UKURAN PEMUSATAN DATA DAN UKURAN LETAK
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
PENDAHULUAN Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data
data itu disajikan dalam tabel dan diagram, masih diperlukan ukuran ukuran--ukuran yang merupakan wakil kumpulan data
ukuran letak : kuartil, desil dan persentil
ukuran pemusatan data : ratarata hitung, rata-rata ukur, ratarata harmonis, modus, median
statistika deskriptif.
MEAN
Mean dari sekumpulan bilangan adalah jumlah bilangan bilangan-bilangan dibagi oleh banyaknya bilangan bilangan.. Dalam bahasa Inggris, nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean atau sering dikenal dengan nama mean saja Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol (baca: miu) dan rata-rata hitung dari sample diberi simbol (baca: eks bar). Secara umum rata-rata hitung ditentukan rumus berikut :
f .x ∑ x = ∑n
ARTI MEAN/RATA-RATA • RATA-RATA YANG NILAI MATEMATIKA DARI KELAS Va ADALAH 25 • RATA-RATA ORANG INDONESIA ITU PENDEKPENDEK • JADI , DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI KATA RATA-RATA ITU DIARTIKAN NILAI YANG ADA DI SEKITAR
MEAN
Tentukan nilai rata rata--rata dari data : 2,3,4,5,6 Jawab :
x =
2+3+ 4+5+ 6 5
= 4
Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama 1 minggu tercatat seperti pada tabel berikut berikut:: Berat (kg)
Frekuensi
f.x
5
6
30
6
8
48
7
12
84
8
4
32
30
194
194 f .x ∑ = 6 .47 kg = x= 30 ∑f
RATARATA-RATA UKUR (GEOMETRIC MEAN)
Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hamper tetap, rata-rata ukur lebih baik dipakai daripada rata-rata hitung, apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data X1, X2, …, Xn maka rata-rata ukurnya dirumuskan sebagai berikut:
G =
n
X 1 . X 2 . X 3 ... X n
log G =
1 (log X 1 + log X 2 + ... + log X n ) n
Contoh:
Tentukan ratarata ukur dari: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12 ! Penyelesaian: G = n X1.X 2 .X 3...X n 7 (3)(5)(6)(6)(7)(10)(12) Log G = 7
453.600 =
= 6,43
1 1 log 453600 = (5,6567) = 0,8081 7 7
RATARATA-RATA HARMONIK
Nilai rata-rata harmonik dari sekumpulan bilangan adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitungdari kebalikan bilanganyang termasuk dalam kumpulan bilangan tersebut. Rata-rata harmonis dari seperangkat data X1, X2, …,Xn dirumuskan: H =
n
∑
1 X
=
n 1 1 1 + + ... + X1 X2 Xn
Example : Tentukan rata-rata harmonis dari 4, 6, 7, 7, 8, 9, 13 Penyelesaian: =
=
7 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 4 6 7 7 8 9 13
7 0,250 + 0,166 + 0,142 + 0,142 + 0,125 + 0,111 + 0,077
=
7 = 6 , 91 1, 013
MEDIAN Median dari sekumpulan bilangan adalah bilangan yang ditengah--tengah atau rataditengah rata-rata bilangan tengah setelah bilangan--bilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang bilangan terbesar.. terbesar • Letak Me = data ke –
• Nilai Me = b + p
(n + 1) 2
1 n − F 2 f
Keterangan : b = tepi bawah kelas median p = panjang kelas interval F = frekuensi total sebelum kelas Me f = frekuensi kelas median n = banyak data
MODUS
Modus dari sekumpulan bilangan adalah bilangan yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak (terbesar) terbesar) Mo = b + p
d1 d1 + d 2
Keterangan : b = tepi bawah kelas modus p = panjang kelas interval d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
KUARTIL Nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3). Kuartil kedua sama dengan median. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah: Susun data menurut urutan nilainya, Tentukan letak kuartil, dan nilai kuartil. Untuk letak kuartil dapat dicari dengan rumus: • Q1 = nilai yang ke- i
• Q I = Bi +
in 4
−
( n + 1) 4
(∑ f
,i = 1,2,3 f
i
)o .C
Ki
Keterangan Bi = tepi bawah kelas kuartil, n = jumlah semua frekuensi o = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil C = panjang interval kelas
CONTOH SOAL TUNGGAL 1. Dik data : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9 Letak Me = data ke -(12 + 1) = data keke- 6 1 2 2 Nilai Me = 6 + 1 (7 (7--6) = 6,5 2 Modus = 6 2. Tentukan kuartil dari data : 11, 4, 3, 8, 7, 6, 2, 10, 12, 14, 17 ! Penyelesaian : Data diurutkan : 2,3,4,6,7,8,10,11,12,14,17 n = 11, Q i= nilai ke i Q 1 = nilai ke 1 (11 + 1) = 3, yaitu 4 4 (11 + 1) Q 2 = nilai ke 2 4 (11 + 1) Q 3 = nilai ke 3 4
Modus = tidak ada.
