Aufgaben zur Vorlesung Analysis III Blatt3 Prof. Dr. Holger Dette
WS 2012/2013
Abgabe: Bis Dienstag, 06. November 2012, in den Zettelk¨asten auf NA 02.
Aufgabe 1: (4 Punkte) (a) Zeige mit Definition 20.7 der Vorlesung, dass die Funktion f : IR → IR, definiert durch f (x) := IQI∩ [0,1] (x), Lebesgue-integrierbar ist. Ist sie Riemann-integrierbar? (b) Es seien I ⊂ IRn ein Intervall und f, g : I → IR Lebesgue-integrierbare Funktionen. Beweise oder widerlege: Stimmen f und g auf einer dichten Teilmenge von I u ¨berein, so sind auch ihre Integrale gleich. (c) Zeige durch ein Beispiel, dass es Funktionen f : IRn → IR,
f (x) =
∞ X
cj IQj (x)
j=1
mit Konstanten cj ∈ IR und Quadern Qj ∈ IRn gibt, sodass giert, f aber nicht Lebesgue-integrierbar ist.
P∞
j=0 cj λ(Qj )
konver-
Aufgabe 2 ∗ : Die klassische Cantor-Menge (nach Georg Cantor (1845-1918)) ist ein bekanntes Beispiel f¨ ur eine u ¨berabz¨ahlbare Lebesgue-Nullmenge. Die Cantor-Menge C wird schrittweise konstruiert. Wir starten bei C0 := [0, 1] und entfernen im ersten Schritt das mittlere offene Drittel um zu C1 zu gelangen. Im zweiten Schritt entfernen wir aus den verbliebenen zwei Intervallen jeweils das mittlere offene drittel und erhalten C2 , das aus vier Intervallen besteht. Dieses Vorgehen wird nun sukzessive fortgef¨ uhrt: h 1i h2 i ∪ ,1 , C1 = 0, 3 3 h 1i h2 1i h2 7i h8 i C2 = 0, ∪ , ∪ , ∪ ,1 , 9 9 3 3 9 9 h 1 i h 2 1 i h 2 7 i h 8 1 i h 2 19 i h 20 7 i h 8 25 i h 26 i C3 = 0, ∪ , ∪ , ∪ , ∪ , ∪ , ∪ , ∪ ,1 , 27 27 9 9 27 27 3 3 27 27 9 9 27 27 T und so weiter. Die Menge C := j∈IN Cj heißt Cantor-Menge. C ist die Menge aller Zahlen, die in ihrer Trialdarstellung keine 1 ben¨otigen: ∞ X −k C = x ∈ [0, 1] x = xk 3 , xk ∈ {0, 2} . k=1
Die Cantor-Funktion f : [0, 1] → [0, 1] sei folgendermaßen definiert: Wir setzen zun¨achst f (0) = 0. F¨ ur Punkte x ∈ [0, 1]\C betrachten wir die Trialbruchdarstellung x=
∞ X k=1
xk 3−k , xk ∈ {0, 1, 2}.
Falls n der erste Index ist, f¨ ur den xn = 1 gilt, so setzen wir f (x) =
n−1 X
I{xk = 2}2−k + 2−n .
k=1
F¨ ur x ∈ C setzen wir f (x) = sup{f (y) | y ∈ [0, 1]\C, y < x} Zeige, dass die Cantor-Funktion ein Beispiel f¨ ur eine stetige Funktion ist, die eine Nullmenge, n¨amlich C, auf das ganze Intervall [0, 1] abbildet.
Aufgabe 3: (4 Punkte) Beweise Satz 20.15 aus der Vorlesung f¨ ur den Fall einer kompakten Menge A : Es sei p q A ⊂ IR × IR kompakt und f : A → IR eine stetige Funktion. Dann ist f¨ ur jedes y ∈ IRq p mit Ay = {x ∈ IR | (x, y)R ∈ A} 6= ∅ die Funktion x 7→ f (x, y) u ¨ber Ay integrierbar. Die Funktion F mit F (y) = Ay f (x, y) dx, falls Ay 6= ∅ und F (y) = 0, falls Ay = ∅, ist u ¨ber q IR integrierbar und es gilt Z Z Z Z f (x, y) d(x, y) = F (y) dy = f (x, y) dx dy. IRq
A
IRq
Ay
Hinweis: Lemma 20.13.
Aufgabe 4: (4 Punkte) 2 2 (a) Es sei M := {(x, y) | − 1 ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x }. Skizziere M und berechne Z (x2 − y) d(x, y). M
(b) Es sei [a, b] ⊂ IR ein kompaktes Intervall, f : [a, b] → IR+ eine stetige Funktion und K = {(x, y, z) ∈ [a, b] × IR2 | x2 + y 2 ≤ f 2 (x)} der Rotationsk¨orper der durch Rotation von f um die x-Achse entsteht. Zeige: Z Z b f 2 (x) dx IK (x, y, z) d(x, y, z) = π · IR
a
(c) Es sei f : [0, 1] × [0, 1] → IR definiert durch y −2 falls 0 < x < y < 1, −x−2 falls 0 < y < x < 1, f (x, y) := 0 sonst. R R R Berechne F (y) und IR F (y) dy, sowie G(x) := Ax f (x, y) dy und IR G(x) dx und kommentiere das Ergebnis. Hinweis: Durch das L¨osen der Aufgaben k¨onnen keine Bonuspunkte f¨ ur die Klausur erworben werden. Aufgaben, die nicht korrigiert werden, sind mit einem Stern versehen und es ist dort keine Punktzahl angegeben. Bitte notieren Sie auf Ihren L¨osungen auch ¨ Ihre Ubungsgruppe (Leiter und Nummer), dort erfolgt dann die R¨ uckgabe der korrigierten Aufgaben. Es kann in Gruppen von bis zu 3 Personen abgegeben werden.
