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Lista de Exercícios - Geometria Métrica Espacial 1) A aresta de um cubo mede 2 cm. De quanto se deve aumentar a diagonal desse cubo de modo que a aresta do novo cubo seja igual a 3 cm? a = 2 cm ⇒ Diagonal = d a' = 3 cm ⇒ Diagonal = d ' = d + x
Para a = 2 cm ⇒ d = 2 3 cm Para a = 3 cm ⇒ d = 3 3 cm
d ' = d + x ⇒ 3 3 = 2 3 + x ⇒ x = 3 cm
2) Calcular a medida da diagonal e a área total de um cubo, sabendose que a diagonal de uma face mede 5 2 cm. a 2 = 5 2 ⇒ a = 5 cm a 2 = 5 2 ⇒ d = a 3 ⇒ d = 5 3 cm St = 6a 2 ⇒ S = 6(5)2 ⇒ S = 150 cm2
3) Aumentando-se a medida da diagonal de um cubo de 5 cm, a sua área total aumentará de 110 cm2. Determinar a medida de sua diagonal. d → St = 6a 2
( )
d + 5 → St ' = 6 a '
2
d =a 3 ⇒a= d + 5 = a ' 3 ⇒ a' =
( )
6 a'
2
= 6a 2 + 110 d 3 d +5 3
(
2
2
d +5 d 6 = 6 + 110 3 3
2 ( d + 5 ) = 2 ( d ) + 110 2
2
)
2 d 2 + 10d + 25 = 2d 2 + 110
= 6a 2 + 110
2d 2 + 20d + 50 = 2d 2 + 110 20d + 50 = 110 20d = 60 d = 3 cm Página 1 de 18
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4) Calcular a aresta de um cubo, sabendo-se que a soma dos comprimentos de todas as arestas com todas as diagonais e com as diagonais das seis faces vale 32 cm. 12a + 4a 3 + 12a 2 = 32 3a + a 3 + 3a 2 = 8
(
)
a 3+ 3 +3 2 =8 a=
8 3+ 3 +3 2
cm
5) Determinar a diagonal de um paralelepípedo sendo 62 cm2 sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões. St = 2(ab + bc + ac ) 62 = 2 (ab + bc + ac ) ab + bc + ac = 31
a + b + c = 10
(a + b + c )
2
= (10 )
2
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac = 100 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac ) = 100 a 2 + b 2 + c 2 + 2(31) = 100 a 2 + b 2 + c 2 = 100 − 62 a 2 + b 2 + c 2 = 38
d = a 2 + b2 + c 2 d = 38 cm
6) Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que são proporcionais aos números 5, 8, 10, e que sua diagonal mede 63 cm. a = 5 k a b c = = = k ⇒ b = 8k 5 8 10 c = 10k
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática d = a 2 + b 2 + c 2 = 63
k=
(5k )2 + (8k )2 + (10k )2 = 63 25k 2 + 64k 2 + 100k 2 = 63
k=
189k 2 = 63
63 3 21
⋅
21 21
63 21 63
k = 21
k (3 21) = 63 a = 5 21 cm Portanto: b = 8 21 cm c = 10 21 cm
7) Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a 96 3 cm2. Calcular a área lateral sabendo que sua altura é igual ao apótema da base. 3l2 3 = 96 2 l2 = 32 2 l 2 = 64
l 3 2 8 3 ab = h = 2 ab = h =
3
ab = h = 4 3 cm
l = 8 cm Sl = 6 ⋅ l × ab = 6 ⋅ 8 ⋅ 4 3 ⇒ Sl = 192 3 cm2
8) Quer-se confeccionar um cubo por meio de uma folha de zinco de 8,64 m2. Qual será o comprimento da aresta do cubo? Qual será o volume do cubo? V = a3
6a 2 = 8,64
V = 1,23
a 2 = 1, 44 a = 1,2 m
V = 1,728 m3
9) Enche-se um recipiente cúbico de metal com água. Dado que um galão do líquido tem um volume de 21.600 cm3, e sendo 120 cm a aresta do recipiente, calcular o número de galões que o recipiente pode conter. V = a3
1 galão =
V = 1203 V = 1.728.000 cm
3
21.600 cm3
x galões = 1.728.000 cm3
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática 1.728.000 ⇒ x = 80 galões 21.600
x=
10) Calcule o volume de um cubo sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é de 5 cm.
