Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas
Asignatura: Cálculo III
Laboratorio N° 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange. Introducción. En este laboratorio estudiaremos los extremos condicionados de las funciones reales de varias variables. Dadas las funciones f : ℜn → ℜ y g : ℜn → ℜ , el punto r0 donde la función f , restringida al conjunto nivel g = c , toma un valor máximo o mínimo se G denomina extremo condicionado. Si r0 es un extremo condicionado y ∇g ( r0 ) ≠ 0 , G G entonces existe un número real λ tal que ∇f ( r0 ) = λ∇g ( r0 ) . El número λ se denomina multiplicador de Lagrange. Este hecho permite construir una función auxiliar F = f − λ g G entre cuyos puntos críticos (los puntos r0 , tales que ∇F ( r0 ) = 0 ) podemos encontrar los extremos condicionados de f . Para determinar el tipo de extremo condicionado podemos ayudarnos en primer lugar con consideraciones geométricas, por ejemplo si el conjunto nivel g = c es una superficie acotada entonces la función f restringida a dicha superficie debe tener un valor máximo y uno mínimo. Si los puntos críticos de la función auxiliar F son dos, entonces uno debe ser un máximo y el otro mínimo. Reemplazando en la función f podremos saber cuál es cuál. En general, podemos emplear el hessiano de la función auxiliar F , pero en este caso los criterios cambian. En particular para una función f : ℜ2 → ℜ , denotando por H ( F ( r0 ) ) la matriz hessiana, si det ⎡⎣ H ( F ( r0 ) ) ⎤⎦ > 0 entonces r0 es máximo condicionado, si det ⎡⎣ H ( F ( r0 ) ) ⎤⎦ < 0 , r0 es un mínimo condicionado y si det ⎡⎣ H ( F ( r0 ) ) ⎤⎦ = 0 , no hay información sobre el tipo de punto.
Ejercicios Resueltos 1. Determine los extremos condicionados de la función f ( x, y ) = x 2 y dada la condición g ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 = 6 . G G a. Verifique ∇f ( r0 ) = λ∇g ( r0 ) en los extremos condicionados. b. Represente las curvas de nivel f ( x, y ) = c , la curva constricción g ( x, y ) = 6 . Trace una recta que tenga la dirección del gradiente y que pase por uno de los extremos condicionados r0 . Compruebe que dicha recta es perpendicular tanto a la curva de nivel f ( x, y ) = f
r0
como a la constricción g ( x, y ) = 6 .
Solución
Construimos la función auxiliar F ( x, y, λ ) = f ( x, y ) − λ ( g ( x, y ) − c ) :
F ( x, y , λ ) = x 2 y − λ ( x 2 + 2 y 2 − 6 ) G Resolvemos la ecuación ∇F = 0 , es decir, debemos igualar a cero las derivadas parciales. Los cálculos se muestran en la figura 1. Tenemos las siguientes relaciones entre las variables x = ±2 y , λ = y , y 2 − 1 = 0 . De donde obtenemos los puntos: P1 ( 2,1) ; λ = 1 ; P2 ( −2,1) ; λ = 1 ; P3 ( 2, −1) ; λ = −1 ; P4 ( −2, −1) ; λ = −1 . Note que para resolver la ecuación “ec1” hemos supuesto x ≠ 0 . Otra solución posible de esta ecuación es x = 0 , lo que implica de acuerdo a la ecuación “ec2”, que y = 0 o λ = 0 . Pero y = 0 no puede ser ya que en este caso g = 0 , lo que contradice la ecuación “ec3”. Si
λ = 0 y x = 0 , de la ecuación “ec3” obtenemos y = ± 3 . Tenemos los puntos:
(
)
(
)
P5 = 0, 3 ; λ = 0 ; P6 = 0, − 3 ; λ = 0 . El conjunto nivel (curva de nivel) x 2 + 2 y 2 = 6 constituye una curva cerrada, por tanto la función f alcanza su valor máximo y mínimo. Evaluamos los puntos en la función (figura 2) y comprobamos que los puntos P1 ( 2,1) y P2 ( −2,1) son máximos condicionados, mientras que P3 ( 2, −1) y P4 ( −2, −1) son mínimos condicionados. En los
(
)
(
)
puntos P5 = 0, 3 y P6 = 0, − 3 la función se anula.
