Tema 6: Transformación de esfuerzos y deformaciones unitarias 6.1.
Estado de esfuerzo en coordenadas cartesianas
Considere un cuerpo tridimensional, cuyo comportamiento del material es elástico lineal con deformaciones pequeñas, con un dominio Ω ∈ R3 , puntos materiales x y frontera Γ con vector normal n (Fig. 6.1), el cual se somete a las acciones del vector de fuerzas de cuerpo b en el
interior del continuo, a las tracciones prescritas t∗ en Γ y los desplazamientos prescritos u∗ en Γ . La frontera Γ del continuo está constituida por dos superficies Γ y Γ ; Γ corresponde a la región con desplazamientos prescritos (conocidos) y Γ corresponde al resto de la frontera que incluye aquellas porciones donde se aplican las cargas prescritas, de tal forma que Γ ∪ Γ = Γ y Γ ∩ Γ = ∅.
Figura 6.1: Continuo Ω con acciones en el dominio y condiciones de frontera sobre Γ. De acuerdo con el principio de acción=reacción de Newton, la fuerza de reacción de la fuerza resultante ∆ , se encuentra en el mismo plano la parte opuesta del sólido, como una fuerza con la misma magnitud pero con dirección opuesta. Si se asume que la relación ∆∆, en el límite ∆ → 0, tiende a un valor finito, a este valor límite se le llama vector de esfuerzos. ∆ = ∆→0 ∆
t = l´ım
(6.1)
En esta definición se asume que sólo se transmiten fuerzas y no momentos en cualquier punto del corte. El vector de esfuerzos t tiene una proyección en la parte perpendicular al plano de corte, llamado esfuerzo normal , y otras dos tangenciales al plano, llamadas esfuerzos cortantes , ver Fig. 6.2. Se considera como que los esfuerzos son positivos si su dirección coincide con las normales exteriores del plano de corte, Fig.6.3. Los vectores de esfuerzo en los planos positivos de un elemento en coordenadas cartesianas, Fig. 6.4, son:
9
Figura 6.2: Proyección del vector de esfuerzos.
Figura 6.3: Convención de signos de esfuerzos. ⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ t = ⎢ ⎥ t = ⎢ ⎥ t = ⎢ ⎦ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎣
(6.2)
Figura 6.4: Representación gráfica del tensor de esfuerzos. En este contexto, los esfuerzos normales se escriben como y los esfuerzos cortantes como , donde los valores de = . Los vectores de esfuerzo se pueden ensamblar en notación matricial como el llamo tensor de esfuerzo, en coordenada cartesianas se tiene:
10
⎡
⎢ σ = [ t | t | t | ] = ⎢ ⎣
el superíndice indica transpuesta de la matriz.
6.1.1.
⎤
⎥ ⎥ ⎦
Transformación de esfuerzos sobre un plano
El estado de esfuerzos en el plano x y y mostrado en la fig. 6.5a puede rotarse a un plano x’ y y’ fig. 6.5a un ángulo .
Figura 6.5: Estado de esfuerzo en el plano: a) ejes coordenados x y y y b)rotación a los ejes x’ y y’. Considere un plano con normal unitaria n que forma un ángulo con el eje , se define un vector unitario m en la dirección tangencial al plano y en el sentido indicado en la Fig. 6.6.
Figura 6.6: Estado de esfuerzo sobre un plano. Los vectores n y m están dados por:
n=
"
cos sin
#
ym=
"
sin − cos
#
Sea σ el tensor de esfuerzos en el punto con componentes en la base cartesiana:
11
σ=
"
#
(6.3)
Utilizando la ec. (??), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es: t=σ·n=
"
#"
cos sin
#
=
"
cos + sin cos + sin
#
(6.4)
Se definen el esfuerzo normal σ y el esfuerzo tangencial τ , sobre el plano inclinado (Fig. 6.6) como:
σ = t · n = [ cos + sin ; cos + sin ]
"
cos sin
#
(6.5)
σ = cos2 + 2 sin cos + sin2
τ = t · m = [ cos + sin ; cos + sin ]
"
sin − cos
τ = sin cos + sin2 − cos2 − sin cos ¤ £ τ = [ − ] sin cos + sin2 − cos2
# (6.6)
Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:
sin(2) = 2 sin cos 1 + cos(2) cos2 = 2 1 − cos(2) sin2 = 2
(6.7)
las ecs. (6.5) y (6.6) se pueden reescribir como:
σ = τ =
− + + cos(2) + sin (2) 2 2 − sin(2) − cos (2) 2
(6.8) (6.9)
De las ec. (6.8) y (6.13) se obtiene el estado de esfuerzos par a los ejes del plano x’ y y’ de lafig. 6.5a
12
(6.10)
σ 0
(6.11)
τ 0 0
6.1.2.
