Soluções dos Exercícios de Vestibular referentes ao Capítulo 1: 1) (UERJ, 2011) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: Solução: Alternativa C. Há 10 cores diferentes sendo 10 bolas de cada cor, isto é, há 100 bolas na máquina. Na pior das hipóteses a pessoa pode colocar 10 moedas e retirar uma bola de cada cor, ou seja, 10 bolas de cores diferentes. A próxima bola a ser retirada terá que ser igual a alguma das 10 bolas já retiradas. Já temos 11 bolas das quais duas são iguais e para isso foi preciso inserir 11 moedas. Mas ainda restam 9 cores diferentes, portanto é possível que as próximas 9 bolas a serem retiradas sejam de cores diferentes. Já inserimos 20 moedas e obtemos 20 bolas, as quais formam 10 pares distintos de duas bolas iguais em cada par. A próxima bola terá de ser igual a alguma das duas bolas repetidas. Assim, já temos 3 bolas iguais e para isso inserimos 21 moedas. Mas ainda há 9 bolas diferentes que podem ser retiradas nas próximas tentativas. Já foram 30 moedas. A próxima bola terá de ser igual a alguma das três bolas iguais. Já temos 4 bolas iguais e para isso foi preciso inserir 31 moedas. 2) (UECE 2011) Sobre os conjuntos X, Y e Z, possuindo respectivamente 2, 4 e 8 elementos, podemos afirmar corretamente que: (A)
possui sempre 6 elementos.
Falsa. Justificativa: Pode ocorrer que elementos. Caso
teremos:
ocorrer o seguinte fato:
(B)
elementos. Também pode .
possui sempre 6 elementos.
Falsa. Justificativa: Caso
(C)
. Disto temos que
,
elementos.
possui no máximo 4 elementos.
Verdadeira. Justificativa: Pode ocorrer que elemento,
,
elementos,
elementos,
elementos que é o caso em que
. Não podemos ter mais de 4
elementos, pois nunca teremos
e sim
visto que
possui um número menor de
elementos. Assim o número mínimo de elementos que podemos ter em
é de 8
elementos que continua sendo maior que a quantidade de elementos em . Disto segue que
nunca teremos
. Mas
pode ocorrer e nesse caso
terá
seu número máximo de elementos que será (D)
possui no máximo 4 elementos.
Falsa.
Justificativa:
Pode
ser
que
e
.
Logo,
e
elementos. Assim, a alternativa correta é a C. 3) (FEI 2006) Dadas as proposições: (01) Toda mulher é boa motorista; (02) Nenhum homem é bom motorista; (03) Todos os homens são maus motoristas; (04) Pelo menos um homem é mau motorista; (05) Todos os homens são bons motoristas. (A) (01)
(B) (02)
(C) (03)
(D) (04)
Solução: Alternativa (D) Justificativa: Queremos negar a sentença: “Todos os homens são bons motoristas”. Mas para que a sentença deixe de ser verdadeira é suficiente que exista um homem que não seja bom motorista. Assim, a proposição que destrói a validade da sentença (05) é a (04) “Pelo menos um homem é mau motorista”. 4) (FGV 2005) Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que: a) Se tenha certeza de ter tirado duas camisetas de cores diferentes. Solução: Na pior das hipóteses é possível retirar as 10 camisetas brancas sucessivamente. A próxima será preta ou vermelha. Desse modo será necessário retirar 11 camisetas da gaveta. b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor. Solução: Retirando três camisetas sucessivamente, é possível que as três tenham cores distintas. A próxima terá que ser igual a uma das camisetas retiradas anteriormente. Assim, é necessário retirar 4 camisetas da gaveta. c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor. Solução:
Pode acontecer de retirarmos as 10 primeiras camisetas brancas, depois as 7 camisetas pretas e a próxima terá que ser vermelha. Para isso foi necessário retirar 18 camisetas da gaveta. 5) (UFF/ 2004) Os muçulmanos sequer se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encontra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por: (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Solução: No enunciado não menciona se todos os árabes são muçulmanos, mas sabemos que nem todos os muçulmanos são árabes. Assim para saber qual é o número de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes devemos saber quais são muçulmanas ou árabes. O conjunto das pessoas que são árabes ou muçulmanas pode ser representado por . E o conjunto de pessoas no mundo que não são muçulmanas nem árabes será representado por:
. Alternativa A.
6) (UERJ/2003) Considere um grupo com 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou morenas, quanto à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa identificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos. Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos. Solução: Considere A o conjunto que reúne as pessoas com olhos azuis, o conjunto C que reúne as pessoas com olhos castanhos, o conjunto L das pessoas louras e o conjunto M das pessoas morenas. Agora considere a seguinte tabela com o total de elementos referentes a cada conjunto:
A (olhos azuis) C (olhos castanhos) Total
L (louras) 14
M (morenas)
Total
31
18 50
Queremos saber o número de pessoas morenas com olhos castanhos, ou seja, devemos determinar quantos elementos há na interseção . Faremos isso com base nos dados da tabela. Como há 50 pessoas no total e 31 são morenas, então restam louras. Dessas 19, 14 têm olhos azuis e, portanto são louras de olhos castanhos. Mas o total de pessoas com olhos castanhos é 18 e dessas 18 pessoas temos 5 louras, portanto restam morenas de olhos castanhos.
