Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 – Aula 22 – Equações do Segundo Grau – (Parte 1 de 2) Endereço: https://youtu.be/4R4rIoCcMM0 Gabaritos nas últimas páginas!
Nota: Essa aula é de equações do segundo grau. Não faz sentido aqui exercícios que envolvam os conceitos de “parábola”, “vértice”, “pontos” que são exclusivos de funções. Assim sendo, tais conceitos serão tratados nas devidas aulas.
E1: Resolva em R as equações abaixo: a) x 2 − 5x + 6 = 0
2 b) x − 16x + 64 = 0
2 c) x − 6x + 13 = 0
2 d) x − 14x + 49 = 0
2 e) 3x − 5x + 2 = 0
2 f) 2x − x − 45 = 0
2 g) x + x + 2 = 0
2 h) 4x − 12x + 9 = 0
2 i) x − 8x + 25 = 0
2 j) x − 2x + 7 = 0
2 k) x − 5 + 3x = 0
2 l) 8 + x + 3x = 0
E2: Resolva em R as equações abaixo: a) x 2 − x = 0
b) 2x 2 = 0
c) x 2 − 9 = 0
e) x 2 + 2x = 0
f) 8x 2 + 16x = 0
g) 3x 2 − 4 = 28 + x 2 h) x 2 − 9x = 0
i) x 2 − 1 = 0
j) x 2 − 6 = 10
k) 1 − 4x 2 = −8
m) ( x − 5 )( x + 1) + 5 = 0
d) 4x 2 − 9 = 0
l) x 2 + 11x = 0
n) ( 3x − 2 )( 3x + 2 ) = 77
E3: Resolva as seguintes equações em R: 2 2 a) 2x − 1 = 1 − x − x
b) ( x − 2 ) = 3
d) ( 4x − 1)( 2x + 2 ) = 12
e) x 2 − = −
2
x 2
1 2x 3 3
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c) ( 5x − 3) − 11( 4x + 1) = 1 2
f) x 2 −
3x + 1 2 = 2 3
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E4: Encontre uma equação: a) de raízes 2 e 3 e que o coeficiente de
seja 1.
b) de raízes -1 e 5 e que o coeficiente de
seja 3.
E5: Na equação x 2 − 5x + c = 0 , uma das soluções vale 3. Quanto vale c?
E6: Na equação x 2 + bx + 15 = 0 , uma das soluções vale 5. Quanto vale b?
E7: O trinômio do segundo grau y = ( 2m + 1) x² + 4mx + m , em que m é um número real, é sempre positivo, se e somente se: a) m >
1 2
b) 0 < m <
1 2
c) m <
1 2
1 2
d) − < m < 0
E8: Um móvel de R$ 360,00 deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15,00 cada um. Qual era a quantidade inicial de rapazes? a) 8
b) 12
c) 15
d) 20
E9: Se as raízes da equação 2x 2 − 5x − 4 = 0 são m e n, o valor de a) −
5 4
b) −
3 2
c)
3 4
d)
7 4
e)
1 1 + é: m n
5 2
E10: A soma das soluções inteiras da equação (x 2 + 1)(x 2 − 25)(x 2 − 5x + 6) = 0 é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11 Página 2 de 21
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E11: Isabel adora inventar números e dar nome a eles. Agora ela inventou os números super especiais! "Um número é super especial se o quadrado do seu primeiro algarismo é igual à soma de todos os seus algarismos". Por exemplo, 4561 é super especial, pois: 4² = 16 = 4 + 5 + 6 + 1. a) Escreva um número super especial de três algarismos cujo algarismo das centenas seja 3. b) Isabel descobriu que existe um número super especial de quatro algarismos, cujos três últimos algarismos são 1, 8 e 3. Juntos (183), eles formam exatamente a data de seu aniversário, dezoito de março. Represente por "x", o 1º algarismo do número super especial que Isabel descobriu. Escreva uma equação do 2° grau que expressa a propriedade inventada por ela. c) Resolva a equação do 2° grau obtida no item anterior e determine o número super especial que Isabel descobriu.
