BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA 2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a. y 2 x 2 5
b. y x 2 9
Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi A
B f Notasi: f : A →B
x
y = f(x) Daerah hasil
Daerah asal
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi: 2
f {( x, y ) / 2 x 5}
x
0
1
-1
2
-2
y
5
7
7
13
13
…
10 205
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. 1
Catatan: 1. Himpunan A, B є 2. Fungsi:
y = f(x) , x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x 3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) } y y = f(x) y Wf x
x
Df
Soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1
b. y = x2 - 1
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu a. b. c. d.
Secara verbal : Secara numerik : Secara visual : Secara aljabar :
dengan uraian kata-kata. dengan tabel dengan grafik dengan aturan/rumusan eksplisit 2
Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons)
Biaya B(w) (rupiah)
0
1.000
1< w ≤ 2
1.250
2
1.500
3
1.750
4
2.000
3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. B R u p i a h
2.000
1.500 1.000
w 0
1
2
3 Ons
4
5 3
4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 1.000, jika 0 w 1 1.250, jika 1 w 2 B ( w) 1.500, jika 2 w 3 1.750, jika 3 w 4 2.000, jika 4 w 5
2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = y Grafik: y = ax + b b x
2. Polinomial Bentuk umum: y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0 dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta, n = derajat polinom ( an 0) Daerah asal: Df =
4
Grafik: Polinom derajat 2: y
y = P(x) = ax2 + bx + c, D = b2 - 4ac
y = P(x)
y
y x
c
x
a < 0, D > 0
c
x
y = P(x)
c
y = P(x)
a < 0, D = 0
y
a < 0, D < 0
y
y
y = P(x)
y = P(x) c
c x
y = P(x)
c
x
a > 0, D > 0
x
a > 0, D = 0
a > 0, D < 0
Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1
b. y = -2x2 + 2x - 4
3. Fungsi pangkat Bentuk umum: y = f(x) = xn , Daerah asal: Df = Grafik: y
0
y=x x
y
0
nє
y
y = x2 x
0
y = x3 x 5
4. Fungsi akar Bentuk Umum: y f ( x) n x ,
n 2,3, 4,...
Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil y
Grafik:
y
y x 2
y3 x
x
0
0
x
Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. y
x 1
y x2 2x 2
b.
5. Fungsi kebalikan 1 y , Bentuk umum: x
x0
Daerah asal dan daerah hasil: Grafik:
Df = - {0}, Wf = - {0}
y y
0
1 x
x
6
6. Fungsi rasional Bentuk umum: Daerah asal:
y
P( x) Q( x) dimana: P, Q adalah polinom
Df = - { x | Q(x) = 0}
Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut x2 x 1 a. y b. y 2 x 1 x 1
7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. f ( x)
x 1 x 1
b. f ( x)
x 2 x2 1
( x 2) 3 x 1
Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.
7
8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] y Grafik: y = sin x
1
-2π
0
-π
π
2π
x
-1
8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y y = cos x
1
π
-π
-2π
0
2π
x
-1
8.3 Fungsi tangen sin x , cos x Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є } Daerah hasil: Wf =
Bentuk umum: y f ( x) tan x
x dalam radian
8
y
Grafik:
y = tan x 1
-2π
--π
0
π
2π
x
-1
8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum:
1 , x dalam radian cos x 1 b. y f ( x) cosec x , x dalam radian sin x 1 c. y f ( x) cot x , x dalam radian tan x a. y f ( x) sec x
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1≤ sin x ≤ 1
b. -1 ≤ cos x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π)
d. cos x = cos (x + 2 π)
e. tan x = tan (x + π) 9
9. Fungsi eksponensial Bentuk umum: y = f(x) = ax,
a>0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0, Grafik:
y
)
y
y = ax , a > 1
y = ax , 0 < a < 1
1
1 x
0
0
1
x 1
10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f(x) = loga x,
a>0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, Grafik:
), Wf =
y y = loga x 1 0
1
x
10
11. Fungsi transenden Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
1. f ( x) 4 x 1
2. f ( x) tan 2 x x6 4. f ( x) x6
3. f ( x) 10 x 5. f ( x) log10 x 7. f ( x) 2t 5 t 2
x2 6. f ( x) x x2 log10 x 8. f ( x) x10 2 x x2
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function) Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. y
Contoh: x 1. f ( x) | x | x
x0 x0
y = |x| 1 x -1 0
1 11
x 2. f ( x) 2 x 0
y
0 x 1 1 x 2
y = f(x)
x2
x 0
1
2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. y 0 x 1 y = f(x) 0 3 1 1 x 2 2 f(x) = x 2 x3 1 2 = 3 3 x 4 x 0
1
2
3
4
Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y
f(x)
-x
y = f(x) x
x
Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
12
Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y y = f(x)
f(x) -x x
x
-f(x)
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x4 c. f(x) = x2 + cos x
b. f(x) = x + sin x d. f(x) = 2x - x2
14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
y
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. y y = f(x)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2) x1
x2
Fungsi f naik
x
y = f(x)
x1
x2
Fungsi f turun
x 13
Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. I = [0, ) I = [ , 2]
a. f(x) = x2 b. f(x) = sin x
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: 1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas y = f(x) + c
y
y = f(x+c)
y = f(x)
y = f(x-c)
c
c
c c
y = f(x) - c
x
14
2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c. y
y y = 2 cos x
2
2
y = cos x 1
y = cos x
y = ½ cos x
1 y = cos 2x
0
π
2π
x
0
-1
-1
-2
-2
π
x
2π
y = cos ½ x
15
c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y y
y y = f(x)
y = f(x)
y = f(-x) f(x)
f(x)
x
x
-x
x
x
y = -f(x) -f(x)
Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f(x)= |x-1| 3. f(x)= sin 2x
2. f(x) = x2+2x+1 4. f(x) = 1 - cos x
16
OPERASI FUNGSI ALJABAR Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Df+g = Df
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Df-g = Df
Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x)
Dfg = Df
Dg.
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Df/g = {Df
Dg.
Dg.} – {x | g(x)= 0}
Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika 1. f ( x) x 2
g ( x) x
2. f ( x ) 1 x
g ( x) 1 x
Komposisi fungsi Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: (f o g)(x) = f(g(x)) di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df } 17
Dg a x
g
Wg Df
f
Wf
g(a) g(x)
f(g(x))
f°g
Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
1. f ( x) x 2 1 2. f ( x) x
g ( x) x g ( x) x 1
18
