Matematika Teknik Dasar-2 11 – Aplikasi Integral - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Momen Inersia Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik Dengan persamaan sebagai berikut 𝐸𝐾 =
1 𝑚𝑣 2 2
Dalam bidang teknik banyak terapan benda yang berotasi: roda, bubungan (cam), poros, poros dynamo (armature), dsb. Pergerakan dinyatakan dalam putaran per detik
Momen Inersia Diperhatikan sebuah partikel P dengan massa m yang berputar mengelilingi sumbu-x dengan kecepatan sudut konstan radian per detik. Berarti bahwa sudut di pusat lingkaran bertambah dengan kecepatan radian per detik. Maka disimpulkan kecepatan linear P, v cm/s, bergantung pada dua kuantitas a. Kecepatan sudut ( rad/s) b. Seberapa jauh P dari pusat
Momen Inersia Untuk mendapatkan sudut 1 radian dalam satu detik. P harus bergerak pada lingkaran dengan jarak yang sama dengan panjan 1 jari-jari, sebesar r (cm) Jika bertambah dengan kecepatan 1 rad/s, P bergerak dengan kecepatan r cm/s Jika bertambah dengan kecepatan 2 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 2r cm/s
Jika bertambah dengan kecepatan 3 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 3r cm/s
Momen Inersia Maka dari maksud slide sebelumnya bisa disimpulkan bahwa kecepatan sudut P adalah rad/s, maka kecepatan linear, dari P adalah = r Dari sebelumnya didapatkan 𝐸𝐾 =
1 𝑚𝑣 2 2
1 𝐸𝐾 = 𝑚 𝜔𝑟 2 2 1 2 𝐸𝐾 = 𝜔 . 𝑚𝑟 2 2
Momen Inersia Ada sebuah sistem yang tersusun dari partikel-partikel yang berotasi terhadap sumbu XX dengan kecepatan sudut sama sebesar rad/s, maka tiap partikel menyumbangkan energinya: 1 2 𝐸𝐾1 = 𝜔 . 𝑚1 𝑟12 2 1 2 𝐸𝐾2 = 𝜔 . 𝑚2 𝑟22 2 1 2 𝐸𝐾3 = 𝜔 . 𝑚3 𝑟32 2 1 2 𝐸𝐾4 = 𝜔 . 𝑚4 𝑟42 2
Momen Inersia EK = EK1 + EK2 + EK3 + EK4 + ... EK =
1 2 𝜔 . 𝑚1 𝑟12 2
+
1 2 𝜔 . 𝑚2 𝑟22 2
+
1 2 𝜔 . 𝑚3 𝑟32 2
+
1 2 𝜔 . 𝑚4 𝑟42 2
1 2
EK = σ 𝜔2 . 𝑚𝑟 2 (jumlah seluruh partikel) EK
1 2 = 𝜔 σ. 𝑚𝑟 2 2
(karena adalah konstanta)
+ ...
Momen Inersia
EK
1 2 = 𝜔 σ. 𝑚𝑟 2 2
Dapat disimpulkan dua faktor berbeda:
a.