E12: Para qual valor de "a" a equação ( x − 2 ) ⋅ ( 2ax − 3) + ( x − 2 )( −ax + 1) = 0 tem duas raízes reais e iguais? a)-1 b) 0 c) 1
d) 2
E13 (ITA 2015): Considere a equação
a b − = 5 , com a e b números 2 1 1− x x− 2
inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a = 1 e b = 2 , então x = 0 é uma solução da equação. 1 2
II. Se x é solução da equação, então x ≠ , x ≠ −1 e x ≠ 1. III. x =
2 não pode ser solução da equação. 3
É (são) verdadeira(s) a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
e) I, II e III. Página 3 de 21
d) apenas II e III.
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E14: 10. (Uepg 2013) Sendo p e q as raízes da função y = 2x 2 − 5x + a − 3 onde
1 1 4 + = assinale VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim, p q 3
pode haver mais de uma alternativa verdadeira): 01) O valor de a é um número inteiro. 02) O valor de a está entre – 20 e 20. 04) O valor de a é um número positivo. 08) O valor de a é um número menor que 10. 16) O valor de a é um número fracionário.
E15: Resolva a equação: E16: Resolva a equação:
4
25
0. Considere U = ℂ .
144
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0
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau
Gabarito: E1: Resolva em R as equações abaixo: a) x 2 − 5x + 6 = 0 Há duas formas principais de se calcular: por Soma e Produto ou por Bhaskara. Forma 1: Soma e Produto. Sabemos que: S
Assim sendo, nosso item a fica assim: S
5
6
Vamos pensar apenas no produto, desconsiderando qualquer sinal negativo (tanto do produto quanto da soma). Selecione os pares de números naturais que multiplicados dão 6: 1 e 6, 2 e 3 apenas (note que a ordem não faz diferença aqui: 3 e 2 e 2 e 3 são a mesma coisa). Algum resultado dá soma 5? Sim, o 2 e 3. Pronto! Achamos 2 números que multiplicados dão 6 e que somados dão 5. Logo, as raízes são 2 e 3. Forma 2: Bhaskara Vamos calcular o discriminante Δ ) da equação. Temos 3 possibilidades: Δ 0 : Nesse caso, a equação não possui raizes reais. Se não nos interessa as raízes complexas, paramos por aqui. Δ 0: Nesse caso, a equação possui 2 raízes reais e iguais. Δ 0: Nesse caso, a equação possui 2 raízes reais e distintas (diferentes).
Δ
Δ
b
5
4ac
4⋅1⋅6
25
24
1 (duas raízes reais e distintas, pois Δ
Podemos então usar a fórmula de Bhaskara: x
5 +1 6 x = 2 = 2 = 3 −(−5) ± 1 5 ±1 x= ⇔x= ⇔ ou 2 ⋅1 2 5 −1 4 x = = =2 2 2
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"√$
0
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau %
&2,3)
Nota: ao invés de usarmos a fórmula x =
−b ± ∆ , podemos usar 2a
−b ± b2 − 4ac x= 2a
Usaremos Bhaskara para resolver as equações abaixo. Se houver qualquer dúvida no processo, pergunte. b) x 2 − 16x + 64 = 0 V = {8} 16 + 0 x = 2 = 8 −(−16) ± (−16) 2 − 4 ⋅1⋅ 64 16 ± 256 − 256 16 ± 0 x= ⇔x= ⇔x= ou 2 ⋅1 2 2 16 − 0 x = =8 2
