m/sn lik hızla A vagonuna doğru ileliyor. İki vagonun birleşme anındaki hızlarını bulunuz. Birleşmeden 0.8 sn sonra ortalama tepki kuvvetini hesaplayınız.
5
ÖRNEK 3 (devam) Serbest Cisim DiagramıÎ
Lineer momentumun korunumu
Serbest Cisim Diagramı:
Lineer impuls ve momentum prensibi:
6
Darbe (İmpact) Normalden daha büyük bir kuvvetle çok kısa bir süre için (anlık olarak) iki cisim birbirine çarparsa darbe oluşur.
İki türlü darbe vardır. Bunlar: merkezsel darbe ve meyilli darbe
Merkezsel Darbe:
Eğer çarpışan iki cismin ağırlık merkezlerinin hareket yönü aynı ise buna çizgisel darbe veya merkezsel denir.
1
2 pürüzsüz cisim aynı ağırlık merkezinde hareket etmekte ve A nın hızı B den daha büyük olduğu için çarpışma kaçınılmazdır. Şekil (a) 2 cisim deformasyona uğruyor
2 cisimin hızlarının aynı olduğu an maksimum deformasyon oluşur.
Cisimler elastik veya plastik deformasyona uğrar. Enerji kaybı oluşur.
Hemen ayrılma gerçekleştikten sonra cisimler son momentumlarına sahip olurlar.
2
Sistemdeki momentum Herbir cisim için impuls ve momentum prensibini uygularsak
Şekil (c, d ve e) deki kayıp
Başlangıçtaki impuls ile deforme olmuş cisimdeki impuls arasındaki oran kayıp oranı (e) na eşittir.
Aynı oran B cismi içinde geçerlidir.
2 denklemdeki (A ve B için) v elimine edilirse
3
Meyilli Darbe:
iki cisim farklı açılarla birbirine çarparsa buna meyilli denir.
Şekildeki meyilli darbede 4 bilinmeyen vardır. Bunlar:
4
ÖRNEK Serbest Cisim Diyagramı Î
5