Figura 1
Figura 3
Figura 2
a. Para calcular el gradiente podemos emplear la función de usuario “Df2_m” como se muestra en la figura 3. Vemos por ejemplo que: G G ∇f ( P1 ) = λ∇g ( P1 ) ⇒ [ 4, 4] = 1⋅ [ 4, 4] G G ∇f ( P3 ) = λ∇g ( P3 ) ⇒ [ −4, 4] = −1⋅ [ 4, −4]
c para c = ±2, ±4, ±5 . x2 ⎧⎪ x = 6 cos t y2 + =1⇒ ⎨ 3 ⎪⎩ y = 3 sen t
b. Las figuras 4 muestran las curvas de nivel de x 2 y = c ⇒ y = También se grafica la elipse x 2 + 2 y 2 = 6 ⇒
x2
( 6)
2
Buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 ( 2,1) en la dirección del
⎧ x = 2 + 4t vector gradiente en ese punto ⎨ o eliminando en parámetro t , y = x − 1 . ⎩ y = 1 + 4t
Figura 4
Figura 5
2. Construya un programa para aplicar el criterio del hessiano a la función auxiliar F = f − λ g en la clasificación de los extremos condicionados de una función f : ℜ2 → ℜ a. Compruebe su programa aplicándolo a la función de la pregunta anterior.
Solución. En el recuadro se muestra el programa “ExtConxy”, que permite clasificar los extremos condicionados de una función. El programa requiere que se introduzcan la función auxiliar F ( x, y ) = f − λ g (figura 6) el valor del multiplicador de Lagrange y el punto extremo que deben escribirse entre llaves (figura 7).
Figura 6
Figura 7
Figura 8
Delvar F,P,S,a InputFunc F( λ ,x,y),"f- λ g" Input P,"{ λ ,x,y}" Hess3(F( λ ,x,y), λ ,x,y)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3] ⇒ S det(S) ⇒ a If a=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a<0 Then Print "Minimo" Else Print "Maximo" IfEnd IfEnd
El resultado se muestra en la figura 8. Después de aplicar el programa a cada punto obtenemos la siguiente clasificación: ( ±2,1) ⇒ Máximos condicionados
( ±2, −1) ⇒
Mínimos condicionados
Programa “ExtConxy”
3. Calcule la distancia máxima al origen de coordenadas de un punto que se encuentra sobre la curva x3 + y 3 − 6 xy = 0 .
Solución
Figura 9
Figura 10
Figura 11
La distancia de un punto P ( x, y ) al origen de coordenadas se calcula mediante la función d ( x, y ) = x 2 + y 2 . Debemos encontrar el máximo de esta función con la condición de
que P ( x, y ) se encuentre sobre la curva dada. Es fácil darse cuenta que el máximo condicionado de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 coincide con el máximo condicionado de la función d ( x, y ) . El empleo de la función f ( x, y ) simplifica los cálculos, por lo que vamos a utilizar la siguiente función auxiliar: F ( x, y, λ ) = x 2 + y 2 − λ ( x3 + y 3 − 6 xy ) . Para hallar los puntos críticos de la función F tomamos sus derivadas parciales y las igualamos a cero: Fx = 0; Fy = 0; Fλ = 0 . De las dos primeras ecuaciones despejamos el
valor de λ (figura 9), eliminamos la variable λ igualando ambas expresiones (“s1” y “s2” en la figura 9) y obtenemos la relación: (ver figura 10). ( x − y )( xy + 2 x + 2 y ) = 0 (*) Una solución esta dada por x = y . Reemplazamos ahora x = y en la tercera ecuación y encontramos los valores para x (figura 10). Los puntos críticos hallados son P1 ( 0, 0 ) y P2 ( 3,3) . Es evidente, por consideraciones geométricas, que el punto P1 ( 0, 0 ) es un