c) x 2 − 6x + 13 = 0 V = ∅ −(−6) ± 6 2 − 4 ⋅1 ⋅13 6 ± 36 − 52 6 ± −16 ⇔x= ⇔x= 2 ⋅1 2 2 Como ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. x=
d) x 2 − 14x + 49 = 0 V = {7} 14 + 0 x = 2 = 7 −(−14) ± (−14)2 − 4 ⋅1⋅ 49 14 ± 196 − 196 14 ± 0 x= ⇔x= ⇔x= ou 2 ⋅1 2 2 14 − 0 x = =7 2
2 e) 3x 2 − 5x + 2 = 0 V = 1, 3
5 +1 x = 6 = 1 −(−5) ± (−5) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 ± 25 − 24 5 ±1 x= ⇔x= ⇔x= ou 2⋅3 6 6 5 −1 4 2 x = = = 6 6 3 Página 6 de 21
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau
9 f) 2x 2 − x − 45 = 0 V = 5, −
2
1 + 19 x = 4 = 5 −(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−45) 1 ± 1 + 360 1 ± 19 x= ⇔x= ⇔x= ou 2⋅2 4 4 1 − 19 9 x = =− 2 4
g) x 2 + x + 2 = 0 V = ∅ −1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ 2 −1 ± 1 − 8 1 ± −7 ⇔x= ⇔x= 2 ⋅1 2 2 Como ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. x=
3 h) 4x 2 − 12x + 9 = 0 V = 2
12 + 0 12 : 4 3 x = = = 8 8: 4 2 2 −(−12) ± (−12) − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 12 ± 144 − 144 12 ± 0 x= ⇔x= ⇔x= ou 2⋅4 8 8 12 − 0 3 x = = 2 8
i) x 2 − 8x + 25 = 0 V = ∅ −(8) ± (8) 2 − 4 ⋅1⋅ 25 −8 ± −36 ⇔x= 1⋅ 4 4 Como ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. x=
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau j) x − 2x 2 + 7 = 0 ⇔ −2x 2 + x + 7 = 0
1 − 57 1 + 57 V= , 4 4
−1 + 57 1 − = x = − 4 −(1) ± (1) 2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 7 −1 ± 1 + 56 −1 ± 57 x= ⇔x= ⇔x= ou 2 ⋅ (−2) −4 −4 x = −1 − 57 = 1 + −4
−1 + 61 −1 − 61 , 6 6
k) x − 5 + 3x 2 = 0 ⇔ 3x 2 + x − 5 = 0 V =
−1 + 61 x = 6 −1 ± (1) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−5) −1 ± 1 + 60 −1 ± 61 x= ⇔x= ⇔x= ou 2⋅3 6 6 x = −1 − 61 6
l) 8 + x 2 + 3x = 0 ⇔ x 2 + 3x + 8 = 0 V = ∅ −3 ± (3) 2 − 4 ⋅1⋅ (8) −3 ± 9 − 32 −3 ± −23 x= ⇔x= ⇔x= 2 ⋅1 2 2 Como ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.
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57 4 57 4
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E2: Resolva em R as equações abaixo: x=0
a) x 2 − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔
x − 1 = 0 ⇔ x = 1
V = {0,1}
0 2
b) 2x 2 = 0 ⇔ x 2 = ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 V = {0} x = 3 V = { − 3, 3} c) x − 9 = 0 ⇔ x = 9 ⇔ ou x = −3 2
2
outra maneira, lembrando que a – b
a
b a
x = 3 x − 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) = 0 ⇔ ou V = { − 3, 3} x = −3
b :
2
3 2 x + 3 = 0 ⇔ x = − 2 3 3 V= − , d) 4x 2 − 9 = 0 ⇔ (2 x + 3)(2 x − 3) = 0 ⇔ ou 2 2 3 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 2
x = 0 V = {0, −2} e) x + 2x = 0 ⇔ x(x + 2) = 0 ⇔ ou (x + 2) = 0 ⇔ x = −2 2
0 8x = 0 ⇔ x = 8 ⇔ x = 0 V = {0, −2} f) 8x 2 + 16x = 0 ⇔ 8x(x + 2) = 0 ⇔ ou x + 2 = 0 ⇔ x = −2
