Matematika Teknik Dasar-2 10 – Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Volume Benda-Putar
Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinatordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadap OX.
Volume Benda-Putar
Volume yang dibentuk oleh potongan kira-kira sama dengan volume yang dibentuk oleh empat-persegi panjang, atau 𝜹𝑽 = 𝒚𝟐 . 𝒅𝒙
Volume Benda-Putar
Jika dibagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan tipis. Maka masing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume 𝜋𝑦 2 . 𝛿𝑥 𝑥=𝑏
∴ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑉 = 𝜋𝑦 2 . 𝛿𝑥 𝑥=𝑎
Volume Benda-Putar Dalam pendekatan model ini muncul kesalahan dikarenakan luas daerah di atas masing-masing adalah empat-persegi panjang, sehingga muncul pola tangga. Tetapi jika 𝛿𝑥 → 0, kesalahan akan hilang maka 𝑉 =
𝑏 𝑦𝜋 𝑎2 . 𝛿𝑥
Contoh - 1 Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh y=5cos2x, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x=0 dan x=/4, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x 𝜋/4
𝜋/4
𝑉= න
𝜋𝑦 2 . 𝛿𝑥 = 25𝜋 න
0
0
𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥𝑑𝑥
Dinyatakan dalam bentuk sudut ganda (4x) cos 2𝜃 =
2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
− 1;
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
=
1 2
1 + cos 2𝜃
25𝜋 𝜋/4 න 𝑉= 1 + cos 4𝑥 𝑑𝑥 4 0
Contoh - 1 25𝜋 sin 4𝑥 𝜋/4 𝑉= 𝑥+ 4 4 0 25𝜋 𝜋 𝑉= +0 − 0+0 4 4 25𝜋2 V= 8
satuan3
Contoh - 2 Persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t2, y = 3t – t2. Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x dan ordinat-ordinat yang bersangkutan dengan t=0 dan t=2, diputar mengelilingi sumbu-x 𝑏
𝑉=න 𝑡=2
𝑉=න 𝑡=0
𝜋𝑦 2 . 𝑑𝑥
𝑎
𝜋 3𝑡 − 𝑡 2 2 . 𝑑𝑥
x = 3t2, y= 3t-t2 c = 3t2 dx = 6t dt
Contoh - 2 2
𝑉 = 𝜋 න 9𝑡 2 − 6𝑡 3 + 𝑡 4 6𝑡𝑑𝑡 0
2
𝑉 = 6𝜋 න 9𝑡 2 − 6𝑡 3 + 𝑡 4 𝑑𝑡 0
𝑉 = 6𝜋
9𝑡 4 4
−
6𝑡 5 5
+
2
𝑡6 6
0
𝑉 = 6𝜋 36 − 38,4 + 10,67 𝑉 = 6𝜋 8,27 𝑉 = 156 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛3
Volume Benda-Putar Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva y=x2+5, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3, diputar mengelilingi sumbu-y sampai satu putaran penuh.
