RINGKASAN MATERI 1.
Persamaan Trigonometri Sederhana • Jika Sin x o = Sin αo , maka x = α + k . 360 atau x = (180-α) + k . 360 , dg k ∈ Bulat • Jika Cos x o = Cos αo , maka x = α + k . 360 atau x = -α + k. 360, dg k ∈ Bulat • Jika Tan x o = Tan αo , maka x = α + k. 180, dg k ∈ Bulat Persamaan Trigonometri yang berbentuk: o • Sin p x = a • Cos p x o = a • Tan p x o = a Dapat diselesaikan dengan cara mengubah konstanta a di ruas kanan menjadi perbandingan trigonometri yang senama dg ruas kiri. Selesaikan dengan cara penyelesaian persamaan trigonometri sederhana.
2.
Persamaan Trigonometri yang Memuat Jumlah atau Selisih Sinus atau Kosinus Penyelesaian persamaan trigonometri yang memuat jumlah atau selisih sinus atau kosinus didapat dengan mengubah persamaan menjadi pemfaktoran dengan menggunakan rumus jumalh atau selisih sinus atau kosinus. Rumus-rumus Jumlah Selisih sinus kosinus • • • •
sin A + sin B = 2 sin ½ (a+B) cos ½ (A-B) sin A - sin B = 2 cos ½ (a+B) sin ½ (A-B) cos A + cos B = 2 cos ½ (a+B) cos ½ (A-B) cos A - cos B = - 2 sin ½ (a+B) sin ½ (A-B)
• 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin(A-B) • 2 cos A sin B = sin (A+B) - sin(A-B) • 2 cos A cos B = cos (A+B) + Cos(A-B) • 2 sin A sin B = - cos (A+B) + cos (A-B) Cara Mudah Mengingat Rumus Hasil Kali (Jumlah selisih) Sin Kos [ +, − ] → 2SC = S+S 2CS = S−S 2CC = C+C 2SS = −C+C ←[ ½ + , ½ −] Contoh: 2 S C = S + S (kiri ke kanan, [ +, − ] →) 2 Sin A Cos B = Sin (A+B) + Sin(A-B) C + C = 2 C C (kanan ke kiri, ←[ ½+, ½− −]) Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A+B) Cos ½ (A-B) 3.
Persamaan Kuadrat dalam Trigonometri a)
Persamaan Kuadrat Sinus/Cosinus 2
o
2
o
o
sin x + b sin x + c = 0 o
cos x + b cos x + c = 0
Kembalikan y untuk mendapatkan penyelesaian PK Sinus PK Cos. b)
Persamaan Kuadrat Tangen tan2 xo + b tan xo + c = 0 Dengan pemisalan, y = tan x ubah persamaan menjadi : . ay2 + by + c = 0 Temukan akar-akar PK dengan syarat • Syarat perlu : D ≥ 0 Kembalikan y untuk mendapatkan penyelesaian PK tangen.
Penyelesaian Bentuk a Cos x + b Sin x = c Diselesaikan dengan cara: Mengubah: a Cos x + b Sin x menjadi k Cos(x– α) Dengan : k =
a 2 + b 2 dan tan α =
b a
Nilai α ditentukan oelh tanda aljabar pada a (koef cos) dan b (koef sin), lihat table berikut: Tanda Aljabar Kuadran Tan α a b + + + I – + – II – – + III + – – IV Dari bentuk: k Cos (x - α) = c Cos (x - α) = kc dengan syarat: –1 ≤ c ≤ 1 k
Dapat diselesaikan dengan cara mengubah c konstanta di ruas kanan menjadi k perbandingan trigonometri yang senama dg ruas kiri. Selesaikan dengan cara penyelesaian persamaan trigonometri sederhana
Langkah-langkah Penyelesaian: Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan, kemudian tentukan pembuat nol fungsi. Letakkan pembuat nol, pada garis bilangan. HP pertidaksamaan adalah interval-interval yang memenuhi pertidaksamaan dengan menggunakan uji pemisalan.