g) 3x 2 − 4 = 28 + x 2 ⇔ 3x 2 − x 2 − 4 − 28 = 0 ⇔ 2x 2 − 32 = 0 ⇔ 2(x 2 − 16) = 0 ⇔ x + 4 = 0 ⇔ x = −4 0 2 (x − 16) = ⇔ x − 16 = 0 ⇔ (x + 4)(x − 4) = 0 ⇔ ou 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 4 2
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V = {−4, 4}
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau x = 0 V={0, 9} h) x − 9x = 0 ⇔ x(x − 9) = 0 ⇔ ou x − 9 = 0 ⇔ x = 9 2
x + 1 = 0 ⇔ x = −1 V = {−1, 1} i) x − 1 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 1) = 0 ⇔ ou x − 1 = 0 ⇔ x = 1 2
x − 4 = 0 ⇔ x = 4 j) x − 6 = 10 ⇔ x − 16 = 0 ⇔ (x − 4)(x + 4) = 0 ⇔ ou x + 4 = 0 ⇔ x = −4 2
2
V = {−4, 4}
k) 1 − 4x 2 = −8 ⇔ 1 + 8 − 4x 2 = 0 ⇔ −4x 2 + 9 = 0 × (−1) ⇔ 4x 2 − 9 = 0 ⇔ 3 x = 2 9 3 3 4x 2 = 9 ⇔ x 2 = ⇔ ou V= − , 4 2 2 3 x = − 2
x = 0 V = {0, −11} l) x 2 + 11x = 0 ⇔ x(x + 11) = 0 ⇔ ou x + 11 = 0 ⇔ x = −11
m) ( x − 5 )( x + 1) + 5 = 0 ⇔ x 2 − 4x − 5 + 5 = 0 ⇔ x 2 − 4x = 0 ⇔ x(x − 4) = 0 ⇔ x = 0 x(x − 4) = 0 ⇔ ou V={0,4} x = 4
n) ( 3x − 2 )( 3x + 2 ) = 77 ⇔ 9x 2 − 4 = 77 ⇔ 9x 2 − 4 − 77 = 0 ⇔ 9 x 2 − 81 = 0 9(x 2 − 9) = 0 ⇔ x 2 − 9 =
0 ⇔ x 2 − 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x − 3) = 0 ⇔ 9
x + 3 = 0 ⇔ x = −3 V = {−3, 3} ou x − 3 = 0 ⇔ x = 3
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E3: Resolva as seguintes equações em R: a) 2x 2 − 1 = 1 − x − x 2 ⇔ 2x 2 + x 2 + x − 1 − 1 = 0 ⇔ 3x 2 + x − 2 = 0 ⇔ −1 ± 12 − 4 ⋅ 3(−2) −1 ± 1 + 24 −1 ± 25 ⇔x= ⇔x= ⇔ 2⋅3 6 6 −1 + 5 2 x = 6 ⇔ x = 3 −1 ± 5 2 V= , −1 x= ⇔ ou 6 3 −1 − 5 x = ⇔ x = −1 6
x=
b) ( x − 2 ) = 3 ⇔ 2
x − 2 = + 3 ⇔ x = 3 + 2 V={ − 3 + 2, ou x − 2 = − 3 ⇔ x = − 3 + 2
3 + 2}
c) ( 5x − 3) − 11( 4x + 1) = 1 ⇔ 25x 2 − 30x + 9 − 44x − 11 + 1 = 1 ⇔ 2
74 ± (−74) 2 − 4 ⋅ 25(−3) 74 ± 5476 + 300 ⇔x= ⇔ 2 ⋅ 25 50 74 + 76 x = 50 ⇔ x = 3 74 ± 5776 74 ± 76 1 x= ⇔x= ⇔ ou V = − ,3 50 50 25 74 − 76 1 x = ⇔x=− 50 25
25x 2 − 74x − 3 = 0 ⇔ x =
d) ( 4x − 1)( 2x + 2 ) = 12 ⇔ 8x 2 + 6x − 2 = 12 ⇔ 8x 2 + 6x − 2 − 12 = 0 ⇔ −6 ± 62 − 4 ⋅ 8 ⋅ (−14) −6 ± 36 + 448 ⇔x= ⇔ 2⋅8 16 −6 + 22 x = 16 ⇔ x = 1 −6 ± 484 −6 ± 22 7 x= ⇔x= ⇔ ou V= 1, − 16 16 4 −6 − 22 7 x = ⇔x=− 16 4
8x 2 + 6x − 14 = 0 ⇔ x =
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau x 1 2x 6x 2 − 3x 2 − 4x = ⇔ 6x 2 − 3x = 2 − 4x ⇔ e) x − = − ⇔ 2 3 3 6 6 2
6x 2 − 3x + 4x − 2 = 0 ⇔ −1 ± 12 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2) −1 ± 1 + 48 −1 ± 49 6x + x − 2 = 0 ⇔ x = ⇔x= ⇔x= ⇔ 2⋅6 12 12 −1 + 7 1 x = 12 ⇔ x = 2 −1 ± 7 1 2 x= ⇔ ou V= , − 12 2 3 −1 − 7 2 x = ⇔− 12 3 2
f) x 2 −
3x + 1 2 6x 2 − 3(3x + 1) 4 = ⇔ = ⇔ 6x 2 − 3(3x + 1) = 4 ⇔ 6x 2 − 9x − 3 = 4 ⇔ 2 3 6 6
6x 2 − 9x − 3 − 4 = 0 ⇔ 6x 2 − 9x − 7 = 0 ⇔ x =
9 ± ( −9) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ ( −7) ⇔ 2⋅6
9 + 249 x = 12 9 ± 249 9 + 249 9 − 249 x= ⇔ ou V= , 12 12 12 x = 9 − 249 12
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E4: Encontre uma equação: a) de raízes 2 e 3 e que o coeficiente de
seja 1.
