บทที่ 1 การวิเคราะหเชิงซอน จํานวนเชิงซอน (complex number) เปนจํานวนที่ไมมีอยูจริงในธรรมชาติ แตไดถูกกําหนดขึ้นมาเพื่อใชในการ แกไขปญหาทางคณิตศาสตร เชน การแกสมการ x 2 + n = 0 เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก ดังนั้นจํานวนเชิงซอน จึงมีประโยชนมาก โดยเฉพาะอยางยิ่งทางดานวิศวกรรมที่ตองหาผลเฉลยดวยวิธีที่เกี่ยวของกับจํานวนเชิงซอน และฟงกชันเชิงซอน ไดแก แบบจําลองของวงจรไฟฟา, ระบบกลศาสตรของการสั่นสะเทือน, ทฤษฎีของความ รอน, พลศาสตรของไหล, และไฟฟาสถิตย เปนตน ดังนั้นในบทนี้จะอธิบายจํานวนเชิงซอนและคุณสมบัติ ตางๆ ที่จําเปนสําหรับการนําไปใชในการแกไขปญหาทางคณิตศาสตรที่จะศึกษาในบทตอไป
1.1 จํานวนจินตภาพ โดยทั่วไปการแกสมการ x 2 + n = 0 เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไมสามารถหาคาของตัวแปร x ที่เปนเลข จํานวนจริงได เนื่องจากไมมีจํานวนจริง x ใดที่ยกกําลังสองแลวมีคาเทากับคา −n ดังนั้นจึงไดมีการสราง สัญลักษณใหมเพื่อใชหาคําตอบของสมการดังกลาว นั่นคือถา x 2 + n = 0 แลว จะไดวาคําตอบของสมการนี้ คือ x = −n เชน ถา x 2 + 2 = 0 จะไดวา x = − 2 เปนตน ในทางปฏิบัติคา −n จะถูกเรียกวา “จํานวน จินตภาพ (imaginary number)” และเรียกคา − 1 วา “หนวยจินตภาพ (imaginary unit)” ซึ่งโดยทั่วไปจะใช สัญลักษณ i = −1 แทนหนวยจินตภาพ ตัวอยางเชน −2 = i 2 , −4 = i 4 = 2i , และ −9 = i 9 = 3i เปนตน คาของหนวยจินตภาพ i ยกกําลังดวยจํานวนเต็มบวกที่สําคัญมีดังนี้ 1)
i = −1
2)
i 2 = −1
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
1-2
สั ญ ญาณและระบบ
3)
i 3 = i 2i1 = −i
4)
i 4 = i 2i 2 = ( −1)( −1) = 1
5)
i =i i =i
6)
i = i i = i = −1
7)
i 7 = i 4i 3 = i 3 = i 2i = −i
8)
i 8 = i 4i 4 = 1
5
6
สรุปเมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวา i 4n = 1
4 1
4 2
i 4 n +1 = i
2
i 4 n + 2 = i 2 = −1
i 4 n +3 = i 3 = −i
ตัวอยางที่ 1.1 จงหาคาของ i57 , i83 , i100 , และ i 250 วิธีทํา
i 57 = i 4(14)+1 = i
i
83
=i
4 ( 20 )+ 3
SCILAB:
= i = −i 3
i100 = i 4( 25) = 1
-->[(%i)^57, (%i)^83, (%i)^100, (%i)^1250] ans = i - i 1. - 1.
i 1250 = i 4(312 )+ 2 = i 2 = −1
1.2 จํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอนคือจํานวนที่สามารถเขียนอยูในรูปของ i = −1 ดังนั้นถากําหนดให
a + bi
z = a + bi
เมื่อ a และ b เปนเลขจํานวนจริง และ (1.1)
โดยที่ a เรียกวาสวนจริง (real part) ของ z ซึ่งเขียนแทนดวย Re { z} = a ในขณะที่ b เรียกวาสวนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ซึ่งเขียนแทนดวย Im { z} = b ตัวอยางเชนถา z = 2 − 4i จะไดวา Re { z} = 2 และ Im { z} = −4 นอกจากนี้จํานวนเชิงซอน z = a + bi สามารถที่จะแสดงใหอยูในรูปของจุดพิกัด z = ( a, b ) ใน ระนาบพิกัดฉาก xy ดังแสดงในภาพที่ 1.1 โดยที่แกน x เรียกวาแกนจริง (real axis), แกน y เรียกวาแกน จินตภาพ (imaginary axis), และระนาบ xy เรียกวาระนาบเชิงซอน (complex plane)
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
1-3 y = Im { z} z = ( a, b ) = a + bi
y =b
x=a
ภาพที่ 1.1 จํานวนเชิงซอน
z = a + bi
x = Re { z}
ในระนาบพิกัดฉาก
1.2.1 การเทากัน การบวก และการลบ กําหนดให
z1 = a + bi
และ
z2 = c + di
เมื่อ a, b, c, และ d เปนเลขจํานวนจริง ดังนัน้
1) การเทากัน z1 = z2
ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d
(1.2)
2) การบวก z1 + z2 = (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i
(1.3)
z1 − z2 = (a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + (b − d )i
(1.4)
3) การลบ
ตัวอยางที่ 1.2 กําหนดให วิธีทํา คา
z1 + z2
z1 = 2 + 3i
และ
หาไดโดย
z1 + z2 = ( 2 + ( −3) ) + ( 3 + 2 ) i = −1 + 5i
และคา
z1 − z2
หาไดจาก
z1 − z2 = ( 2 − ( −3) ) + ( 3 − 2 ) i = 5+i
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
z2 = −3 + 2i
จงหาคาของ
z1 + z2
และ
z1 − z2
SCILAB: -->z1 = 2 + 3*%i; -->z2 = -3 + 2*%i; -->z1 + z2 ans = - 1. + 5.i -->z1 – z2 ans = 5. + i
1-4
สั ญ ญาณและระบบ
1.2.2 เอกลักษณและอินเวอรสการบวก เอกลักษณการบวก (additive identity) คือจํานวนที่นํามาบวกกับจํานวน z แลวไดผลลัพธเปนจํานวน z เหมือนเดิม ในขณะที่อินเวอรสการบวก (additive inverse) คือจํานวนที่นํามาบวกกับจํานวน z แลวไดผลลัพธ เปนคา 0 หรือ ( 0, 0 ) ถากําหนดให z = a + bi ซึ่งเขียนแทนดวยจุดพิกัด ( a, b ) จะไดวาจํานวนเชิงซอน ( 0, 0 ) เปน เอกลักษณการบวก เนื่องจาก ( a, b ) + ( 0, 0 ) = ( a + 0, b + 0 ) = ( a, b )
(1.5)
และอินเวอรสการบวกของจํานวนเชิงซอน ( a, b ) คือ ( −a, −b ) เพราะวา ( a, b ) + ( −a, −b ) = ( a − a, b − b ) = ( 0, 0 ) = 0
(1.6)
เชนอินเวอรสการบวกของ ( 3, 2 ) คือ ( −3, −2 ) และอินเวอรสการบวกของ 2 − 3i คือ −2 + 3i
1.2.3 การคูณ กําหนดให z1 = a + bi และ z2 มีคาเทากับ
z2 = c + di
เมื่อ a, b, c, และ d เปนเลขจํานวนจริง ดังนั้นผลคูณของ
z1 z2 = (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (bc + ad )i
z1
และ (1.7)
ตัวอยางที่ 1.3 จงหาผลคูณ 3 + 4i กับ 2 + i วิธีทํา ( 3 + 4i )( 2 + i ) = 6 + 3i + 8i + 4i
SCILAB: 2
= 6 + 11i + 4 ( −1) = 2 + 11i
-->(3+4*%i)*(2+%i) ans = 2. + 11.i
1.2.4 เอกลักษณและอินเวอรสการคูณ เอกลักษณการคูณ (multiplicative identity) คือจํานวนที่นํามาคูณกับจํานวน z แลวไดผลลัพธเปน z เหมือนเดิม ในขณะที่อินเวอรสการคูณ (multiplicative inverse) คือจํานวนที่นํามาคูณกับจํานวน z (เมื่อ z ≠ 0 ) แลวได ผลลัพธเปนคา 1 หรือ (1, 0 ) ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
1-5 ถากําหนดให เนื่องจาก
z = a + bi
หรือเขียนแทนดวยจุดพิกัด ( a, b ) จะไดวา (1, 0 ) เปนเอกลักษณการคูณ
( a, b )(1, 0 ) = ( a (1) − b ( 0 ) , a ( 0 ) + b (1) ) = ( a, b )
(1.8)
สํ า หรั บ อิ น เวอร ส การคู ณ ของจํ า นวนเชิ ง ซ อ น ( a, b ) หาได ดั ง นี้ ถ า ให จํ า นวนเชิ ง ซ อ น ( x, y ) เป น อินเวอรสการคูณของ ( a, b ) โดยที่ ( a, b ) ≠ ( 0, 0 ) จะไดวา ( a, b )( x, y ) = (1, 0 ) ( ax − by, ay + bx ) = (1, 0 )
นั่นคือ ax − by = 1 และ ay + bx = 0 ซึ่งจะได x=
a a + b2 2
และ
y=−
b a + b2 2
ดังนั้นอินเวอรสการคูณของ ( a, b ) หรือเขียนเปนสัญลักษณไดวา ( a, b )−1 คือ ( a, b )
−1
b ⎞ ⎛ a ,− 2 =⎜ 2 ⎟ 2 a + b2 ⎠ ⎝ a +b
(1.9)
ตัวอยางที่ 1.4 จงหาคาอินเวอรสการคูณของ 2 + 3i และ −3 + 4i วิธีทํา อินเวอรสการคูณของ 2 + 3i หรือ ( 2,3) คือ ( 2,3)
−1
⎛ ⎞ 2 3 ,− 2 = ⎜ 2 2 2 ⎟ (2 ) + (3 ) ⎠ ⎝ (2) + (3) 3⎞ ⎛ 2 = ⎜ , − ⎟ = 0.1538462 − 0.2307692i ⎝ 13 13 ⎠
ในขณะที่อินเวอรสการคูณของ −3 + 4i หรือ ( −3, 4 ) คือ ( −3, 4 )
−1
⎛ ⎞ −3 4 ⎟ =⎜ − , ⎜ ( −3)2 + 42 ( −3)2 + 42 ⎟ ⎝ ⎠
4 ⎞ ⎛ 3 = ⎜ − , − ⎟ = −0.12 − 0.16i ⎝ 25 25 ⎠ ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
SCILAB: -->inv(2 + 3*%i) ans = 0.1538462 - 0.2307692i -->(2/13) + (-3/13)*%i ans = 0.1538462 - 0.2307692i -->inv(-3+4*%i) ans = - 0.12 - 0.16i
1-6
สั ญ ญาณและระบบ
1.2.5 การหาร การหาผลหารของจํานวนเชิงซอนจะอาศัยคุณสมบัติการคูณจํานวนเชิงซอนเขามาชวย เพราะวาการหารจํานวน เชิงซอนก็คือการคูณดวยอินเวอรสการคูณของตัวหารนั่นเอง ดังนั้นจํานวนเชิงซอน a + bi หารดวย c + di จะมีคาเทากับ ( a , b ) = a , b c , d −1 = a , b ⎛ c , − d ⎞ ( )( ) ( ) ⎜ 2 2 2 2 ⎟ c +d ⎠ ( c, d ) ⎝c +d