1 2 𝜔 2
dapat diubah-ubah dengan mempercepat atau memperlambat laju rotasi
b. σ. 𝑚𝑟 2 adalah difat benda yang berotasi. Ini adalah sifat fisik dari benda dan disebut momen kedua dari massa, atau momen inersia (dinyatakan dengan simbol I) 𝐼 = σ 𝑚𝑟 2 (untuk seluruh partikel)
Momen Inersia 𝐼 = σ 𝑚𝑟 2 (untuk seluruh partikel) I = 2.32 + 1.12 + 3.22 + 4.22 I = 18 + 1 + 12 + 16 = 47 kg.m2
Jari-Jari Girasi Jika dimisalkan massa total M berjarak k dari sumbu Maka EK dari M akan sama dengan σ 𝐸𝐾 1 2 2 1 2σ 𝜔 . 𝑀𝑘 = 𝜔 . 𝑚𝑟 2 2 2
𝑀𝑘 2 = σ 𝑚𝑟 2 k disebut sebagai jari-jari girasi sebuah benda terhadap sumbu rotasi tertentu. Jadi I = σ 𝑚𝑟 2 ; Mk2 = I, dengan M = σ 𝑚
Contoh -1 Cari momen inersia (I) dan jari-jari girasi (k) dari sebuah batang tipis homogen terhadap sebuah sumbu yang melalui salah satu ujung yang tegak lurus terhadap panjang batang tersebut. Misal = massa per satuan panjang batang massa dari elemen PQ = .x Momen kedua dari massa PQ terhadap XX = massa x (jarak)2
= .x.x2 = x2.x Momen kedua total untuk semua elemen ditulis 𝐼 ≈ σ𝑎𝑥=0 𝜌𝑥 2 . 𝛿𝑥
Contoh -1 Tanda aproksimasi () dipakai karena x adalah jarak sampai ke sisi kiri dari elemen PQ Jika x 0, maka menjadi: 𝑎
𝐼 = න 𝜌𝑥 2 . 𝑑𝑥 = 𝜌 0
𝑎 3 𝑥
3
0
𝜌𝑎3 = 3
Digunakan Mk2=I digunakan untuk mencari k. Awal mula ditentukan massa total M. 𝑀 = 𝑎𝜌
Contoh -1 𝜌𝑎3 𝐼= 3 𝑀 = 𝑎𝜌 Mk2 = I 𝑎2 3
k2
=
I=
𝜌𝑎3 3
∴ 𝑎𝜌. 𝑘 2 = ∴𝑘=
𝑎 3
𝜌𝑎3 3
Contoh -2 Carilah I untuk sebuah pelat empat-persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisi. Misal = massa per satuan luas dari pelat Massa dari potongan PQ = b.x. Momen kedua massa dari massa potongan terhadap XX bx. (massa x jarak2) Momen kedua total untuk seluruh potongan 𝑥=𝑑/2
𝐼 = σ𝑥=𝑑/2 𝑏𝜌𝑥 2 . 𝛿𝑥
Contoh -2 Jika x 0 3 𝑑/2
−𝑑/2
𝑏𝜌𝑥 2 . 𝛿𝑥
𝐼=න −𝑑/2
𝐼 = 𝑏𝜌 Massa total M=bd, 𝐼=
𝑏𝜌𝑑 3 12
=
𝑀𝑑 2 12
𝑑3 𝑑3 − − 24 24
𝑀𝑑 2 I= 12
dan 𝑘 =
𝑑 12
𝑥 = 𝑏𝜌 3
=
𝑑 2 3
=
−𝑑/2 𝑏𝜌𝑑3
12
Contoh - 3 Carilah I untuk sebuah pelat emapt-persegi-panjang, 20cm x 10cm, dengan massa 2kg. Terhadap sumbu yang berjarak 5cm dari sisi yang panjangnya 20cm. Jawaban: Diambil sebuah potongan sejajar dengan sumbu. Diperhatikan pada contoh ini: 2 2 𝜌= = = 0,01 10.20 200 Maka = 0,01 kg/cm2
Contoh - 3 = 0,01 kg/cm2 Luas potongan = 20.x Massa potongan = 20.x.
Momen kedua dari massa potongan terhadap XX 20.x..x2 Momen kedua total dari masssa=
Jika x 0, 𝐼 =
15 5 20𝜌𝑥 2 . 𝑑𝑥
𝑥=15 𝐼 =𝑥5 20𝜌𝑥 2 . 𝑑𝑥
= 20𝜌
15 𝑥3 20𝜌 = 3 5 3
3375 − 125 = 217 kg.cm2
Contoh - 3 Nilai k Mk2=I dan M=2kg 2k2 = 217
k2=108,5
k = 108,5 = 10,4 cm
Kesimpulan Tahapan mencari nilai I ▪ Ambil sebuah potongan yang sejajar sumbu rotasi pada jarak x dari sumbu tersebut ▪ Bentuklah sebuah pernyataan untuk momen kedua dari massa terhadap sumbu ▪ Jumlahkan seluruh potongan
▪ Ubah menjadi bentuk integral dan dihitung
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar ▪ Jika I terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massa sebuah benda diketahui, maka dengan mudah menuliskan nilai I terhadap sumbu lain yang sejajar dan diketahui jaraknya dari sumbu yang pertama.