mínimo. De la relación
( *)
vemos que otra posibilidad de solución es cuando
xy + 2 x + 2 y = 0 . Despejamos x en función de y y reemplazamos en la tercera ecuación. La figura 11 muestra que las soluciones son complejas o nulas. {y=-1.703194113-1.265004358 i , y=-1.703194113+1.265004358 i , y=-1.2968058872.997055166 i , y=-1.296805887+2.997055166 i , y=0} Todos estos valores pueden desecharse ya que solo nos interesan las soluciones reales, además el caso y = 0 ya fue considerado. Finalmente, a partir de consideraciones geométricas, podemos afirmar que el punto ( 3,3) corresponde al máximo condicionado buscado. Para asegurarnos de esto, primeramente graficamos la curva x3 + y 3 − 6 xy = 0 . Esta curva recibe el nombre de “Folio de Descartes” y la mejor manera de graficarla en la calculadora es empleando la 6t 6t 2 parametrización: x = (ver figura 12). En la figura 13 se calcula la distancia y = ; 1+ t3 1+ t3 del punto P2 (1,1) al origen de coordenadas.
Figura 12
Figura 13
Figura 14
4. Halle el mínimo de la función f ( x, y, z , t ) = x 2 + 2 y 2 + z 2 + t 2 con las condiciones x + 3 y − z + t = 2 y 2 x − y + z + 2t = 4 .
Solución: Construimos la función auxiliar: F ( x, y, z , t , λ1 , λ2 ) = x 2 + 2 y 2 + z 2 + t 2 − λ1 ( x + 3 y − z + t − 2 ) − λ2 ( 2 x − y + z + 2t − 4 ) Note que en este ejercicio se emplean dos multiplicadores de lagrange debido a la existencia de dos condiciones. Es fácil percatarse que las ecuaciones obtenidas al igualar las derivadas parciales de la función auxiliar a cero son lineales. Por esta razón, resolvemos las
ecuaciones empleando un sistema de ecuaciones lineales tal como se muestra en la figura 14. Por comodidad los multiplicadores λ1 y λ2 se reemplazaron por a y b respectivamente. solve({diff(m,x)=0,diff(m,y)=0,diff(m,z)=0,diff(m,t)=0,diff(m,a)=0,diff(m,b)=0},{x,y,z, t,a,b}) ⇒ s La solución: {x=67/69, y=2/23, z=14/69, t=67/69, a=26/69, b=18/23} Para hallar el valor mínimo de la función reemplazamos los valores hallados en f ( x, y , z , t ) = x 2 + 2 y 2 + z 2 + t 2
x 2 + 2 y 2 + z 2 + t 2 |s[1]|s[2]|s[3]|s[4] 134/69 5. Construya un programa para aplicar el criterio del hessiano a la función auxiliar F = f − λ g en la clasificación de los extremos condicionados de una función f : ℜ3 → ℜ . a. Utilice el programa para estudiar los extremos de la función f ( x, y, z ) = xyz sobre la superficie unitaria x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Solución El recuadro muestra el programa requerido: Delvar F,P,S,a,b InputFunc F( λ ,x,y,z),"F( λ ,x,y,z)" Input P,"{ λ ,x,y,z}" Hess4(F( λ ,x,y,z), λ ,x,y,z)| λ =P[1]|x=P[2]|y=P[3]|z=P[4] ⇒ S det(subMat(S,1,1,3,3)) ⇒ a det(S) ⇒ b If a=0 and b=0 Then Print "Sin Informacion" Else If a<0 and b<0 Then PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Minimo" Else If a>0 and b<0 Then PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Maximo" Else PrintNatural {P[2],P[3],P[4]}, "Punto Silla" IfEnd IfEnd IfEnd
Programa “ECondXYZ”