Volume Benda-Putar Pada kasus tersebut tidak memiliki rumus standar, karena rumus 𝑉 = 𝑏 𝑦𝜋 𝑎2 . 𝑑𝑥 adalah rumus untuk rotasi mengelilingi sumbu-x. Dibuat metode umum
Volume yang dibentuk oleh potongan = Volume yang dibentuk oleh empat persegi panjang (silinder tipis yang berongga)
Volume Benda-Putar ∴ 𝛿𝑉 ≈ 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑥 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝛿𝑉 ≈ 𝑦𝛿𝑥. 2𝜋𝑥 ≈ 2𝜋𝑥𝑦. 𝛿𝑥 Maka untuk semua potongan seperti ini di antara x=1 dan x=3: 𝑥=3
𝑉 ≈ 𝛿𝑉 ≈ 2𝜋𝑥𝑦. 𝛿𝑥 𝑥=1
Jika 𝛿𝑥 → 0, kesalahan akan hilang dan akan diperoleh 3
𝑉 = 2 න 𝜋𝑥𝑦 𝑑𝑡 1
Contoh - 3 Menggunakan soal yang diberikan pada pembahasan sebelumnya. Karena y=x2 + 5, maka dapat mensubstitusikan y: 3
3
3
𝑉 = 2 න 𝜋𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 2𝜋 න 𝑥 𝑥 2 + 5 𝑑𝑥 = 2𝜋 න 𝑥 3 + 5𝑥 𝑑𝑥 1
1
4
𝑥 5𝑥 𝑉 = 2𝜋 + 4 2
𝑉 = 2𝜋
3
2 1
81 45 1 5 + − + 4 2 4 2
1
Contoh - 3 80 40 𝑉 = 2𝜋 + 4 2 𝑉 = 2𝜋 20 + 20 V = 80 satuan3
Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potongan elementer dan kemudiann menghitung momennya (a) terhadap OY untuk mencari 𝑥,ҧ dan (b) terhadap OX untuk mencari 𝑦. ത 𝐴𝑥ҧ ≈ σ𝑥=𝑏 𝑥=𝑎 𝑥. 𝑦𝛿𝑥 𝐴𝑦ത ≈
𝑦 𝑥=𝑏 σ𝑥=𝑎 . 𝑦𝛿𝑥 2 𝑏
Yang menghasilkan 𝑥ҧ =
𝑥𝑑𝑦𝑥 𝑎 𝑏 𝑥𝑑𝑦 𝑎
, 𝑦ത =
1 𝑏 2 𝑥𝑑 𝑦 2 𝑎 𝑏 𝑥𝑑𝑦 𝑎
Contoh - 4 Carilah posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh y=e2x, sumbu-x, sumbu-y, dan ordinat di x=2 Jawaban: Langkah pertama dicari 𝑥ҧ 𝑥ҧ =
𝑏 𝑥𝑑𝑦𝑥 𝑎 𝑏 𝑥𝑑𝑦 𝑎
, yang kemudian dihitung kedua integral
secara terpisah.
Contoh - 4
Misalkan, 𝑥ҧ = Maka 𝐼1 =
𝐼1 𝐼2
2 0 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥
𝑒 2𝑥 2
1 − 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 2 0 2𝑥 2𝑥 2
𝑥𝑒 𝑒 𝐼1 = − 2 4
2
0
4 𝑒 1 4 𝐼1 = 𝑒 − − − 4 4 3𝑒 4 1 3𝑒 4 + 1 𝐼1 = + = 4 4 4
Contoh - 4
Maka 𝐼2 =
2 2𝑥 0 𝑒 𝑑𝑥
Sehingga 𝑥ҧ =
𝐼1 𝐼2
=
=
𝑒 2𝑥 2 0
2
3𝑒 4 +1 2 . 4 4 𝑒 −1
= =
𝑒4 2
1 2
− =
3𝑒 4 +1 2 𝑒 4 −1
=
𝑒 4 −1 2 3 54,60 +1 2 54,60−1
𝑥ҧ = 1,537 Kemudian dicari 𝑦ത
𝑦ത =
21 2 0 2 𝑦 𝑑𝑥 2 0 𝑦𝑑𝑥
𝐼3 = 𝐼2
=
163,8+1 109,2−2
=
164,8 107,2
Contoh - 4 2
1 2 𝐼3 = න 𝑦 𝑑𝑥 0 2 2 2 4𝑥 2 1 1 1 𝑒 1 8 2 4𝑥 𝐼3 = න 𝑦 𝑑𝑥 = න 𝑒 𝑑𝑥 = = 𝑒 −1 2 0 2 0 2 2 0 8 1 8 𝐼3 8 𝑒 − 1 1 4 1 𝑦ത = = = 𝑒 − 1 = 54,60 + 1 = 13,90 𝐼2 1 𝑒 4 − 1 4 4 2 Maka sentroidnya adalah di 𝑥ҧ = 1,537 dan 𝑦ത = 13,90
