TATAP MUKA III UKURAN PEMUSATAN DATA (MEAN, MEDIAN DAN MODUS)
Fitri Yulianti, SP. Msi.
UKURAN DATA
Ukuran data Ukuran Pemusatan data
Ukuran letak data
Ukuran penyebaran data
Mean
Median
Jangkauan
Median
Kuartil
Jangkauan antar kuartil
Modus
Desil
Simpangan rata-rata
Persentil
Simpangan Baku atau ragam
MEAN • Apakah Mean? Mean merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data. Mean dipelajari dalam materi Statistika, yaitu dalam sub materi ukuran pemusatan data. • Istilah lain rata-rata atau rerata atau rataan • Jenis Mean 1. rata-rata hitung, 2.rata-rata ukur dan 3. rata-rata harmonis
PERNAHKAH MENDENGAR PERNYATAAN INI? Berapa rata-rata nilai ulangan statistika di kelasmu? Tinggi badan rata-rata siswa kelas XII adalah 156 cm Berapa keuntungan rata-rata yang diperoleh petani padi setiap musim dalam satu tahun? Berapa rata-rata jumlah kendaraan bermotor yang melintasi Jalan Jenderal Sudirman setiap menit?
RATA--RATA HITUNG RATA LAMBANG Rata--rata hitung dilambangkan dengan eks bar Rata
X SUB MATERI 1. Data tunggal 2. Data berbobot 3. Data berkelompok
RATA-RATA HITUNG DATA TUNGGAL Jika terdapat n buah data yang terdiri dari
x1, x2, x3, … xn, rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut.
x1 x 2 x 3 .... x n x n n x
Σ xi
i1
n
atau
n
= banyak data
Σx i
= jumlah data (jumlah
atau
Σx i x n
data ke-1 sampai dengan data ke-n)
Contoh soal 1
Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung nilai siswa tersebut adalah …. a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
Pembahasan soal 1
Dik : Data n
= 8, 5, 7,10, 5
= banyak data = 5
Σx i = jumlah data Ditanya : rata-rata Jawab :
x
Σx i n
=
35 5
= 7
= 8 + 5 + 7 + 10 + 5 = 35
X
Contoh soal 2 Berat badan 10 orang siswa adalah z, 48, 50, 44, 46, 50, 56, 57, 44, dan 45 kg. Jika berat badan rata-rata ke 10 siswa tersebut 50 kg, nilai yang benar untuk z adalah …. Kg. a. 70 b. 65 c. 60 d. 55 e. 45
Pembahasan soal 2 Diketahui : banyak data = n Rata-rata Jumlah data
Ditanya : z = 10 = 50
Σx i = z + 48+50+44+46+50 +56+57+44+45 = z + 440
Jawab :
x 50
Σx i n =
z 440 10
z + 440 = 50 . 10 z + 440 = 500 z
= 500 – 440
z
= 60
LATIHAN 1 1.
Tentukanlah rata-rata tinggi badan anggota paskibra dari 8 siswa putri berikut 164, 165, 163, 160, 167, 165, 160, dan 160 cm
2.
Rata-rata hasil ulangan matematika 15 siswa adalah 6,8. Jika 5 siswa mengikuti ujian susulan maka nilai rata-ratanya menjadi 7,0. Berapa nilai rata-rata kelima siswa yang mengikuti ujian susulan tersebut?
Dik : n=8 xi= 164, 165, 163, 160, 167, 165, 160, dan 160 cm
Ditanya : rata-rata tinggi badan Jawab :
Σx i
= 164+165+163+160 +167+165+160+160 = 1304
x x
Σx i n 1304 8
= 163 cm
X
Diketahui :
Rata-rata 5 siswa :
X 5 siswa = 6,8 X 20 siswa = 7,0 Ditanya
:
5
x 5 siswa
Σ xi
i 1
5 20
15
Σ
X 5 siswa
Jawab
:
15
x15 siswa
Σ xi
15
6,8
i1
6,8 x 15 = 102
15 15
x 20 siswa
Σ xi
i 1
20
20
7,0
Σ xi
i1
20
Σ
i 1
5
140
102 5
= 38/5 = 7,6
i 1
15 Σ xi
i 1
7,0 x 20 = 140
RATA-RATA HITUNG DATA TUNGGAL BERBOBOT Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xn, dan masing-masing frekuensinya adalah f1, f2, f3, … fn , nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut.
f1.x1 f2 .x 2 f3 .x 3 .... fn.x n x n
atau
n
Σ fi .x i
x i1
Σfi .x i fi xi fi = n
n
atau
x
Σfi .x i Σfi
= Jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya = Frekuensi data ke-i = Data ke-i = banyak data
Contoh soal 3
Tabel penjualan 10 buah kios pakaian pada minggu pertama bulan Desember 2008 Pakaian terjual (xi)
Banyak Kios
70
2
80
3
90
4
100
1
(fi)
Rata-rata pakaian yang terjual pada tabel di samping adalah a. 70 b. 71 c. 72 d. 73 e. 74
Pembahasan contoh soal 3 Diketahui : Pakaian terjual (xi)
Banyak Kios (fi)
70
2
Ditanya : Rumus rata-rata Jawab : fi. xi
i
i
140
80
3
240
90
4
360
100
1
100
10
840
x
f .x f =
840 10
= 84
i
LATIHAN 2 1.
