RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi

Outline

RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi, representasi fungsi) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika FKIP PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009

Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI

Outline

Outline 1

Relasi, Fungsi dan Komputasi Relasi Fungsi Macam Fungsi

2

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers Komposisi Fungsi Fungsi Invers

3

Fungsi dan Bahasa Pemrograman Fungsi dalam Bahasa Pemrograman


RELASI FUNGSI

Outline

Outline 1


2


3



RELASI FUNGSI

Outline

Outline 1


2


3



RELASI FUNGSI

Relasi, Fungsi dan Komputasi Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers Fungsi dan Bahasa Pemrograman

Relasi Fungsi Macam Fungsi

Pengertian Relasi Definisi Relasi (R) dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian tak kosong dari hasil perkalian himpunan A dan B, yaitu R ⊆A×B Contoh relasi ”gemar” yang menghubungkan himpunan manusia dengan himpunan cabang olah raga; Watik gemar voli, Ipung gemar sepak bola, Andri gemar tenis meja relasi ”terletak di” antara himpunan kota dengan himpunan propinsi; Jember terletak di Jawa Timur, Klaten terletak di Jawa Tengah, Denpasar terletak di Bali Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI



Relasi pada Sebuah Himpunan Relasi biner Sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A merupakan sebuah subset pada A × A Contoh nyatakan relasi kurang dari pada himpunan A = {1, 2, 3, 4} sebagai himpunan pasangan terurut. gambarlah representasi grafis (diagram) dari relasi tersebut. konstruksilah matriks relasi untuk relasi tersebut.


RELASI FUNGSI





RELASI FUNGSI





RELASI FUNGSI





RELASI FUNGSI





RELASI FUNGSI



Macam-macam relasi dalam sebuah himpunan

Jika R adalah sebuah relasi pada himpunan A 1

R adalah refleksif jika xRx, ∀x ∈ A

2

R adalah irrefleksif jika 6 ∃x ∈ A, (xRx)

3

R adalah simetris jika (xRy ) ⇒ (yRx), ∀x ∈ A

4

R adalah antisimetris jika [(xRy) ∧ (yRx)] ⇒ x = y, ∀x, y ∈ A

5

R adalah transitif jika [(xRy ) ∧ (yRz)] ⇒ (xRz), ∀x, y, z ∈ A


RELASI FUNGSI






2


3


4


5



RELASI FUNGSI






2


3


4


5



RELASI FUNGSI






2


3


4


5



RELASI FUNGSI






2


3


4


5



RELASI FUNGSI






2


3


4


5



RELASI FUNGSI



Identifikasi Klasifikasikan! ”saudara perempuan dari” ”ayah dari” ”memiliki orangtua yang sama dengan” pada himpunan semua manusia Klasifikasikan! ”kurang dari atau sama dengan” ”terbagi oleh” ”memiliki kesamaan parity dengan” pada himpunan bilangan bulat, Z Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI



Relasi Ekivalensi Definisi Sebuah relasi yang bersifat refleksif, simetris dan transitif disebut relasi ekivalensi Relasi ekivalensi pada sebuah himpunan A memunculkan kelas-kelas ekivalensi. Misalnya untuk suatu x ∈ A, maka kelas ekivalensi x adalah [x] = {y ∈ A|yRx} Contoh Relasi ”memiliki kesamaan parity dengan” pada himpunan bilangan bulat menjadikan himpunan ini terbagi ke dalam 2 kelas ekivalensi yakni [0] dan [1]. Kelas [0] berisikan semua bilangan genap dan kelas [1] berisikan semua bilangan ganjil. Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI



Partisi Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Sebuah partisi terhadap himpunan A merupakan sebuah himpunan yang berisikan subset-subset dari A sedemikian hingga setiap elemen dari A merupakan sebuah elemen pada tepat satu subset. Secara teknis Jika {A1 , A2 , ..., An } merupakan partisi dari himpunan A maka 1

A1 , A2 , ..., An merupakan subset-subset dari A yang saling asing

2

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A


RELASI FUNGSI





2

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A


RELASI FUNGSI





2

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A


RELASI FUNGSI





2

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A


RELASI FUNGSI



Relasi Ekivalensi dan Partisi Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan, dan R adalah sebuah relasi ekivalensi pada A. Untuk setiap elemen x ∈ A, misalkan E(x) = {y ∈ A|yRx}. Maka {E(x)|x ∈ A} merupakan sebuah partisi terhadap A. Bukti Teorema tersebut terbukti kebenarannya dengan dipenuhinya kedua aksioma berikut: 1

(E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)

2

jika a ∈ A maka a ∈ E(a)


RELASI FUNGSI




(E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)

2



RELASI FUNGSI




(E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)

2



RELASI FUNGSI




(E(x) 6= E(y)) ⇒ (E(x) ∩ E(y) = φ)

2



RELASI FUNGSI



Relasi Ekivalensi dan Partisi Contoh: Misalkan R adalah relasi pada himpunan bilangan bulat dengan aturan xRy jika x − y terbagi oleh 4. 1

Buktikan bahwa R relasi ekivalensi.

