FUNÇÃO IDENTIDADE 2 - vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br

FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2 FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2 FUNÇÃO AFIM............................................................................. 5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 5 IMAGEM ..................................................................................... 14 COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ......................................... 14 ZERO DA FUNÇÃO AFIM .......................................................... 18 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES.................... 19 SINAL DE UMA FUNÇÃO .......................................................... 24 SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 25 INEQUAÇÕES ........................................................................... 29 SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 33 INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 34 INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 39 INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 48 RESPOSTAS ............................................................................. 61 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 68

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

MATEMÁTICA I

1

FUNÇÃO DO 1º GRAU

FUNÇÃO IDENTIDADE

FUNÇÃO LINEAR

Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando associa a cada elemento x  o próprio x, isto é:

f:

Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa a cada elemento x o elemento ax  onde a  0 é o número real dado, isto é:

 f(x) = x

f:  f(x) = ax com a  0 (1)

Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.

É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral. A imagem da função identidade é Im = e isto pode ser percebido facilmente, veja:

f ( x)  a  x  y  a  x y y  ax  x  a

A imagem da função identidade é Im = .

1

Observe que se a = 0, teremos uma função constante y = 0 como vimos na apostila anterior. CÁSSIO VIDIGAL

2

IFMG – CAMPUS OURO PRETO

𝑦

, a  0, tal que:

assim, 𝑥 = 𝑎 ∈

f (x)  a  x y a f (x)  y

f (x)  a 

Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função y = 2x. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Por outro lado o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x e calcular o correspondente y = 2x.

Ex.: 2 Construir o gráfico da função y = -2x. Resolução: Analogamente, temos: x 1

-2 • x -2 •1

Y -2

Agora, P(0; 0) e Q(1; -2). x 1

2•x 2 •1

y 2

Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(0; 0) e Q(1; 2) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado.

Note que Im(f) =

.

Veja o gráfico na coluna a seguir.

MATEMÁTICA I

3


2) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f:  a seguir.

1) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os 4 gráfico de funções constantes a seguir.

a) y = x

a) y = 2 b) y =

b) y = 2x

2

c) y = 3x

c) y = -3 d) y  d) y = 0

CÁSSIO VIDIGAL

4

x 2


FUNÇÃO AFIM 3) Construir, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções f:  a seguir.

Uma função f de em recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada elemento x o elemento ax + b  onde a  0, isto é: f:  f(x) = ax + b com a0

a) y = -x b) y = -2x c) y = -3x d) y  

x 2

1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0

Observe este último exemplo. Note que, quando b = 0, a função y = ax + b assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim.

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente demonstrado. Demonstração:

MATEMÁTICA I

5


De 4 ,

y 2  y1  ax 2  x1  a

De 5 ,

y 3  y 2  ax 3  x 2  a

Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano da função y = ax + b com a  0 e (x1; y1), (x2; y2) e (x3, y3), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos.

Assim, a 

y 2  y1 y 3  y 2  x 2  x1 x 3  x 2

Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos exemplos a seguir.

1 2

x 2 ; y 2   f  y 2  ax2  b x 3 ; y 3   f  y 3  ax3  b

y3  y2 x3  x2

Logo os triângulos ABD e BCE são semelhantes e assim, os ângulos  e  são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta.

Para provar que os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta, vamos mostrar, em princípio, que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Note que : x1; y1   f  y1  ax1  b

y 2  y1 x 2  x1

3

Fazendo 3  2 , temos: y 3  ax3  b y 2  ax 2  b

y 3  y 2  ax 3  x 2 

4

Ex. 1: Construir o gráfico da função y = 2x + 1.

Fazendo 2  1 , temos: y 2  ax 2  b y1  ax1  b

y 2  y1  ax 2  x1 

CÁSSIO VIDIGAL

Resolução; Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta.

5

6


x

2x+1

y

0

2•0+1

1

1

2•1+1

3

Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (0; 3) e (2; 1).

O gráfico da função, então, é uma reta que passa pelos pontos (0; 1) e (1; 3).