= ⎛⎜ ac2 + bd2 , bc2 − ad2 ⎞⎟ ⎝c +d
c +d ⎠
(1.10)
ตัวอยางเชน 3, 4 ก) ( ) = ( 3, 4 ) ⎛⎜ 2 , − 3 ⎞⎟ = ⎛⎜ 18 ,− 1 ⎞⎟ ( 2,3) ⎝ 13 13 ⎠ ⎝ 13 13 ⎠
-->(3+4*%i)/(2+3*%i) ans = 1.3846154 - 0.0769231i
= 1.3846 − 0.0769i
ข)
SCILAB:
2−i ⎛ 1 3 ⎞ = (2 − i)⎜ + i ⎟ 1 − 3i ⎝ 10 10 ⎠
-->(2-%i)/(1-3*%i) ans = 0.5 + 0.5i
= 0.5 + 0.5i
1.3 สังยุคของจํานวนเชิงซอน สังยุค (conjugate) ของจํานวนเชิงซอน z = a + bi คือจํานวนเชิงซอน z = a + bi = a − bi เชน สังยุคของ 2 + 3i คือ 2 − 3i หรือสังยุคของ −2 − 3i คือ −2 + 3i เปนตน ดังนั้นการหาสังยุคของจํานวนเชิงซอนทําได งายโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากบวกเปนลบ หรือจากลบเปนบวก) ของจํานวนจินตภาพเทานั้น
1.3.1 คุณสมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอน สังยุคของจํานวนเชิงซอนมีคณ ุ สมบัติที่สําคัญดังนี้ 1) ถา z เปนจํานวนเชิงซอน แลว
z=z
2) ถา z เปนจํานวนจินตภาพแท แลว 3) ถา z เปนจํานวนเชิงซอน แลว ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
ก็ตอเมื่อ z เปนจํานวนจริง
z = −z
z=z
1-7 4) ถา
z1
และ
z2
เปนจํานวนเชิงซอน แลว
4.1)
z1 + z2 = z1 + z2
4.2)
z1 − z2 = z1 − z2
4.3)
z1 z2 = ( z1 )( z2 )
5) ถากําหนดใหจาํ นวนเชิงซอน
z = a + bi
a=
โดยที่ a และ b เปนเลขจํานวนจริง จะไดวา z+z 2
และ
b=
z−z 2i
(1.11)
นอกจากนี้การหารจํานวนเชิงซอนสามารถใชคุณสมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอนเขามาชวยใน การหารจํานวนเชิงซอนไดโดยการนําสังยุคของตัวหารมาคูณทั้งตัวตั้งและตัวหาร ดังแสดงในตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1.5 จงหาคาของ 1 + i และ 1− i
วิธีทํา คาของ 1+ i 1− i
และคาของ
=
1+ i 1− i
SCILAB:
หาไดจาก
-->(1+%i)/(1-%i) ans = i
1 + i ⎛ 1 + i ⎞ 1 + 2i + i 2 2i = =i ⎜ ⎟= 1+1 1− i ⎝ 1+ i ⎠ 2
3 + 4i 1 + 2i
3 + 4i 1 + 2i
3 + 4i 1 + 2i
=
-->(3+4*%i)/(1+2*%i) ans = 2.2 - 0.4i
หาไดจาก 3 + 4i ⎛ 1 − 2i ⎞ ⎜ ⎟ 1 + 2i ⎝ 1 − 2i ⎠
ตัวอยางที่ 1.6 ถา
z = x + yi
วิธีทํา เนื่องจาก
x=
z+z 2
=
3 − 2i − 8i 2 1+ 4
= 11 − 2i 5
= 2.2 − 0.4i
และ f ( z ) = ( x 2 − y 2 ) + 2 xyi จงเขียนฟงกชัน f ( z ) ใหอยูในรูปตัวแปร และ
y=
z−z 2i
ดังนั้นแทนคา x และ
y
⎡⎛ z + z ⎞ 2 ⎛ z − z ⎞ 2 ⎤ ⎛ z + z ⎞⎛ z − z f ( z ) = ⎢⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ + 2⎜ ⎟⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2i ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2i ⎠ ⎥⎦
ลงใน f ( z ) จะได ⎞ ⎟i ⎠
⎛ z 2 + 2 zz + z 2 ⎞ ⎛ z 2 − 2 zz + z 2 ⎞ z 2 − z 2 =⎜ ⎟+⎜ ⎟+ 4 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2z2 + 2z 2 + 2z2 − 2z 2 = z2 = 4 ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
z
1-8
สั ญ ญาณและระบบ y = Im { z}
z = ( a, b )
b 2
2
z=
a
+b
⎛b⎞ ⎝ ⎠
θ = tan −1 ⎜ ⎟ a
θ
a
x = Re { z}
ภาพที่ 1.2 คาสัมบูรณและมุมเฟสของจํานวนเชิงซอน
z
1.4 คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน คาสัมบูรณ (absolute value) ของจํานวนเชิงซอน
z = a + bi
หาไดโดย (1.12)
z = a + bi = a 2 + b 2
ตามที่แสดงในภาพที่ 1.2 ซึ่งเห็นไดวาคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน ไปยังจุด ( a, b ) นั่นเอง ตัวอยางที่ 1.7 จงหาคาสัมบูรณของ 3 + 4i ,
z = ( a, b )
ก็คือระยะทางจากจุด ( 0, 0 )
3 1 − i , และ 3i 2 2
วิธีทํา คาสัมบูรณของ 3 + 4i คือ 3 + 4i = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 SCILAB:
คาสัมบูรณของ
3 1 − i 2 2
คือ
-->abs(3+4*%i) ans = 5. 2
⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 3 1 3 1 − i = ⎜⎜ + =1 ⎟⎟ + ⎜ − ⎟ = 2 2 4 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
และคาสัมบูรณของ 3i คือ 3i = 02 + 32 = 9 = 3
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
-->abs(sqrt(3)/2 - %i/2) ans = 1. -->abs(3*%i) ans 3.
1-9
1.4.1 คุณสมบัติของคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน คุณสมบัติของคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอนที่สําคัญมีดังนี้ 1) ถา z เปนจํานวนเชิงซอน แลว
z = z = −z
2) ถา z เปนจํานวนเชิงซอน แลว
z = zz
3) ถา
z1
และ
z2
เปนจํานวนเชิงซอนแลว
พิสูจน ถากําหนดให
z1 = a + bi
และ
หรือ
z = zz 2
z1 z2 = z1 z2
z2 = c + di
จะไดวา
z1 z2 = ( a + bi )( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
ดังนั้น
z1 z2 =
( ac − bd ) + ( ad + bc ) 2
2
= ( a 2c 2 − 2abcd + b2 d 2 ) + ( a 2 d 2 + 2abcd + b 2c 2 ) = ( a 2c 2 + a 2 d 2 ) + ( b2 d 2 + b2c 2 ) =
(
)
(
a 2 c2 + d 2 + b2 c2 + d 2
)
= ( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) = 4) ถา
z1
และ
z2
a 2 + b 2 c 2 + d 2 = z1 z2
เปนจํานวนเชิงซอน และ
พิสูจน ถากําหนดให
z1 = a + bi
z1 a + bi = z2 c + di
และ
z2 ≠ 0
แลว
z2 = c + di
= (a + bi )(c + di )−1
= (a + bi )⎛⎜
c d − 2 2 c +d2 ⎝c +d
= ดังนั้น
z1 z2
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
2
⎞ i⎟ ⎠
ac + bd ( bc − ad ) + 2 i c2 + d 2 c + d2
=
⎛ ac + bd ⎞ ⎛ bc − ad ⎞ +⎜ 2 ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎟ ⎝ c +d ⎠ ⎝ c +d ⎠
=
a 2c 2 + b 2 d 2 + a 2d 2 + b 2c 2
2
(c
2
+d2
)
2
2
z z1 = 1 z2 z2
จะไดวา
ซ.ต.พ.
1-10
สั ญ ญาณและระบบ (a = (a = (c
5) ถา
z1
และ
z2
2
)(
)
+ b2 c2 + d 2
(c
2
+ d2
2
+ b2
2
+d
2
)
2
)= )
a 2 + b2 c2 + d 2
z1
=
เปนจํานวนเชิงซอน แลว Re { z1 z2 } ≤
พิสูจน กําหนดให
และ
z1 = a + bi
z2 = c + di
ซ.ต.พ.
z2 z1 z2
จะไดวา
z2 = c − di
และ
z1 z2 = ( a + bi )( c − di ) = ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i
ดังนั้น Re { z1 z2 } = ( ac + bd ) และ จากขอกําหนด Re { z1 z2 } ≤
z1 z2
z1 z2 =
( ac + bd ) + ( bc − ad ) 2
2
ซึ่งหมายความวา
( ac + bd ) ≤ ( ac + bd ) + ( bc − ad ) 2
2
≤ ( ac + bd ) + ( bc − ad )
2
ยกกําลังสองทั้งสองขางของสมการนี้จะได ( ac + bd )
2
2
0 ≤ ( bc − ad )
ซึ่งเปนจริงเสมอ ดังนั้นสามารถสรุปไดวา Re { z1 z2 } ≤ 6) ถา
z1
และ
z2
เปนจํานวนเชิงซอน แลว
พิสูจน เนื่องจาก
z1 + z 2
2
2
ซ.ต.พ.
z1 z2
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
= ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 )
(จากคุณสมบัติขอ 2 ที่วา
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 )
ถากําหนดให
z1 = x1 + iy1
=
z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2
=
z1 + z2 + z1 z2 + z1 z2
และ
2
2
z 2 = x 2 + iy 2
จะไดวา
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = x1 x2 + y1 y2 + i ( − x1 y2 + x2 y1 ) z1 z2 = ( x1 − iy1 )( x2 + iy2 )
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
=
x1 x 2 + y1 y 2 + i ( x1 y 2 − x 2 y1 )
z = zz ) 2
11 ดังนั้น z1 z2 + z1 z2 = 2 ( x1 x2 + y1 y2 ) = 2 Re { z1 z2 } ≤ 2 z1 z2 และเนื่องจาก จะไดวา
z1 z2 = z1 z2 = z1 z2
z1 z2 + z1 z2 ≤ 2 z1 z2
เพราะฉะนั้น z1 + z2 ≤ z1 + z2 + 2 z1 z2 2
2
2
z1 + z2 ≤ ( z1 + z2 2
นั่นคือ
2
ซ.ต.พ.