7) (UFF/2003) Gilbert e Hatcher, em Mathematics Beyond The Numbers, relativamente à população mundial, informaram que: 43% têm sangue tipo O; 85% têm Rh positivo; 37% têm sangue tipo O com Rh positivo; Nesse caso, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não ter sangue tipo O e não ter Rh positivo é de: (A) (B) (C) (D) (E)
9% 15% 37% 63% 91%
Solução: Novamente iremos fazer uso da tabela para melhor visualização dos dados. Assim: (Sangue tipo O)
Total
37%
(Sangue de outros Total tipos) 85%
43%
100%
Queremos saber a probabilidade de uma pessoa não ter sangue tipo
e não ter
, isto é, queremos saber qual a probabilidade de selecionarmos um indivíduo do conjunto . De acordo com os dados da tabela podemos concluir que, de um total de 100% de indivíduos 43% são do tipo
, e por isso,
Também sabemos que de um total de 85% de indivíduos com portanto
possuem outro tipo sanguíneo com
57% de pessoas com outro tipo sanguíneo, 48% possuem de pessoas no conjunto chances de selecionarmos uma pessoa do grupo
pertencem ao conjunto
.
, 37% são do tipo
e,
. Assim, de um total de
e, portanto temos um total de
. Logo, no total de 100% há 9% de . Alternativa (A).
8) (UERJ/2003) Três candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo público de uma determinada comunidade. A tabela resume o resultado de um levantamento sobre a intenção de votos dos eleitores dessa comunidade. Número de eleitores que votaram em... ...um único candidato ...dois candidatos A B C A-B B-C 600 1000 1400 100 300
A-C 200
...qualquer ...nenhum candidato candidato 100 1300
Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a porcentagem de eleitores consultados que não votariam no candidato B é:
(A)66% (B)70% (C)94,5% (D)97,2%
Solução: 5000 é o total de eleitores consultados. Desses, não votam no candidato B. Em termos de porcentagem esse valor representa: do total de pessoas que participaram da pesquisa. Alternativa B. 9) (UFRJ/2002) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para as aulas de futebol e natação? Solução: Seja N o conjunto dos que escolheram fazer natação, T os conjunto dos que escolheram fazer tênis e F o conjunto dos que decidiram fazer futebol. Usaremos o diagrama de Venn, do seguinte modo:
Assim, nosso objetivo agora é determinar o valor de . Sabemos que o total de inscritos em natação foi 85. Portanto:
Como o número de inscritos em Tênis foi de 17, temos:
E o total de inscritos no futebol foi 38, portanto:
Substituindo
Somando
Como
em
e
temos:
temos:
.
10) (UERJ/2002) Em um posto de saúde foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarreia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo. Sintomas Frequência Diarreia 62 Febre 62 Dor no corpo 72 Diarreia e febre 14 Diarreia e dor no corpo 8 Febre e dor no corpo 20 Diarreia, febre e dor no corpo X
Na tabela, X corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a: (A) (B) (C) (D)
6 8 10 12
Solução: Novamente iremos usar o Diagrama de Venn, no qual iremos representar DI como sendo o conjunto que reúne as pessoas com sintoma de diarreia, F as pessoas com
febre e DC as pessoas com sintoma de dor de cabeça. Com base nos dados da
tabela: Portanto, sabendo que o total de pessoas atendidas foi de 160, para determinar quantos têm diarreia, dor no corpo e febre, basta determinarmos o valor de que, usando o fato do conjunto
possuir 72 pessoas no total, pode ser calculado do seguinte modo:
Alternativa (A).
11) (UFRJ/2002) Os 87 alunos do 3º ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos vestibulares prestados? Justifique. Solução: Usaremos o Diagrama de Venn para melhor visualização do problema: Passo 1) Aprovados em A, B e C = 87/3 = 29 Aprovados apenas em A = 0 Aprovados apenas em A e B = Aprovados apenas em A e C = x Aprovados em A = 51
Assim,
Logo, 2x + 29 = 51 => x = 11
Passo 2) Aprovados apenas em A e B = x = 11 Aprovados apenas em B e C = y Aprovados apenas em B = z Aprovados em B = 65 Logo, y + z + 11+29 = 65 => y + z = 25
Passo 3) Aprovados em B e C = 50 Aprovados em A, B, C = 29 Aprovados apenas em B e C = y y + z = 25 Logo, y + 29 = 50 => y = 21 e z = 25 - 21 = 4
Passo 4) Aprovados apenas em A = 0 Aprovados apenas em B = z = 4 Aprovados apenas em C = w Aprovados apenas em A e B = x = 11 Aprovados apenas em A e C = x = 11 Aprovados apenas em B e C = y = 21 Aprovados em A, B e C = 29 Aprovados = 87
Logo, w + 4 + 11 + 11 + 21 + 29 = 87 => w = 11 Passo 5) Aprovados apenas em A = 0 Aprovados apenas em B = z = 4 Aprovados apenas em C = w = 11 Logo, o número de aprovados em apenas um vestibular é 4 + 11 = 15. 12) (UERJ/2011) Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciências visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus.
Solução: Considere
o conjunto dos alunos que visitaram o Museu de Ciências e
formado pelos alunos que visitaram o Museu de História. Considere também elementos em foram em
e o número de alunos no conjunto
e em
o conjunto o número de
. Queremos determinar quantos alunos
, isto é, o número de elementos presentes em
ao de Ciências visitaram o de História, portanto temos
. 20% dos que foram elementos na
interseção. Por outro lado, 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência, logo Assim,
elementos. Igualando ambos, podemos obter .
Também sabemos que o total de alunos é 48. Logo,
em função de :
Disto segue que quanto no de História.
alunos foram tanto no Museu de Ciências
