Formule de calcul prescurtat - unitbv.ro

Formule de calcul prescurtat

1

Introducere

Lect¸ia se refer˘a la utilizarea formulelor de calcul prescurtat de mai jos, ˆın diferite exercit¸ii: a2 − b2 = (a + b)(a − b),

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc,

(a ± b)3 = a3 ± +3a2 b + 3ab2 ± +b3 , a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ), (a ± b)4 = a4 ± 4a3 b + 6a2 b2 ± 4ab3 + b4 .

2

Aplicat¸ii 1. S˘a se calculeze n X k=1

2

k ,

n X k=1

3

k ,

n µ Y k=2

1 1− 2 k

¶ ,

n Y k3 − 1

k3 + 1 k=1

.

2. a) S˘a se arate c˘a pentru orice numere reale a, b, c are loc identitatea a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc). b) Se dau a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat a + b + c ≥ 0. S˘a se arate c˘a a3 + b3 + c3 ≥ 3abc. c) Se dau a, b, c ∈ R nenule astfel ˆıncˆat a3 + b3 + c3 = 3abc ¸si oricare dou˘a sunt distincte. S˘a se arate c˘a a, b, c nu pot s˘a aib˘a toate acela¸si semn. d) Se dau numerele reale a, b, c cu proprietatea c˘a a3 + b3 + c3 + 3ab + 3ac + 3bc − 3abc = 0. S˘a se arate c˘a a + b + c ≤ 1.

3. a) S˘a se arate c˘a pentru orice numere reale a, b, c are loc identitatea (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c). b) Se dau a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 . S˘a se arate c˘a (a + b + c)2n+1 = a2n+1 + b2n+1 + c2n+1 , 4. Se dau a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat

1 a

+ 1b +

1 c

=

1 . a+b+c

1 1 1 1 = + + , (a + b + c)2n+1 a2n+1 b2n+1 c2n+1

∀n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a ∀n ∈ N.

Tema de cas˘ a: 1. Fie numerele reale a, b, x, y astfel ˆıncˆat a + b = x + y ¸si a2 + b2 = x2 + y 2 . S˘a se arate c˘a an + bn = xn + y n , pentru orice num˘ar natural n. 2. Fie numerele reale a, b ∈ (0, 1). S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) a2 + b2 = 1; 4 4 −1 b) aa6 +b = 23 . +b6 −1 3. S˘a se calculeze suma S = 12 · (n − 1)2 + 22 · (n − 2)2 + 32 · (n − 3)2 + ... + (n − 1)2 · 12 . 4. S˘a se arate c˘a urm˘atoarea sum˘a este num˘ar natural 1+

1 1 1 2 + + ... + + . 1+2 1+2+3 1 + 2 + ... + n n + 1

References [1] Olimpiadele ¸scolare de matematic˘a anii 2000-2015 [2] Colect¸ia Gazeta Matematic˘a 2000-2016 Performant¸˘ a ˆın matematica de gimnaziu ¸si liceu Adelina Manea