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
7) ถา z เปนจํานวนเชิงซอน แลว พิสูจน
)
ถากําหนดให
1 1 = z z
z = a + bi
แลวจะไดวา
1 1 1 ⎛ a − bi ⎞ a − bi = = ⎜ ⎟= z a + bi a + bi ⎝ a − bi ⎠ a 2 + b 2
ดังนั้น
a − bi a 2 + b2 1 1 1 = 2 = = = 2 2 2 z a +b a +b z a 2 + b2
ซ.ต.พ.
1.5 จํานวนเชิงซอนในระบบพิกัดเชิงขั้ว จากภาพที่ 1.2 จํานวนเชิงซอน z = a + bi สามารถเขียนแทนไดดวยจุดพิกัด ( a, b ) ในระนาบเชิงซอน โดยที่ เสนแกน x แสดงคาจํานวนจริง และเสนแกน y แสดงคาจํานวนจินตภาพ นอกจากนี้ยังสามารถแสดงจํานวน เชิงซอนใหอยูในรูปของเวกเตอร (vector) ไดโดยมีจุด ( 0, 0 ) เปนจุดตั้งตน และจุด ( a, b ) เปนจุดสุดทาย เมื่อ θ เปนมุมระหวางเวกเตอรที่เขียนแทนจํานวนเชิงซอน a + bi กับแกน x ในทิศทวนเข็มนาฬิกามีหนวยเปน เรเดียน (radian) ซึ่งหาไดจาก tan (θ ) =
b a
หรือ
⎛b⎞ ⎝ ⎠
θ = tan −1 ⎜ ⎟ a
(1.13)
เมื่อ a ≠ 0 โดยที่คา a และ b หาไดจาก
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
a = z cos (θ )
(1.14)
b = z sin (θ )
(1.15)
12
สั ญ ญาณและระบบ Im { z}
(
z = 1, 3
3
)
z =2
θ
Re { z}
1
ภาพที่ 1.3 จํานวน
z = 1 + 3i
ในระนาบเชิงซอน
เมื่อ z = a 2 +b 2 คือคาสัมบูรณหรือขนาดของ z ดังนั้นจํานวนเชิงซอน รูปของระบบพิกัดเชิงขัว้ (polar coordinate) ไดดังนี้
z = a + bi
z = a + bi = z {cos (θ ) + i sin (θ )} = z eiθ
สามารถเขียนใหอยูใ น (1.16)
เนื่องจาก eiθ = cos (θ ) + i sin (θ )
(1.17)
ตามความสัมพันธของออยเลอร (Euler’s relation) [1] ตัวอยางที่ 1.8 จงเขียนจํานวนเชิงซอน
z = 1 + 3i
ในระบบพิกัดเชิงขั้ว
วิธีทํา การเขียนจํานวนเชิงซอน z = 1 + 3i = (1, 3 ) ใหอยูในระบบพิกัดเชิงขั้วตามสมการ (1.16) จะตอง ทราบขนาด z และมุม θ ของ z กอน จากภาพที่ 1.3 มุมของ z หาไดจากสมการ (1.13) นั่นคือ tan (θ ) =
ซึ่งจะไดวา θ =
π 3
3 ⎛π ⎞ = tan ⎜ ⎟ 1 ⎝3⎠ = 1.047
เรเดียน และ
ขนาดของ z หาไดจากสมการ (1.12) นั่นคือ z = 1 + 3i = 1 + 3 = 2
z = 1 + 3i = z e = 2e ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
-->[r, theta] = polar(1 + sqrt(3)*%i) theta = 1.0471976 + 5.551D-17i r = 2. -->clean(theta) ans = 1.0471976
ดังนั้นจากสมการ (1.16) จะไดวา iθ
SCILAB:
⎛π ⎞ i⎜ ⎟ ⎝3⎠
13 Im { z}
θ
Re { z}
1
z =2
− 3
(
z = 1, − 3
ภาพที่ 1.4 จํานวน
z = 1 − 3i
)
ในระนาบเชิงซอน
ในระบบพิกัดเชิงขั้ว
ตัวอยางที่ 1.9 จงเขียนจํานวนเชิงซอน
z = 1 − 3i
วิธีทํา จํา นวนเชิ งซ อ น
อยู ใ นระบบเชิ ง ซ อ นตามภาพที่ 1.4
z = 1 − 3i
เนื่อ งจาก
(1, − 3 ) อยูใน
จตุภาคที่ 4 จะไดวามุมของ z คือ tan (θ ) =
ซึ่งจะไดวา θ = 5π 3
− 3 π⎞ ⎛ ⎛ 5π ⎞ = tan ⎜ 2π − ⎟ = tan ⎜ ⎟ 1 3⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠ = −1.047
เรเดียน และ
SCILAB:
ขนาดของ z คือ
-->[r, theta] = polar(1 - sqrt(3)*%i) theta = - 1.0471976 + 5.551D-17i r = 2.
z = 1 − 3i = 1 + 3 = 2
ดังนั้นจากสมการ (1.16) จะไดวา iθ
z = 1 − 3i = z e = 2e
-->clean(theta) ans = - 1.0471976
⎛ 5π ⎞ i⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
1.5.1 การคูณจํานวนเชิงซอน กําหนดให
z1 = z1 eiθ1
และ
z2 = z2 eiθ2
(
ผลคูณของ
z1 z2 = z1 eiθ1
)( z
2
z1
และ
z2
จะมีคา เทากับ
)
eiθ2 = z1 z2 ei(θ1 +θ2 )
= z1 z2 {cos (θ1 + θ 2 ) + i sin (θ1 + θ 2 )} ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
(1.18)
14
สั ญ ญาณและระบบ
ตัวอยางที่ 1.10 กําหนดให วิธีทํา
(
และ
z1 = 2ei(π / 3)
)(
จงหาคาของ
z2 = 3ei(π / 4)
)
z1 z2 = 2ei(π / 3) 3ei(π / 4) = 6ei(π / 3+π / 4 )
z1 z2
SCILAB:
= 6ei( 7π /12 )
-->z1 = 2 * exp(%i * %pi/3);
⎧ ⎛ 7π = 6 ⎨cos ⎜ ⎩ ⎝ 12
⎞ ⎛ 7π ⎟ + i sin ⎜ ⎠ ⎝ 12
-->z2 = 3 * exp(%i * %pi/4);
⎞⎫ ⎟⎬ ⎠⎭
-->z1 * z2 ans = - 1.5529143 + 5.795555i
= −1.553 + 5.796i
1.5.2 การหารจํานวนเชิงซอน กําหนดให
z1 = z1 eiθ1
และ
z2 = z2 eiθ2
ผลลัพธของ
z1 / z2
จะมีคาเทากับ
z1 eiθ1 z z1 = = 1 ei(θ1 −θ2 ) iθ 2 z2 z2 e z2
=
ตัวอยางที่ 1.11 กําหนดให วิธีทํา
z1 = 4ei( 7π / 4)
และ
z1 z2
{cos (θ
1
z 2 = 2e i ( π / 4 )
z1 4ei( 7π / 4) = i(π / 4) = 2ei( 7π / 4−π / 4) z2 2e = 2e
− θ 2 ) + i sin (θ1 − θ 2 )}
จงหาคาของ
(1.19)
z1 / z2
SCILAB: -->z1 = 4*exp(%i*7*%pi/4);
i ( 3π / 2 )
-->z2 = 2*exp(%i*%pi/4);
= 2 {cos ( 3π / 2 ) + i sin ( 3π / 2 )}
-->clean(z1/z2) ans = - 2.i
= −2i
1.5.3 จํานวนเชิงซอนยกกําลัง n กําหนดให
z = z eiθ
และ n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวา
(
z n = z eiθ
)
n
n
= z einθ = z
ตามทฤษฎีบทเดอมัวฟวร (De Moivre’s theorem) [1] ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
n
{cos ( nθ ) + i sin ( nθ )}
(1.20)
15 ตัวอยางที่ 1.12 จงเขียน (1 + วิธีทํา จัด
3i
)
ในรูป a + bi
5
ใหอยูในรูปของพิกัดเชิงขั้ว
z = 1 + 3i
z = 1+ 3 = 2
ดังนั้นจะไดวา
z = 1 + 3i = 2ei(π / 3)
z = z eiθ
และ
โดยที่ ⎛ 3⎞ π ⎟⎟ = ⎝ 1 ⎠ 3
θ = tan −1 ⎜⎜
และ SCILAB:
(
z 5 = 2ei(π / 3)
)
5
= 25 ei(5π / 3)
-->z = 1 + sqrt(3)*%i;
⎧ ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π = 32 ⎨cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎝ 3 ⎩ ⎝ 3 ⎠
-->z^5 ans = 16. - 27.712813i
⎞⎫ ⎟ ⎬ = 16 − 27.712813i ⎠⎭
1.5.4 รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน กําหนดให
เมือ่ k คือจํานวนเต็ม และ n คือจํานวนเต็มบวก จะไดวา
z = z eiθ = z ei(θ + 2π k )
n
1
(
z = z n ei(θ + 2π k )
)
1 n
1
= zne
i
(θ + 2π k ) n
1 ⎧ ⎛ θ + 2π k ⎞ ⎛ θ + 2π k ⎞ ⎫ = z n ⎨cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟⎬ n ⎠ n ⎠⎭ ⎝ ⎩ ⎝
(1.21)
เมื่อ k = 0,1, 2,… , n − 1 นั่นคือรากที่ n ของจํานวนเชิงซอนจะมีจํานวนคําตอบมากที่สุด n คําตอบ โดยที่ แตละคําตอบสามารถหาไดโดยการแทนคา k = 0,1, 2,… , n − 1 ตัวอยางที่ 1.13 จงหารากที่ 2 ของ วิธีทํา จัด
z = 2 + 2 3i
z = 2 + 2 3i
ใหอยูในรูปของพิกัดเชิงขั้ว
(
z = 22 + 2 3
ดังนั้น
z = 2 + 2 3i = 4ei(π / 3)
2
= 4 + 12 = 4
และ
โดยที่ ⎛2 3⎞ π ⎟⎟ = 2 ⎝ ⎠ 3
θ = tan −1 ⎜⎜
และ
z = ( 4)
1/ 2
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
)
z = z eiθ
⎛ (π / 3) + 2π k ⎞ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎛ (π / 3) + 2π k ⎞ ⎨cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟⎬ 2 2 ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭
16
สั ญ ญาณและระบบ
สําหรับ k = 0 และ 1 โดยที่เมื่อ k = 0 จะได SCILAB:
⎧ ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞⎫ z = 2 ⎨cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ ⎬ = 3 + i ⎝ 6 ⎠⎭ ⎩ ⎝6⎠
-->z = 2 + 2*sqrt(3)*%i z = 2. + 3.4641016i
และเมื่อ k = 1 จะได ⎧ ⎛ 7π z = 2 ⎨cos ⎜ ⎩ ⎝ 6
เพราะฉะนั้นรากที่ 2 ของ
⎞ ⎛ 7π ⎟ + i sin ⎜ ⎠ ⎝ 6
z = 2 + 2 3i
-->(sqrt(3)+%i)^2 ans = 2. + 3.4641016i
⎞⎫ ⎟⎬ = − 3 − i ⎠⎭
คือ
และ −
3 +i
-->(-sqrt(3)-%i)^2 ans = 2. + 3.4641016i
3 −i
1.6 ฟงกชันพื้นฐานของจํานวนเชิงซอน ถากําหนดใหจาํ นวนเชิงซอน (1.22)
z = a + bi = reiθ
โดยที่ r = z = a 2 + b2
และ
⎛b⎞ ⎝ ⎠
θ = tan −1 ⎜ ⎟ a
(1.23)
เมื่อ a และ b เปนเลขจํานวนจริง ดังนั้นฟงกชันพื้นฐานตางๆ ของจํานวนเชิงซอนมีดังตอไปนี้
1.6.1 ฟงกชันเลขชีก้ าํ ลัง ฟงกชันเลขชี้กาํ ลัง (exponential function) ของ
z = a + bi
หาไดจากความสัมพันธดังนี้
e z = e a +bi = e a ebi = e a {cos ( b ) + i sin ( b )} = ea cos ( b ) + ie a sin ( b )
เมื่อ b เปนมุมทีม่ ีหนวยเปนเรเดียน ตัวอยางเชนถา
z = 2 + 3i
จะไดวา
e 2+3i = e 2 {cos ( 3) + i sin ( 3)} = −7.32 + 1.04i
นอกจากนี้คาของฟงกชันเลขชี้กําลังเชิงซอนที่พบมากในการคํานวณมีดังนี้
e ± i( nπ ) = −1
เมื่อ n เปนเลขจํานวนเต็มคี่
e ± i( 2 nπ ) = 1
เมื่อ n เปนเลขจํานวนเต็มใดๆ
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
(1.24)
17
e ± i( nπ / 2) = ±i
เมื่อ n = 1,5,9,13,...
e ± i( nπ / 2) = ∓ i
เมื่อ n = 3, 7,11,15,...
ในทางปฏิบัตฟิ งกชันเลขชี้กาํ ลังของจํานวนเชิงซอนสามารถแบงออกเปนไดหลายกรณีดังนี้ 1) ตัวฐาน (base) เปนจํานวนจริง x และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเชิงซอน
(
x z = x a +bi = x a x bi = x a eln ( x )
)
ib
z = a + bi
จะไดวา
{
}
= x a eib ln ( x ) = x a cos ( b ln ( x ) ) + i sin ( b ln ( x ) )
= x a cos ( b ln ( x ) ) + ix a sin ( b ln ( x ) )
(1.25)
เมื่อ ln ( x ) คือลอการิทึมธรรมชาติ (natural logarithm) ของ 2) ตัวฐานเปนจํานวนเชิงซอน
z = a + bi = reiθ
x
และเลขชี้กําลังเปนจํานวนจริง x จะไดวา
z x = ( a + bi ) = ( reiθ ) = r x {cos ( xθ ) + i sin ( xθ )} x
x
= r x cos ( xθ ) + ir x sin ( xθ )
เมื่อ r =
a 2 + b2
(1.26)
และ θ = tan −1 ( b / a )
3) ตัวฐานเปนจํานวนเชิงซอน = r2 eiθ จะไดวา
z1 = a1 + b1i = r1eiθ1
และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเชิงซอน
z2 = a2 + b2i
2
( z1 )
z2
(
= r1eiθ1
)
a2 + ib2
(
= r1eiθ1
) (r e ) a2
iθ1 ib2
1
= ( r1 cos (θ1 ) + ir1 sin (θ1 ) )
a2
(r
ib2 −θ1b2 1
e
)
เนื่องจาก
(
r1ib2 = eln ( r1 )
)
ib2
= eib2 ln ( r1 ) = cos ( b2 ln ( r1 ) ) + i sin ( b2 ln ( r1 ) )
ดังนั้น ( z1 )
z2
= e −θ1b2 ( r1 cos (θ1 ) + ir1 sin (θ1 ) )
a2
( cos ( b ln ( r ) ) + i sin ( b ln ( r ) ) ) 2
1
2
1
(1.27)
ตัวอยางที่ 1.14 จงหาคา z จากสมการ cos ( z ) − 5 = 0
วิธีทํา แทนคา cos ( z ) = e ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
iz
+ e − iz 2
ในสมการ (1.28) จะได
(1.28)
18
สั ญ ญาณและระบบ eiz + e − iz −5 = 0 2
(1.29)
คูณทั้งสองขางของสมการ (1.29) ดวย 2eiz จะได ei 2 z + 1 − 10eiz = 0
(e )
iz 2
− 10 ( eiz ) + 1 = 0
(1.30)
ผลเฉลยของสมการ (1.30) คือ e = zi
ดังนั้น
(
zi = ln 5 ± 24
10 ± 102 − 4 (1)(1) 2
) นั่นคือ z = −i ln (5 +
24
=
10 ± 96 = 5 ± 24 2
) หรือ −i ln (5 −
24
)
1.6.2 ฟงกชันลอการิทึมธรรมชาติ ฟงกชันลอการิทึมธรรมชาติ (natural logarithm function) ของเลขจํานวนเชิงซอน หาไดจากความสัมพันธดังนี้
( )
z = a + bi = reiθ
( )
ln ( z ) = ln reiθ = ln ( r ) + ln eiθ = ln ( r ) + iθ
สามารถ (1.31)
ตัวอยางที่ 1.15 จงหาคาของ ln ( 3 + 4i ) วิธีทํา เนื่องจาก
z = 3 + 4i = 5e0.9273i
(
ln ( 3 + 4i ) = ln 5e0.9273i
ดังนั้น
-->log(3 + 4*%i)
) (
SCILAB:
)
= ln ( 5 ) + ln e0.9273i = 1.61 + 0.93i
ans = 1.6094379 + 0.9272952i
1.7 ปริพนั ธเชิงซอน การหาปริพันธเชิงซอน (complex integration) มีประโยชนมากสําหรับการแกไขปญหาทางดานวิศวกรรม เนื่องจากปญหาสวนใหญจะอยูในรูปของฟงกชันเชิงซอน โดยทั่วไปการหาปริพันธของฟงกชันจริง (real function) สามารถแบงออกเปน 2 ประเภท คือ ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
19 1) การหาปริพันธจํากัดเขต (definite integral) หรือปริพันธแบบกําหนดลิมิต 2) การหาปริพันธไมจํากัดเขต (indefinite integral) หรือปริพันธแบบไมกาํ หนดลิมิต ในสวนนี้จะอธิบายเฉพาะการหาปริพันธจํากัดเขตของฟงกชันเชิงซอน f ( z ) เมื่อ z = x + yi เปน จุดในระนาบเชิงซอน ถากําหนดให z ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) เปนฟงกชันเชิงซอนในชวงคาจริง D = [α , β ] เมื่อ x ( t ) และ y ( t ) เปนฟงกชันจริง และ α และ β เปนเลขจํานวนจริง ดังนั้นปริพันธจํากัดเขตของฟงกชัน เชิงซอน z ( t ) บนชวง [α , β ] หาไดจาก β
β
β
α
α
α
∫ z ( t ) dt = ∫ x ( t ) dt + i ∫ y ( t ) dt
(1.32)
2
ตัวอยางที่ 1.16 จงหาคาของ ∫ ⎡⎣( t + 2 ) + it 2 ⎤⎦ dt 0
วิธีทํา เนื่องจาก
SCILAB:
2
2
2
0
0
-->function y = f(t), y = (t+2)+... -->%i*t^2, endfunction
2 ∫ ⎡⎣( t + 2 ) + it ⎤⎦ dt = ∫ ( t + 2 ) dt + i ∫ t dt 2
0
=
2 2
t 2
t =0
+ 2 t t =0 + i 2
-->y = intc(0, 2, f) y = 6. + 2.6666667i
3 2
t 3
t =0
8 ⎛4 ⎞ ⎛8 ⎞ = ⎜ − 0 ⎟ + 2 ( 2 − 0) + i ⎜ − 0 ⎟ = 6 + i 3 ⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠
อยางไรก็ตามถาชวง D = [α , β ] เปนเซตยอย (subset) ในระนาบเชิงซอนแลว การหาปริพันธจํากัดเขต จะแตกตางจากที่กลาวมาขางตน กลาวคือถา f เปนฟงกชันเชิงซอนที่นิยามบนเซตยอยของระนาบเชิงซอน และ a และ b เปนเลขจํานวนเชิงซอนภายในโดเมน f การหาปริพันธของ f ตองกําหนด “เสนทาง (path)” ที่จะทําการหาปริพันธในระนาบเชิงซอนกอน นั่นคือถากําหนดให C เปนเสนทางจากจุด a ไปยังจุด b โดยที่ a ไมจําเปนตองมีคาเทากับ b แลว C จะตองเปนเซตยอยภายในโดเมน f ดวย ถาให P เปนการแบงสวนของเสนโคง C นั่นคือ P = { z0 , z1 ,… , zn } เปนเซตยอยของ C โดยที่ z0 = a , zn = b , และ z j มาหลังจาก z j −1 ทันทีในระหวางเสนทางเดินบนเสนโคง C จากจุด a ไปจุด b ตามภาพที่ 1.5 ดังนั้นผลรวมรีมันน (Reimann sum) [2] ที่สอดคลองกับการแบงสวน P คือ n
S ( P ) = ∑ f ( z j ) Δz j j =1
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
(1.33)
20
สั ญ ญาณและระบบ Im
b = zn z1
z2
zn −1
C
z j −1
zj
a = z0 Re
ภาพที่ 1.5 ภาพแสดงเสนทางเดินบนเสนโคง C จาก a และ b