A forma fatorada da equação do 2º grau é: a x
x
x
x
0 em
e são as raízes da equação e a é o coeficiente de x². Assim que sendo, temos: 1 x
2 x
3
0⇔1 x
5x
6
0⇔x
5x
6
0
Outra forma de se fazer (mais conhecida): se duas raízes possuem soma S
e produto valendo P, então x Sx P 0 é uma equação que apresenta essas duas raízes. Sabendo disso, temos: Raízes 2 e 3: -
5 e
6. Logo, temos: x
5x
6
0.
Nota: existem INFINITAS equações com raízes 2 e 3 (aliás, existem infinitas equações com qualquer par de raízes que vc quiser). Para encontrar outra equação que também contenha as mesmas raízes, basta multiplicar a equação por um real qualquer (exceto zero).
Por exemplo: na equação x 5x 6 0 (de raízes 2 e 3) podemos multiplicá-la por 2 e obteremos 2 10 12 0. Verifique as raízes dessa equação. Você verá que também são 2 e 3. E isso permite responder o item b.
b) de raízes -1 e 5 e que o coeficiente de
seja 3.
Podemos novamente usar a fórmula a x
x
x
x
0 . Isso
resultará em 3. 1 / 5 0⇔3 1 5 Desenvolvendo o primeiro membro, obteremos: 3x 12x 15 0
0.
Raízes -1 e 5: - 4 e 5. Logo, temos: x 12x 15 0 Multiplicando todos os termos por 3: 3x
0.
Outra forma de se fazer: usamos x Sx P resultado obtido por 3 para que o coeficiente de
Página 13 de 21
0 (e multiplicamos o se torne 3). 4x
5
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E5: Na equação x 2 − 5x + c = 0 , uma das soluções vale 3. Quanto vale c?
Lembrando da forma x Sx P 0 , por comparação, temos que soma vale 5 e a outra raiz vale 3 então: 3 0 5 ⇔ 0 2 Logo, a outra raiz vale 2. E como c = P, então temos que 1 3 ⋅ 2 6
5. Se a
E6: Na equação x 2 + bx + 15 = 0 , uma das soluções vale 5. Quanto vale b? Muito parecido com o E5: Sabemos que P vale 5. Então temos: 0 ⋅ 5
15 ⇔ 0
15 (pois c = 15) e que uma das raízes
⇔0
3
Logo, as raízes são 5 e 3. Como b representa – - e a soma (S) vale 8, temos então que 2
8 .
E7: O trinômio do segundo grau y = ( 2m + 1) x² + 4mx + m , em que m é um número real, é sempre positivo, se e somente se: 1 1 a) m > b) 0 < m < 2 2
c) m <
1 2
1 d) − < m < 0 2
Nota: esse exercício exige conhecimentos um pouco mais avançados de inequação. Se preferir, marque REVISAR e volte aqui quando dominar inequação. Para que a equação sempre forneça um valor positivo, duas coisas precisam acontecer:
a) O discriminante Δ) deve ser negativo (se o delta é negativo a equação não tem raízes. b) O a (coeficiente de x²) deve ser maior que zero. Isso será melhor visto em funções. Assim, sendo temos: 4
25
1
0 ⇔ 25
2 461 0 45 Vamos simplificar a segunda condição: 45 45 ⋅ 25 1 0 ⇔ 165 85 5 0 1 4m 2m 1 04 5 2
Assim, sendo, temos que 0
5
1⇔5
4 ⋅ 25
45
1 ⋅5
0 ⇔ 85
ALTERNATIVA B
Página 14 de 21
0
45
0
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E8: Um móvel de R$ 360,00 deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15,00 cada um. Qual era a quantidade inicial de rapazes? a) 8
b) 12
c) 15
d) 20
Seja x a quantidade de rapazes. No começo, o valor de 360 precisaria ser dividido entre todos, ou seja, cada um pagaria
89 :
y.