D(f) =

e Im(f) =

É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim: D(f) = Im(f) =

Ex. 2: Construir o gráfico da função y = -x + 3 Resolução: De modo análogo, temos: x

-x + 3

y

0

-0 + 3

3

2

-2 + 3

1

MATEMÁTICA I

4) Construa nos planos cartesianos a seguir, o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada) 7


a) y = 2x – 1 x

c) y = 3x+2 y

x

b) y = x+2 x

d) y  y

2x  3 2

x

CÁSSIO VIDIGAL

8

y

y


e) y = –3x – 4 x

g) y = –2x + 3 y

x

f) y = –x – 1 x

h) y  y

4  3x 2

x

MATEMÁTICA I

9

y

y


5) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do 1º grau:  x  y  3  2x  3 y  4 (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas)

CÁSSIO VIDIGAL

6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do 1º grau: x  y  5 a)  x  y  1

10


x  2y  2 c)  2x  4y  4

3x  2y  14 b)  2x  3y  8

MATEMÁTICA I

11


7) Resolva os sistemas: 1 3  1 x  y  x  y  4  a)   1  1 1  x  y x  y 4 Sugestão: faça

CÁSSIO VIDIGAL

1 a xy

2 5  3  x  y  1  2x  y  3  12  b)  3  2  1  x  y  1 2x  y  3

e

1 b xy

12


c) (3; -2) e (2; -3) 8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (1; 2) e (3; -2). (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas)

d) (1; -1) e (-1; 2)

b) (2; 3) e (3; 5)

______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04 ______________________

MATEMÁTICA I

13


IMAGEM O conjunto imagem de uma função afim f:  definida por f(x) = ax + b com a  0 é . De fato, qualquer que seja y  , y b existe  tal que x a y b  y b f x   f  b  y.   a a  a 

COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM

Observe que a variação do coeficiente a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função.

O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano.

Ex.2: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear.

O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os exemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente.

Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a.

CÁSSIO VIDIGAL

Vejam neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eixo OY.

14


11) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-3; 1) e tem coeficiente 1 angular igual a  . 2

9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 2. (A resolução desta questão pode ser vista na secção de Respostas)

12) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual a 4.

10) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual a -3.

MATEMÁTICA I

15


13) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a -3 e passa pelo ponto (-3; -2)

14) Dados os gráficos das funções de em , obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a)

CÁSSIO VIDIGAL

16


b)

MATEMÁTICA I

c)

17


ZERO DA FUNÇÃO AFIM d) Zero ou raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0. x é zero de y = f(x)  f(x) = 0 Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau ax + b = 0 que apresenta uma única solução x

b . a

Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1? 2x  1  0

2x  1 1 x 2 Logo, a raiz da função é

1 . 2

Ex. 2: Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo OX. Note o gráfico da função f(x) = 2x – 1, podemos perceber que o gráfico intercepta o eixo das abscissas 1 1  em x  , isto é, no ponto  ; 0  . 2 2 

CÁSSIO VIDIGAL

18


Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente.

FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES Uma função f: A  B definida por y = f(x) é DECRESCENTE no conjunto A1  A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Uma função f: A  B definida por y = f(x) é CRESCENTE no conjunto A1  A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 pertencentes a A1, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2).

Em termos técnicos, f é crescente quando:

Em termos técnicos, f é crescente quando:

( x1, x2) (x1 < x2  f(x1) > f(x2))

( x1, x2) (x1 < x2  f(x1) < f(x2)) Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:

( x1, x2) (x1  x2 

Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:

f x1   f x 2   0) x1  x 2

( x1, x2) (x1  x2 

Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y também aumenta. MATEMÁTICA I

f x 1   f x 2   0) x1  x 2

Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y diminui. 19


Veja, agora, caracterização de decrescente.

no gráfico, a uma função Veja o exemplo abaixo. A função é decrescente em - e crescente em +.

Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos: x1  x 2  2x1  1  2x 2  1

15) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente.

Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos: x1  x 2  3x1  2  3x 2  2

a)

Notemos que uma função y = f(x) pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. É bastante comum que, inclusive, que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros.

CÁSSIO VIDIGAL

20


b)

O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo. Dada a função f(x) = ax + b, Se a > 0 então f é crescente.