เมื่อ z j คือจุดใดๆ บนเสนโคงระหวาง z j −1 และ z j และ Δz j = z j − z j −1 ถาความยาวของเสน Δz j มีคาเขา ใกลคา 0 จะไดวา n มีคาเขาใกลคาอนันต เพราะฉะนั้นสมการ (1.33) สามารถเขียนไดเปน n
lim S ( P ) = lim ∑ f ( z j ) Δz j = ∫ f ( z ) dz n →∞
n →∞
C
j =1
(1.34)
ซึ่งเรียกวาปริพันธตามเสน (line integral) ของ f ( z ) ตามเสนโคง C โดยคุณสมบัติที่สําคัญของปริพันธ ตามเสนมีดังนี้ 1) ∫C α f ( z ) dz = α ∫C f ( z ) dz เมื่อ α คือคาคงตัว 2) ∫C { f ( z ) + g ( z )} dz = ∫C f ( z ) dz + ∫C g ( z ) dz หมายเหตุ ในกรณีที่เสนโคง C เปนเสนโคงปด นั่นคือเมื่อ a = b จะเรียกการหาปริพันธตามเสนโคงปดนี้วา การหาปริพันธครบรอบทางเดินปด หรือปริพันธคอนทัวร (contour integral) และใชสัญลักษณ ∫ C f ( z ) dz โดยที่เสนทางในการหาปริพันธมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
1.7.1 วิธีการหาปริพันธเชิงซอน ถากําหนดให
คือฟงกชันเชิงซอนที่นิยามบนเสนโคง C จากจุด a ไปจุด b ซึ่งถูกแบงสวนออกเปน α = t0 < t1 < … < tn −1 < tn = β ดั ง นั้ น {a = γ (α ) , γ ( t1 ) ,… , γ ( tn −1 ) , γ ( β ) = b} คื อ การแบ ง ส ว นของ เสนโคง C โดยที่อนุพันธของ γ จะตองไมเทากับคาศูนย นั่นคือ γ ′ ( t ) ≠ 0 สําหรับทุกคา t ดังนั้นผลรวม รีมันนตามสมการ (1.33) สามารถเขียนไดเปน [2] γ
n n ⎧⎪ γ ( t j ) − γ ( t j −1 ) ⎫⎪ S ( P ) = ∑ f γ ( t j ) γ ( t j ) − γ ( t j −1 ) = ∑ f γ ( t j ) ⎨ ⎬ {t j − t j −1} t j − t j −1 j =1 j =1 ⎪⎩ ⎪⎭
(
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
){
}
(
)
(1.35)
21 Im
Im
C1
1
1
Im
C2
C3
1
C32
1
Re
Re
1
C31
1
Re
ภาพที่ 1.6 เสนทางปริพันธที่แตกตางกันจาก a = 0 ไปยัง b = 1 + i
เมื่อ
z j = γ (t j )
คือจุดใดๆ บนเสนโคง C สําหรับ t j −1 ≤ t j ≤ t j และเมื่อ n เขาใกลคาอนันต จะไดวา β
lim S ( P ) = ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt n →∞
C
(1.36)
α
ดังนั้นการหาปริพันธเชิงซอนตามเสนโคง C สามารถทําตามขั้นตอนดังตอไปนี้ 1) หาสมการของเสนโคง C ที่ใชในการหาปริพนั ธจากจุด a ไปยังจุด b โดยจัดใหอยูใ นรูป
z = γ (t )
เมื่อ
a≤t ≤b
2) หาอนุพันธ γ ′ ( t ) = 3) แทนคา
z = γ (t )
dγ (t ) dt
ในฟงกชันเชิงซอน f ( z )
4) คํานวณหาปริพันธของ f (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) เทียบกับ t จาก a ถึง b พิจารณาตัวอยางตอไปนี้จะไดเขาใจวิธีการหาปริพันธเชิงซอนมากขึ้น ตัวอยางที่ 1.17 จงหาปริพันธของ f ( z ) = ( x 2 + y ) + i ( xy ) จากจุด a = ( 0, 0 ) ไปยังจุด b = (1,1) ตาม เสนทางปริพันธ C1 , C2 , และ C3 ที่แสดงในภาพที่ 1.6 วิธีทํา วิธีการหาปริพันธของฟงกชันเชิงซอน f ( z ) ตามเสนทางปริพันธตางๆ สามารถทําไดดังนี้ เสนทางที่ 1: กําหนดให C1 เปนสวนของเสนพาราโบลา y = x 2 ที่เชื่อมระหวางจุด a และ b ดังนั้นถาให x = t จะได y = t 2 และฟ ง ก ชั น เชิ ง ซ อ นของเส น โค ง C1 คื อ γ 1 ( t ) = t + it 2 (จาก z = x + iy ) สํ า หรั บ 0 ≤ t ≤ 1 เพราะฉะนั้น
(
) ( )
f ( γ 1 ( t ) ) = t 2 + t 2 + i t 2t = 2t 2 + it 3
จากสมการ (1.36) ปริพันธของ f ( z ) ตามเสนทาง C1 หาไดโดย ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
และ
γ 1′ ( t ) = 1 + 2ti
22
สั ญ ญาณและระบบ
∫
C1
1
(
)
f ( z ) dz = ∫ 2t 2 + it 3 (1 + 2ti ) dt
SCILAB:
0
1
(
-->function y = f(t), y = 2*t^2 - ... -->2*t^4 + 5*t^3*%i, endfunction
)
= ∫ 2t 2 − 2t 4 + 5t 3i dt
-->y = intc(0, 1, f) y = 0.2666667 + 1.25i
0
4 5 + i 15 4
=
เสนทางที่ 2: กําหนดให C2 เปนสวนของเสนตรง y = x ที่เชื่อมระหวางจุด a และ b ดังนั้นถาให จะได y = t และฟงกชันเชิงซอนของเสนโคง C2 คือ γ 2 ( t ) = t + it เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1 เพราะฉะนั้น
(
)
f ( γ 2 ( t ) ) = t 2 + t + i ( tt ) = t 2 + t + it 2
x=t
γ 2′ ( t ) = 1 + i
และ
จากสมการ (1.36) ปริพันธของ f ( z ) ตามเสนทาง C2 หาไดโดย
∫
C2
1
(
)
SCILAB:
( (
2
-->function y = f(t), y = t + ... -->%i*(t + 2*t^2), endfunction
f ( z ) dz = ∫ t 2 + t + it 2 (1 + 2ti ) dt 0
1
= ∫ t + i t + 2t
) ) dt
-->y = intc(0, 1, f) y = 0.5 + 1.1666667i
0
=
1 7 + i 2 6
เสนทางที่ 3: กําหนดให C3 เปนเสนทางจากจุด a ไปยังจุด b ซึ่งประกอบไปดวยสวนของเสนตรง 2 สวน คือเสนตรง C31 เชื่อมตอจุด ( 0, 0 ) ไปยังจุด (1, 0 ) และเสนตรง C32 เชื่อมตอจุด (1, 0 ) ไปยังจุด (1,1) ดังนั้น ปริพันธของ f ( z ) ตามเสนทาง C3 มีคาเทากับผลรวมของปริพันธตามเสนทาง C31 และ C32 นั่นคือ f ( z ) dz + ∫
f ( z ) dz
สํ า หรั บ เส น ทาง C31 ถ า ให x = t และ y = 0 จะได ′ ( t ) = 1 จากสมการ (1.36) จะไดวา f ( γ 31 ( t ) ) = t 2 และ γ 31
γ 31 ( t ) = t
∫
C3
•
∫
f ( z ) dz = ∫
C31
•
C31
1
f ( z ) dz = ∫ 0
C32
t3 t (1) dt = 3
( )
1
=
2
t =0
1 3
(1.37) เมื่ อ
0 ≤ t ≤1
เพราะฉะนั้ น
(1.38)
สํ า หรั บ เส น ทาง C32 ถ า ให x = 1 และ y = t จะได γ 32 ( t ) = 1 + ti เมื่ อ 0 ≤ t ≤ 1 เพราะฉะนั้ น ′ ( t ) = i จากสมการ (1.36) จะไดวา f ( γ 32 ( t ) ) = (12 + t ) + i (1)( t ) = t + 1 + it และ γ 32
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
23 ∫
C32
1
f ( z ) dz = ∫ ( t + 1 + it )( i ) dt 0
1
1 3 = ∫ ( it + i − t ) dt = − + i 2 2 0
(1.39)
แทนคาสมการ (1.38) และ (1.39) ลงในสมการ (1.37) จะไดวาปริพันธของ f ( z ) ตามเสนทาง C3 มีคา เทากับ
∫
C3
1 ⎛ 1 3 ⎞ 1 3 f ( z ) dz = + ⎜ − + i ⎟ = − + i 3 ⎝ 2 2 ⎠ 6 2
จากตัวอยางนี้แสดงใหเห็นวาการหาปริพันธของฟงกชันเชิงซอน f ( z ) ตามเสนทางปริพันธที่แตกตางกัน จะทําใหไดผลลัพธที่ตางกันดวย จงแสดงวาปริพันธคอนทัวร ∫ C 1 dz = 2π i เมื่อ C เปนเสนรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี z 1 หนวย และมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด ( 0, 0 ) ตัวอยางที่ 1.18
วิธีทํา เนื่ อ งจากเส น รอบวง 0 ≤ t ≤ 2π ซึ่งจะไดวา f (γ ( t ) ) =
สามารถแทนได ด ว ยฟ ง ก ชั น เชิ ง ซ อ น γ ( t ) = cos ( t ) + i sin ( t ) เมื่ อ
C
1 cos ( t ) + i sin ( t )
และ
γ ′ ( t ) = − sin ( t ) + i cos ( t )
ดังนั้น
∫
C
f ( z ) dz =
2π
⎛
0
⎝
⎞
∫ ⎜⎜ cos ( t ) + i sin ( t ) ⎟⎟ ( − sin ( t ) + i cos ( t ) ) dt 1
⎠
⎛ − sin ( t ) + i cos ( t ) ⎞ ⎛ cos ( t ) − i sin ( t ) ⎞ ∫0 ⎜⎜ cos ( t ) + i sin ( t ) ⎟⎟ ⎜⎜ cos ( t ) − i sin ( t ) ⎟⎟ dt ⎝ ⎠⎝ ⎠
2π
=
2π
=
∫ idt 0
= 2π i = 6.2831853i
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
SCILAB: -->function y = f(z), y = 1/z, ... -->endfunction -->y = clean(intl(0,2*%pi,0,1,f)) y = 6.2831853i