2

Nyatakan kelas-kelas ekivalensinya.

3

Nyatakan partisi yang ditimbulkan oleh R

Pada sisi lain Jika P merupakan sebuah partisi terhadap himpunan A, maka dapat dibuktikan bahwa relasi ”sekelas partisi” merupakan relasi ekivalensi. Relasi ekivalensi ⇐⇒ partisi Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI





2


3



RELASI FUNGSI





2


3



RELASI FUNGSI





2


3



RELASI FUNGSI





2


3



RELASI FUNGSI





2


3



RELASI FUNGSI



Relasi Order Parsial Definisi Sebuah relasi disebut relasi order parsial jika refleksif, antisimetris dan transitif Contoh relasi ≤ pada himpunan bilangan riil relasi ⊆ pada himpunan kuasa dari suatu himpunan relasi ”terbagi oleh” pada himpunan bilangan asli relasi ”sub ekspresi dari” pada himpunan ekspresi logika Catatan Sebuah contoh untuk relasi yang terakhir, p, q, p ∧ q, ∼ p dan (p ∧ q)∨ ∼ p merupakan sub ekspresi dari (p ∧ q)∨ ∼ p Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI



Relasi Order Parsial Partial order relations terjadi pada beberapa area komputasi. Salah satu contoh, jika kita memiliki sebuah program komputer yang memuat sejumlah modul: program utama, subprogram yang dipanggil oleh program utama, subprogram yang dipanggil oleh subprogram, dan sebagainya. Pada himpunan modul {M1 , M2 , ..., Mn } dapat didefinisikan suatu relasi R dengan aturan Mi RMj jika Mi berada dalam jalur panggilan dari Mj


RELASI FUNGSI



Relasi Order Parsial Partial order relations terjadi pada beberapa area komputasi. Salah satu contoh, jika kita memiliki sebuah program komputer yang memuat sejumlah modul: program utama, subprogram yang dipanggil oleh program utama, subprogram yang dipanggil oleh subprogram, dan sebagainya. Pada himpunan modul {M1 , M2 , ..., Mn } dapat didefinisikan suatu relasi R dengan aturan Mi RMj jika Mi berada dalam jalur panggilan dari Mj


RELASI FUNGSI



Fungsi Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B Analisis Fungsi Secara notasi dapat dinyatakan bahwa f : A → B merupakan sebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), f (a) = b. Sehingga untuk menunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsi maka perlu dibuktikan bahwa (∀a1 , a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ f (a1 ) = f (a2 ) Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI



Fungsi Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen A dengan tepat satu elemen B Analisis Fungsi Secara notasi dapat dinyatakan bahwa f : A → B merupakan sebuah fungsi jika (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B), f (a) = b. Sehingga untuk menunjukkan bahwa suatu aturan merupakan suatu fungsi maka perlu dibuktikan bahwa (∀a1 , a2 ∈ A), a1 = a2 =⇒ f (a1 ) = f (a2 ) Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI



Fungsi

Terminologi Jika f : A → B adalah fungsi maka A disebut domain atau daerah asal B disebut codomain atau daerah lawan f (A) = {b ∈ B|b = f (a), a ∈ A} disebut range f atau daerah hasil


RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi Contoh Misalkan C adalah himpunan semua karakter ASCII. Setiap karakter ASCII memiliki sebuah kode karakter dalam range bilangan bulat dari 0 sampai 127. Sehingga dapat dibuat fungsi-fungsi berikut: 1

ord : C → {0, 1, 2, ..., 127} dengan aturan ord(c) = kode ASCII dari c

2

chr : {0, 1, 2, ..., 127} → C dengan aturan chr (n) = karakter ASCII yang kodenya n.


RELASI FUNGSI





2



RELASI FUNGSI





2



RELASI FUNGSI





2



RELASI FUNGSI



Fungsi

Untuk mendapatkan range dari fungsi-fungsi tersebut perlu merujuk pada tabel karakter ASCII. Misalnya: ord(0 A0 ) = 65 atau chr (65) =0 A0 ord(0 a0 ) = 97 atau chr (97) =0 a0 ord(0 ∗0 ) = 42 atau chr (42) =0 ∗0 Catatan Notasi ord dan chr pada fungsi-fungsi tersebut digunakan dalam bahasa pemrograman Pascal


RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi



RELASI FUNGSI



Fungsi Contoh Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan Y = {0, 1, 2, 3, ...}. Tentukan apakah aturan fungsi berikut well-defined atau tidak? 1

f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s.

2

g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s.

3

h : X → Y , h(s) = posisi ”0” paling kiri dalam string s.

4

j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan menambahkan ”0” atau ”1” pada string s.

5

k : Y → X , k (n) = string yang terdiri atas n ”1”.