= 6, yaitu 8 = 9, yaitu 12
CONTOH SOAL KELOMPOK Nilai (X)
Frekuensi (f)
90 85 75 65 60 55 40
2 3 3 4 4 7 2
TOTAL
25
Q1
=
135,5 +
Q2
=
144,5 +
Q3
=
153,5 +
Modus ?
1 x 40 −8 4 x9 9 2x40 −17 4 x9 12 3x40 − 29 4 x9 5
=
137,5
=
146,75
=
155,3
DESIL Desil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis desil, yaitu desil pertama (D1), desil kedua (D2),…, desil kesembilan (D9). Desil ke-5 (D5) sama dengan median. Desil-desil ditentukan dengan jalan: Susun data menurut urutan,tentukan letak desil & tentukan nilai desil.
i ( n + 1) , i = 1,2,…, 9 10 Tentukan desil ke-4 (D4) dan desil ke-9 (D9) dari data berikut ini: 34, 36, 39, 40, 42, 44, 47, 51, 54, 60, 61, 65, 67 Penyelesaian: D4 = data ke 4(13 + 1)
Di = nilai ke
10
= data ke 5,6, yaitu antara data ke-5 dan data ke-6 sebesar 0,6 jauh dari data ke 5 = X5 + 0,6 (X6 – X5) = 42 + 0,6 (44 -42) = 42 + 1,2 = 43,2
DESIL KELOMPOK Untuk data-data berkelompok, desil dapat dicari dengan rumus berikut:
Di = Bi +
in − (∑ f i )o 10 .C f Di
Keterangan: Di = desil ke- i , i = 1,2,3,…, 9 Bi = tepi bawah kelas desil ke-i n = jumlah frekuensi jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i C = panjang interval kelas desil ke-i fDi = frekuensi kelas desil ke-I
PERSENTIL Persentil adalah nilai-nilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi seratus bagian yang sama. Terdapat sembilan puluh sembilan persentil, yaitu persentil pertama (P1), persentil kedua (P2), …, dan persentil kesembilan puluh sembilan (P99). Untuk data tunggal, menggunakan rumus: P1 = nilai ke
i(n + 1) , i = 1,2,…,99 100
Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), menggunakan rumus: Pi = Bi +
in 100
−
(∑ f
f i )o .C
Pi
Keterangan: Pi = persentil ke-I, Bi = tepi bawah kelas persentil ke-i n = jumlah semua frekuensi i = 1,2,3, …, 99 0 = jumlah semua frekuensi sebelum kelas persentil C = panjang interval kelas, fpi = frekuensi kelas persentil
CONTOH SOAL Berat (Kg)
Frekuensi (f)
45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74
7 16 35 27 12 3
Jumlah
100
Untuk mencari persentil ke-37 terlebih dahulu dicari kelas persentil ke-37 ,Dari Tabel di atas, diketahui: n = 100, maka 37 (100) = 37 & Kls P37 adalah kls ke-3 100 B37 = 54,5 (tepi bawah kelas ke-3)
(∑ f ) o = 23, 37
P37
C = 5
= 54,5 + 2
f P37
37 x100 − 23 100 x5 35
= 35 = 56,5
Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.
a. Data tunggal / berbobot Letak Pi = data ke
i (n + 1) 100
dengan i = 1,2,…,99 Contoh : Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7 Tentukan P20 dan P70