24
สั ญ ญาณและระบบ Im
γ (t )
C
r
z0
Re
ภาพที่ 1.7 เสนทางปริพันธในตัวอยางที่ 1.19
ตัวอยางที่ 1.19 จงหาคาของ ∫ C 1 n+1 dz เมื่อ n คือจํานวนเต็ม, z0 คือคาคงตัว, และ C เปนเสน ( z − z0 ) รอบวงของวงกลมที่มีรัศมีเทากับ r และมีจุดศูนยกลางอยูที่ z0 ดังแสดงในภาพที่ 1.7 วิธีทํา ฟงกชนั เชิงซอนของเสนโคง C หาไดจาก γ ( t ) − z0 = r ( cos ( t ) + i sin ( t ) )
สําหรับ 0 ≤ t ≤ 2π
(1.40)
จากความสัมพันธของออยเลอร eit = cos ( t ) + i sin ( t ) สมการ (1.40) สามารถเขียนไดเปน γ ( t ) = z0 + reit
(1.41)
ซึ่งจะไดวา f (γ ( t ) ) =
1
(z
0
+ reit − z0 )
n +1
=
1 r e
n +1 i ( n +1)t
และ γ ′ ( t ) = ireit เพราะฉะนั้น
∫
C
f ( z ) dz =
2π
⎛
∫ ⎜⎝ r
1 e
n +1 i ( n +1)t
0
2π
=
i
∫re
n nti
⎞ it ⎟ ( ire ) dt ⎠
dt
0
=
โดยที่ถา n = 0 จะได ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
i rn
2π
∫e 0
− nti
dt
(1.42)
25 2π
1 ∫C ( z − z0 ) dz = i ∫0 (1) dt = 2π i = 6.283i
SCILAB: -->function y = f(z,z0,n), ... -->y = 1/(z - z0)^n, endfunction
และถา n ≠ 0 จะได i ∫C ( z − z )n+1 dz = r n 0 1
i = n r
-->z0 = 2; -->r = 1;
2π
∫ ( cos ( nt ) − i sin ( nt ) ) dt
-->n = 1;
0
-->y =clean(intl(0,2*%pi,z0,r,f)) y = 6.2831853i
2π ⎡ sin ( nt ) 2π cos ( nt ) ⎤ ⎢ ⎥ +i n ⎢⎣ n t =0 ⎥ t =0 ⎦
-->n = 3; -->y = lean(intl(0,2*%pi,z0,r,f)) y = 0
=0
ดังนั้นสรุปไดวา 1
∫ (z − z ) C
0
n +1
⎧2π i, n = 0 dz = ⎨ ⎩ 0, n ≠ 0
(1.43)
1.7.2 การหาปริพันธไมจํากัดเขตของฟงกชันวิเคราะห กําหนดใหฟงกชันจริง F ( x ) เปนปริพันธไมจํากัดเขตของฟงกชัน f ( x ) นั่นคือ F ( x ) = ∫ f ( x ) dx
(1.44)
ดังนั้นถากําหนดลิมิตของการหาปริพันธจาก a ไปหา b ใหกับสมการ (1.44) จะไดวา b
∫ f ( x ) dx = F ( x ) a
b a
= F (b ) − F ( a )
(1.45)
วิธีการนี้สามารถนํามาใชในการปริพันธของฟงกชันเชิงซอนไดเชนกันตามทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎีบท การหาปริพันธแบบไมจํากัดเขตของฟงกชันวิเคราะห1 กําหนดใหฟงกชันเชิงซอน f ( z ) เปน “ฟงกชันวิเคราะห (analytic function)” [2] ภายในโดเมน D และมี ปริพันธไมจํากัดเขตของ f ( z ) คือ F ( z ) เกิดขึ้นภายในโดเมน D และตลอดทางเดินทั้งหมดที่เชื่อมระหวาง จุด z0 และจุด z1 ภายใน D ดังนั้น 1
ฟงกชันวิเคราะห f ( z ) คือฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธไดสําหรับทุกคา
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
z
26
สั ญ ญาณและระบบ z1
∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz = F ( z ) − F ( z ) 1
C
(1.46)
0
z0
สมการ (1.46) แสดงใหเห็นวาปริพันธของ f ( z ) สําหรับทุกเสนทางปริพันธจากจุด z0 ไปยังจุด z1 มีคาเทากัน หรือกลาวอีกนัยหนึ่งคือผลลัพธจากการหาปริพันธของ f ( z ) จะไมขึ้นอยูกับเสนทางปริพันธ แตจะขึ้นกับจุดเริ่มตนและจุดสุดทายของเสนทางปริพันธ ดังนั้นวิธีการหาปริพันธของฟงกชันวิเคราะห f ( z ) ใหทําตามขั้นตอนดังนี้ 1) หาฟงกชัน F ( z ) ที่มีอนุพันธเทากับ f ( z ) นั่นคือ F ′ ( z ) = f ( z ) 2) หาปริพันธของฟงกชันเชิงซอน f ( z ) ตามสมการ (1.46) พิจารณาตัวอยางตอไปนี้จะไดเขาใจการหาปริพันธแบบไมจํากัดเขตของฟงกชันวิเคราะห 2+i
ตัวอยางที่ 1.20 จงหาคาของ ∫
zdz
0
วิธีทํา เนื่องจากฟงกชัน f ( z ) = z เปนฟงกชันวิเคราะห เพราะวา f ′ ( z ) = 1 สําหรับทุกคา ปริพันธที่โจทยกําหนดจึงสามารถคํานวณหาไดโดยใชสมการ (1.46) จากสูตรการหาปริพันธ n ∫ u du =
ถากําหนดให c = 0 จะไดวา 2+i
∫ 0
z2 F ( z) = 2
z
ดังนั้นคา
u n +1 +c n +1
เพราะฉะนัน้
2+i
⎛ z2 ⎞ zdz = ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠0
SCILAB:
(
1 2 = ( 2 + i ) − 02 2 3 = + 2i 2
)
-->function y=f(z), y=z, endfunction -->y = intc(0, 2+%i, f) y = 1.5 + 2.i
πi
ตัวอยางที่ 1.21 จงหาคาของ ∫ cos ( z ) dz −π i
วิธีทํา ในที่นี้ f ( z ) = cos ( z ) เปนฟงกชันวิเคราะห เพราะวา f ′ ( z ) = − sin ( z ) สําหรับทุกคา z ดังนั้น คาปริพันธที่โจทยกําหนดจึงสามารถคํานวณหาไดจากสมการ (1.46) นั่นคือ ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
27 3
Im
( 2, 3) C2
2
1
(1,1)
( 2,1)
C1 1
3
2
Re
ภาพที่ 1.8 เสนทางปริพันธในตัวอยางที่ 1.22 πi
∫π cos ( z ) dz = sin ( z )
− i
πi −π i
= sin (π i ) − sin ( −π i )
= 2sin (π i ) ⎛ e (π i ) i − e − (π i ) i ⎞ = 2⎜ ⎟ 2i ⎝ ⎠ ⎛ eπ − e −π ⎞ = 2i ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ = 2i sinh (π ) = 23.097i
∵ sin ( − x ) = − sin ( x ) SCILAB: -->function y = f(z), y = cos(z), ... -->endfunction -->y = intc(-%pi*%i, %pi*%i, f) y = 23.097479i
จงหาคาของ ∫C ( 3z 2 − iz ) dz เมื่อ C คือเสนทางปริพันธที่เชื่อมระหวางจุด (1,1) และ โดยวิธีการดังตอไปนี้
ตัวอยางที่ 1.22 (2,3)
ก) การหาปริพนั ธตามเสนทางปริพันธ C ในภาพที่ 1.8 ข) การหาปริพนั ธตามเสนทางปริพันธ C ที่กาํ หนดโดยสมการ
y = x2 − x + 1
ค) การหาปริพนั ธจํากัดเขต วิธีทํา ก) การหาปริพนั ธตามเสนทางปริพนั ธ C ในภาพที่ 1.8 เสนทางปริพันธในภาพที่ 1.8 ประกอบไปดวยสวนของเสนตรง 2 เสนที่เชื่อมตอกัน นั่นคือเสนตรง C1 ที่เชื่อมจุด (1,1) และ (2,1) และเสนตรง C2 ที่เชื่อมจุด (2,1) และ (2,3) •
เสนทาง C1 สามารถกําหนดไดดวยสมการ γ 1 ( t ) = t + i เมื่อ 1 ≤ t ≤ 2 และ γ 1′ ( t ) = 1 ดังนั้น
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
28
สั ญ ญาณและระบบ ∫ ( 3z
2
2
C1
{
}
2
− iz ) dz = ∫ 3 ( t + i ) − i ( t + i ) (1) dt = ∫ {3t 2 + 5it − 2} dt 2
1
1
2
2
2 ⎛ t3 ⎞ ⎛ t2 ⎞ = 3 ⎜ ⎟ + 5i ⎜ ⎟ − 2 ( t ) 1 ⎝ 3 ⎠1 ⎝ 2 ⎠1
SCILAB: -->function y = f(t), y = 3*t^2 + ... -->5*%i*t-2, endfunction
5 = ( 23 − 13 ) + i ( 22 − 12 ) − 2 ( 2 − 1) 2 = 5+ •
-->y = intc(1, 2, f) y = 5. + 7.5i
15 i 2
เสนทาง C2 ที่เชื่อมระหวางจุด (2,1) และ (2,3) สามารถกําหนดไดดวยสมการ γ 2 ( t ) = 2 + it เมื่อ 1 ≤ t ≤ 3 และ γ 2′ ( t ) = i เพราะฉะนั้น
∫ ( 3z C2
3
2
{
}
− iz ) dz = ∫ 3 ( 2 + it ) − i ( 2 + it ) ( i ) dt 2
SCILAB:
1
-->function y = f(t), y = ... -->-3*%i*t^2 + (%i - 12)*t + ... -->12*%i + 2, endfunction
3
= ∫ {−3it 2 + ( i − 12 ) t + 12i + 2} dt 1
3
3
3 ⎛t ⎞ ⎛t ⎞ = −3i ⎜ ⎟ + ( i − 12 ) ⎜ ⎟ + (12i + 2 )( t ) 1 ⎝ 3 ⎠1 ⎝ 2 ⎠1 3
2
-->y = intc(1, 3, f) y = - 44. + 2.i
⎛ i − 12 ⎞ 2 2 = −i ( 33 − 13 ) + ⎜ ⎟ ( 3 − 1 ) + (12i + 2 )( 3 − 1) ⎝ 2 ⎠ = −44 + 2i
ดังนั้นจะไดวา