DEMONSTRAÇÃO f x   ax  b é crescente 

f x1   f x 2   0 ( x1  x 2 ) x1  x 2  ax1  b  ax2  b  0 x1  x 2

c)

 ax1  b  ax 2  b 0 x1  x 2  ax1  x 2  0 x1  x 2  a0

Assim, podemos observar que f(x) = ax + b é crescente  a > 0

MATEMÁTICA I

21


17) Especificar se cada uma das funções abaixo é crescente ou decrescente. a) y = 2x + 8

16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e somente se, a < 0.

b) y = 3x – 9

c) y = -4x + 6

d) y = -2x – 6

e) y 

x 1 5

f) y  2x 

CÁSSIO VIDIGAL

22

1 2


g) y 

1 x 2

h) y  1 

19) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo. a) y = (k – 1)x + 2 (A resolução deste item a) pode ser vista na secção de Respostas)

3x 2

18) Para quais valores de k a função f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente?

MATEMÁTICA I

b) y = (k + 5)x – 7

23


c) y = (4 – k)x + 2 Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está representado na figura a seguir.

d) y = k(x + 3) – 5

Como foi dito, não importa a posição do eixo das ordenadas, então vamos retira-lo e preparar um aspecto prático.

SINAL DE UMA FUNÇÃO Seja a função f: A  B definida por y = f(x). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de x temos y maior, menor ou igual a zero.

Conclusão: f(x) = 0 para x = -3 ou x = 1 ou x = 4 ou x = 8

Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaixo do eixo x.

f(x) > 0 para -3 < x < 1 ou 1 < x < 4 ou x > 8

Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eixo OX não importando a posição do eixo OY. CÁSSIO VIDIGAL

f(x) < 0 para x < -3 ou 4 < x < 8

24


SINAL DA FUNÇÃO AFIM Como vimos, estudar o sinal De uma função y = f(x) significa estabelecer, para cada valor de x  D(f), qual das sentenças é verdadeira:

20) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a)

y>0

y=0

y<0

Para a função afim y = ax + b, temos com dois casos a considerar: 1º caso: a > 0 Neste caso a função é crescente. Como b  b para x   temos y  f     0 , vem: a  a

b)

x

b  b  f x   f     f x   0 a  a

x

b  b  f x   f     f x   0 a  a

Considerando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função da função y = ax + b com a > 0, é:

Entende-se, com esta notação, b que para valores de x à direita de  , a a função retorna um valor positivo ( + ) e b para valores à esquerda de  , a função a retorna valores negativos ( - ).

c)

Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano.

MATEMÁTICA I

25


Já vimos que o gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente.

Entende-se, com esta notação, b que para valores de x à direita de  , a a função retorna um valor negativo ( - ) e b para valores à esquerda de  , a função a retorna valores positivo ( + ).

Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com a > 0 e lembrando o que está sendo dito na página 24, que a posição do eixo y não importa, temos:

Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para a > 0, a função é decrescente.

2º caso: a < 0

Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe:

Neste caso a função é de crescente. b Também para temos x a  b y  f     0 , vem:  a b  b x    f x   f     f x   0 a  a b  b x    f x   f     f x   0 a  a

b  f x   0 se x   a  b  Quando a > 0, f x   0 se x   a  b  f x   0 se x   a 

Considerando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função da função y = ax + b com a < 0, é:

CÁSSIO VIDIGAL

26


f 3  2  3  1  f 3  7 b    f x  0 se x    a  b  Quando a < 0, f x   0 se x   a  b  f x   0 se x   a 

f  5  2   5  1  f  5  9 Ex.2: Estudar f(x) = -2x + 3.

o

sinal

da

função

f x   0  2x  3  0  2x  3  x 

3 2

Como a < 0 (a = -2), temos que a função f é decrescente, assim: Ex.1: Estudar f(x) = 2x + 1.

o

sinal

da

função

f x   0  2x  1  0  2x  1  x  

 x    x    x  

1 2

Como a > 0 (a = 2), temos que f é crescente, assim:

3 y 0 2 3 y 0 2 3 y 0 2

Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro menor que a raiz ( 1 ).