( 2) + (a 2)
x2 = a 52 =
2
2
a2 a2 + 4 4
V = a3 V = (5 2)3
a2 = 25 2 a 2 = 50
V = 125 ⋅ 2 2 cm3 V = 250 2 cm3
a = 5 2 cm
11) Calcular o volume de um cubo, sabendo que quando se aumenta sua aresta de 1 m a área lateral do mesmo cresce de 164 m2.
( 4a ) '
2
= 4a 2 + 164
4(a + 1)2 = 4a 2 + 164
V = a3
4(a 2 + 2a + 1) = 4a 2 + 164
V = 203
4a 2 + 8a + 4 = 4a 2 + 164
V = 8000 m3
8a = 160 a = 20 m
12) Calcular o volume de ar contido em uma sala de aula que tem a forma de um ortoedro cujas dimensões são proporcionais aos números 2, 5 e 7 cuja soma das arestas vale 112 m. a = 2k a b c = = = k ⇒ b = 5k 2 5 7 c = 7k 4a + 4b + 4c = 112 a + b + c = 28 2k + 5k + 7k = 28 14k = 28 k =2
a = 2k = 2(2) ⇒ 4 m b = 5k = 5(2) ⇒ 10 m c = 7k = 7(2) ⇒ 14 m
V = abc = 4 ⋅ (10) ⋅ (14) ⇒ V = 560 m3
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13) Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo sabendo-se que a soma de duas delas é 25 m, o volume 900 m3 e a área total 600 m2. a + b = 25
2(ab + ac + bc ) = 600 ab + ac + bc = 300
ab + c (a + b ) = 300 ab + 25c = 300
abc = 900 ab =
900 c
900 + 25c = 300 c 900 + 25c 2 = 300c 25c 2 − 300c + 900 = 0 c 2 − 12c + 36 = 0 (c − 6)2 = 0 ⇒ c = 6 m a + b = 25 150 a+ = 25 a a 2 + 150 = 25a a 2 − 25a + 150 = 0 a1 = 15 m a2 = 10 m
900 c 900 ab = 6 ab = 150 150 b= a ab =
b=
150 a
150 ⇒ b = 10 m 15 150 para a = 10 ⇒ b = ⇒ b = 15 m 10 para a = 15 ⇒ b =
Resposta: As dimensões são 6 m, 10 m e 15 m. 14) Calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m2, sabendo-se que sua área lateral é igual ao dobro da área da base. Sl = 2Sb
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática Sl = 2Sb
St = 144 m2
Sl = 2 ⋅ 36
St = Sl + 2Sb = 144
Sl = 72 m2
2Sb + 2Sb = 144 4Sb = 144
Sl = 4lh = 72
Sb = 36
4 ⋅ 6 ⋅ h = 72 24h = 72
l 2 = 36 l =6m
V = Sb ⋅ h V = 36 ⋅ 3 V = 108 m3
h=3 m
15) Calcular o volume de um prisma triangular regular de 5 3 cm de altura, sabendo-se que a área lateral excede a área da base de 56 3 cm2.
Sl = Sb + 56 3
60l = l 2 + 224
l2 3 3lh = + 56 3 4 3l ⋅ 5 3 = 15l =
l 2 − 60l + 224 = 0
l2 3 + 56 3 4
l2 + 56 4
l12 3 ⋅ h1 4 (4)2 3 V1 = ⋅5 3 4 16 ⋅ 3 ⋅ 5 V1 = 4 V1 = 4 ⋅ 15
l1 = 4 cm l 2 = 56 cm
l 22 3 ⋅ h2 4 (56)2 3 V2 = ⋅5 3 4 3136 ⋅ 3 ⋅ 5 V2 = 4 V2 = 784 ⋅ 15
V1 =
V2 =
V1 = 60 cm3
V2 = 11760 cm3
16) Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9 cm. 3a = 9 a=3
2 a 3 a =h + ⋅ 3 2 2
a 3 a =h + 3 2
2
2
2
2
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática 3 3 (3) = h + 3 2
2
2
9 = h2 +
( 3)
2
h2 = 9 − 3 h2 = 6 h = 6 cm
17) Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7 cm de apótema, sendo 2 cm o raio do círculo circunscrito à base. ap ⋅ a
2 hb 3 2 a 3 R= ⋅ 3 2
Sl = 3 ⋅
R=
a 3 3 a 3 2= 3
Sl = 21 3 cm2
a 3 =6
SB =
R=
a=
6
a=
6 3 3
3
⋅
3 3
a = 2 3 cm
St = Sl + SB
2 7⋅ 2 3 Sl = 3 ⋅ 2
St = 21 3 + 3 3 St = 24 3 cm2
a2 3 4 (2 3 )2 3 SB = 4 SB =
4 ⋅3 3 4
SB = 3 3 cm2
18) Sendo 192 m2 a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3 2 m o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide. a = 2r = 6 2 m SB = a 2 = (6 2)2 = 36 ⋅ 2 = 72 m2 St = Sl + SB
192 = Sl + 72 Sl = 120 m2
ap 2 = h 2 + a 2
Sl = 120 Página 7 de 18
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática 4⋅
ap ⋅ a
(5 2)2 = h 2 + (3 2)2
= 120
2
2 ⋅ ap ⋅ a = 120
25 ⋅ 2 = h 2 + 9 ⋅ 2
2 ⋅ ap ⋅ 6 2 = 120
h 2 = 50 − 18
12 2 ⋅ ap = 120
h 2 = 32
2 ⋅ ap = 10 ap =
10
⋅
h=4 2 m
2
2 2 10 2 ap = 2 ap = 5 2 m
19) Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8 cm e área lateral igual a 3 da área total. Calcular a altura e a 5 área lateral desta pirâmide. ap ⋅ a
SB = a 2 = 82 = 64 cm2
Sl = 4 ⋅
3 ⋅ St 5 3 Sl = ⋅ ( SB + Sl ) 5 3 3 Sl = ⋅ SB + ⋅ Sl 5 5 3 3 Sl = ⋅ 64 + ⋅ Sl 5 5
96 = 2 ⋅ ap ⋅ 8
Sl =
Sl −
2
16ap = 96 ap = 6 cm
a ap 2 = h 2 + 2
3 192 ⋅ Sl = 5 5
3 192 1 − 5 ⋅ Sl = 5
8 62 = h 2 + 2
2 192 ⋅ Sl = 5 5
62 = h 2 + 4 2
Sl = 96 cm2
h 2 = 36 − 16
2
2
h 2 = 20
h = 2 5 cm
20) É construído um depósito em forma cilíndrica de 8 m de altura e 2 m de diâmetro. Determinar a superfície total do depósito. Página 8 de 18
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St = 2π r (h + r ) St = 2π ⋅ 1 ⋅ (8 + 1) St = 18π m2
21) Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem 10 m de diâmetro e 15 m de profundidade? V = π r 2h
V = π ⋅ (5)2 ⋅ 15 V = π ⋅ 25 ⋅ 15 V = 375π m3
22) Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo pluviômetro depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 20π cm. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro sabendo que no recipiente alcançou 180 mm? C = 2π r 20 π = 2 π r r = 10 cm VR = π r 2 h
VP = π r 2h
VR = π ⋅ 102 ⋅ 18 VR = π ⋅ 100 ⋅ 18
1800 π = π ⋅ (15)2 ⋅ h 225 ⋅ h = 1800
VR = 1800π m3
h = 8 cm
23) Qual a massa de mercúrio, em quilogramas, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno 6 cm e altura 18 cm, se a densidade do mercúrio é 13,6 g/cm3. V = π r 2h ⇒ V = π ⋅ (6)2 ⋅ 18 ⇒ V = 648π cm3
d=
m ⇒ m = d ⋅ V ⇒ m ≅ 13,6 ⋅ 648 ⋅ 3,14 ⇒ m ≅ 27.672 g ⇒ m ≅ 27 kg V
24) Qual é a altura de um cilindro reto de 12,56 cm2 de área da base sendo a área lateral o dobro da área da base? Use π = 3,14 .