∫ (z C
2
− iz ) dz = ∫
C1
(z
2
− iz ) dz + ∫
C2
(z
2
− iz ) dz
⎛ 15 ⎞ = ⎜ 5 + i ⎟ + ( −44 + 2i ) = −39 + 9.5i 2 ⎠ ⎝
ข) การหาปริพันธตามเสนทางปริพนั ธ เมื่อ C คือ ถาให
x=t
จะได
y = x2 − x + 1
y = t 2 − t + 1 ดังนั้นฟงกชันเชิงซอนของเสนโคง C
(
)
คือ
z = γ ( t ) = x + yi = t + t 2 − t + 1 i ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
29 สําหรับ 1 ≤ t ≤ 2 ดังนัน้ γ ′ ( t ) = 1 + ( 2t − 1) i และจาก f ( z ) = 3z 2 − iz จะไดวา
( (
))
( (
))
f ( z ) = f (γ ( t ) ) = 3 t + t 2 − t + 1 i − i t + t 2 − t + 1 i
(
2
) (
)
= −3t 4 + 6t 3 − 5t 2 + 5t − 2 + 6t 3 − 6t 2 + 5t i
จากสมการ (1.36) ปริพันธของ f ( z ) ตามเสนทาง C หาไดโดย 2
∫ f ( z ) dz = ∫ ⎣⎡( −3t C
1
2
4
) (
)
+ 6t 3 − 5t 2 + 5t − 2 + 6t 3 − 6t 2 + 5t i ⎦⎤ ⎡⎣1 + ( 2t − 1) i ⎤⎦ dt
(
)
2
(
)
= ∫ −15t 4 + 24t 3 − 21t 2 + 10t − 2 dt + i ∫ −6t 5 + 15t 4 − 10t 3 + 9t 2 − 4t + 2 dt 1
1
= −39 + 9.5i SCILAB:
(ตัวอยางที่ 1.22)
-->t = poly(0,'t'); -->fz = 3*(t+(t^2-t+1)*%i)^2 - %i*(t+(t^2-t+1)*%i) fz = real part 2 3 4 - 2 + 5t - 5t + 6t - 3t imaginary part 2 3 5t - 6t + 6t -->A = fz*(1+(2*t-1)*%i) A = real part 2 3 4 - 2 + 10t - 21t + 24t - 15t imaginary part 2 3 4 5 2 - 4t + 9t - 10t + 15t - 6t -->RealPart = integrate('-15*t^4+24*t^3-21*t^2+10*t-2', 't', 1, 2) RealPart = - 39. -->ImagePart = integrate('-6*t^5+15*t^4-10*t^3+9*t^2-4*t+2', 't', 1, 2) ImagePart = 9.5
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
30
สั ญ ญาณและระบบ
ค) การหาปริพนั ธจํากัดเขต การหาปริพันธจํากัดเขตของฟงกชันวิเคราะห f ( z ) ตามเสนทางจากจุด (1,1) ไปยังจุด ( 2,3) ทําไดโดยใช สมการ (1.46) เมื่อจุด (1,1) ก็คือคาขอบเขตลาง 1 + i และจุด ( 2,3) ก็คือคาขอบเขตบน 2 + 3i ดังนั้น
∫ ( 3z C
2
− iz ) dz =
2 + 3i
∫ ( 3z
2
SCILAB:
− iz ) dz
-->function y = f(z), y = ... -->3*z^2 - %i*z, endfunction
1+ i
2 + 3i
2 + 3i
⎛ z3 ⎞ ⎛ z2 ⎞ = 3⎜ ⎟ −i⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 1+i ⎝ 2 ⎠ 1+i =
{( 2 + 3i ) − (1 + i ) } − 2i {( 2 + 3i ) 3
3
-->y = intc(1+%i, 2+3*%i, f) y = - 39. + 9.5i 2
− (1 + i )
2
}
= −39 + 9.5i
จากผลลัพธที่ไดในขอ (ก) – (ค) พบวามีคาเทากัน ทั้งนี้เปนเพราะวา f ( z ) เปนฟงกชันวิเคราะห เนื่องจาก f ′ ( z ) = 6 z − i สําหรับทุกคา z ภายในบริเวณที่หาปริพันธ ดังนั้นตัวอยางนี้แสดงใหเห็นวาผลลัพธจาก การหาปริพันธของฟงกชันวิเคราะหจะไมขึ้นอยูกับเสนทางปริพันธ แตจะขึ้นอยูกับจุดเริ่มตนและจุดสุดทาย ของการหาปริพันธ หมายเหตุ ฟงกชัน f ( z ) = ( x 2 + y ) + i ( xy ) ในตัวอยางที่ 1.17 ไมเปนฟงกชันวิเคราะหในชวง [0,1 + i ] [3] จึงทําใหผลลัพธที่ไดจากการหาปริพันธตามเสนทางปริพันธที่ไมเหมือนกันมีคาตางกัน
1.7.3 ทฤษฎีปริพันธของโคชี ถา f ( z ) เปนฟงกชันวิเคราะหภายในโดเมนเชื่อมโยงเชิงเดียว2 D ดังนั้นทฤษฎีปริพันธของโคชี (Cauchy’s integral theorem) [2] กลาววาสําหรับทางเดินปดเชิงเดียว3 C ทุกๆ แบบที่อยูภายในโดเมน D จะไดวา
∫ f ( z ) dz = 0 C
(1.47)
ตัวอยางที่ 1.23 กําหนดให f ( z ) = z 2 จงแสดงวา ∫ C z 2 dz = 0 เมื่อ C เปนเสนรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มี ดานทั้งสามดานคือ C1 , C2 , และ C3 ตามภาพที่ 1.9 โดยใช โดเมน D จะเรียกวาเปนโดเมนเชื่อมโยงเชิงเดียว (simple connected domain) ถาทางเดินปดเชิงเดียวทุกรูปแบบที่อยูภายใน D ลอมรอบจุดตางๆ ของ D 3 เสนโคง C ถูกเรียกวาเปนทางเดินปดเชิงเดียว (simple closed curve) ถาเสนโคง C ไมตัดกันหรือสัมผัสกับตัวมันเอง 2
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
31 Im
C2
1
C3
C1 Re
2
ภาพที่ 1.9 เสนทางปริพันธในตัวอยางที่ 1.23
ก) วิธกี ารหาปริพันธตามเสนทางปริพันธ ข) ทฤษฎีของโคชี วิธีทํา ก) วิธีการหาปริพันธตามเสนทางปริพันธ จากโจทยจะไดวา
∫
C
z 2 dz =
∫
C1
z 2 dz +
∫
C2
z 2 dz +
∫
C3
z 2 dz
(1.48)
โดยที่เสนทาง C1 สามารถแทนไดดวยสมการ γ 1 ( t ) = 2t + it เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1 และ γ 1′ ( t ) = 2 + i จากสมการ b
(1.36) นั่นคือ ∫C f ( z ) dz = ∫ f (γ ( t ) ) γ ′ ( t ) dt จะไดวา a
1
∫ f ( z ) dz = ∫ ( 2t + it ) ( 2 + i ) dt 2
C1
0
SCILAB:
1
= ∫ ( 2t + 11it ) dt 2
2
-->function y = f(t), y = ... -->2*t^2 + 11*%i*t^2, endfunction
0
1
-->y = intc(0, 1, f) y = 0.6666667 + 3.6666667i
⎛ t3 ⎞ = ( 2 + 11i ) ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠0 =
2 11 + i = 0.667 + 3.667i 3 3
สําหรับเสนทาง C2 สามารถแทนไดดว ยสมการ γ 2 ( t ) = 2t + i เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1 และ γ 2′ ( t ) = 2 ดังนั้น
∫
C2
0
0
f ( z ) dz = ∫ ( 2t + i ) ( 2 ) dt = ∫ ( 8t 2 + 8ti − 2 ) dt
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
2
1
1
32
สั ญ ญาณและระบบ 0
0
0 ⎛ t3 ⎞ ⎛ t2 ⎞ = 8 ⎜ ⎟ + 8i ⎜ ⎟ − 2 ( t ) 1 ⎝ 3 ⎠1 ⎝ 2 ⎠1
=
8 ( 0 − 1) + 4i ( 0 − 1) − 2 ( 0 − 1) 3
2 = − − 4i = −0.667 − 4i 3
SCILAB: -->function y = f(t), y = ... -->8*t^2 + 8*%i*t - 2, endfunction -->y = intc(1, 0, f) y = - 0.6666667 - 4.i
และเสนทาง C3 สามารถแทนไดดวยสมการ γ 3 ( t ) = 0 + ti เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1 และ γ 3′ ( t ) = i ดังนั้น
∫
C3
0
0
f ( z ) dz = ∫ ( ti ) ( i ) dt = − ∫ t 2idt 2
1
SCILAB:
1
-->function y = f(t), y = ... -->-%i*t^2, endfunction
0
⎛t ⎞ = −i ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠1 3
-->y = intc(1, 0, f) y = 0.3333333i
1 = i = 0.333i 3
เพราะฉะนั้นจากสมการ (1.48) จะไดวา
∫
C
⎛ 2 11 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛1 ⎞ z 2 dz = ⎜ + i ⎟ + ⎜ − − 4i ⎟ + ⎜ i ⎟ = 0 ⎝3 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠
ข) ทฤษฎีของโคชี เนื่องจากฟงกชัน f ( z ) = z 2 เปนฟงกชันวิเคราะหที่สามารถหาอนุพันธไดทุกจุดบนระนาบเชิงซอน และ C = C1 + C2 + C3 เปนทางเดินปดเชิงเดียว ดังนั้นจากทฤษฎีปริพันธของโคชีจะไดวา
∫
C
z 2 dz = 0
เชนเดียวกับคําตอบที่ไดในขอ (ก)
1.7.4 สูตรปริพันธของโคชี ถากําหนดให f ( z ) เปนฟงกชันวิเคราะหภายในโดเมนเชื่อมโยงเชิงเดียว D [2] ดังนั้นสําหรับจุด ภายใน D และมีทางเดินปดเชิงเดียว C ที่อยูภายใน D ลอมรอบอยู จะไดวา
∫ ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
C
f ( z) dz = ( 2π i ) f ( z0 ) z − z0