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar Misalkan G adalah pusat massa Misalkan m = massa potongan PQ 𝐼𝐺 = 𝑚𝑥 2 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚 𝑥 + 1
2
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
∴ 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚 𝑥 2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙 2 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚𝑥 2 + 2𝑚𝑥𝑙 + 𝑚𝑙 2 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚𝑥 2 + 2𝑙 𝑚𝑥 + 𝑙 2 𝑚 σ 𝑚𝑥 2 = 𝐼𝐺 ; σ 𝑚 = 𝑀 IAB = IG + Ml2
Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar
∴ 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚 𝑥 2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙 2 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚𝑥 2 + 2𝑚𝑥𝑙 + 𝑚𝑙 2 𝐼𝐴𝐵 = 𝑚𝑥 2 + 2𝑙 𝑚𝑥 + 𝑙 2 𝑚 σ 𝑚𝑥 2 = 𝐼𝐺 ; σ 𝑚 = 𝑀 IAB = IG + Ml2
Contoh - 4 Dicari I untuk terhadap sumbu AB untuk pelat empat-persegi-panjang di bawah ini:
Contoh - 4 Jawaban:
𝑀𝑑2 3.16 𝐼𝐺 = = = 4 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2 12 12 𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝑙 2 𝐼𝐴𝐵 = 4 + 3.25 𝐼𝐴𝐵 = 4 + 75 = 79 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2
Contoh - 5 Sebuah pintu terbuat dari logam, 40cm x 60cm, mempunyai massa 8kg dan diberi engsel pada salah satu sisi dengan panjang 60cm. Hitunglah: a. I terhadap XX, yaitu sumbu yang melalui pusat massa b. I terhadap garis yang melalui engsel, AB c. K terhadap AB
Contoh - 5 Jawaban: Soal a 𝐼𝐺 =
𝑀𝑑 2 12
=
8.40 12
=
3200 12
=1067 kg cm2
Soal b 𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝑙 2 = 1067 + 8.202 = 1067 + 3200 = 4267 kg cm2
Soal c Mk2 = IAB ; 8k2=4267 ; k2 = 533,4 ; k=23,1 cm
Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis) Misalkan m adalah suatu massa kecil di P
Maka IX σ 𝛿𝑚. 𝑦 2 dan Iy σ 𝛿𝑚. 𝑥 2 Misalkan ZZ adalah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu XX dan YY Iz = σ 𝛿𝑚. 𝑂𝑃
2
Iz = σ 𝛿𝑚. 𝑥 2 + 𝑦 2
2
Iz = σ 𝛿𝑚. 𝑦 2 + σ 𝛿𝑚. 𝑥 2 Iz = Ix + Iy
Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis) Dicari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu Ditetapkan bahwa 𝐼𝑧 =
𝜋𝑟 4 𝜌 2
=
𝑀.𝑟 2 2
Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang
saling tegak lurus Diketahui bahwa Ix + Iy = Iz =
𝑀.𝑟 2 2
Dengan seluruh diameter identik IX = IY
2IX =
𝑀.𝑟 2 2
IX =
𝑀.𝑟 2 4
Contoh - 6 Carilah I untuk sebuah cakram lingkaran berdiameter 40cm dan massa 12 kg a. Terhadap sumbu normal (z) b. Terhadap diameter sebagai sumbu c. Terhadap garis singgung sebagai sumbu
Contoh - 6
a. 𝐼𝑧 =
𝑀.𝑟 2 2
b. 𝐼𝑋 =
𝑀.𝑟 2 4
=
12.202 2
= 2400 kg cm2
=
12.202 4
= 1200 kg cm2
c. IX = 1200 kg cm2 Dengan teorema sumbu sejjar IT = IX + Ml2 IT = 1200 + 12.202 IT = 6000 kg cm2
Kesimpulan - 1 1. 𝐼 = σ 𝑚𝑟 2 ; Mk2=I 2. Pelat empat-persegi-panjang ( = massa/ satuan luas) 𝐼𝐺 =
𝑏𝑑 3 𝜌 12
=
𝑀𝑑 2 12
Kesimpulan - 1 3. Cakram lingkaran 𝐼𝑧 =
𝜋𝑟 4 𝜌 2
𝐼𝑥 =
𝜋𝑟 4 𝜌 4
=
𝑀.𝑟 2 2
=
𝑀.𝑟 2 4
Kesimpulan - 1 4. Teorema sumbu-sumbu sejajar 𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 + 𝑀𝑙 2