Como 4 desistiram, esses 360 precisam ser divididos pelos rapazes restantes ( x – 4):
:
89
. Note que cada rapaz não paga mais y, mas sim o
valor y acrescido de R$ 15,00 (0 I) II)
89 :
<
89
y⇔y 0
89 :
15 ⇔ 0 89 :
Como y vale
<
89
<
15
89 :
⇔
15
(I) e também vale
duas expressões: 89
15). Assim, temos 2 equações:
89<
: :
< <
<
89
89 < : :
15 (II) podemos igualar essas ⇔
Nota: cortamos os denominadores pois obviamente o número de rapazes não é nulo e há mais de 4 rapazes. Isso não afetará nossa equação. 360 15 4 360 4 ⇔ 360 15 60 360 1440 ⇔ 15 60 1440 ∶ 15 ⇔ 4 96 ⇔ 8 @ãB 1B@Cé5 4 96 0 ⇔ ? 12 Como não faz sentido termos -8 rapazes, então a resposta é 12. ALTERNATIVA B
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau
E9: Se as raízes da equação 2x 2 − 5x − 4 = 0 são m e n, o valor de a) −
1 5
5 4
1 @
@
b) −
5 5@
Note que @
3 2
-
c)
3 4
-
Logo,
E
F
7 4
e)
5 2
5 representa a soma das raízes (S) e mn representa o
produto (P). Por isso, tivemos G
d)
1 1 + é: m n
H I
⋅J K
E
F
2
ALTERNATIVA A E10: A soma das soluções inteiras da equação (x 2 + 1)(x 2 − 25)(x 2 − 5x + 6) = 0 é: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11 x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 = −1 (sem solução real) ou (x 2 + 1)(x 2 − 25)(x 2 − 5x + 6) = 0 ⇔ x 2 − 25 = 0 ⇔ x = 5 ou x = −5 ou x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 3
5 5 2 3 5 ALTERNATIVA C
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E11: Isabel adora inventar números e dar nome a eles. Agora ela inventou os números super especiais! "Um número é super especial se o quadrado do seu primeiro algarismo é igual à soma de todos os seus algarismos". Por exemplo, 4561 é super especial, pois: 4² = 16 = 4 + 5 + 6 + 1. a) Escreva um número super especial de três algarismos cujo algarismo das centenas seja 3. b) Isabel descobriu que existe um número super especial de quatro algarismos, cujos três últimos algarismos são 1, 8 e 3. Juntos (183), eles formam exatamente a data de seu aniversário, dezoito de março. Represente por "x", o 1o algarismo do número super especial que Isabel descobriu. Escreva uma equação do 2° grau que expressa a propriedade inventada por ela. c) Resolva a equação do 2° grau obtida no item anterior e determine o número super especial que Isabel descobriu. a) Temos que o primeiro algarismo deve valer 3 e os dois seguintes somados com o primeiro devem resultar em 9 (que é 3²): 324, por exemplo. Há outras respostas possíveis, como 342. b) Mesma lógica do item a, porém mais algébrica: a é o primeiro algarismo e os demais, somados com x devem resultar em x². Assim sendo: 1 8 3⇔ 12 ⇔ 12 0 c) 1+ 7 x = ⇔x=4 2 2 1 ± 1 − 4 ⋅1 ⋅ (−12) 1 ± 49 1± 7 x= ⇔x= ⇔x= ou 2 ⋅1 2 2 1− 7 x = ⇔ x = −3 (não convém) 2
Logo, x = 4.
