Transformadas de Laplace.ppt [Modo de Compatibilidade]

Transformadas de Laplace

Engenharia Mecânica - FAENG


Sumário • Introdução a Sistemas de Controle • Definições Básicas; • Exemplos.

SISTEMAS DE CONTROLE

• Transformadas de Laplace • Definição; • Transformada de Laplace; • Exemplo.

Prof. Josemar dos Santos

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Sistemas de Controle Objetivo: j •Introduzir ferramental matemático, conceitos fundamentais e algumas técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos e de Engenharia de Controle Moderno; •Utilização do Scilab como ferramenta computacional de engenharia para aplicação dos conceitos e técnicas de controle e modelagem. Ementa: • Introdução à engenharia de controle de sistemas. • Preliminares matemáticas matemáticas: Re Revisão isão de Números Comple Complexos os e Transformadas de Laplace. • Conceitos e técnicas de modelagem de sistemas. • Funções de transferência e diagramas de blocos. • Critérios de desempenho, estabilidade e realimentação de sistemas. • Técnicas de síntese de controle pelo método do lugar das raízes e de resposta em freqüência. • Projeto de compensadores. 3


Sistemas de Controle Livro Texto: • Nise, N. Engenharia de Sistemas de Controle, 3a edição, LTC Editora , 2002. Bibliografia Complementar: • Franklin, G.; Powell, J.D. Feedback Control of Dynamic Systems, Prentice-Hall 2005 Prentice-Hall,2005. • Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, 4a edição, PrenticeHall, 2003. • Dorf, Dorf R.C. R C Sistemas de Controle Moderno, Moderno LTC Editora Editora, 2001 2001.

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Sistemas de Controle


Introdução a Sistemas de Controle • Introdução a Sistemas de Controle • Definições Básicas; • Exemplos.

Critério de Avaliação ç

• Transformadas de Laplace • Definição; • Transformada de Laplace; • Exemplo.

P1*0 4+P2*0 4+AT*0 2 P1*0,4+P2*0,4+AT*0,2

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Introdução a Sistemas de Controle


Introdução a Sistemas de Controle • Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.

• Controle Controle é o ato de comandar, dirigir, ordenar, manipular alguma coisa ou alguém. Assim, um sistema de controle é um conjunto de componentes que tem por função dirigir alguma coisa (ou alguém).

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– Entradas são grandezas que estimulam, excitam um sistema Também chamadas de Referência ou do sistema. inglês, Set Point (SP). – Saídas são as reações, respostas, do sistema a um ou mais estímulos externos. Também chamadas de Variável do Processo ou do inglês, Process Variable (PV). 8





• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.

• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.

– Variável manipulada é uma grandeza ou condição que é variada pelo controlador para que modifique o valor da variável controlada. Do inglês, Manipulated Variable a ab e ((MV). )

– Perturbações (ou distúrbios) são sinais que tendem a afetar adversamente o valor da saída do sistema. sistema Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é denominada de o ada pe perturbação u bação interna, e a, e enquanto qua o que u uma a perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do sistema e constitui uma entrada.

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• Si Sistema t d de controle t l realimentado li t d é um sistema i t que mantém uma determinada relação entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle. Exemplo: um sistema de controle da temperatura ambiente. Os sistemas de controle realimentados não estão limitados a aplicações p ç de Engenharia. Um exemplo é o sistema de controle da temperatura do corpo humano, que é um sistema altamente avançado.

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• Sistema S de controle a malha aberta (SCMA) (SC ) é aquele l sistema i t em que a saída íd não ã ttem nenhum h efeito f it sobre b a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a saída não é medida nem realimentada p para comparação p ç com a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas.

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•Sistema Sistema de controle a malha fechada (SCMF)

• SCMF x SCMA

Nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF a diferença entre dif t a referência f ê i (sinal ( i ld de entrada) t d ) e a medida did d da variável iá l controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro atuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a saída do sistema a um valor desejado desejado. O termo controle a malha fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim de reduzir o erro do sistema.

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Modelo Matemático


Conceitos Básicos

• Componentes de um Sistema de Controle

Modelo Matemático

SP

Controlador

MV

Atuador

Planta

PV

Consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia para se obter uma representação matemática d um sistema. de i t

±

• Circuitos Elétricos – Lei de Ohm e as Leis de Kirchoff • Sistemas Mecânicos – Leis de Newton

Sensor

Entrada

Saída Descrição matemática

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Modelo Matemático

Modelo d l Matemático á i

Conceitos Básicos

an


Conceitos Básicos

Modelo Matemático

Modelo Matemático: Exemplo

Equações Diferenciais

Circuito RLC

dny d n−1 y dy d mx d m−1 x dx + a + ... + a + a y = b + b + b0 x n n −1 n −1 1 0 m m m−1 m−1 +...+b1 dt dt dt dt dt dt y - saída do sistema x - entrada t d do d sistema i t

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M d l Matemático Modelo M t áti

Modelo d l Matemático á i Conceitos Básicos

Conceitos Básicos



Tabela 1 - Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores e indutores Componente

Tensão-corrente


Corrente-tensão

Tensão-carga

Circuito RLC

Impedância Admitância Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s)

t

di (t ) 1 L + Ri (t ) + i (τ )dτ = v(t ) dt C0

∫

Indutor Nota: ν( t ) = V (volts), (volts) i( t ) = A (ampères), (ampères) q( t ) = Q (coulombs), (coulombs) C = F (farads), (farads) R = Ω (ohms), (ohms) G =

