BAB 9 DERET FOURIER Oleh : Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST
9.1 Pendahuluan
Gambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin ωt
Gambar 9.2 Gelombang gigi gergaji
Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalam interval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.
9.2 Deret Fourier Trigonometri Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila : f(t) = f(t + nT) dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t), Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi ωo dapat di ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau : ∞
f(t) = a o + ∑ (a n cos nωo t + b n sin nωo t ) { =1444442444443 n1 ↓ dc ↓ ac
ωo = 2π/T disebut sebagai frekuensi dasar sin nωot atau cos nωot merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap
Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila : 1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t. 2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas terbatas pada periode T. 3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam periode. 4.
t0 + T
∫t 0
f ( t ) | dt < ∞ Untuk setiap t0.
syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet
Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bn disebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourier ini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangat membantu diantaranya : T
sin nωo dt = 0 → semua n ............................ (a )
T
cos nωo dt = 0 → semua n ≠ 0 ...................... (b)
T
sin nωo t cos n nωo t dt = 0 → semua n , m .... (c)
T
sin nωo sin nωo t dt = 0 → n ≠ m................... (d)
T
cos nωo cos mωo t dt = 0 → n ≠ m ................ (e)
T
cos 2 nωo dt = T / 2 → semua n .................... (f )
T
cos 2 mωo t dt = T / 2 → semua m ................. (g)
∫0 ∫0 ∫0 ∫0
∫0 ∫0 ∫0
Dari analisa Fourir, didapat : 1 T a o = ∫ f ( t ) dt T 0
2 T 2 T ; a n = ∫ f ( t ) cos nω o t dt dan b n = T ∫0 f ( t ) sin nωo t dt T 0
Maka : ∞
f ( t ) = a o + ∑ A n cos(nωo t + φ n ) n =1 ∞
∞
n =1
n =1
a o + ∑ A n cos(nωo t + φn ) = a o + ∑ (A n cos φ n ) cos nωo t − (A n sin φ n ) sin nωo t
Sehingga :
a n = A n cos φ n ; b n = −(A n sin φ n ) ; A n = a n + b n 2
dalam bentuk kompleks :
A n ∠φ n = a n − jb n
2
−1 ; φ n = − tan
bn an
Contoh : Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.
Jawab : Adapun deret Fourier : ∞
f(t) = a o + ∑ (a n cos nωo t + b n sin nωo t ) n =1
Adapun bentuk persamaan gelombang diatas : 1 → 0 < t < 1 f (t ) = 0 → 1 < t < 2
2 1 T 1 1 1 a o = ∫ f ( t ) dt = ∫ 1dt + ∫ 0 dt = t 2 0 T 0 2 0
1
= 0
1 2
2 2 T 2 1 a n = ∫ f ( t ) cos nωo t dt = ∫ 1 cos nπt dt + ∫ 0 cos nπt dt = 0 0 42 1 4 T 0 2 1 4244 3 4 43 4 1 ↓ ↓ 0 1 1 sin πt n π 0 2 2 T 2 1 1 b n = ∫ f ( t ) sin nωo t dt = ∫ 1sin nπt dt + ∫ 0 sin nπt dt = − (cos nπ − 1) 0 4243 1 4 T 0 2 1 nπ 1 4244 3 ↓ ↓ 0 1 1 − cos n π t nπ 0
2 1 → untuk harga n ganjil n bn = 1 − (−1) = nπ nπ 0 → untuk harga n genap
[
]
Harga-harga a0, an dan bn yang telah diperoleh disubstitusikan ke persamaan umum deret fourier, maka deret Fourier dari bentuk gelombang diatas adalah :
f (t) =
1 2 2 2 + sin πt + sin 3 πt + sin 5 πt + ... 2 π 3π 5π
1 2 ∞ 1 f ( t ) = + ∑ sin nπt → dalam hal ini : n = 2k − 1 2 π k =1 n
untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa : 2
2
An = a n + {
bn {
↓
↓
0
φ n = − tan
bn = −1
= bn
2 → n ganjil = nπ 0 → n genap
2 → n ganjil nπ
b n − 90° → n genap = a n 0° → n ganjil
Telah diketahui didepan bahwa ω0 = π dan harga An dan φn untuk beberapa harga n maka hasilnya seperti pada tabel dibawah ini.
