M. Iniesta Universidad de Murcia
PROBABILIDAD Tema 2.1: Fundamentos de Probabilidad
Introducción Jacob Berooulli (1654 - 1705), Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), uni có todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Sin embargo, una de las di cultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades fue llegar a una de nición de probabilidad matemáticamente rigurosa y que permitiera al tiempo ampliar su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una de nición axiomática del concepto de probabilidad (Kolmogorov, 1933), lo que permitió el tratamiento formal de todos aquellos fenómenos que llevan asociado un término azaroso o el problema de la de toma decisiones en ambiente de incertidumbre. En de nitiva, en la actualidad, se estudia y se utiliza la teoría de la probabilidad con el n de tomar decisiones de las que esperemos obtener la mayor ganancia o que conlleven el menor riesgo.
1.
Algebra de sucesos
1.1. Primeras de niciones Un fenómeno o experiencia se dice que es un
experimento aleatorio cuando al
repetirlo en condiciones idénticas es imposible predecir su resultado. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama
espacio muestral y lo denotaremos mediante Ω. Cada uno de los elementos del espacio muestral se llama punto muestral o suceso elemental.
suceso a todo conjunto de Ω. diremos que el suceso A ⊆ Ω se veri ca o se realiza si al realizar el experimento se obtiene como resultado uno Se denomina
de los puntos muestrales de
A.
El conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento se llama
sucesos, que denotaremos mediante S . El suceso
∅
se llama
espacio de
suceso imposible y el suceso Ω se llama suceso seguro. Página: 1
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1.2. Actividad De nir experimentos aleatorios de la vida cotidiana, expresando el espacio muestral asociado y algunos sucesos relativos a los mismos. Piensa, por ejemplo en los juegos de azar. Un ejemplo: El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio. Su espacio
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} por el conjunto A =
muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados, y un posible suceso es obtener número par , que representamos
{2, 4, 6}.
El suceso obtener un número menor que 20 es el suceso seguro y el suceso
obtener un número entre 7 y 10 es un suceso imposible.
1.3. Operaciones con sucesos Unión de sucesos:
Dados dos sucesos
A
B,
y
denotaremos mediante
A∪B
al
suceso que se veri ca cuando al menos uno de los dos se veri ca.
Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B , denotaremos mediante A∩B al suceso que se veri ca cuando ambos se veri can.
Complementario: Dado un suceso A, denotaremos mediante A al suceso que se veri ca cuando
A
no se veri ca.
Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B , denotaremos mediante A − B al suceso que se veri ca cuando se veri ca
Diferencia simétrica B
y no se veri ca
y no se veri ca
A
B.
B , denotaremos mediante A4B veri ca A y no se veri ca B , o bien se
Dados dos sucesos
al suceso que se veri ca cuando o bien se veri ca
A
y
A.
Algunas de las propiedades de estas operaciones son: La unión y la intersección cumplen las propiedades
asociativa y conmutativa.
La unión respecto a la intersección cumple la propiedad
distributiva, así como la
intersección respecto a la unión. El suceso imposible es
elemento neutro en la unión, mientras que el suceso seguro
lo es en la intersección. La unión de cualquier suceso con su
complementario es siempre el suceso segucomplementario es
ro, mientras que la intersección de cualquier suceso con su siempre el suceso imposible. Se cumplen las conocidas
leyes de Morgan: el complementario de la unión es la
intersección de los complementarios y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios.
1.4. Actividades 1. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre sucesos anteriores. 2. Elaborar una tabla para expresar de forma simbólica las propiedades de las operaciones entre sucesos.
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1.5. Álgebra de sucesos El álgebra de sucesos
S
es una familia de sucesos de nida mediante los siguientes
axiomas:
Axioma 1 Ω ∈ S Axioma 2
Si
A, B ∈ S
Axioma 3
Si
A∈S
entonces
entonces
A∪B ∈S
A∈S
1.6. Actividad A partir de los axiomas anteriores, demostrar que si ciado a un experimento aleatorio, entonces 1.
S
es el álgebra de sucesos aso-
también cumple:
∅∈S
2. Si
A, B ∈ S
entonces
A∩B ∈S
3. Si
A, B ∈ S
entonces
A−B ∈S
2.