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π r 2 = 12,56 ⇒ r 2 =
12,56 ⇒ r 2 = 4 ⇒ r = 2 cm 3,14
Sl = 2SB ⇒ Sl = 2 ⋅ 12,56 ⇒ Sl = 25,12 cm2 Sl = 2π rh ⇒ 25,12 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 ⋅ h ⇒ 12,56h = 25,12 ⇒ h = 2 cm
25) Determine a razão entre a área lateral e a área da secção meridiana de um cilindro. Al = 2π rh AS = 2rh
⇒ x=
Al 2π rh ⇒x= AS 2rh
⇒ x =π
26) Calcular a área lateral de um cilindro equilátero sendo 289 cm2 a área de sua secção meridiana. Cilindro equilátero: h = 2r
2rh = 289 ⇒ 2r ⋅ 2r = 289 ⇒ 4r 2 = 289 ⇒ r 2 =
h = 2r ⇒ h = 2 ⋅
289 17 ⇒r = cm 4 2
17 ⇒ h = 17 cm 2
Sl = 2π rh ⇒ Sl = 2 π ⋅
17 ⋅ 17 ⇒ Sl = 289π cm2 2
27) Determinar o raio da base de um cilindro eqüilátero sabendo-se que a área lateral excede de 4π cm2 a área da secção meridiana. Al = As + 4π
h = 2r
2π rh = 2rh + 4π 2π r ⋅ 2r = 2r ⋅ 2r + 4π 4π r 2 = 4r 2 + 4π 4π r 2 − 4r 2 = 4π 4 r 2 (π − 1) = 4 π r2 =
π
π −1 π r = cm π −1
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28) Dão-se as áreas totais 18π m2 e 32π m2 de dois cilindros; cada um tem por raio e por altura, respectivamente, a altura e o raio do outro. Determinar os dois volumes. St 1 = 18π
St 2 = 32π
2 π r1(h1 + r1 ) = 18 π r1(h1 + r1 ) = 9......(1)
2 π r2 (h2 + r2 ) = 32 π r2 (h2 + r2 ) = 16......(2)
h2 (r2 + h2 ) = 9......(3)
h1(r1 + h1 ) = 16......(4)
Da equação (2):
r2 (h2 + r2 ) = 16 16 h2 + r2 = r2
Da equação (3):
h2 (r2 + h2 ) = 9 16 h2 ⋅ =9 r2 9r h2 = 2 16
Da equação (2):
h2 + r2 =
16 r2 9r2 16 + r2 = 16 r2
9r22 + 16r22 = 16 ⋅ 16 25r22 = 256 256 r22 = 25 16 r2 = h1 = m 5
Da equação (1):
r1(h1 + r1 ) = 9 9 h1 + r1 = r1
Da equação (4):
h1(r1 + h1 ) = 16 9 h1 ⋅ = 16 r1 16r1 h1 = 9
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Da equação (1):
h1 + r1 =
9 r1
16r1 9 + r1 = 9 r1
16r12 + 9r12 = 81 25r12 = 81 81 r12 = 25 9 r1 = h2 = m 5
V1 = π r12 h1
V2 = π r22 h2 2
9 16 V1 = π ⋅ ⋅ 5 5 81 16 V1 = π ⋅ ⋅ 25 5 1286 π m3 V1 = 125
2
16 9 V2 = π ⋅ ⋅ 5 5 256 9 V2 = π ⋅ ⋅ 25 5 2304 π m3 V2 = 25
29) Calcular a medida da altura de um cone de raio r sabendo que sua base é equivalente à secção meridiana. π r2 =
2 r ⋅h 2
⇒ h = πr
30) Calcular o raio e a altura de um cone de revolução cujo desenvolvimento é um semi-círculo de raio a. AB =
π=
comprimento do arco raio
2π r a ⇒ 2 π r = π a ⇒ a = 2r ⇒ r = a 2
g 2 = h2 + r 2
a a2 = h 2 + 2
2
a2 = h2 4 3a 2 h2 = 4
a2 −
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a 3 2
31) Determinar a medida da área lateral de um cone equilátero sendo 20 cm a medida de sua geratriz. g = 2r ⇒ 2r = 20 ⇒ r = 10 cm Al = π rg ⇒ Al = π ⋅ (10) ⋅ (20) ⇒ Al = 200π cm2