RELASI FUNGSI





2


3


4


5



RELASI FUNGSI





2


3


4


5



RELASI FUNGSI





2


3


4


5



RELASI FUNGSI





2


3


4


5



RELASI FUNGSI





2


3


4


5



RELASI FUNGSI



Macam Fungsi Sebuah fungsi adalah onto atau surjektif jika daerah hasilnya (range) sama dengan daerah lawannya (codomain) f : A → B onto jika ∀b ∈ B, ∃a ∈ A, b = f (a) Sebuah fungsi adalah satu-satu atau injektif jika tidak ada dua elemen yang berbeda dalam domain yang memiliki bayangan yang sama. f : A → B satu-satu jika berlakunya implikasi berikut (∀a1 , a2 ∈ A), f (a1 ) = f (a2 ) =⇒ a1 = a2 Fungsi yang yang sekaligus satu-satu dan onto disebut Korespondensi satu-satu atau fungsi Bijektif Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI



Macam Fungsi Contoh Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah satu-satu atau onto! 1

f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3

fungsi chr Misal X = himpunan string bit hingga tak kosong dan Y = {0, 1, 2, 3, ...}.

4

1 2 3

f : X → Y , f (s) = banyaknya ”1” dalam string s. g : X → Y , g(s) = bit pertama dalam string s. j : X → X , j(s) = string yang didapat dengan menambahkan ”0” pada string s. Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI




f : R → R, f (x) = 2x + 1

2

fungsi ord

3


4

1 2 3


RELASI FUNGSI


Komposisi Fungsi Fungsi Invers

Komposisi Fungsi Misal f : A → B dan g : B → C adalah fungsi. Komposisi fungsi dari f dan g adalah fungsi: g ◦ f : A → C, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) 1

2

Jika f : R → R, f (x) = x 2 dan g(x) = 3x − 1. Tentukan f ◦ g dan g ◦ f Misalkan X = himpunan semua string karakter berhingga tak kosong. Misalkan fungsi f dan g didefinisikan sebagai berikut: f : X → N, f (s) = banyaknya karakter dalam string s g : X → X , g(s) = string yang didapatkan dengan menambahkan ”a” kepada string s. Jika ada, tentukan f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f dan g ◦ g Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




2


RELASI FUNGSI




2


RELASI FUNGSI




2


RELASI FUNGSI



Fungsi Invers Fungsi Identitas Misalkan A adalah sebuah himpunan. Fungsi identitas dalam A adalah i : A → A, i(x) = x Fungsi Invers Misalkan f : A → B dan g : B → A adalah fungsi. Jika g ◦ f : A → A adalah fungsi identitas dalam A, dan jika f ◦ g : B → B adalah fungsi identitas dalam B, maka f adalah invers dari g, dan g adalah invers dari f . Teorema Sebuah fungsi f memiliki sebuah invers jika dan hanya jika f satu-satu dan onto Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI




RELASI FUNGSI



Fungsi Invers

Contoh 1 2

Fungsi chr merupakan invers dari fungsi ord Tentukan mana diantara fungsi berikut yang memiliki invers, jika ada tentukan inversnya 1 2 3

f : R → R, f (x) = 2x + 1 g : R →, g(x) = x 2 h : {x ∈ R|x ≥ 0} → {x ∈ R|x ≥ 0}, h(x) = x 2


RELASI FUNGSI



Fungsi Invers

Contoh 1 2




RELASI FUNGSI



Fungsi Invers

Contoh 1 2




RELASI FUNGSI



Fungsi Invers

Contoh 1 2




RELASI FUNGSI



Fungsi Invers

Contoh 1 2




RELASI FUNGSI



Fungsi Invers

Contoh 1 2




RELASI FUNGSI


Fungsi dalam Bahasa Pemrograma

Fungsi dalam Bahasa Pemrograman

Dalam menyusun listing program menggunakan suatu bahasa pemrograman kita seringkali membutuhkan fungsi


RELASI FUNGSI



Quiz

Its now time for Quiz


RELASI FUNGSI



Fungsi dalam Bahasa Pemrograman 30 minutes Quiz 1 2

Tunjukkan bahwa A ∩ B = A ∪ B Jika S = {0, 1, 2, 3, ..., 15} Tuliskan representasi bitstring untuk {2, 4, 5, 7, 11, 14} Tentukan himpunan yang direpresentasikan oleh 1010011011101001 Jika A dan B direpresentasikan oleh 0011010001101101 dan 1010100100010111, tentukan representasi dari A ∩ B, A ∪ B, A dan B

3

Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan R relasi dalam A yang didefinisikan oleh R = {(1, 3), (1, 4)(2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (5, 2), (5, 5)} Antonius Cahya Prihandoko

RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI





3


RELASI FUNGSI



Terima kasih

TERIMA KASIH


RELASI FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI (Kajian tentang karakteristik, operasi

Recommend Documents