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E12: Para qual valor de "a" a equação ( x − 2 ) ⋅ ( 2ax − 3) + ( x − 2 )( −ax + 1) = 0 tem duas raízes reais e iguais? a)-1 b) 0 c) 1
( x − 2 ) ⋅ ( 2ax − 3) + ( x − 2 )( −ax Podemos deixar o
d) 2
+ 1) = 0
2 em evidência:
( x − 2 ) ⋅ [( 2ax − 3) + ( −ax + 1)] = 0 ( x − 2 ) ⋅ [2ax − 3 − ax + 1] = 0 ( x − 2 ) ⋅ [ax − 3 + 1] = 0 ( x − 2 ) ⋅ [ax − 2] = 0
Note que já temos 2 . Para que tenhamos duas raízes iguais o outro fator também deve ser 2 : Logo 6 1 ALTERNATIVA C
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Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E13 (ITA 2015): Considere a equação
a b − = 5 , com a e b números 2 1 1− x x− 2
inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a = 1 e b = 2 , então x = 0 é uma solução da equação. 1 2 1 2 − =5⇔ − = 5 ⇔ 1 − 2 ⋅ (−2) = 5 ⇔ 5 = 5 VERDADEIRO 2 1− 0 0 − 1 1 −1 2 2 1 II. Se x é solução da equação, então x ≠ , x ≠ −1 e x ≠ 1. 2
Os denominadores não podem ser nulos: 1 − x 2 ≠ 0 ⇔ x 2 ≠ 1 e x 2 ≠ −1 x−
VERDADEIRO
1 1 ≠0⇔ x≠ 2 2
2 não pode ser solução da equação. 3 a b a b a b a b − =5⇔ − =5⇔ − =5⇔ − =5⇔ 2 2 1 4 4−3 9−4 1 5 1 2 − 1− 1− 3 2 9 6 9 6 9 6 3
III. x =
9 6 9a a ⋅ − b⋅ = 5 ⇔ − 6b = 5 × (5) ⇔ 9a − 30b = 25 ⇔ 5 1 5 3(3a − 10 b) = 25
Aqui nós temos um absurdo: como a e b (36 102 é obviamente inteira. Ou seja, multiplicados resultam em 25, ambos necessariamente. Ocorre que 3 não é divisor aqui) Logo, realmente x =
são inteiros, a expressão se temos 2 inteiros que são divisores de 25 de 25 (temos um absurdo
2 não pode ser solução. 3
É (são) verdadeira(s) a) apenas II.
b) apenas I e II.
c) apenas I e III.
e) I, II e III.
ALTERNATIVA E (Todas Corretas) Página 19 de 21
d) apenas II e III.
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau E14: 10. (Uepg 2013) Sendo p e q as raízes da função y = 2x 2 − 5x + a − 3 onde
1 1 4 + = assinale VERDADEIRO ou FALSO para cada alternativa (sim, p q 3
pode haver mais de uma alternativa verdadeira): Inicialmente, temos: -
2 6
’
5 2
5 2
1 1 4 p+q 4 + = ⇔ = p q 3 pq 3
S 4 = P 3
Assim, temos: 5 S 4 4 5 2 4 5 4 = ⇔ 2 = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ 4(a − 3) = 5 ⋅ 3 ⇔ a −3 3 P 3 2 (a − 3) 3 a −3 3 2 27 4a − 12 = 15 ⇔ 4a − 12 = 15 ⇔ 4a = 27 ⇔ a = ⇔ a = 6, 75 4
Agora, fica fácil avaliar: 01) O valor de a é um número inteiro. Falso, 6,75 não é inteiro. 02) O valor de a está entre – 20 e 20. Verdadeiro 6,75 está entre -20 e 20. 04) O valor de a é um número positivo. Verdadeiro 6,75 é positivo. 08) O valor de a é um número menor que 10. Verdadeiro, 6,75 < 10 16) O valor de a é um número fracionário. Verdadeiro
E15: Resolva a equação: Lembrando que M 4⇔
4⋅
4
1, temos: 1 ⇔
L
0. Considere U = ℂ . 4⋅M ⇔
"√4M ⇔ ?
Nota: essa solução só é válida, pois U = ℂ . Se tivéssemos U = ℝ não teríamos soluções.
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2M 2M
Lista de Exercícios – Equações do 2º Grau 25
E16: Resolva a equação: Fazendo y
y
y
25y
25 " N
0 , temos:
144
144
0
25 4 ⋅ 1 ⋅ 144 ⇔y 2⋅1 Sy 25 " 7 Q
25 " √49 ⇔y 2
2
R Qy P
25
0
25 " √625 2 7
⇔y BT 25 7 ⇔y 2 2
576
16 9
⇔
Ótimo, encontramos os valores de y que satisfazem a equação. No entanto, não queremos encontrar y e sim x. Vamos lembrar da transformação que fizemos no começo: 0 Substituindo y por
y
16 ⇔ x
y
9⇔x
%
, temos:
16 ⇔ U 9⇔U
& 4, 4, 3, 3)
x
x
x
x
BT
BT
3
4
4
3
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