S
y
A4B ∈ S
Modelos de Probabilidad La probabilidad asignada a un suceso aleatorio
mide el grado de con anza de que
ese suceso ocurra. Podemos encontrar en la literatura varios enfoques para este objetivo.
enfoque clásico considera experimentos con espacios muestrales nitos y puntos muestrales equiprobables. La probabilidad se asigna usando la Regla de Laplace haciendo El
P (A) =
Car(A) Car(Ω)
Este enfoque, aunque limitado en su uso por las condiciones que maneja, está actualmente vigente. El
enfoque frecuentista considera la repetición del experimento un número gran-
de de veces
n, de las cuales un número nA
se asigna como
ha ocurrido el suceso
A. La probabilidad
nA n→∞ n
P (A) = l´ım
Este enfoque tiene varios inconvenientes, entre ellos que no podemos estar inde nidamente repitiendo el experimento. Para superar los inconvenientes de los enfoques anteriores usaremos el
enfoque
axiomático que engloba y generaliza los enfoques anteriores y que usa la siguiente de nición.
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Si
Ω
es el espacio muestral y
aleatorio, la terna
(Ω, S, P )
S
es el álgebra de sucesos asociados al experimento
es un
espacio de probabilidad cuando la función
P : S → [0, 1] cumple
Axioma 1 P (Ω) = 1 Axioma 2 P (A ∪ B) = P (A) + P (B), ∀A, B ∈ S con A ∩ B = ∅ (A los sucesos A y B cuya intersección es vacía se llaman incompatibles).
2.1. Actividades A partir de los axiomas de la de nición anterior, demostrar las siguientes propiedades de la función de probabilidad. 1. (*) Las de niciones clásica y frecuentista del concepto de probabilidad cumplen los axiomas de la de nición axiomática.
Ω = {e1 , ..., en } es nito,Py asociamos probabilidad P (ei ) = pi , con 0 ≤ pi ≤ 1, ∀i y ni=1 pi = 1, la función X P (A) = pi
2. (*) Si
a cada uno de ellos,
ei ∈A es una función de probabilidad sobre las partes de
Ω.
3.
P (A) = 1 − P (A), ∀A ∈ S
4.
P (∅) = 0
5. (*) 6.
S = P(Ω), donde P(Ω) indica el conjunto de
P (A) ≤ P (B)
si
A⊆B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C), ∀A, B, C ∈ S
7. (*)
3.
Probabilidad Condicionada La probabilidad condicionada permite asignar probabilidades introduciendo informa-
ciones acerca del experimento o ciertas creencias subjetivas que se dispongan sobre el mismo. Dados dos sucesos
A
y
B
con
P (B) > 0
de nimos la
cionada a que el suceso B ha ocurrido como PB (A) = P (A|B) = Si
P (A|B) = P (A)
decimos que el suceso
A
probabilidad de A condi-
P (A ∩ B) P (B)
es independiente de B . Página: 4
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3.1. Actividades 1. (*) Demostrar que si
(Ω, S, P )
es un espacio de probabilidad, entonces
(Ω, S, PB )
también es un espacio de probabilidad. 2. (*) Demostrar que si
A
3. Demostrar que
A
y
B
B , entonces B es independiente B son independientes.
es independiente de
En ese caso simplemente decimos que
A
y
son independientes si y sólo si
de
A.
P (A ∩ B) = P (A).P (B)
4. (*) Supongamos que A y B son sucesos independientes, demostrar que sus complementarios también lo son. 5. Utiliza la probabilidad condicionada para asignar probabilidad al suceso
A = obtener
dos ases cuando el experimento consiste en extraer dos cartas sin reemplazamiento de una baraja española de 40 cartas.
4.
Probabilidad Total y Regla de Bayes En muchas ocasiones, cuando no se dispone de información sobre el experimento,
resulta muy ventajoso asignar probabilidad a un suceso
A
considerando un conjunto de
condiciones mutuamente excluyentes cuya unión sea el suceso seguro.
E1 , ..., Ek es un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes (Ei ∩ Ej = ∅ si i 6= j ) Pk tales que P (Ei ) > 0 para i = 1, ..., k (probabilidades a priori ) y i=i P (Ei ) = 1 (o bien Sk E = Ω ), entonces: i=1 i k X P (A) = P (A|Ei )P (Ei ) Si
i=1
expresión conocida como
Fórmula de la Probabilidad Total.
La Regla de Bayes permite actualizar nuestras creencias acerca de los elementos
de la partición
Ei ,
calculando las denominadas probabilidades a posteriori, una vez que
conocemos una información; por ejemplo el suceso A ha ocurrido.
P (A|Ej )P (Ej ) P (Ej |A) = Pk i=1 P (A|Ei )P (Ei )
4.1. Actividades 1. Demostrar la Fórmula de la Probabilidad Total. 2. Demostrar la Regla de Bayes para el cálculo de las probabilidades a posteriori.
5.
Bibliografía
1. Tema 2, secciones 2.1, 2,2 y 2.3 del texto Estadística para ingenieros y cientí cos. William Navidi. Editorial McGraw-Hill. 2. Tema 1 del texto Probabilidad y Estadística para Ciencias e Ingenierías. Rosario Delgado de la Torre. Editorial Delta.
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