Pusat Massa Suatu Benda Putar Akan dicari posisi pusat massa (centre of gravity) dari suatu benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu-x, dna ordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu-x Jika diambil cakram-cakram elementer dan menjumlahkan seluruh momen volumenya (atau momen massanya) terhadap OY, maka kita dapat menghitung 𝑥.ҧ 𝑏
𝑥ҧ =
𝑦𝑥 𝑎2 𝑑𝑥 𝑏 𝑦𝑥 𝑎2 𝑑𝑥
, sedangkan 𝑦ത = 0
Contoh - 5 Carilah posisi pusat massa dari benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva x2 + y2 = 16, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3 diputar mengelilingi sumbu-x 3 3 3 4 𝑥 2 3 2 𝐼1 = න 𝑥 16 − 𝑥 𝑑𝑥 = න 16𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 8𝑥 − 4 1 1 1 81 1 𝐼1 = 72 − − 8− = 64 − 20 = 44 4 4
∴ 𝐼1 = 44
Contoh - 5
3
𝐼2 = න 16 − 1
3
3
𝑥2
𝑥 𝑑𝑥 = 16𝑥 − 3
1
1 1 1 𝐼1 = 48 − 9 − 16 − = 23 ∴ 𝐼2 = 23 3 3 3 𝐼1 44 3 132 𝑥ҧ = = . = = 1,89 𝐼2 1 70 70 Jadi 𝑥ҧ = 1,89 dan 𝑦ത = 0
Panjang Kurva Akan dicari panjang busur suatu kurva y=f(x) diantara x=a dan x=b
Misalkan P adalah titik (x,y) dan Q adalah suatu titik pada kurva di dekat P. misalkan 𝛿𝑥= panjang busur kecil PQ.
Panjang Kurva Maka: 𝛿𝑠 𝛿𝑠 𝛿𝑥 Jika 𝛿𝑥 → 0
2 2
≈ 𝛿𝑥
2
+ 𝛿𝑦
𝛿𝑦 ≈1+ 𝛿𝑥
𝑑𝑠 𝑑𝑥
=
1+
2
𝛿𝑠 ∴ 𝛿𝑥
2
∴ 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥
𝛿𝑠 𝛿𝑥 ∴𝑠=
2 2
𝛿𝑦 ≈1+ 𝛿𝑥
≈ 𝑏 𝑎
2 2
𝛿𝑦 1+ 𝛿𝑥 1+
2
𝑑𝑦 2 . 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Contoh - 6
Carilah panjang dari kurva y=10 cosh
𝑥 10
diantara x=-1 dan x=2
Jawaban: y=10 cosh
𝑥 10
𝑠=
𝑑𝑦 𝑥 = sinh 𝑑𝑥 10 2
∴𝑠=න −1
2 −1
1+
𝑑𝑦 2 . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2
𝑑𝑦 ∴1+ 𝑑𝑥
𝑥 𝑥 2 =1+ = 𝑐𝑜𝑠ℎ 10 10 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ2 . 𝑑𝑥 = න cosh 𝑑𝑥 = 10 sinh 10 10 10 −1 −1 𝑠𝑖𝑛ℎ2
Contoh - 6 𝑠 = 10 (sinh 0,2 − sinh(−0,1)) sinh −𝑥 = − sinh 𝑥 𝑠 = 10 (sinh 0,2 + sinh 0,1) = 10(0,2013 + 0,1002) 𝑠 = 10 0,3015 = 3,015 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛
Panjang Kurva – Persamaan Parametrik Daripada dilakukan proses perubahan variable integral seperti yang dilakukan sebelumnya jika kurva dinyatakan dalam persamaan parametrik, dapat dibuat suatu bentuk kurva yang akan memudahkan pekerjaan. Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑡 , 𝑥 = 𝐹(𝑡)
Seperti sebelumnya: 𝛿𝑠
2
= 𝛿𝑥
2
+ 𝛿𝑦
2
Bagi kedua sisi dengan 𝛿𝑡 ∴
𝑑𝑠 2 𝑑𝑡
=
𝑑𝑥 2 𝑑𝑡
+
𝑑𝑦 2 𝑑𝑡
2
Panjang Kurva – Persamaan Parametrik Jika t 0, ini mejadi: 𝑑𝑠 2 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡
=
=
𝑑𝑥 2 𝑑𝑡
𝑑𝑥 2 𝑑𝑡
+
+
𝑑𝑦 2 𝑑𝑡
𝑑𝑦 2 𝑑𝑡
∴𝑠=
𝑡=𝑡2 𝑡=𝑡 1
𝑑𝑥 2 𝑑𝑡
+