32) Calcule a área total e o volume de um cone equilátero sabendo que a área lateral é igual a 24π cm2. g = 2r Al = π rg ⇒ 24 π = π ⋅ r ⋅ 2 r ⇒ r 2 = 12 ⇒ r = 2 3 cm SB = π r 2 ⇒ SB = π (2 3 )2 ⇒ SB = π ⋅ (4 ⋅ 3) ⇒ SB = 12π cm2 St = Sl + SB ⇒ St = 24π + 12π ⇒ St = 36π cm2 g = 2r ⇒ g = 2 ⋅ 2 3 ⇒ g = 4 3 cm g 2 = h2 + r 2
(4 3 )2 = h 2 + (2 3 )2 h 2 = 16 ⋅ 3 − 4 ⋅ 3 h 2 = 48 − 12 h 2 = 36 h = 6 cm
1 ⋅ SB ⋅ h 3 1 V = ⋅ 12π ⋅ 6 3 V=
V = 24π cm3
33) O raio da base de um cone mede 12 cm. Sabendo que a altura forma um ângulo de 60º com a geratriz do cone, determine sua área lateral. 12 12 12 2 24 3 ⇒g = ⇒g = ⇒ g = 12 ⋅ ⇒g = ⋅ ⇒ o g sen 60 3 3 3 3 2 24 3 ⇒g = ⇒ g = 8 3 cm 3 sen 60o =
Al = π rg ⇒ Al = π ⋅ (12) ⋅ (8 3 ) ⇒ Al = 96π 3 cm2 Página 13 de 18
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34) Um cone circular reto de altura h = 3 m tem área lateral igual a 6π m2. Determinar o ângulo que a geratriz g faz com a reta suporte de altura h. Al = π rg ⇒ 6 π = π rg ⇒ rg = 6 ⇒ r =
6 g
g 2 = h2 + r 2 6 g 2 = (3)2 + g 36 g2 = 9 + 2 g
2
g 4 = 9g 2 + 36 g 4 − 9g 2 − 36 = 0
g2 = x
x 2 − 9 x − 36 = 0
S = 9 e P = 36
⇒
x1 = −3
e x2 = 12
g 2 = x ⇒ g 2 = 12 ⇒ g = 2 3 m cos α =
3 2 3
⇒ cos α =
3 2 3
3
⋅
3
⇒ cos α =
3 3 3 ⇒ cos α = ⇒ α = 30o 2 2⋅ 3
35) Determinar a relação entre os volumes de um cilindro reto e um cone de revolução sabendo que têm a mesma área total 96π cm2 e o mesmo raio 6 cm. Cilindro reto:
Cone de revolução:
At = 2π rh + 2π r 2
At = π r (r + g )
g 2 = h2 + r 2
At = 2π r ( r + h )
96 π = π r (r + g )
(10)2 = h 2 + (6)2
2 π r (r + h ) = 96 π
96 = r (r + g )
100 = h 2 + 36
r ( r + h ) = 48
96 = 6 ⋅ (6 + g )
h 2 = 64
6 ⋅ (6 + h ) = 48 6+h=8 h = 2 cm
16 = 6 + g g = 10 cm
h = 8 cm
Volume do cilindro reto (V1): V1 = π r 2 h ⇒ V1 = π ⋅ (6)2 ⋅ (2) ⇒ V1 = π ⋅ 36 ⋅ 2 ⇒ V1 = 72π cm3 Página 14 de 18
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Volume do cone de revolução (V2): V2 =
1 2 1 1 π r h ⇒ V2 = ⋅ π ⋅ (6)2 ⋅ (8) ⇒ V2 = ⋅ π ⋅ 36 ⋅ 8 ⇒ V2 = 96π cm3 3 3 3
V1 72 π V V V V 36 18 9 3 = ⇒ 1 = ⇒ 1 = ⇒ 1 = ⇒ 1 = V2 96 π V2 48 V2 24 V2 12 V2 4
36) Determinar o volume de um cone de revolução sendo 126π cm2 sua área lateral e 200π cm2 sua área total. Sl = 126π
rg = 126
π rg = 126 π
74g = 126 g=
126
g=
63 74 cm 37
V=
1 ⋅ π r 2h 3
V=
1 ⋅π ⋅ 3
rg = 126
74
⋅
74 74 126 74 g= 74
St = 200π
π r (g + r ) = 200 π r ( g + r ) = 200 rg + r 2 = 200 126 + r 2 = 200 r 2 = 74 r = 74 cm g 2 = h2 + r 2 2
63 74 2 = h + 74 37 3969 ⋅ 74 = h 2 + 74 1369 3969 ⋅ 2 h2 = − 74 37 7938 h2 = − 74 37 7938 − 2738 h2 = 37 5200 h2 = 37 20 13 37 h= ⋅ 37 37
(
)
2
(
74
)
2
⋅
20 481 37
1 20 481 ⋅ π ⋅ 74 ⋅ 3 37 1 V = ⋅ π ⋅ 2 ⋅ 20 481 3 40 481 π cm3 V= 3