z0
ที่อยู
(1.49)
33 สูตรปริพันธของโคชีมีประโยชนมากในการหาคาปริพันธตางๆ นอกจากนี้ยังสามารถนํามาใชในการพิสูจน ตางๆ ได เชน การพิสูจนวาฟงกชันวิเคราะหมีอนุพันธทุกๆ อันดับหรือไม เปนตน ตัวอยางที่ 1.24 จงหาคาของ ∫C 12 dz เมื่อ z ( z − 1) และมีรัศมี 0.25 หนวย วิธีทํา เนื่องจาก f ( z ) =
1 z −1 2
เปนเสนรอบวงของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่
z=0
เปนฟงกชันวิเคราะหของทุกจุดภายในวงกลม C ที่มีจุดศูนยกลางที่
z=0
C
และมีรัศมี 0.25 หนวย ดังนัน้ จากสูตรปริพันธของโคชีจะไดวา
∫
C
1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dz = ( 2π i ) f ( 0 ) z − 0 ⎝ z2 −1 ⎠
SCILAB:
-->function y = f(z), ... -->y = 1/z/(z^2 - 1), endfunction
⎛ 1 ⎞ = 2π i ⎜ 2 ⎟ ⎝ 0 −1 ⎠
-->y = clean(intl(0,2*%pi,0,0.25,f)) y = - 6.2831853i
= −6.2832i
ตัวอยางที่ 1.25 จงหาคาของ ∫C g ( z ) dz = ∫ C z 2 + 1 dz ตามเสนทางทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมรัศมีหนึ่ง z −1 หนวย และมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด 2
ก)
ข)
z =1
z = 0.5
ค)
ง)
z = −1 + 0.5i
z =i
ตามที่แสดงในภาพที่ 1.10 วิธีทํา จากโจทยพบวา g ( z ) = z 2 + 1 ไมเปนฟงกชันวิเคราะหทจี่ ุด 2
z −1
z = 1 และ z = −1
ก) เมื่อ C เปนเสนทางทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมรัศมี 1 หนวยที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ z = 1 เทานั้นที่อยูภายในวงกลมที่หาปริพันธ ดังนั้น g ( z) =
z2 +1 1 ⎛ z2 +1 ⎞ 1 f ( z) = ⎜ ⎟= 2 z −1 z −1 ⎝ z + 1 ⎠ z −1
จากสูตรปริพันธของโคชีจะไดวา
∫ ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
C
f ( z) ⎛ 12 + 1 ⎞ dz = ( 2π i ) f (1) = ( 2π i ) ⎜ ⎟ = 2π i = 6.2832i z −1 ⎝ 1+1 ⎠
z =1
แสดงวามีจุด
34
สั ญ ญาณและระบบ Im
i
−1
1
Re
ภาพที่ 1.10 เสนทางปริพันธแบบตางๆ ในตัวอยางที่ 1.25
ข) เมื่อ C เปนเสนทางทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมรัศมี 1 หนวยที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ z = 0.5 แสดงวามีจุด z = 1 เทานั้นที่อยูภายในวงกลมที่หาปริพันธ ดังนั้นการหาปริพันธจะมีลักษณะเหมือนกับขอ (ก) นั่นคือ
∫
C
z2 +1 dz = z2 −1
∫
C
⎛ 12 + 1 ⎞ 1 ⎛ z2 +1 ⎞ π dz i = 2 ( )⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = 2π i = 6.2832i z −1 ⎝ z +1 ⎠ ⎝ 1+1 ⎠
ค) เมื่อ C เปนเสนทางทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมรัศมี 1 หนวยที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ มีจุด z = −1 เทานั้นที่อยูภายในวงกลมที่หาปริพันธ ดังนั้นจะไดวา g ( z) =
z = −1 + 0.5i
แสดงวา
z2 +1 1 ⎛ z2 +1 ⎞ 1 = f ( z) ⎜ ⎟= 2 z −1 z + 1 ⎝ z −1 ⎠ z + 1
จากสูตรปริพันธของโคชี
∫
C
⎛ ( −1)2 + 1 ⎞ f ( z) dz = ( 2π i ) f ( −1) = ( 2π i ) ⎜ ⎟ = −2π i ⎜ ( −1) − 1 ⎟ z +1 ⎝ ⎠
ง) เมื่อ C เปนเสนทางทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมรัศมี 1 หนวยที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ พบวาในกรณีนี้ฟงกชัน
g ( z) =
z2 +1 z2 −1
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
C
จากภาพที่ 1.10
เปนฟงกชันวิเคราะหของทุกจุดภายในวงกลม ดังนั้นจากทฤษฎี
ปริพันธของโคชีจะไดวา
∫
z =i
f ( z ) dz =
∫
C
z2 +1 dz = 0 z2 −1
35 SCILAB:
(ตัวอยาง 1.25)
-->function y = f(z), y = (z^2 + 1)/(z^2 - 1), endfunction
//สําหรับขอ (ก)
-->y1 = clean(intl(0, 2*%pi, 1, 1, f)) y1
= 6.2831853i
//สําหรับขอ (ข)
-->y2 = clean(intl(0, 2*%pi, 0.5, 1, f)) y2
= 6.2831853i
//สําหรับขอ (ค)
-->y3 = clean(intl(0, 2*%pi, -1 + 0.5*%i, 1, f)) y3 = - 6.2831853i
//สําหรับขอ (ง)
-->y4 = clean(intl(0, 2*%pi, %i, 1, f)) y4
= 0
1.7.5 อนุพันธของฟงกชันวิเคราะห ในบางครั้งฟงกชันจริงที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได อาจไมสามารถหาอนุพันธอันดับสูงได อยางไรก็ตาม สําหรับฟงกชันเชิงซอนแลว ถาฟงกชันเชิงซอนใดสามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งภายในโดเมน D ได ฟงกชัน เชิงซอนนั้นก็จะยังคงสามารถหาอนุพันธทุกๆ อันดับภายใน D ได ถา f ( z ) เปนฟงกชันวิเคราะหภายในโดเมน D แลว f ( z ) จะมีอนุพันธไดทุกๆ อันดับภายใน D โดยที่อนุพันธอันดับ n ณ จุด z0 ซึ่งอยูภายใน D สามารถหาไดจาก [2] f ( n ) ( z0 ) =
เมื่อ C เปนทางเดินปดเชิงเดียวที่อยูภ ายใน
D
n! 2π i
f ( z)
∫ (z − z ) C
n +1
0
และลอมรอบจุด
z0
z
e ตัวอยางที่ 1.26 จงหาคาของ ∫C g ( z ) dz = ∫ C 2 ( z − 1) z 2 + 4
(
z=0
และมีรัศมี 1.5 หนวย
วิธีทํา
เนื่องจาก g ( z ) =
วงกลม C
ez
)
dz
เมื่อ C คือวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่
ไมเปนฟงกชันวิเคราะหที่จุด 2 ( z − 1) ( z 2 + 4 ) จะมีเพียงจุด z = 1 เทานั้นที่อยูภายในวงกลมที่หาปริพันธ ดังนั้น
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
(1.50)
dz
z =1
และ
z = ±2i
เพราะวา
36
สั ญ ญาณและระบบ ez
ez 1 g ( z) = = = f ( z) 2 2 2 2 2 ( z − 1) ( z + 4 ) ( z − 1) ( z + 4 ) ( z − 1) 1
จากสูตรอนุพนั ธของฟงกชนั วิเคราะห (สําหรับ n = 1 ) ในสมการ (1.50) จะไดวา 1 2π i ∫ ( z − 1) f ( z ) dz = 1! f ′ (1)
(1.51)
2 z z d ⎛ e z ⎞ ( z + 4 ) e − e ( 2 z ) z 2 e z + 4e z − 2 ze z f ′( z) = ⎜ 2 = ⎟= 2 2 dz ⎝ z + 4 ⎠ ( z2 + 4) ( z 2 + 4)
(1.52)
2
C
โดยที่
f ′( z)
แทนคา
มีคาเทากับ
z = 1 ลงในสมการ (1.52) จะได f ′ (1)
แทนคา
f ′ (1)
(1) =
2
SCILAB:
e1 + 4e1 − 2 (1) e1
(1
2
+ 4)
3e = 25
2
-->function y = f(z), y = ... -->exp(z)/(z-1)^2/(z^2+4), ... -->endfunction -->y = clean(intl(0,2*%pi,0,1.5,f)) y = 2.0495362i
ลงในสมการ (1.51) จะได
1 ez 2π i ⎛ 3e ⎞ 6π ei ∫C ( z − 1)2 ( z 2 + 4 ) dz = 1! ⎜⎝ 25 ⎟⎠ = 25 = 2.05i
e2 z
ตัวอยางที่ 1.27 จงหาคา ∫C dz เมื่อ C คือวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ 3 ( z + 1) วิธีทํา เนื่องจาก f ( z ) = e2 z เปนฟงกชันวิเคราะหภายใน C และจุด สูตรอนุพันธของฟงกชันวิเคราะหจะได 1
∫ (z − z ) C
n +1
0
เมื่อ
z0 = −1 , n = 2 , และ f ′′ ( z ) = 4e 2 z e2 z
∫ ( z + 1) C
3
2π i f ( z ) dz = f ′′ ( −1) 2! =
2π i 4e 2( −1) 2!
(
= 1.7007i
ผศ.ดร.ปยะ โควินททวีวัฒน
)
f ( z ) dz =
z = −1
z=0
และมีรัศมี 3 หนวย
เปนจุดที่อยูภายใน C จาก
2π i ( n ) f ( z0 ) n!
ดังนั้น SCILAB: -->function y = f(z), y = ... -->exp(2*z)/(z+1)^3, endfunction -->y = clean(intl(0, 2*%pi, 0, 3, f)) y = 1.7006733i