+ − + cos(2) + sin (2) 2 2 + − = − cos(2) − sin (2) 2 2 − sin(2) + cos (2) = − 2
σ 0 =
(6.12)
Diagonalización del tensor de esfuerzos
El problema de diagonalización del tensor de esfuerzos consiste en, conocidas las componentes del tensor en un cierto sistema de ejes − , obtener las direcciones y esfuerzos principales (Fig. 6.7).
Figura 6.7: Problema de diagonalización. Las direcciones principales, asociadas a los ejes 0 e 0 , definidas por los ángulos y 2 + (Fig. fm16), determinan las inclinaciones de los dos planos sobre los cuales los esfuerzos sólo tienen componente normal , mientras que la componente tangencial = 0. Aplicando esta condición en la ec. (6.9) se obtiene:
− sin(2) − cos (2) = 0 2 tan (2) =
2 −
(6.13) (6.14)
Sean las siguientes identidades trigonométricas:
sin(2) = ± q 1+
1 1 tan2 (2)
1 cos(2) = ± p 1 + tan2 (2)
sustituyendo la ec. (6.14) en las ecs. (6.15) y (6.16):
13
(6.15) (6.16)
sin(2) = ± r³ cos(2) = ± r³
´2
− 2
− 2 ´ − 2 2
(6.17) + 2 (6.18) + 2
Las ecs. (6.17) y (6.18) proporcionan dos soluciones (asociadas a los signos + y −) 1 y
2 = 1 + 2 , que definen las dos direcciones principales ortogonales en el plano de análisis. Los correspondientes esfuerzos principales se obtienen substituyendo el ángulo = en la ec. (6.8) σ =
− + + cos(2) + sin (2) 2 2
(6.19)
y sustituyendo las ec. (6.17) y (6.17) en la (6.19).
σ12 =
³
− 2
´2
+ ± r³ ´ 2 − 2 2
=
³
− 2
´2
+ 2
+ 2 + ± r³ ´ 2 − 2 + 2 2
± r³
2 ´2
− 2
+ 2 (6.20)
Obteniéndose los esfuerzos principales:
σ12
+ ± = 2
sµ
14
− 2
¶2
+ 2
(6.21)
6.2.
Círculo de Mohr para esfuerzos
Las dos formas del círculo de Mohr se muestran en la Fig. 6.8, la diferencia son el eje de las ordenadas y su correspondiente sentido positivo de los ángulos.
Figura 6.8: Tipos del trazo del círculo de Mohr. Construcción del círculo de Mohr1 : 1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con como abscisa, positivo hacia la derecha, y como ordenada, positivo hacia abajo. 2. Localice el centro del círculo en el punto con coordenadas y = 0.
=
+ 2
3. Localice el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara 1 del elemento mostrado en la Fig. (6.9), marcando sus coordenadas = y = . Note que el punto corresponde a = 0 . 4. Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la fig. (6.9) , trazando sus coordenadas = y = − . Observe que el punto sobre el círculo corresponde a = 90 .
5. Dibuje una línea del punto al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por le centro . Los puntos y , que representan los esfuerzos sobre planos a 90 uno del otro están en extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre el círculo). 6. Con el punto como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos y . El círculo dibujado de esta manera tiene radio . 1
Mohr O. (1887). Ueber die bestimmung und die graphische Darstellung von Trâgheitsmomenten ebener Flâchen, Civilingenieur, columnas 43-68, pp.90 Mohr O. (1914). Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik (Ernst, Berlin, ed.2), pp. 109
15
=
sµ
− 2
¶2
+ 2
7. Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (??)
σ12 = ± 8. Cálculo del ángulo
2 = tan
µ
2 −
¶
9. Cálculo del esfuerzo cortante máximo , m´ax , y del ángulo .
m´ax =
Figura 6.9: Trazo Mohr
16
