fungsi dan operasi fungsi - Blog Dosen ITATS

y disebut fungsi dari x jika dpt ditentukan suatu hubungan ... Mendefinisikan fungsi f yang mengawankan bilangan .... Fungsi Transenden :...

41 downloads 728 Views 877KB Size
08/11/2015

Anita T. Kurniawati

y

disebut fungsi dari x jika dpt ditentukan suatu hubungan antara y dan x SDH untuk setiap nilai x menentukan secara tunggal nilai y.  Hubungan antara y dan x biasanya ditulis :

y  f (x)  Contoh

1: f ( x)  x  1 2

Mendefinisikan fungsi f yang mengawankan bilangan x dengan bilangan x f (3)  x  1  3  1  10 f mengawankan 10 dengan 3 2

2

2

1

D E F I N I S I

1

08/11/2015

 Contoh

2:

1

Jika  ( x)  x  1 maka 3

 (3 7 ) 

1 1  (3 7 )  1 16 3

1

1 6

 (5 ) 

1 6

(5 )  1

f ( x)  x 2  1

3



1 5 1

D E F I N I S I

2

08/11/2015

 Diberikan

f ( x)  2 x  3 , dapatkan 2

a) f (2) b) f ( 3) c) f (a  1) d) f (3t )  Dapatkan domain dan range dari fungsi berikut : a) f ( x)  x  2 b) f ( x)  1 f ( x) 



x 4 x2 2

2 x

c) Buatlah sketsa grafik

 x  3, x  3  ( x)   x3 7,

OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika f(x) = x dan g(x) = x2, maka f(x) + g(x) = x + x2 Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan f + g. Jadi (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2

3

08/11/2015

 Jumlah

(f + g)(x) = f(x) + g(x)  Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x)  Hasil Kali (f.g)(x) = f(x).g(x)  Hasil Bagi (f/g)(x) = f(x)/g(x) Contoh Misalkan f(x) = 2x dan g(x) = x-2 Dapatkan (f + g)(x),(f - g)(x),(f.g)(x), (f/g)(x)

 Diketahui

fungsi-fungsi f dan g, maka komposisi f dengan g, ditulis f o g adalah funsi yang didefinisikan dengan f  g (x) = f(g(x)) artinya g(x) disubtitusikan pada x dalam rumus f

Contoh 2 Misal f ( x)  x  1 f  g (x) = f(g(x)) =

dan

g ( x)  x  2

f ( x)  ( x  2) 2  1  x 2  4 x  5

4

08/11/2015

 Latihan

Dapatkan rumus dari fungsi-fungsi dan tetapkan domain untuk masing-masing soal : 1.(f+g)(x) , 2. (f.g)(x), 3. (fog)(x) a. f ( x)  2 x, g ( x)  x  1 2

x

1

b. f ( x)  1  x , g ( x)  x 2

Grafik suatu fungsi f pada bidang-xy didefinisikan sebagai grafik dari persamaan y = f(x) Contoh : 1. Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 3 Penyelesaian : Berdasarkan definisi grafik f dlm bidang-xy adalah grafik persamaan y = x + 3 y

G R A F I K

3

-3

y

5

08/11/2015

2. Buatlah sketsa grafk Penyelesaiannya :

x2 1, g ( x)    x  2, x  2

y o 1 2

x

Grafik fungsi f ( x)  a ( x  p )  q2 dapat diperoleh dengan mentranslasikan grafik f ( x )  ax oleh vektor (p,q), yaitu kekiri/kanan sejauh  p dan ke atas /bawah sejauh  q 2

Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ; a. y = x2 + 2 b. y = x2 – 2 c. y = (x+2)2 d. y = ( x – 2)2

6

08/11/2015

y

y

x

x

y = x2

y = -x2

y

y

x

x = y2

x

x = -y2

y

y

x

y = √x

x

y = -√x

y

y

x

y = x3

x

y =

y

3

√x

y

x

y = 1/x

x

y = -1/x

7

08/11/2015



Fungsi Aljabar :  Fungsi

Polinomial  Fungsi Rasional  Fungsi Pangkat 

Fungsi Transenden :

Fungsi Trigonometri dan Inversnya  Fungsi Eksponensial dan Logaritma  Fungsi Hiperbolik dan Inversnya 

Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3 Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif, disebut monomial dalam x.

contoh

2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17

Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.

8

08/11/2015

Contoh :

x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5 3

Rumus untuk polinomial dalam x adalah

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn atau f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+a0

DESKRIPSI RUMUS UMUM Polinomial linier a0 + a1 x (a1 ≠ 0) Polinomial kuadratik a0 + a1 x + a2 x2 (a2 ≠ 0) Polinomial kubik a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 (a3 ≠ 0)

9

08/11/2015

Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial. Contoh : X5 – 2x2 + 1 X2 - 4

x x+1

a  a x  a x  ...  a x f ( x)  b  b x  b x  ...  b x 2

0

1

2

0

1

2

n

n

2

n

n

FUNGSI PANGKAT Contoh : ( x  3) x

f(x) = x2/3 = (√ x) 2 dan g(x) =

x5  x2  1

Fungsi Transenden 

Fungsi Trigonometri dan Inversnya Hubungan antara ukuran sudut dan radian o

o

360 180  2 

Dan satu derajat ekivalen dengan

 o

180

rad. nilai  3,14

y  sin( x  T )  sin x Periode fungsiadalah 2

10

08/11/2015

sin x cos x cos x y  cot x  sin x y  tan x 

Untuk nilai cos x=0, maka nilai tan x tidak terdefinisi Untuk nilai sin x=0, maka nilai cot x tidak terdefinisi

11

08/11/2015



Fungsi Eksponensial dan Logaritma Jika y  log x , maka y merupakan pangkat untuk a yang a y harus menghasilkan x, jadi x  a kebalikannya, jika y  log x sehingga a

y  log x dan x  a a

y

adalah ekivalen

12

08/11/2015

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

f x 



Jika x  a (baca x mendekati a dari kanan) dan lim f x  ada, maka bentuk lim f x  disebut limit kanan. jika x  a (baca x mendekati a dari kiri) dan lim f x  ada, maka bentuk lim f x  disebut limit kiri. Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilainya sama, maka dikatakan bahwa lim f x  ada. 

x a 

x a 





x a 

x a





x a

Contoh : Diberikan f(x) = x+1 , ditanyakan lim f  x  x2

x

x

1,80

1,90

1,97

1,99

1,99999

2,80

2,90

2,97

2,99

2,99999

2,20 3,20

2,15 3,15

2,05 3,05

2,01 3,01

2,00001 3,00001

13

08/11/2015

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI  Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) g  x   M dan c memenuhi lim f x   L dan lim x a xa adalah bilangan real, maka lim [ f x   g ( x)]  lim f x   lim g  x   L  M x a

x a

x a

lim cf  x   c lim f  x   cL xa

xa

lim [ f x g ( x)]  lim f x . lim g x   L.M x a

lim[ x a

xa

xa

f  x  lim f ( x) L ]  , dan lim g ( x)  0 g ( x) lim g ( x) M x a

x a

x a

lim

x a

f ( x)  lim f ( x)  L x a

14

08/11/2015

Definisi ; Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika syarat-syarat berikut dipenuhi ; 1. f(c) terdefinisi 2. lim f ( x ) ada x c

3. lim f ( x)  f ( x) x c

jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi disebut diskontinu dititik c

y = f(x)

y = f(x)

c

c

Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb (a)

Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada x

c (b)

y = f(x)

y = f(x)

c Sama seperti gambar (b)

c Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x) ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)

15