maka spektrum amplitudo :
2
π
φn 2
π
2π
3π
3π
2
4π
5π
5π
6π
ωo
π
2π
3π
4π
5π
6π
ωo
9.3 Kesimetrisan 9.3.1 Simetris Genap f(t) = f(-t) → untuk semua harga t
−
T 2
T 2
Gambar 9.3 Fungsi Genap
f(t) = - A → untuk harga t = T/2 maka : f (T / 2) = f (−T / 2) f(t) = - A → untuk harga t = −T/2
Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah : T/2
T/2
−T / 2
0
∫ f e (t )dt = 2 ∫ f e (t )dt
dimana notasi e pada fe(t) untuk melambangkan fungsi genap (even). didapat koefisien-koefisien Fourier-nya : 2 a0 = T 4 an = T
bn = 0
T/2
∫ f (t )dt 0
T/2
∫ f (t ) cos nω0 t dt 0
9.3.2 Simetris Ganjil f(-t) = -f(t) → untuk semua harga t
−
T 4
Gambar 9.4 Fungsi Ganjil T 4
T T maka : f (− ) = f ( ) T 4 4 f(t) = - A → untuk harga t = − 4
f(t) = A → untuk harga t =
T 4
Adapun bentuk umum fungsi ini adalah : T/2
∫ f o (t)dt = 0
−T / 2
dimana fo(t) hanya berupa simbol dari fungsi ganjil (Odd). Untuk fungsi ganjil ini harga-harga : A0 = 0 an = 0
4 bn = T
T/2
∫ f (t ) sin nω0 t dt 0
Setiap fungsi periodik f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil ∞
f (t) = a 0 +
∞
∑ a n sin nω0 t + ∑ b n sin nω0 t = f e (t ) + f o (t )
n =4 1 2444 1 4244 144 3 n1=4 3 ↓
↓
genap
ganjil
9.3.3 Simetris Gelombang Setengah Suatu fungsi dikatakan simetris gelombang setengah apabila :
f (t −
T ) = −f ( t ) → (ganjil) 2
Gambar 9.5 Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)
Koefisien Fourier nya :
T/2 0 T/2 1 1 a0 = f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt ∫ T −T / 2 T −T / 2 0
2 a n = ∫ f ( t ) cos nω0 t dt + T −T / 2 0
an =
[
2 1 − (−1) n T
]
→
1 a 0 = − T
∫ f (x ) dx + ∫ f (t ) dt = 0 0 0
T/2
T/2
∫ f (t ) cos nω0 t dt 0 4 T/2 T/2 f ( t ) cos nω0 t dt ...........untuk n ganjil ∫ f ( t ) cos n ω t dt = T 0 0 ∫ 0.........................................untuk n genap 0 T/2
4 T/2 f ( t ) sin nω0 t dt ...........untuk n ganjil bn = T ∫ 0 0.......... ...............................untuk n genap
Contoh : Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :
Jawab : Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana 2π 2π π , maka : periodenya T = 4 sehingga ω0 = = = T 4 2 bn =
4 T
T/2
∫ f (t ) sin nω0 t dt → 0
1
bn = −
1 2 4 π π b n = ∫ 1sin n t dt + ∫ 0 sin n t dt 4 0 2 2 1
2 nπt 2 nπ cos = 1 − cos nπ 2 0 nπ 2
→
2 ∞ 1 nπ nπ f ( t ) = ∑ 1 − cos sin π n =1 n 2 2
maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.
Contoh : Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :
Jawab : Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an dengan periode T = 4 dan ω 0 =
2 π 2π π . Maka : = = T 4 2
f(t) = 1 → -1 < t < 1 Maka : 4 bn = T
T/2
∫ f (t ) sin nω0 t dt → 0
nπ 4 nπ b n = 2 2 sin − cos 2 n π 2 n π 8
karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x pada fungsi genap, maka :
8 ( n −1) / 2 ( − 1 ) untuk n = ganjil = 1, 3, 5, ... 2 2 bn = n π 4 (−1) ( n + 2) / 2 untuk n = genap = 2, 4, 6, ... nπ sehingga :
∞
f ( t ) = ∑ b n sin n =1
nπ t 2
9.4 Pemakaian Pada Rangkaian Listrik Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi non-sinusoidal periodik ini diperlukan
pemakaian deret Fourier,
analisis fasor ac dan prinsip superposisi. Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya : 1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier. 2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi wawasan frekuensi. 3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier. 4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.
v0 v1 cos(1ω0 t + θ1 )
v 2 cos( 2ω0 t + θ 2 )
v n cos(nω0 t + θ n )
Gambar 9.6 a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodik b) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)
adapun pernyataan deret Fourier-nya : ∞
v( t ) = V0 + ∑ Vn cos (nω0 t + θ n ) n =1
v0
v1∠θ1
Gambar 9.7 a) Respons steady state komponen dc b) Respons steady state komponen ac (wawasan frekuensi)
v 2 ∠θ 2
∞
i( t ) = i 0 + ∑ In cos (nω0 t + Ψn ) n =1
v n ∠θ n
Contoh : Rangkaian seperti di bawah ini :
Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk :
1 2 ∞ 1 v s ( t ) = + ∑ sin nπt → n = 2k − 1 2 π k =1 n Carilah v0(t).