1  x   2  y  0  1  x    y  0 2  1  x   2  y  0 

f 1  2  1 3  f 1  1

f 5  2  5  3  f 1  7

Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem de um número qualquer maior 1 que  , encontraremos um valor 2 1 positivo. A imagem de  é zero e a 2 imagem de qualquer valor menor que 1  é um número negativo 2 Só para exemplificar, vamos 1 encontrar os valores de f(3) (3 >  ) e 2 1 de f(-5) (-5 <  ) 2 MATEMÁTICA I

27


d) f(x) = 5 + x 21) Estudar os sinais das seguintes funções definidas em : a) f(x) = 2x + 3

e) f x   3 

x 2

b) f(x) = -3x + 2

f) f x  

x 3  3 2

c) f(x) = 4 – x

CÁSSIO VIDIGAL

28


g) f x   2x 

4 3

INEQUAÇÕES O último exercício apresentado (22) é um exemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações.

Ex.: Seja f:  a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 3. Note que este exemplo é bem parecido com o último exercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação

h) f(x) = -x

4x – 5 > 3 4x > 8 x>2 Logo a solução é S = {x 

| x > 2}

Ex.2: Considerando as funções f(x) = 4x – 1 e g(x) = -x + 3, determine os valores de x para os quais temos f(x)  g(x). Vamos resolver a inequação:

______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 163 – Exercícios 18 a 20 ______________________

4x  1  x  3 4x  x  3  1 5x  4

22) Seja f:  a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 0 (zero).

x

4 5

4  Solução: S  x   | x   5  Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaixo. Os dois primeiros valores são menores 4 que e os dois últimos são maiores. 5 MATEMÁTICA I

29


x

f(x)

g(x)

Qual é maior? 23) Para que valores reais de x a função 2 x f x    é negativa? 3 2

-1 1 3 4 5

1 4 Este mesmo exemplo pode ter uma solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, você pode ver os gráficos das duas funções.

24) Para que valores do domínio da função de em definida por 3x  1 a imagem é menor que 4? f x   2

4 , as funções 5 são iguais (é o ponto onde elas se 4 cruzam). Para valores menores que , a 5 função f é menor que a função g e isto pode ser verificado pois à esquerda de 4 x = o gráfico de f está abaixo do gráfico 5 de g. Esta situação se inverte à direito de 4 x= . 5

Note que em x =

CÁSSIO VIDIGAL

30


c) f(x)  h(x) 25) Dadas as funções f(x) = 2x + 3, 4x  1 hx   g(x) = 2 – 3x e 2 , definidas em , para que valores reais de x tem-se: a) f(x) > g(x)

26)

b) g(x) < h(x)

MATEMÁTICA I

Dados os gráficos das funções f, g e h definidas em e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine os valores de x  , tais que: a) f(x) > g(x)

31


b) g(x)  h(x)

27) Dado um número real k, a função f:  definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada de função linear (pág. 2). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas.

c) f(x)  h(x)

d) g(x) > 4 b) Prove que se f é linear então f(a + b) = f(a) + f(b)  x  .

e) f(x)  0

CÁSSIO VIDIGAL

32


28) Uma grandeza y é diretamente proporcional a uma grandeza x quando y é uma função linear de x. Se y é diretamente proporcional a x e quando x = 4 temos y = 10. Então, para x = 10, qual é o valor de y?

SISTEMA DE INEQUAÇÕES Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em x separadas pelo conectivo e, O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam.

Ex.1: Resolver o sistema de inequações 3  2 x  1 1 .  3 x  1  5 2 Resolução: De 1 ,

3  2x  1  2 x  2 x 1

De 2 ,

3x  1  5 3x  6 x2 Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções:

Logo, a solução é: S={x

MATEMÁTICA I

33

| 1  x  2}


conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila.