Kesimpulan - 1 5. Teorema sumbu-sumbu tegak-lurus 𝐼𝑍 = 𝐼𝑋 + 𝐼𝑌
Contoh - 7 Carilah I untuk batang berongga terhadap sumbu utamanya jika massa jenis benda adalah 0,008 kg.cm-3
Diperhatikan potongan dari batang, dengan jarak x dari sumbu Massa kulit 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌 (kg)
Momen kedua terhadap XX ≈ 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌. 𝑥 2 ≈ 80𝜋𝜌𝑥 3 . 𝛿𝑥
Contoh - 7 3 . 𝛿𝑥 Momen kedua total = σ𝑥=8 80𝜋𝜌𝑥 𝑥=4
Jika x 0, 𝐼 = 𝐼=
80𝜋𝜌 4
8 3 80𝜋𝜌 4 𝑥 𝑑𝑥
= 80𝜋𝜌
642 − 162
I = 20.48.80 = 20.48.80.0,008 I = 614,4 = 1930 kg.cm2
8 𝑥4 4 4
Pusat Tekanan Tekanan pada sebuah titik P dengan kedalaman z di bawah permukaan suatu cairan Sebuah cairan yang sempurna, tekanan di P, atau gaya dorong pada luas satuan P disebabkan berat dari kolom cairan yang terletak setinggi z di atasnya
Tekanan P adalah p=wz, dengan w=berat dari volume satuan cairan. Dan tekanan P sama besar ke segala arah
Pusat Tekanan dalam pembahasan ini tekanan atmosfer yang bekerja pada permukaan cairan diabaikan.
Maka, tekanan pada sembarang titik dalam cairan sebanding dengan kedalaman titik di bawah permukaan.
Pusat Tekanan Gaya dorong total pada sebuah pelat vertikal yang dicelupkan ke dalam cairan Diperhatikan sebuah potongan tipis pada kedalaman z di bawah permukaan cairan Tekanan pada P=wz Gaya dorong pada potongan
PQ wz (luas potongan) PQ w.z.a.x
Pusat Tekanan Total gaya dorong di seluruh pelat 𝑧=𝑑2
≈ 𝑎𝑤𝑧𝛿𝑧 𝑧=𝑑1
Jika z 0, gaya dorong total = Gaya dorong total =
𝑎𝑤 2
𝑑2 𝑧𝑑𝑧𝑤𝑎 𝑑 1
𝑑2 − 𝑑1 𝑑2 + 𝑑1
= 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1
𝑑2 +𝑑1 2
= 𝑎𝑤
𝑑 𝑧2 2 2 𝑑1
=
𝑎𝑤 2
𝑑22 − 𝑑12
Pusat Tekanan
Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1 𝑑2 +𝑑1 2
𝑑2 +𝑑1 2
dinyatakan sebagai 𝑧ҧ
Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1 𝑧ҧ = 𝑎 𝑑2 − 𝑑1 𝑤𝑧ҧ 𝑎 𝑑2 − 𝑑1 adalah luas total pelat, maka Gaya dorong total = luas pelat x tekanan di pusat massa pelat
Contoh - 8 Jika w adalah berat per volume satuan dari cairan, hitunglah gaya dorong total pada pelat a dan b berikut ini:
Contoh - 8 Pelat a Luas = 6 x 8 = 48cm2 Tekanan di G = 7w
Gaya dorong total = 48.7w = 336 w
Contoh - 8 Pelat b Luas = (10 x 6)/2 = 30 cm2 Tekanan di G = 6w
Gaya dorong total = 30.6w = 180 w
Pusat Tekanan Jika pelat membentuk sudut terhadap bidang horizontal, maka:
Kedalaman dari G = 𝑑1 +
𝑏 sin 300 2
= 𝑑1 +
𝑏 4
Pusat Tekanan
Tekanan di G = 𝑑1 +
𝑏 4
𝑤
Luas total = ab Gaya Dorong Total = ab
𝑏 𝑑1 + 4
𝑤
Bisa disimpulkan Gaya dorong total = luas permukaan x tekanan pada pusat massa
Kedalaman Pusat Tekanan Tekanan pada sebuah pelat yang dicelupkan bertambah terhadap kedalaman Resultan gaya-gaya yang bekerja adalah sebuah gaya dengan magnitudo yang sama dengan gaya dorong total T, dan bekerja pada sebuah titik Z yang disebut pusat tekanan pelat. Misalkan 𝑧ҧ adalah kedalaman dari pusat tekanan
Kedalaman Pusat Tekanan Untuk mencari 𝑧ҧ diambil momen-momen gaya terhadap sumbu dimana bidang pelat memoton permukaan cairan. Dilihat sebuah pelat empatpersegi-panjang.