𝑑𝑦 2 . 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Contoh 7 Carilah panjang dari kurva 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝜃, 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛3 𝜃 di antara titik-titik yang berkorespondensi dengan =0 dan =/2 Ingatlah 𝑠 =
𝜋/2 0
Kita memiliki
𝑑𝑥 𝑑𝜃
∴
𝑑𝑥 2 𝑑𝜃
+
𝑑𝑦 2 . 𝑑𝜃 𝑑𝜃
= 6𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − sin 𝜃 = −6𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑦 = 6𝑠𝑖𝑛2 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + = 36 𝑐𝑜𝑠 4 𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 36𝑠𝑖𝑛4 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃
Contoh 7
∴
2
𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃
2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃
∴
2
𝑑𝑥 𝑑𝜃
2
= 36 𝑐𝑜𝑠 4 𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 36𝑠𝑖𝑛4 𝜃𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 2
= 36 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
2
= 36 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
2
= 6 sin 𝜃 cos 𝜃 = 3 sin 2𝜃
Contoh 7
𝜋/2
𝜋/2
cos 2𝜃 ∴ 𝑠 = න 3 sin 2𝜃 𝑑𝜃 = 3 − 2 0 0 1 1 𝑠=3 − − = 3 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 2 2
Luas Permukaan Benda Putar Jika busur suatu kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka putaran ini akan membentuk suatu permukaan. Carilah luas permukaan benda-putar yang terjadi jika busur suatu kurva y=f(x) diantara x=x1 dan x=x2 diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x.
Luas Permukaan Benda Putar Jika kita memutar sebuah elemen busur kecil dengan panjang 𝛿𝑠 satuan, maka putaran ini akan membentuk pita tipis dengan luas A. Maka 𝛿𝐴 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝑠 Dengan membagi kedua sisi dengan x 𝑑𝐴 𝑑𝑥
=
Seperti yang telah kita lihat sebelumnya
𝑑𝑠 𝑑𝑥
kita peroleh
𝑑𝑠 2𝜋𝑦 𝑑𝑥
=
1+
𝑑𝑦 2 𝑑𝑥
Luas Permukaan Benda Putar
𝑑𝐴 𝑑𝑦 ∴ = 2𝜋𝑦 1 + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Sehingga 𝐴 =
𝑥2 𝑥2𝜋𝑦 1
1+
𝑑𝑦 2 𝑑𝑥
2
Contoh 8 Carilah luas permukaan yang terbentuk jika busur dari parabola y2=8x di antara x=0 dan x=2 diputar mengelilingi sumbu-x
Jawaban 2
𝑑𝑦 𝐴 = න 2𝜋𝑦 1 + 𝑑𝑥 0 𝑦2
= 8𝑥
∴2
. 𝑑𝑥
𝑑𝑦 ∴ = 2𝑥 1/2 𝑑𝑥
2𝑥 1/2
𝑑𝑦 ∴1+ 𝑑𝑥
2
2
2 𝑥+2 =1+ = 𝑥 𝑥
𝑑𝑦 ∴ 𝑑𝑥
2
2 = 𝑥
Contoh 8
2
∴ 𝐴 = න 2𝜋2
2 𝑥 1/2
0 2
𝐴 = න 4 2. 𝜋. 𝑥 1/2 0
𝑥+2 . 𝑑𝑥 𝑥
𝑥 + 2 1/2 𝑑𝑥 1/2 𝑥
2
𝐴 = 4 2. 𝜋 න 𝑥 + 2 0
𝑥+2 𝐴 = 4 2. 𝜋 3/2
1/2 𝑑𝑥 3/2 2
0
Contoh 8
4 2. 𝜋 𝐴= 8 − 2 2 3 8𝜋 8𝜋 𝐴= 8 2−4 = 7,314 3 3 𝐴 = 19,5𝜋 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛2