Tabel 1 berisi data Panjang bahan yang dibutuhkan siswa untuk merancang pakaian pesta. Hitunglah berapa panjang rata-rata bahan yang dibutuhkan oleh siswa?
Tabel 2 memperlihatkan banyaknya buah mangga yang dihasilkan. Berapakah x dan berapa banyk musim yang dilalui jika ratarata-rata pohon tersebut menghasilkan 49 buah?
2.
Tabel 1. Panjang bahan (dalam Meter)
Jumlah Siswa
Tabel 2 Banyak buah
Banyak Musim (fi)
30
2
40
3
50
x
3
5
3,5
10
4
3
60
1
5
2
75
2
Diketahui :
1
2
xi
Diketahui : xi
fi
xi.fi
3 3,5
5
15
10
35
4
3
fi
xi.fi
30
2
60
40
3
120
50
x
50x
60
1
60
75
2
150
12 Ditanya : x
5
2
10
20
72
f .x = f = i
i
3,6
72 20
:
x
f .x f i
i
i
49(8+x)
60 120 50x 60 150 8x =390 + 50x
392 + 49x
= 390 + 50x
49x – 50x
= 390 – 392
-x
= -2
x
= 2 musim
49
Ditanya : RataRata-rata Jawab :
x
Jawab
=
i
banyak musim : 2 + 3+ 2+ 1 + 2 = 10 musim
RATA-RATA HITUNG DATA KELOMPOK Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan Rata-rata hitung data berkelompok. 1. dengan rumus sigma
2. dengan rumus coding
Menentukan ratarata-rata hitung data berkelompok akan lebih mudah apabila data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. , xi = Titik tengah
3. dengan ratarata-rata duga
f .x f i
x
i
= ½ . (batas bawah + batas atas)
i
ci = Kode titik tengah
x x0
fi .c
I = Interval kelas = Panjang kelas i
n
.I
b n b n 1 = satuan ukuran terkecil
x0 = Titik tengah pada frekuensi terbesar
x x0
fi .d n
i
di = xi – x0
Contoh soal 4 Rata-rata pendapatan harian pedagang kaki lima pada tabel di samping adalah Rp …
Tabel pendapatan 50 Pedagang kaki lima pada tanggal 1 Januari 2009
a.
NO
Pendapatan (dalam puluhan ribu rupiah)
fi
1
1–5
6
2
6 – 10
20
3
11 - 15
10
4
16 - 20
9
5
21 - 25
5
97.000
c. 117.000 e.
137.000
b. 107.000 d. 127.000
Batas bawah NO
X
Pembahasan contoh soal 4 Dengan rumus sigma
Batas atas fi
xi
fi.xi
1
1–5
6
3
18
2
6 – 10
20
8
160
3
11 - 15
10
13
130
4
16 - 20
9
18
162
5
21 - 25
5
23
115
50
585
x
f .x f i
i
i
585 50
x
X
= 11,7
Penghasilan rata-rata pedagang = 11,7 x 10.000 = Rp 117.000
x1 = ½ (1+5)
x2 = ½ (6+10)
x3 = ?
=½.6
= ½ . 16
x4 = ?
=3
=8
x5 = ?
Kelas dengan frekuensi terbesar
Pembahasan contoh soal 4 X0 = nilai tengah pada frekuensi terbesa Dengan rumus coding 0 = Kode pada frekuensi terbesar NO
X
fi
xi
ci
fi.ci
1
1–5
6
3
-1
-6
2
6 – 10
20
8
0
0
3
11 - 15
10
13
1
10
4
16 - 20
9
18
2
18
5
21 - 25
5
23
3
15
50
37
x x0
fi .c n
i
.I
x0. = 8 fi.c i = 37 n = 50 I = (6 – 1)/1 = 5
37 x 8 .5 50 X
= 8 + 3,7 = 11,7
Penghasilan rata-rata pedagang = 11,7 x 10.000 = Rp 117.000
Kelas dengan frekuensi terbesar
di = Nilai tengah – Nilai dugaan = xi –x0
X0 = nilai dugaan
NO
X
fi
xi
di
d1 = 3 – 8 = -5 d2 = 8 – 8 = 0 d3 = ?, d4 =? dan d5 = ? fi.di f .d
x x0
i
i
1
1–5
6
3
-5
-30
2
6 – 10
20
8
0
0
x0. = 8
3
11 - 15
10
13
5
50
4
16 - 20
9
18
10
90
fi.d i = 185 n = 50
5
21 - 25
5
23
15
75
50
185
n
185 x 8 . 50 X = 8 + 3,7 = 11,7
Penghasilan rata-rata pedagang = 11,7 x 10.000 = Rp 117.000 Pembahasan dengan rata-rata duga
LATIHAN 3 1.