Cara membaca gambar grafik trigonometri Dinyatakan dalam bentuk umum: F(x) = a sin (kx ± θ), atau F(x) = a sin (kx ± θ) a = Nilai maksimum/minimum fungsi ( a < 0, jika gambar fungsi dimulai kurva dibawah sb X)
360o dengan p = periode fungsi dari p gambar θ = Selisih besar sudut saat maksimal pada k =
Dengan pemisalan, y = sin x (untuk sin) atau y = cos x (untuk cosinus) ubah persamaan menjadi : . ay2 + by + c = 0 Temukan akar-akar PK dengan syarat • Syarat perlu : D ≥ 0 • Syarat cukup: – 1 ≤ y ≤ 1
gambar dengan bentuk baku fungsi sin/cos
± = arah geseran ( + geseran kekiri, − geseran kekanan)
SOAL-SOAL LATIHAN Pilihlah jawaban yang tepat! 1. Bentuk ( 3 cos x – sin x) dapat diubah menjadi k cos (x – α) adalah …[UN 05 P6 No.8] a. 2 cos (x – 16 π) d. 2 cos (x – 43 π) b. 2 cos (x – 13 π)
e. 2 cos (x – 11 π) 6
Persamaan trigonometri pada gambar disamping adalah …..[UNU 03 P5 No.5] a. y = 3 sin (x– π3 ) b. y = 3 cos (x+ π3 )
c. y = 3 sin (x– π6 )
c. 2 cos (x – 56 π)
d. y = 3 cos (x+ π6 )
2. Himpunan penyelesaian persamaan : cos 2 x – 7 cos x – 4 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah …... [UN 05 P6 No.7] a. {30, 330} d. {120, 300} b. {60, 300} e. {150, 210} e. {150, 210} 3. Diketahui persamaan cos 2x + cos x = 0 untuk 0o < x < π, nilai x yang memenuhi adalah …... [UN 05 P3 No.7] a. π6 dan π2 d. π3 dan π b. π2 dan π
8.
e. π6 dan π3
e. y = 3 sin (x+ π6 ) 9. HP dari cos x – sin x = ½ 6 , untuk 0
π , e. { 17 12
19π 12
}
π , 23π } c. { 12 12
10. Persamaan grafik fungsi dibawah ini adalah … [NAS 02 P3 No.14]
c. π3 dan π2 4. Bentuk (3cos (x – π) + 3 sin sin(x – π)) dapat ditulis dalam bentuk k cos (x – α) adalah …. [UN 05 P3 No.8] a. 2 3 cos (x – 16 π) d. 2 3 cos (x – 56 π) b 2 3 cos (x – 63 π) e. 2 3 cos (x – 76 π) c. 2 3 cos (x – 64 π) 5.
1 π] 6 b. y = – 2 sin [½ x – 16 π] c. y = – 2 sin [2 x – 16 π] d. y = – 2 sin [2 x + 16 π] e. y = – 2 sin [4 x – 16 π]
a. y = – 2 sin [½ x +
Persamaan grafik pada gambar dibawah ini adalah … [UAN 04 P3 No. 5]
11. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah … [NAS 01 P1 No.16]
a. y = – sin (3x + 45)o d. y = sin (3x + 15)o b. y = – sin (3x – 15)o e. y = sin (3x – 45)o c. y = – sin (3x – 45)o 6.
Penyelesaian dari pertidaksamaan 2 sin 3x + 3 ≤ 0, untuk 0o ≤ x ≤ 180o, adalah .. …[NAS 04 P3 No.6] a. 30o ≤ x ≤ 150o b. 60o ≤ x ≤ 120o c. 80o ≤ x ≤ 100o d. x ≤ 60o atau 120o ≤ x ≤ 180o e. x ≤ 80o atau 100o ≤ x ≤ 180o
7.
Nilai x yang memenuhi untuk 0
a. b. c.
1 12 1 12 5 12
≤x≤
π dan π dan π dan
a. y = 3 sin x b. y = 2 sin 3x c. y = 3 sin 4x
3 cos x + sin x =
2π adalah ..[UAN 04 P3 No.7]
11 π 12 23 π 12 7 π 12
d. e.
5 12 5 12
π dan π dan
19 π 12 23 π 12
2,
d. y = 3 sin 2x e. y = 3 sin ½ x
12. HP persamaan dari sin (x-20o) + sin (x+70o) – 1 ≥ 0, untuk 0o ≤ x ≤ 360o, adalah .. …[NAS 01 P3 No.17] a. {x 20o ≤ x ≤ 110o} b. {x 35o ≤ x ≤ 100o} c. {x x ≤ 50o atau x ≥130o} d. {x x ≤ 35o atau x ≥145o} e. {x x ≤ 50o atau x ≥310o}
S2L@m@t B2L@j@r