Ex.2: Resolver o sistema x 1 x 1  3  2  4 1  1  x  2  0 2  3

Por isso, para resolver uma situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim:

De 1 , x 1 x 1 2x  1  3x  1  4 4 3 2 6  2 x  2  3 x  3  24   x  5  24    x  29  x  29

 f x   g x  f  x   g x   hx    g x   hx  Indicando por S1 o conjunto solução da primeira inequação e por S2 o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é:

De 2 , 1

x2 x2  0  1 3 x2 3 3  1 x  x  1

S = S 1  S2

Ex.: Resolver 3x  2  x  3  x  4 S={x

| x  -29}

 3 x  2   x  3 1    x  3  x  4 2

INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Uma dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em x separadas pelo CÁSSIO VIDIGAL

34

De 1 , 3x  2  x  3

De 2 , x 3  x 4

4x  1 1 x 4

 1  2x 1  x 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

5 x  1  3 x  2 b)  6 x  2  8 x  4

A intersecção desses dois conjuntos é

S={x

| 

1 1 x } 2 4

29) Resolver os sistemas a seguir: 3 x  3  0 a)   3 x  12  0

MATEMÁTICA I

35


2x  1  2x  1  0 c)  5 x  2x  2  0

CÁSSIO VIDIGAL

1  32  x   25 x  1 d)  6 x  3x  1  1  7 x

36


30) Resolver as inequações em a) -2 < 3x – 1 < 4

c) -3 < 3x – 2 < x

:

b) -4 < 4 – 2x  3 d) x  1  7  3 x 

MATEMÁTICA I

37

x 1 2


e) 3x + 4 < 5 <6 – 2x

31) Com base nos gráficos das funções f, g e h definidas em , determinar os valores de x  , tais que:

a) f(x) < g(x)  h(x)

f) 2 – x < 3x + 2 < 4x + 1

CÁSSIO VIDIGAL

38


b) g(x)  f(x)  h(x)

INEQUAÇÕES-PRODUTO Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações f(x)  g(x) > 0

f(x)  g(x) < 0

f(x)  g(x)  0

f(x)  g(x)  0

são denominadas inequações-produto.

Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto solução S de uma inequação do tipo f(x)  g(x) > 0.

De acordo com a regra dos sinais do produto de números reais, um número x0 é solução da inequação f(x)  g(x) > 0 se, e somente se, f(x) e g(x), não nulos, têm o mesmo sinal. c) h(x)  f(x) < g(x) Assim, são possíveis dois casos:

1º: f(x) > 0 e g(x) > 0 Se S1 e S2 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S1  S2 é o conjunto solução do sistema.

2º: f(x) < 0 e g(x) < 0 Se S3 e S4 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então S3  S4 é o conjunto solução do sistema.

MATEMÁTICA I

39


f(x) = x + 2 x + 2 = 0  x = -2 Como a função é crescente,

Daí concluímos que o conjuntosolução da inequação produto f(x)  g(x) > 0 é: S = (S1  S2 )  (S3  S4 )

Um raciocínio análogo poderia ser feito para f(x)  g(x) < 0 porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes. Também no caso de f(x)  g(x)  0 ou f(x)  g(x)  0, podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função.

Ex.1: Resolver em x  22x  1  0 .

g x   2 x  1 1 2 Esta função também é crescente, então, 2x  1  0  x 

, a inequação

Resolução Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto:

Como estamos procurando valores para x que tornem o produto x  22x  1 positivo, então sabemos que x  2 e 2x  1 devem ter o mesmo sinal. A forma mais prática de encontrar os intervalos onde isto acontece é fazer um estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá.

Assim temos a solução: S={x CÁSSIO VIDIGAL

40

| x  2 ou x 

1 } 2


Ex.2: Resolver em a inequação 3x  2x  13  x   0

Quando uma inequação-produto apresenta  ou , devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução.

Resolução: f x   3 x  2 3x  2  0  x 

2 3

Veja no exemplo.

g x   x  1 x  1  0  x  1

Ex.1: Resolver em x  22x  1  0 .

h x   3  x

f(x) = x + 2 x+2=0x=2

3x 0 x 3

, a inequação

g x   2 x  1

O próximo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de f x   g x   hx 

2x  1  0  x 

1 2

Assim temos a solução: S={x

| x  2 ou x 

1 } 2

E temos a solução: 2 S={x |  1  x  ou x  3 } 3 _______________________________

MATEMÁTICA I

41


Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo:

f x n  0 f x n  0

f x n  0

Ex.1:

3x  23  0  3x  2  0  S  x   | x  2  

f x n  0

3

Ex.2:

4x  36  0  4x  3  0  S  x   | x  3 

Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e expoente inteiro:  “toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo”, isto é:



Ex.3:

2x  15  0  2x  1  5  S  x   | x   1  

a2n  0,  a  ,  n  N

Ex.4: x  24  0  S  



Ex.5:

“toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base”, ou seja:

2

8  2x 7  0  8  2x  0  S  x   | x  4

Ex.6: 3x  12  0  S  

a2 n1  0  a  0 a2 n1  0  a  0 a2 n1  0  a  0

4

Ex.7: 8  4x 4  0  8  4x  0  S  4

 n N

Assim sendo, temos as seguintes equivalências:

f x   0 f x   0

f x n  0  

se n é ímpar se n é par

f x   0 se n é ímpar x   se n é par

f x n  0  

f x   0 se n é ímpar x  Df  se n é par

f x n  0  

f x   0 f x   0

f x n  0   CÁSSIO VIDIGAL

se n é ímpar se n é par 42


c) 5x  22  x 4x  3  0 32) Resolver em seguir:

as inequações a

a) 3x  35x  3  0

d) 3x  2 3x  4x  6  0 b) 4  2x 5  2x   0

MATEMÁTICA I

43


e) 6x  12x  7  0

g) 3  2x 4x  15x  3  0

f) 5  2x  7x  2  0

CÁSSIO VIDIGAL

h) 5  3x 7  2x 1 4x   0

44


33) Resolver em seguir: 4 a) x  3  0

e) 3 x  5  0 2

as inequações a

f) 5 x  1  0 3

b) 3 x  8  0 3

g) 4  3 x   0 4

c) 4  5 x   0 6

h) 3 x  8  0

d) 1  7 x   0

5

5

MATEMÁTICA I

45


34) Resolver em a inequação 5 6 x  3  2x  3  0 (Esta questão está resolvida na seção de Respostas)

CÁSSIO VIDIGAL

35) Resolver em as inequações: 4 3 a) 5x  4  7x  2  0

46


c) x  6  6x  2  4x  5  0

b) 3x  1  2  5x   x  4  0 3

MATEMÁTICA I

5

7

8

47

4

10


d) 5x  1  2x  6  4  6x   0 8

6

INEQUAÇÃO-QUOCIENTE Sendo f(x) e g(x) duas funções de variável real x, as inequações do tipo

f x  0 gx  f x  0 gx  f x  0 gx  f x  0 gx  são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo.

Ex.: Resolver em a inequação 3x  4  2. 1 x Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a 0 (zero).

______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 164– Ver R.7 ______________________ CÁSSIO VIDIGAL

48


3x  4 3x  4 2 20 1 x 1 x 3 x  4 21  x   0 1 x 1 x 3 x  4  2  2x 0 1 x 5x  2 0 1 x

36) Resolver em 2x  1 a) 0 x2

as inequações:

f x   5 x  2 5x  2  0  x  

2 5

g x   1  x 1 x  0  x  1

Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos:

Solução: S={x

MATEMÁTICA I

| x

2 ou x  1 } 5

49


b)

3x  2 0 3  2x

c)

3  4x 0 8x  1

CÁSSIO VIDIGAL

d)

50

 3  2x 0 3x  1


37) Resolver em 5x  3 a)  1 3x  4

MATEMÁTICA I

as inequações:

b)

51

5x  2 2 3x  4


c)

x 1 3 x 1

CÁSSIO VIDIGAL

d)

52

3x  5 1 2x  4


38) Resolver em as inequações: 1  2x 3  4 x   0 a) 4  x 

MATEMÁTICA I

b)

53

3 x  1  0 2x  55 x  3


c)

5 x  44 x  1  0 5  4 x 

CÁSSIO VIDIGAL

d)

54

1  2x   0 5  x 3  x 


39) Resolver em 1 2 a)  x 4 x 3

MATEMÁTICA I

as inequações:

b)

55

1 2  x 1 x  2


c)

x 1 x  3  x2 x4

CÁSSIO VIDIGAL

d)

