TRANSFORMASI FOURIER SISTEM KOMUNIKASI (DTG2F3) PRODI D3 TT
YUYUN SITI ROHMAH,ST.,MT
FUNGSI DAN DEFINISI
Spektral sinyal periodik s(t) selalu dapat dianalisis dengan bantuan Deret Fourier. Pada kenyataannya banyak sinyal-sinyal dalam sistem komunikasi yang bersifat random non periodik, misalnya sinyal informasi. Untuk kasus sinyal non periodik kita gunakan formula yang disebut Transformasi Fourier. Fungsi Transformasi Fourier yaitu utk menganalisis bentuk spektral S(f) dari suatu sinyal kawasan waktu s(t) Fungsi Inverse Transformasi Fourier yaitu utk menganalisis bentuk suatu sinyal kawasan waktu s(t) jika spektral sinyal S(f) diketahui
Formula Transformasi Fourier
S ( f ) s(t ).e
j 2ft
dt
S(f) dinamakan Transformasi Fourier dari s(t)
Jika Transformasi Fourier S(f) suatu sinyal diketahui maka kita dapat menghitung persamaan sinyal dalam domain waktu s(t) dengan formula Inverse Transformasi Fourier
s(t ) S ( f ).e
j 2ft
df
Beberapa Transformasi penting
S ( f ) (t ).e j 2ft dt 1
Transformasi Fourier impulse (sinyal delta dirac): (t) 1
0
t
S(f) 1
0
f
Beberapa Transformasi penting
Transformasi Fourier dari fungsi pulsa: S(f)
s(t)
AT
A
- T/2
0
+ T/2
t
- 1/T
|S(f)|
0
harga modulus
AT
- 1/T 0
+1/T
F(f)|
f harga fasa
- 1/T 0
+1/T
f
+1/T
f
Sifat-sifat Transformasi Fourier (yang sering dipakai di siskom) a. Time Scaling
S(f)
s(t)
0
t
0
f
Sifat-sifat Transformasi Fourier b. Time shifting
Bila s(t) S(f) maka s(t-to) S(f).e-j2fto |S(f)|
harga modulus
AT s(t) A - 1/T 0
F(f)| - T/2
0
+ T/2
t
f
+1/T harga fasa
- 1/T 0
|G(f)|=|S(f)|
f
+1/T harga modulus tetap
AT g(t)=s(t-t0) T
A
- 1/T 0
F(f)| 0
to
t
f
+1/T harga fasa ada pergeseran
to 0
2to
f
Sifat-sifat Transformasi Fourier c. Frequency shifting Bila s(t) S(f) maka S(f-fo) s(t).ej2fot
Contoh : s(t) = A Cos 2fct =
maka
A j 2f ct j 2f c t e e 2
A A S f f fc f fc 2 2 S(f) A/2
- fc
0
fc
f
Sifat-sifat Transformasi Fourier d. Transformasi Fourier Sinyal Periodik
Bila x(t) X(f) Maka untuk
(untuk sinyal tidak periodik)
x p t
xt nT
n
0
( x(t) periodik dengan periode To ) Transformasi fourier dari xp(t)
1 X p f T0
m m X . f T0 m To
Sifat-sifat Transformasi Fourier e. Integrasi pada kawasan waktu: Bila s(t) S(f), kemudian menghasilkan S(f)=0, maka :
t
1 s(t ).dt j 2f .S( f )
f. Diferensiasi pada kawasan waktu:
Bila s(t) S(f), jika pada kawasan waktu dilakukan diferensiasi sekali, maka :
d s( t ) j 2f . S ( f ) dt
Sifat-sifat Transformasi Fourier g. Konvolusi pada kawasan waktu: Bila s1(t) S1(f) dan s2(t) S2(f), maka :
s ( ).s (t )d S ( f ).S ( f ) 1
2
1
2
h. Perkalian pada kawasan waktu: Bila s1(t) S1(f) dan s2(t) S2(f),
maka :