(*)
Jawab : V0 =
jω n L j2nπ Vs = Vs R + jω n L 5 + j2nπ
1 V0 j2nπ = → atau : V0 Vs 5 + j2nπ Vs
1 = ( j2nπ) 5 + j2nπ 1 1 1 1 1 1 = = j2nπ → atau : Vs = = (− j2) = (2∠ − 90°) Vs j2nπ nπ j2 nπ nπ
2 Vs = ∠ − 90° nπ
4∠ − tan V0 =
→
V0 =
j2nπ 2 ∠ − 90° 5 + j2nπ nπ
−1 2nπ
5
25 + 4n 2 π 2
dan dalam wawasan waktu : ∞
−1 2nπ V0 ( t ) = ∑ cos nπt − tan → untuk : n = 2k − 1 2 2 5 k =1 25 + 4n π 4
maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh : V0( t ) = 0,4981 cos (1πt − 51,49°) + 0,2051 cos (3πt − 75,14°) + 0,1257 cos (5πt − 80,96°) + ...Volt
dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :
V0
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
ω
9.5 Daya Rata-rata dan RMS Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu : ∞
v( t ) = Vdc +
∑ Vn
cos (nω0 t - θ n )
n =1 ∞
i( t ) = I dc +
∑ Vm
cos ( mω0 t - φ m )
m =1 =
sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :
1 T P = ∫ vi dt T 0
→
1 ∞ P = Vdc I dc + ∑ Vn I n cos (θ n - φ n ) 2 n =1
harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah : Frms =
1 T 2 f ( t ) dt ∫ 0 T
→
(
1 ∞ Frms = a 0 + ∑ a n 2 + b n 2 2 n =1 2
)
Contoh : Rangkaian seperti di bawah ini :
Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian bilamana : i( t ) = 2 + 10 cos( t + 10°) + 6 cos(3t + 35°) A
dan cari pula Vrms.
Jawab : Impedansi rangkaian :
Z=
10 1 10 j2ω = j2ω = 10 = 1 j20ω + 1 1 + j20ω 10 + j2ω j2ω
R.X C R + XC
maka : V = I.Z = I.
10 10.I = = 1 + j20ω 1 + j20ω
10.I 12 + (20ω) 2 ∠ tan −1
untuk komponen dc (ω = 0) :
→
I=2A
20ω 1
=
10.I 1 + 400ω 2 ∠ tan −1 20ω
10( 2)
V=
2
1 + 400(0) ∠ tan
−1
= 20 v 20(0)
untuk ω = 1 rad/det, maka : I = 10∠10° → dan V =
10(10∠10°) 1 + 400(1) 2 ∠ tan −1 20(1)
=
100∠10° = 5∠ − 77,14° 20∠87,14°
untuk ω = 3 rad/det, maka : I = 6∠35° → dan V =
10(6∠35°) 1 + 400(3) 2 ∠ tan −1 20(3)
=
60∠35° = 1∠ − 54,04° 60∠89,04°
sehingga dalam wawasan waktu : v( t ) = 20 + 5 cos( t − 77,14°) + 1 cos(3t − 54,04°) V
Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan : 1 ∞ P = Vdc I dc + ∑ Vn I n cos (θ n - φ n ) 2 n =1 1 1 P = 20(2) + (5)(10) cos [77,14° − ( −10°)] + (1)(6) cos [54,04° − (−35°)] 2 2
P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W cara lain : Vdc 2 1 ∞ Vn P= + ∑ R 2 n =1 R
2
20 2 1 5 2 1 12 = + + = 40 + 1,25 + 0,06 = 41,30 W 10 2 10 2 10
Contoh : Suatu tegangan diekspresikan dengan : v( t ) = 1 − 1,414 cos( t + 45°) + 0,8944 cos(2 t + 63,45°) − 0,6345 cos(3t + 71,56°) + − 0,4851 cos(4t + 78,7°) + ...
carilah harga rms dari tegangan ini.
Jawab : Dengan menggunakan : 1 ∞ Frms = a 0 + ∑ A n 2 2 n =1 2
maka : Vrms = 12 +
[
]
1 (−1,414) 2 + (0,8944) 2 + (−0,6345) 2 + (−0,4851) 2 = 1,649 V 2
9.6 Bentuk Eksponensial Deret Fourier ∞
∑ cne
f (t) =
→
jnω o t
n = −∞
1 T c n = ∫ f ( t ) e − jnω o t dt T 0
Untuk mendapatkan harga rms ∞
a n 2 + bn 2 Frms = a 0 + ∑ 2 n =1 2
Karena :
2
cn =
Maka :
a n + bn 2
2
c02 = a 02
dan ∞
Frms = c 0 + 2 ∑ c n 2
n =1
2
Contoh : Carilah bentuk eksponensial deret Fourier dari : f ( t ) = e t ; 0 < t < 2π dengan : f ( t + 2π) = f ( t )
Jawab :
Karena T = 2π → maka ω0 =
2π =1 T
maka :
1 T 1 2π t − jnt − jnω o t c n = ∫ f (t) e dt = e e dt ∫ 0 0 T 2π
[
]→
1 cn = e 2π e − j2πn − 1 2π(1 − jn ) cn =
[
→
e − j2πn = cos 2πn − j sin 2πn = 1 − j0 = 1
]
1 85,51 e 2π − 1 = 2π(1 − jn ) (1 − jn )
sehingga deret Fourier-nya :
2π
1 1 cn = e (1− jn ) t 2π 1 − jn 0
∞
f (t) =
85,51 jnt ∑ (1 − jn )e −∞