Hitunglah Jarak rata-rata yang ditempuh siswa dari rumah ke sekolah (tabel 3) dengan : A. Rumus sigma B. Rumus Coding C. Rumus Rata-rata duga Tabel 3 Jarak
Frekuensi
1 - 10
40
11 – 20
25
21 – 30
20
31 - 40
15
B. Rumus coding
A. Rumus sigma x
fi
xi
X
fi.xi
1 - 10
40
5,5
220
11 – 20
25
15,5
387,5
21 – 30
20
25,5
510
31 - 40
15
35,5
532,5
100
Rata-rata =
x
fi
xi
Ci
1 – 10
40
5,5
0
0
11 – 20
25
15,5
1
25
21 – 30
20
25,5
2
40
31 – 40
15
35,5
3
45
100
110
1650
Rata-rata =
fi .x i
fi.xi
x x0
fi .c
i
n
.I
110 x 5,5 . 10 100
f
i
= 1650/100
= 5,5 + 11
= 16,5 KM
= 16,5 KM
C. Rumus ratarata-rata duga X
fi
xi
1 – 10
40
5,5
0
0
11 – 20
25
15,5
10
250
21 – 30
20
25,5
20
400
31 – 40
15
35,5
30
450
100
Di
fi.di
Rata-rata :
1100
x x0
f .d i
n
i
1100 x 5.5 100 = 5.5 + 11 = 16.5 KM
MODUS Nilai yang paling sering muncul atau Nilai yang frekuensinya paling tinggi A. Modus untuk Ungrouped Data Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus) Bisa terjadi data tanpa modus Contoh : a. Sumbangan PMI warga Depok: Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000 Modus : Rp. 8000 b. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus) c. Umur Mahasiswa : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17 Modus : 18 dan 19
MODUS (LANJUTAN) Modus untuk Grouped Data Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi Tepi Batas Bawah kelas ke i = Batas Bawah kelas ke i + Batas Atas kelas ke (i-1) 2 Tepi Batas Atas kelas ke i = Batas Atas kelas ke i + Batas Bawah kelas ke (i+1) 2
CONTOH MODUS (LANJUTAN)
CONTOH MODUS (LANJUTAN)
MEDIAN, KUARTIL, DESIL PERSENTIL A.
Median untuk Ungrouped Data Median
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median Letak Median =
Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir
n 1 2
n = banyaknya data • Jika banyak data (n) ganjil dan tersortir, maka: Median = Data ke n 1
2
• Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka: Median = [Data ke- n + Data ke-( n +1)] : 2 2
2
CONTOH MEDIAN (UNGROUPED DATA)
MEDIAN (GROUPED DATA) Nilainya merupakan pendekatan Median Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar Letak Median =
n 2
n : banyak data
Kelas Median : Kelas di mana Median berada Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
CONTOH MEDIAN (GROUPED DATA)
Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 Kelas Median = 24 - 31 TBB Kelas Median = 23.5 TBA Kelas Median = 31.5
CONTOH MEDIAN (GROUPED DATA) f M = 17 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10 Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27
s = 25 - 10 = 15 s’ = 27 - 25 = 2
KUARTIL (GROUPED DATA)
Kelas Kuartil ke-q : Kelas di mana Kuartil ke-q berada Kelas Kuartil ke-q didapatkan dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
KUARTIL (GROUPED DATA)
CONTOH KUARTIL (GROUPED DATA)
Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47 Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47 TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5
CONTOH KUARTIL (GROUPED DATA) f Q = 10 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34 Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44
s = 37.5 - 34 = 3.5 s’ = 44 - 37.5 = 6.5
DESIL (GROUPED DATA)
DESIL (GROUPED DATA)
CONTOH DESIL (GROUPED DATA)
Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55 Kelas Desil ke-9 = 48 - 55 TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5
CONTOH DESIL (GROUPED DATA) fD=3 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47
s = 45 - 44 = 1 s’ = 47 - 45 = 2
PERSENTIL (GROUPED DATA)
Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada Kelas Persentil ke-p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil kep dengan Frekuensi Kumulatif
PERSENTIL (GROUPED DATA)
CONTOH PERSENTIL (GROUPED DATA)
Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39 Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39 TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5 TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5
CONTOH PERSENTIL (GROUPED DATA) fP=7 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27 Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil ke-56 = 34
s = 28 - 27 = 1 s’ = 34 - 28 = 6