V=
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática h=
20 481 cm 37
37) Determinar a medida do raio da base e da geratriz de um cone sendo h a medida de sua altura e π m2 sua área total. St = π
π r (g + r ) = π ⇒ r (g + r ) = 1 ⇒ rg + r 2 = 1 ⇒ rg = 1 − r 2 ⇒ g =
g 2 = h2 + r 2
g=
2
1− r 2 2 2 =h +r r
g=
1− r 2 r
1− r 2 r
1−
1 h +2 1 2
h2 + 2 h2 + 2 − 1 g= ⋅ h2 + 2 2 h +2 1 h2 + 1 g= 2 ⋅ h2 + 2 2 h +2
1 − 2r 2 + r 4 = h2 + r 2 2 r
(
1 − 2r 2 + r 4 = h 2 r 2 + r 4
(
)(
)
1 − 2r 2 = h 2 r 2
g = h2 + 1 ⋅ h2 + 2
h 2 r 2 + 2r 2 = 1
g=
g=
r 2 (h 2 + 2) = 1
r2 = r=
)
−1 2
h2 + 1
(h
2
+2
)
1 2
h2 + 1 h2 + 2
1 h +2 1 2
h2 + 2
38) Determinar a medida do raio de uma esfera sabendo que seu volume e sua superfície são expressos pelo mesmo número. V =A⇒
4 r π r 3 = 4 π r 2 ⇒ = 1⇒ r = 3 3 3
39) Determinar o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro. V1 =
4 3 πr 3
V2 = 2V1 Página 16 de 18
UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática 4 π ⋅ (10)3 3 4 V1 = π ⋅ 1000 3 4000 V1 = π cm3 3
4000 π 3 8000 V2 = π cm3 3
V1 =
V2 = 2 ⋅
4 8000 π r3 = π 3 3 r 3 = 2000 r = 10 3 2 cm
40) Sabendo que o diâmetro de uma esfera é os 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão entre as áreas dessas duas esferas. d1 =
3 3 3 d 2 ⇒ 2 r1 = ⋅ 2 r2 ⇒ r1 = r2 5 5 5
S1 = 4π r12
S2 = 4π r22 2
3 S1 = 4π r2 5 9 2 S1 = 4π ⋅ r2 25 36 S1 = π r22 25
36 36 π r22 S1 25 S1 25 S S 9 36 1 ⋅ ⇒ 1 = = ⇒ = ⇒ 1 = 2 S2 S2 4 S2 25 4 S2 25 4 π r2
41) Uma bola de ouro de raio r se funde transformando-se em um cilindro de raio r. Determinar a altura do cilindro. VESFERA = VCILINDRO ⇒
4 3 4 4 π r = π r 2h ⇒ π r 3 = π r 2 h ⇒ h = r 3 3 3
42) Uma esfera tem 25π cm2 de superfície. De quanto devemos aumentar o raio, para que a área passe a ser de 64π cm2. 4 π r 2 = 25 π ⇒ 4r 2 = 25 ⇒ r 2 =
25 5 ⇒ r = cm 4 2
4 π (r + x )2 = 64 π ⇒ 4 (r + x )2 = 64 ⇒ (r + x )2 = 16 ⇒ r + x = 4
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Engenharia Civil Disciplina: Fundamentos de Matemática r +x =4⇒
5 5 3 + x = 4 ⇒ x = 4 − ⇒ x = cm 2 2 2
43) Determinar a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera sabendo que seus volumes são iguais. VC = a 3 4 3 4 3 4 3 4 3 ⇒ a = πr ⇒ a = 3 πr ⇒ a = r ⋅ 3 π 3 3 3 VE = π r 3
SC = 6a 2 2 SE = 4π r
4 6⋅r ⋅ 3 π 3 SC SC 6a 2 = ⇒ = SE 4π r 2 SE 4π r 2
SC = SE
⇒
3⋅ 3
2
16 2 6 ⋅ r 2 ⋅ 3 π 9 ⇒ SC = SE 4π r 2
2
16 2 6 ⋅ r2 ⋅3 π 9 ⇒ SC = ⇒ SE 4π r 2
16 2 π S S S 23 ⋅ 2 2 1 2 1 2 1 9 π ⋅ ⇒ C = 3⋅ 3 ⇒ C = 3⋅ 2 ⋅3 π2 ⋅ ⇒ C = 3⋅3 π2 ⋅ SE SE SE 2π 9 2π 9 π 9 2π
SC S 2 π2 2 = 3⋅ 3 ⋅ ⇒ C = 3⋅ 3 3 SE 9 π SE 9π
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