MATEMATIKA EKONOMI
PTE 4109, Agribisnis UB
1
Materi yang dipelajari • • • •
Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear - Penggal - Simetri - Perpanjangan - Asimtot - Faktorisasi PTE 4109, Agribisnis UB
2
Definisi • Fungsi : suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hub. fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.
• y = a + bx Independent variable Dependent variable
Koefisien var. x Konstanta PTE 4109, Agribisnis UB
3
Jenis--jenis fungsi Jenis Fungsi
Fungsi aljabar Fungsi irrasional
Fungsi non-aljabar (transenden)
Fungsi rasional
F. Polinom F. Linier F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat
F.Pangkat
PTE 4109, Agribisnis UB
F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik
4
Jenis--jenis fungsi Jenis • Fungsi polinom : fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. y = a0 + a1x + a2x2 +…...+ anxn • Fungsi Linear : fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu). y = a 0 + a1 x a1 ≠ 0
PTE 4109, Agribisnis UB
5
Jenis--jenis fungsi Jenis • Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0 • Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata). y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn an ≠ 0 PTE 4109, Agribisnis UB
6
Jenis--jenis fungsi Jenis • Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. y = xn n = bilangan nyata bukan nol. • Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. y = nx n > 0 PTE 4109, Agribisnis UB
7
Jenis--jenis fungsi Jenis • Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. y = nlog x • Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik. persamaan trigonometrik y = sin x persamaan hiperbolik y = arc cos x PTE 4109, Agribisnis UB
8
Jenis--jenis fungsi Jenis • Berdasarkan letak ruas variabelvariabelnya : fungsi eksplisit dan implisit
PTE 4109, Agribisnis UB
9
Jenis--jenis fungsi Jenis Linear y
y
y = a0 + a1x
Kuadratik y = a0 + a1x + a2x2
(Kasus a2 < 0)
Kemiringan = a1
a0
a0
0
x
0
x (b)
(a)
PTE 4109, Agribisnis UB
10
Jenis--jenis fungsi Jenis y Kubik
y
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Bujur sangkar hiperbolik y=a/x
(a > 0) a0 0
x
0
(c)
x (d)
PTE 4109, Agribisnis UB
11
Jenis--jenis fungsi Jenis y
y Eksponen
Logaritma
y = bx
y = logb x
(b > 1)
0
x
0
(e)
x (f)
PTE 4109, Agribisnis UB
12
Penyimpangan Eksponen • xn = x x x x…..x x n suku
• Aturan I : xm x xn = xm+n Contoh : x3 x x4 = x7
• Aturan II : xm / xn = xm-n Contoh : x4 / x3 = x
• Aturan III : x-n = 1/xn (x ≠ 0) PTE 4109, Agribisnis UB
13
Penyimpangan Eksponen © • Aturan IV : x0 = 1 (x ≠ 0) • Aturan V : x1/n = • Aturan VI : (xm)n = xmn • Aturan VII : xm x ym = (xy)m
PTE 4109, Agribisnis UB
14
Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas • • • •
z = g (x, y) z = ax + by z = a0 + a1x + a2x2 + b1y + b2y2 Fungsi g membuat peta dari suatu titik dalam ruang dua dimensi, ke satu titik pada garis ruas (titik dalam ruang satu dimensi), seperti : dari titik (x1,y1) ke titik z1 dari titik (x2, y2) ke titik z2 PTE 4109, Agribisnis UB
15
Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas y
z g
z1 y1 y2
0
(x1, y1) (x2, y2)
x1
x2 PTE 4109, Agribisnis UB
z2
x 16
Fungsi Dari Dua Atau Lebih Variabel Bebas z
(x2, y2, z2) y (x2, y2, z2) y1 y2 x1
x2 x PTE 4109, Agribisnis UB
17
Penggal • Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbusumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 (berlaku sebaliknya). • Contoh : y = 16 – 8x + x2 penggal pada sumbu x : y = 0 x = 4 penggal pada sumbu y : x = 0 y = 16 PTE 4109, Agribisnis UB
18
Simetri • Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus teradap segmen garis yang menghubungkannya. • Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi. PTE 4109, Agribisnis UB
19
Simetri y
y
y
(x,y)
(x,y) (x,y)
(-x,y) 0
x
0
x
0
x
(-x,-y)
(x,-y)
Titik (x, y) adalah simetrik terhadap titik : (x, -y) sehubungan dengan sumbu x (-x, y) sehubungan dengan sumbu y (-x, -y) sehubungan dengan titik pangkal PTE 4109, Agribisnis UB
20
Simetri y
y
y
(x,y) (-x,y) 0
x
(x,y) 0
(x,y) x
x (-x,-y)
(x,-y)
Kurva dari suatu persamaan f (x, y) = 0 adalah simetrik terhadap : Sumbu x jika f(x, y) = f(x, -y) = 0 Sumbu y jika f(x, y) = f(-x, y) = 0 Titik pangkal jika f(x, y) = f(-x, -y) = 0 PTE 4109, Agribisnis UB
21
Perpanjangan • Konsep perpanjangan menjelaskan apakah ujung-ujung sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak terdapat batas perpanjangan) ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau y tertentu. • Coba selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yan dicerminkan oleh persamaan : x2 – y2 – 25 = 0 dan x2 + y2 – 25 = 0 PTE 4109, Agribisnis UB
22
Asimtot • Asimtot suatu kurva adalah sebuah garis lurus yang jaraknya semakin dan semakin dekat dengan salah satu ujung kurva tersebut. • Jarak tersebut tidak akan menjadi nol. • Tidak akan terjadi perpotongan antara garis lurus dan kurva. • Penyelidikan asimtot berguna untuk mengetahui pola kelengkungan kurva yang akan digambarkan PTE 4109, Agribisnis UB
23
x
x y = - a - bx
y = - a - bx
y
y y= f(x)
y= f(x) x
x
y=k y
x=k
y
24 PTE 4109, Agribisnis UB
Faktorisasi • Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil. • f(x, y) = g(x, y). h(x, y) • Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0 PTE 4109, Agribisnis UB
25
Latihan • Gambarkan kurva dari persamaan – y2 = 0 • Gambarkan kurva dari persamaan y3 + xy2 – xy – y2 = 0
PTE 4109, Agribisnis UB
2x2 – xy
26
TERIMAKASIH SELAMAT BELAJAR
PTE 4109, Agribisnis UB
27