56

x 5 x 2  3x  2 3x  5


e)

5x  2 5x  1  4x  1 4x  5

MATEMÁTICA I

f)

57

1 2 3   0 x 1 x  2 x  3


g)

2 1 1   3x  1 x  1 x  1

40) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = x g(x) = x + 3 h(x) = x - 3

______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 168– Análise de Resolução ______________________ CÁSSIO VIDIGAL

58


41) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = -x g(x) = -x + 3 h(x) = -x - 3

MATEMÁTICA I

42) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = 2x - 4 g(x) = x - 4 h(x) = -x - 4

59


43) Construa o gráfico da função:  x  2 para x  1 f x    3 x  6 para x  1

CÁSSIO VIDIGAL

44) Construa o gráfico da função: 2 x  3 para x  2  f x    x  3 para 2  x  4  x  5 para x  4 

60


RESPOSTAS 4) a)

1)

b)

2)

c)

3)

d)

MATEMÁTICA I

61


e) 5) Resolução: SOLUÇÃO ANALÍTICA. Existem diversas formas de se resolver analiticamente esta questão como, por exemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição mas você pode [e deve] escolher outra forma.  x  y  3   2  2x  3 y  4  2 x  2 y  6  2x  3 y  4 x  y  3

f)

5 y  10 x  2  3 y2 x  1 Solução: S = {(-1; 2)}

g)

SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando y em ambas as equações. y  x  3 x  y  3     2x  4 y 2x  3 y  4  3  Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema.  2x  4 x x3 y x Y 3

h)

0 -4

CÁSSIO VIDIGAL

62

03

3

 4  3 -1

2 -4

 22  4 3

 2 4  4 3


0 4

8) Resolução Se estamos procurando uma equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo y = ax + b. Desta forma, considerando que o ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = ax + b, temos a sentença verdadeira 2=a •1+b a+b=2 Analogamente, para o ponto (3, -2) obtemos: -2 = a • 3 + b  3a + b = -2 Resolvendo, agora, o sistema a  b  2  3a  b  2 encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e b em y = ax + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: y = -2x + 4

Solução: S = {(-1; 2)} 6) a)

b)

S = {(3; 2)}

b) c)

S = {(-2; 4)}

d)

y = 2x + 1 y=x–5 1  3x y 2

9) Resolução A equação procurada é da forma y = ax + b. Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem: 3=2•1+bb=1 Logo, a equação procurada é

c) S = Ø

Y = 2x + 1

7) a) b) MATEMÁTICA I

S = {(3; -1)} S = {(2; 1)} 63

10)

y = -3x – 2

11)

y

12)

y

x 1  2 2

3 x4 2 FUNÇÃO DO 1º GRAU

13) 14)

y a) b) c) d)

15)

a)

b) c)

x 3 3

b)

x 1 y  3 3 x y  4 2 2x 1 y  3 3 y = 2x + 3

c)

Crescente: ] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-4; 1[ Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [ Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ Crescente: ] - ; 0[ e ]0;  [

16)

Demonstração

17)

Crescente: a, b, e, f, g. Decrescente: c, d, h.

18)

k > -5

19)

a)

21)

a)

b)

b)

c)

d)

20)

a)

CÁSSIO VIDIGAL

Crescente para k–1>0k>1 Constante para k–1=0k=1 Decrescente para k–1<0k<1 Cresc.: k > -5 Const.: k = -5 Decresc.: k < -5 Cresc.: k < 4 Const.: k = 4 Decresc.: k > 4 Cresc.: k > 0 Const.: k = 0 Decresc.: k < 0

c)

d)

e)

f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 4 0 para -4 < x < 1 f(x) < 0 para x < -4 ou 1 < x < 6 ou x > 6 f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou x = 2 f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 0
 y   y   y   y   y   y  y  y y 

3 2 3  0 para x   2 3  0 para x   2 2  0 para x  3 2  0 para x  3 2  0 para x  3  0 para x  

 0 para x  4  0 para x  4  0 para x  4

y  0 para x  5  y  0 para x  5 y  0 para x  5  y  0 para x  6  y  0 para x  6 y  0 para x  6 

f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou x = 4 ou x = 7 f(x) > 0 para x < -1 ou 0 < x < 4 ou x > 7 64