(mhos) L = H (henries) (mhos),

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Conceitos Básicos

Conceitos Básicos



Circuito RLC

Circuito RLC

M d Mudança d de variável iá l corrente t para carga

Utili Utilizando d a relação l ã ttensão-carga ã d T da Tabela b l 1 1.

d 2 q (t ) dq (t ) 1 L + R + q (t ) = v(t ) dt C dt 2

q (t ) = CvC (t ) d 2VC (t ) dvC (t ) LC + RC + vC (t ) = v(t ) dt dt 2 21

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Conceitos Básicos

Conceitos Básicos



Circuito RLC

Circuito RLC

2

LC

d vC (t ) dvC (t ) + RC + vC (t ) = v(t ) dt dt 2

d 2 vC (t ) dv (t ) + RC C + vC (t ) = v(t ) LC 2 dt dt Aplicar a Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace


Esquematicamente • Método para solucionar equações diferenciais ordinárias • É uma operação semelhante à transformada logarítmica • Equações diferenciais são transformadas em equações algébricas • Realiza-se operações no domínio “s” • Retorna ao domínio “t” através da transformada inversa

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Conceitos Básicos: Matemático francês LAPLACE (1749-1827) inventou um método para resolver equações diferenciais da seguinte forma


•Multiplica cada termo da equação diferencial por e-st •Integra cada termo em relação ao tempo de ZERO a INFINITO • “s” é uma constante de unidade 1/tempo

F (s ) = L [ f (t )] =

∞

∫ f (t )e

− st

dt

0

Em que

s = σ + jω é uma variável complexa

Onde: F(s) - símbolo da transformada de Laplace f(t) - função contínua em 0 < t < infinito L - operador de Laplace 27

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Conceitos Básicos:

Conceitos Básicos:

Tabela de Transformadas de Laplace Transformada Inversa de Laplace

f ( t) = L−1[ f ( s) ] Onde: f(t) - função que não é definida para t < 0 L-1 - operador da inversa de Laplace

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Transformada de Laplace •


PROPRIEDADES

•

1 - SOMA DE DUAS FUNÇÕES Ç

PROPRIEDADES 3 – FUNÇÃO Ç COM ATRASO NO TEMPO

L [ f1 (t ) + f 2 (t )] = L [ f1 (t )] + L [ f 2 (t )] = F1 (s ) + F2 (s ) 2 - MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE

L[ f ( t − t 0 ) ] = e − t

0

s

F ( s)

∞

∞

L[ f ( t − t 0 )] = ∫ f ( t − t 0 ) e − s( t −t ) d ( t − t 0 ) = e s t ∫ f ( t ) e − s t dt 0

L [ af ( t )] = aL [ f ( t )] = aF ( s)

0

0

0

L [ f ( t − t 0 ) ] = e s t F ( s) 0

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PROPRIEDADES

•

PROPRIEDADES

4 – DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNÇÃO Ç

⎡ df (t ) ⎤ L⎢ = sF ( s) − f (0) ⎣ d t ⎥⎦

o n d e:

5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃO Ç

f (0) = f (t = 0)

∞ ⎡ df ( t ) ⎤ ∞ df ( t ) −s t ⎥= ∫ e dt = ∫ f ( t ) e − s t dt + f ( t ) e − s t L⎢ dt ⎣ dt ⎦ 0 0

⎡ df ( t ) ⎤ ⎥ = sF F ( s) − f ( 0) ⎣ dt ⎦

f (t ) ⎤ df (0 ) d 2 onde : f (t = 0 ) ⎥ = s F (s ) − sf (0 ) − 2 dt dt ⎣ dt ⎦ ⎡

L⎢d

∞

= sL

[ f ] − f ( 0)

2

φ=

0

df dt

L ⎡⎢⎣ d 2 f

L⎢

φ ( s) = sF ( s) − f ( 0) 2⎤ dt ⎥ = L [ d φ dt ] = s φ ( s ) − φ ( 0 ) ⎦

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PROPRIEDADES

•

PROPRIEDADES

5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃO Ç

⎛ 2 L⎜⎜ d 2f ⎝ dt

6 – DERIVADA N-ÉSIMA DE UMA FUNÇÃO Ç

⎞ ⎟⎟ = s[sF (s ) − f (0)] − φ (0) = s2 F (s ) − sf (0) − f ' (0) ⎠

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⎡ dn

⎤ d n −1 n n −1 n −2 d ( ) ( ) ( ) ( ) f t s F s S f S f f ( 0) = − − − − 0 0 ...... ⎥ n dt dt ⎣ dt ⎦

L⎢

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R f ê i Referências Bibli Bibliográficas áfi BEGA, E BEGA E. A A. (Organizador) (Organizador). Instrumentação Industrial 1a 1a. ed ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2003. 541 p. y FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D., EMAMI-NAEINI, A. Feedback Control of Dynamic Systems 3a. ed. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 778 p. GARCIA, CLAUDIO. Modelagem e Simulação 1a. ed. São Paulo: EDUSP, 1997. 458 p. MARLIN, T. Process Control - Designing Processes and Control Systems for Dynamics Performance 1a. ed. USA: McGraw-Hill, 1995. 954 p. NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle 3a. Edição ed. São Paulo: LTC, 2002. 695 p. OGATA, K OGATA K. Engenharia de Controle Moderno 4a 4a. ed ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall Hall, 2005. 788 p.

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