Luas Permukaan Benda-Putar – Persamaan Parametrik Telah dilihat bahwa jika kita memutar sebuah busur kecil s, maka luas A dari pita tipis yang terbentuk diberikan oleh: 𝛿𝐴 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝑠 Jika dibagi semua sisi dengan , maka didapatkan 𝛿𝐴 𝛿𝑠 ≈ 2𝜋𝑦. 𝛿𝜃 𝛿𝜃 Dan jika 0, ini menjadi: 𝑑𝐴 𝑑𝑠 ≈ 2𝜋𝑦. 𝑑𝜃 𝑑𝜃
Luas Permukaan Benda-Putar – Persamaan Parametrik
Ketika membahas tentang panjang kurva, maka: 𝑑𝑠 = 𝑑𝜃 𝛿𝐴 ∴ = 2𝜋𝑦 𝛿𝜃 𝜃2
∴ 𝐴 = න 2𝜋𝑦 𝜃1
𝑑𝑥 𝑑𝜃
2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃
2
2
2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃 𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
2
2
. 𝑑𝜃
Contoh 9 Carilah luas permukaan yang dihasilkan ketika kurva x=a(- sin ), y=a(1 cos) antara =0 dan = diputar mengelilingi sumbu-x sampai satu putaran penuh. Disini
𝑑𝑥 𝑑𝜃
= 𝑎 1 − cos 𝜃
∴
𝑑𝑥 2 𝑑𝜃
𝑑𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝜃
2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
= 𝑎2 1 − 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑑𝑦 ∴ 𝑑𝜃
2
= 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
2
= 𝑎2 1 − 2 cos 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Contoh 9
𝑑𝑥 ∴ 𝑑𝜃
2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
2
=
2𝑎2 𝑑𝑥 𝑑𝜃
2
1 − cos 𝜃 𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 cos 𝜃 = 1 −
2
=
4𝑎2 𝑠𝑖𝑛2
2𝑠𝑖𝑛2
𝜃 2
Diselesaikan integralnya dan dicari luas permukaan yang terbentuk 𝜋
𝐴 = න 2𝜋𝑦 0
𝑑𝑥 𝑑𝜃
2
𝑑𝑦 + 𝑑𝜃
2
. 𝑑𝜃
𝜃 2
Contoh 9 𝜋
𝜋 𝜃 𝜃 𝜃 2 𝐴 = 2𝜋 න 𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 2𝑎 sin . 𝑑𝜃 = 2𝜋 න 𝑎 2𝑠𝑖𝑛 . 2𝑎 sin . 𝑑𝜃 2 2 2 0 0 𝜋 𝜃 𝜃 2 2 𝐴 = 8𝜋𝑎 න 1 − 𝑐𝑜𝑠 . sin . 𝑑𝜃 2 2 0 𝜋 𝜃 𝜃 𝜃 2 2 𝐴 = 8𝜋𝑎 න 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 sin . 𝑑𝜃 2 2 2 0 𝜋 3 𝜃 2𝑐𝑜𝑠 𝜃/2 2 𝐴 = 8𝜋𝑎 −2 cos + 2 3 0
𝐴 = 8𝜋𝑎2 0 − −2 + 2/3 2 32𝜋𝑎 𝐴 = 8𝜋𝑎2 4/3 = 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛2 3
Aturan-Aturan Pappus
Ada dua aturan yang bermanfaat dan perlu diketahui: 1. Jika busur dari suatu kurva bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidang tersebut, maka luas permukaan yang terbentuk akan sama dengan panjang kurva tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya
2. Jika suatu bentuk bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu putar dalam bidang tersebut, maka volume yang terbentuk akan sama dengan luas bentuk tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.
