AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Trigonometria do triângulo rectângulo Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Resolução de triângulos rectângulos

Conteúdos desta unidade:  Razões trigonométricas de um ângulo agudo. Resolução de triângulos rectângulos;  Relações entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo;  Resolução de problemas aplicando trigonometria.

 A palavra trigonometria resultou da composição de três termos gregos: tri (três) + gono (ângulo) + metria (medida). Vamos aprender a trigonometria aplicada aos triângulos rectângulos, cujas propriedades já nos anos anteriores estudaste algumas:  existe sempre um ângulo recto (90º), daí o nome;  a soma de todos os ângulos internos é igual a 180º;  ao lado oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa e aos outros lados chamamos catetos;  o teorema de Pitágoras relaciona o comprimento dos diferentes lados do triângulo a partir da fórmula .

Exercício resolvido: Indica a hipotenusa e os catetos e calcula o comprimento da hipotenusa.

R: O comprimento da hipotenusa é de 29 cm.

 Quando assinalamos um dos ângulos agudos do triângulo rectângulos podemos diferenciar os catetos em cateto adjacente (que faz parte do ângulo) e cateto oposto (que é oposto ao ângulo), da seguinte maneira:

 As razões trigonométricas que vais estudar são três: o seno, o coseno e a tangente. Sendo [ABC] um triângulo rectângulo em B e α a amplitude de um dos ângulos agudos, definem-se as razões trigonométricas seno α (sinα), co-seno α (cosα) e tangente α (tanα) do seguinte modo:

 Por simplificação da linguagem podemos chamar ao comprimento do lado x simplesmente lado x. Para determinar na calculadora o seno, o co-seno ou a tangente de um número devemos carregar nas teclas correspondentes (sin, cos ou tan).  Quando nos é dado o valor de sinα, cosα ou tanα e queremos saber o valor de α basta calcular o valor dado elevado a -1 (sin-1, cos-1 ou tan1 ). Na calculadora encontramos também as teclas correspondentes a estas funções, normalmente nas segundas funções. Podemos resumir isto nas seguintes equações:

 Resolver um triângulo rectângulo é determinar os ângulos e os lados desconhecidos a partir do conhecimento de determinados ângulos e lados. Exercício resolvido: Resolve o seguinte triângulo.

Exercícios 1: 1. Observa os seguintes triângulos.

Exercícios 1 (continuação): 1.1. Completa a tabela com as letras correspondentes. Triângulo

Hipotenusa

Cateto oposto ao ângulo assinalado

Amarelo Verde Laranja 1.2. Sabendo que a = 8, b = 17 e c = 15: a) determine tanα.

b) determine α.

1.3. Sabendo que d = 12, e = 25,5 e f = 22,5: a) determine sinβ.

b) determine β.

Cateto adjacente ao ângulo assinalado

Exercícios 1 (continuação): 1.4. Sabendo que g = 7,4, h = 7 e i = 2,4.: a) determine cosθ.

b) determine θ.

2. Observa os seguintes triângulos.

2.1. Resolve o triângulo [MAR].

Exercícios 1 (continuação):

2.2. Resolve o triângulo [ABC].

2.3. Resolve o triângulo [TRI].

Relações entre as razões trigonométricas do mesmo ângulo  Existem uma fórmula da trigonometria que relaciona as 3 razões trigonométricas estudadas que é:

Exercício resolvido: Observa o seguinte triângulo e calcula

.

 Existe também outra fórmula que é chamada de fórmula fundamental da trigonometria:

Exercício resolvido: Observa o seguinte triângulo e prova a fórmula fundamental da trigonometria.

c.q.p.

 A partir da fórmula fundamental da trigonometria podemos retirar outras fórmulas que nos podem ser úteis tais como:

Exercícios 2: 1. Sabendo que α é um ângulo agudo e que sinα = 0,8: 1.1. determina cosα;

1.2. determina tanα.

2. Sabendo que β é um ângulo agudo e que cosβ = 0,9: 2.1. determina tanβ;

Exercícios 2: 2.2. determina β.

3. Classifica as equações com VERDADEIRO ou FALSO. a)  ________________ b)  ________________ c)  ________________ d) e)

 ________________  ________________

Resolução de problemas aplicando trigonometria  A resolução de muitos problemas que envolvem a determinação de alturas ou amplitudes de ângulos é facilitada através do uso da trigonometria. Exercício resolvido: Qual a largura do rio ilustrado na figura?

R: A largura do rio é aproximadamente 143 metros.

Exercício resolvido: Qual a altura do prédio ilustrado na figura?

R: O prédio tem aproximadamente 85 metros de altura.

Exercícios 3: 1. A situação apresentada nesta figura significa que, em cada 100 m medidos (ou percorridos pelo carro) na horizontal a estrada "sobe" 10 m na vertical. Determina α.

Exercícios 3 (continuação):

2. A Joana foi visitar um castelo. Do cimo do fosso vazio, ela avista o topo do castelo com um ângulo de elevação de 72º e a base segundo um ângulo de depressão de 31º. Sabe-se também que a largura do fosso é de 10 metros. Determina a altura do castelo.

Exercícios 3 (continuação): 3. A Rita construiu um quadrante e com ele quer determinar a altura da árvore que fica em frente à sua casa. Observa a figura e determina a altura da árvore.

4. Observa a imagem e determina a que altura se encontra o balão de ar quente.