Kedalaman Pusat Tekanan Luas potongan PQ = a.z Tekanan permukaan PQ = zw Gaya dorong potongan PQ = a.z.z.w
Momen gaya dorong terhadap sumbu pada permukaan adalah =awz.z.z = awz2.z 𝑑
Jumlah momen gaya pada seluruh potongan = σ𝑑21 𝑎𝑤𝑧 2 𝛿𝑧 Jika z 0, jumlah momen =
𝑑2 𝑧𝑤𝑎 𝑑2 𝑑𝑧 1
Kedalaman Pusat Tekanan Gaya dorong total x 𝑧ҧ = jumlah momen dari seluruh gaya dorong 𝑑2
𝑑2
න 𝑎𝑤𝑧 𝑑𝑧 𝑥 𝑧ҧ = න 𝑎𝑤𝑧 2 𝑑𝑧 𝑑1
Gaya dorong total x 𝑧ҧ = 𝑧ҧ =
𝑤𝐼 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑜𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝑑1
𝑑2 w 𝑧𝑎 𝑑2 𝑑𝑧 1
= wI
𝑤𝐴𝑘 2 𝐴𝑤𝑧ҧ
𝑘2 𝑧Ӗ = 𝑧ҧ
Contoh – 9 Pada sebuah dinding penahan tanah yang memiliki bentuk persegi-panjang vertikal, 40m x 20m, dengan sisi atas dinding sama dengan tinggi permukaan air. Carilah kedalaman dari pusat tekanan
Dalam soal ini 𝑧ҧ = 10m Mencari k2 terhadap AB
Contoh – 9 Mencari k2 terhadap AB 𝐼𝐶 =
𝐴𝑑 2 12
=
𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐶 + Ak2= 𝑧Ӗ =
40.20.400 12
𝐴𝑙 3
2
80000 3
∴ 𝑘 =
I
𝑘2 𝑧ҧ
=
=
40 3
=
80000 4 m 3
+ 800.100 =
4 80000 3 800
= 13,33𝑚
=
400 3
4 . 80000 3
Contoh – 10 Outlet dari sebuah tangki ditutup dengan penutup bundar yang tergantung secara vertikal. Diameter penutup = 1m dan bagian atas penutup berada 2,5m di bawah permukaan cairan. Carilah kedalaman pusat tekanan dari penutup.
a. Kedalaman sentroid = 𝑧ҧ = 3m b. Mendapatkan k2 terhadap AB
Contoh – 10
𝐴𝑟 2 𝐼𝐶 = 4 𝜋 𝐼𝐴𝐵 = 64
𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐴𝐵 =
𝜋 64 𝜋 64
=
𝜋
1 2 1 2 . 2 2
4
+ 𝐴. 32 1 2 +𝜋 .9 2 9𝜋 145𝜋 + = 4 4
Untuk tinjauan AB; 𝑧Ӗ =
𝑘2 𝑧ҧ
=
𝜋 64
=
145 1 . 6 3
=
𝐼𝐴𝐵 2 k=
145 18
𝐴
=
145𝜋 4 . 4 𝜋
= 3,02m
=
145 6