9  y  0 para x   2  9  y  0 para x   2  9  y  0 para x   2 

f)

2  y  0 para x  3  2  y  0 para x  3  2  y  0 para x  3 

g)

x

24)

x<3

25)

a)

26)

a) b) c) d) e)

y = 25

29)

a)

S={x

b)

S={x

c)

S={x

d)

S=

a)

S={x

| 

b)

S={x

|

c)

S={x

d)

S=

e)

S={x

f)

S={x

31)

a) b) c)

S={x S={x S=

|1
32)

a)

S={x

| x  1 ou x 

b)

S={x

| x

4 3

23)

c)

28)

30)

5 x 4

b)

(Demonstração)

y  0 para x  0  y  0 para x  0 y  0 para x  0 

h)

22)

27)

x

1 5

| 2 x 4 } 1 | 3  x  } 2 4 | x } 3

1 5 x } 3 3

1 x4 } 2 1 |   x 1 } 3

1 } 3 | x 1 } | x

5 ou x  2 2

}

1 2 x x

c)



x>2 x0  x  x < -2 x3

d)

3 ou 4

2  x  2} 5

S = {x x  6}

e)

| x

S = { x 

S={x

| 

2 4 ou x 3 3

| x

7 1 ou x  2 6

} MATEMÁTICA I

3 } 5

65


f)

S={x

g)

S = { x  

h)

2 5 x } 7 2 3 | x ou 5

se x   é:

S = { x 

|

1 5 ou x 4 3

Montando o quadro para estudo de sinais, temos:

7 } 2

a)

S={x

b)

S={x

c)

S=

d)

S={x

e)

S=

f)

S={x

g)

S={ 

h)

S={x

| x 3 } 8 | x } 3 | x

1 } 7

Assim, S={x

1 | x } 5

35)

4 } 3 | x

Lembrando que potência de expoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao sinal de x – 3, isto é:

| x

2 } 7

S={x

b)

S={x

| 

S={x 1 x } 2

| x  2 ou

S={x

| x

8 } 3

Solução: Estudaremos, separadamente, os sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e g(x) = (2x + 3)6.

3 | x 3 e x   } 2

a)

c) 34)

3 3 e é nulo se x   , isto 2 2

1 3 x } 4 2

x 33)

| 

d) 36) a)

b)

1 2 x } 3 5 1 S={x | x  6 ou x  3 5 ou x   } 4 1 S={x | x  ou 5 x  3 }

2 3 ou x  3 2

} c)

c) S = { x  S={x

A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6 é positivo CÁSSIO VIDIGAL

d)

66

1 3 x } 5 4 3 | x   ou 2 | 

1 x } 3 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

37) a) b)

c) d) 38)

a)

| x

S={x } S={x 4 x } 3 S={x S={x

| x  10 ou

|  2  x  1} | 1 x  2} | 

S={x

S = {x 

 c)

d)

a) b) c) d)

e)

f)

MATEMÁTICA I

5 ou 2

3 1 x } 5 3

41)

| x

4 ou 5

1 5 x } 4 4

S={x x  5}

39)

3 1  x  ou 4 2

| x

S={x 

S={x |  1  x  0 ou 1  x  1 ou x  3 } 3

40)

x  4}

b)

g)

7 4 ou x  8 3

S={x x > 11} S={x x > 2} S={x

|

1  x  3 ou 2

| -3 < x < 4 ou 42) | 0 < x < 1 ou

| -4 < x < -2} 5 S={x | x   ou 3 29 2  x } 24 3 5 9 S={x |  x 4 42 1 ou x  } 4 3 S={x | x  1 ou  x  2 2 ou x  3 }

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Links para as vídeos-aulas sugeridas 43) Pág. 07 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ graficof1g/

Pág. 27 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ estudosinalf1g 44) Pág. 42 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ inequacao-produto/

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE,

Luiz

Roberto;

Matemática. São Paulo, Ática, 2004 MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 1988 IEZZI,

Gelson

e

outros;

Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição

CÁSSIO VIDIGAL

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