s1 (t ).s2 (t )
S ( ).S ( f )d 1
2
Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier Respon Time : Time Domain
Perhitungan Konvolusi : Representasi Grafis ; contoh
y (t)
x (t) h (t)
h (t) respon impuls
X (t)
h (t)
y (t) = h () x (t-) d
0
t
= x () h (t-) d
t
h(t-)
h(-)
0
= x (t) h (t) = h (t) x (t)
0
0 t
Transmisi Sinyal melalui Sistem y (t) Linier(CONT’) -t/T
V (1-e )
x()
V
0 0
t
x() h(t-)
0
Area = x () h (t-) d 0
t
t
Contoh Perhitungan Konvolusi dgn representasi Grafis : y (t)
x (t) h (t) X(t)
h(t)
N>M A B
0
M
0
t
t
N
h() X(t-λ) A
B 0 M
t
0
N
Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier (CONT’) x (t-) h() O≤t≤M
AB
Area = A B t
0
t
Perhitungan Karena N > M : # untuk 0 ≤ t ≤ M : y(t) = ABt
x (t-) h() N>M A
Area= AB M
# untuk M ≤ t ≤ N : 0 M
t
N
Transmisi Sinyal melalui Sistem Linier (CONT;) # untuk t ≥ N : x (t-) h() AB
Area= AB(N+M-t)
0 - M+ t
N
Sehingga:
y(t)=x (t) h(t) ABM
0
M
N
M+N
t
Kasus Khusus : Konvolusi dengan fungsi ( t - to )
● x (t) (t - to) = x (t - ) ( - to) d = x (t – to)
● x (t) A (t - to) = A x (t - to) X(t)
(t-t0) A
0
t
0
x(t-t0) A
0
t0
t
t0
t
Transmisi Sinyal Melalui Sistem Linier Input
Output Linear system
Deterministic signals:
Random signals:
Y(f) = Sinyal output dalam domain frekuensi X(f) = Sinyal input dalam domain frekuensi H(f) = Respons frekuensi sistem linier GY(f) = PSD (Power Spectral Density) sinyal output GX(f) = PSD (Power Spectral Density) sinyal input
Sistem Lowpass vs Bandpass Input
Output Linear system
Jika h (t) riil H (f) kompleks | H (f) | merupakan fungsi genap
(f)
merupakan fungsi ganjil
Sistem “lowpass”
Sistem “bandpass” H(f) , (f)
H(f), (f)
0
f
- fc
0
fc
●Kondisi “distortionless transmission”
x (t)
X (f) , H (f) , (f)
y (t)
K
y(t) = K.X(t – to) H (f) = K e -j2fto
2to
●Untuk sistem “bandpass” H(f)
- fc
0
fc
f
f
● Distorsi Linier dan Prinsip Ekualisasi Kanal
kanal X(t)
Equalizer
K.x(t-to)
Heq (f)
Hc (f)
Hc(f) Heq(f) = K e
-j2fto
Heq(f) = K e-j2fto Hc(f)
Latihan Soal 1. Perhatian gambar sinyal x(t) diawah ini : X(t) A
0
T
t
a. Tentukan X(f) yang merupakan transformasi fourier dari sinyal tersebut ! b. Jika sinyal z(t)= x(t).y(t) dimana y(t) = Cos ( 4 t/T ), tentukan Z(f) ! c. Gambarkan z(t) dan Z(f)
Latihan Soal 2.
Suatu sinyal memasuki sistem yang diwakili oleh LPF berikut ini :
10-5 s 10 volt
|H(f)| 2 SB(t) SA(t)
A
B -10
Tentukan SA(f) , SB(f), SB(t) !
0
10 f(kHz)
Latihan Soal 3.
Diketahui sinyal dalam domain frekuensi sebagai berikut:
X(f)
Y(f)
1
-fm
0
A/2 fm
f
-fc
0
a.
Untuk fc > fm, Gambarkan Z(f) = X(f)Y(f) !
b.
Tentukan persamaan z(t), gambar diagram proses yang terjadi !
fc
f
THANK U
