NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA Programa
* Primeira semana: - Vetores e escalares; - Produto escalar e produto vetorial; - Diferenciação de vetores; - Gradiente, divergente e rotacional; - Integração de vetores; - Teorema da divergência de Gauss; - Coordenadas curvilíneas; - Espaços vetoriais; - Transformações lineares PROVA SOBRE O CONTEÚDO DA PRIMEIRA SEMANA 1
NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA * Segunda semana:
Programa
- Matrizes; - Sistemas de equações lineares; - Equações diferenciais ordinárias PROVA SOBRE O CONTEÚDO DA SEGUNDA SEMANA
2
NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS * Conteúdo da primeira semana: 1. Spiegel, M., Análise Vetorial, Coleção Schaum, McGrawHill, 1972. 2. Kreyszig, E., Matemática Superior para Engenharia, LTC, vol. 1, 9ª edição, 2009. * Conteúdo da primeira semana: 1. Kreyszig, E., Matemática Superior para Engenharia, LTC,
3
VETORES E ESCALARES Em Física e Geometria, assim como em suas aplicações em engenharia, usamos dois tipos de quantidades: vetores e escalares. Vetor é uma grandeza que tem módulo, ou valor absoluto, direção e sentido: deslocamento, velocidade, força e aceleração. Um vetor de comprimento 1 é chamado vetor unitário. Representação: módulo: |PQ| ou |a|
4
VETORES E ESCALARES Escalar é uma grandeza que não tem direção, nem sentido: massa, comprimento, tempo, temperatura e qualquer número real. Quando multiplicamos os vetores por um mesmo número, isso resultará uma mudança de “escala” da geometria. Daí que, em análise vetorial, os números são geralmente chamados de “escalares”. Portanto, se h é um número e a um vetor, define-se a expressão ha como sendo um vetor cujo comprimento é |h| vezes o comprimento de a e que terá o mesmo sentido de a se h for positivo e será oposto se h for negativo.
5
VETORES E ESCALARES Definição: Dois vetores são iguais se têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido, embora não tenham a mesma origem.
6
VETORES E ESCALARES * Componentes de um vetor Escolhamos um sistema de coordenadas cartesianas xyz no espaço, como mostrado na figura abaixo.
7
VETORES E ESCALARES Consideremos que a seja um dado vetor com ponto inicial P: (x1,y1, z1) e um ponto terminal Q:(x2, y2, z2).
Então, as 3 diferenças de coordenadas serão dadas por: Que são chamadas de componentes do vetor a com relação a esse sistema de coordenadas, e pode-se representá-las simplesmente por a = [a1, a2, a3] 8
VETORES E ESCALARES O comprimento |a| de a pode agora ser expresso em termos de seus componentes, partindo do teorema de Pitágoras:
Exercício 1: O vetor a tem como ponto inicial P:(4,0,2) e como ponto terminal Q:(6,-1,2). Ache seu módulo.
9
VETORES E ESCALARES Dado um sistema de coordenadas cartesianas, o vetor posição r de um ponto A:(x, y, z) é o vetor que tem como ponto inicial a origem (0, 0, 0) e que tem como ponto final o ponto A. Portanto, r = [x, y, z].
10
VETORES E ESCALARES Teorema 1: Dado um sistema fixo de coordenadas cartesianas, cada vetor é determinado de forma única por seu trio ordenado de componentes correspondentes. De modo inverso, cada trio ordenado de números reais (a1, a2, a3) corresponde exatamente um vetor a = [a1, a2, a3], com (0, 0, 0) correspondendo ao vetor nulo 0, que possui módulo zero e não tem direção. Logo, uma equação vetorial a = b equivale a 3 equações a1=b1, a2=b2 e a3=b3, para as componentes.
11
VETORES E ESCALARES * Adição de vetores, multiplicação escalar - Adição de vetores : A soma a + b de dois vetores a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3] é obtida pela adição das componentes correspondentes:
12
VETORES E ESCALARES No caso de forças, essa adição é a regra do paralelogramo, pela qual obtemos a resultante de duas forças em mecânica.
13
VETORES E ESCALARES - Propriedades básicas da adição vetorial : A adição de vetores obedece às seguintes leis:
Comutatividade Associatividade
14
VETORES E ESCALARES - Multiplicação escalar : O produto ca de um vetor a = [a1, a2, a3] e um escalar c qualquer (número real c) é o vetor obtido multiplicando-se cada componente de a por c
Geometricamente, se a ≠ 0, então ca, com c > 0 tem a direção de a e com c < 0 tem a direção oposta. Em ambos os casos, o módulo de ca é |ca|, e ca = 0, se a = 0, ou c = 0, ou ambos. 15
VETORES E ESCALARES - Propriedades básicas da multiplicação escalar
- Vetores Unitários i, j, k: Além de a = [a1, a2, a3], outra maneira usual de escrever vetores é:
Onde: 16
VETORES E ESCALARES - Notação ijk para vetores: considerando a = [4, 0, 1] e b = [2, -5, ⅓], podemos representar esses vetores como sendo: a = 4i + k e b = 2i - 5j + ⅓k Todos os vetores a = [a1, a2, a3] = a1i + a2j + a3k formam o espaço vetorial R3. R3 tem dimensão 3. O trio de vetores i, j, k é chamado de base canônica de R3.
17
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Produto escalar ou produto interno O produto escalar a.b (lê-se “a escalar b”) de dois vetores a e b é o produto de seus módulos vezes o cosseno do ângulo entre eles.
O ângulo ɤ, com 0 ≦ ɤ ≦ π, entre a e b é medido quando os pontos iniciais dos vetores coincidem.
18
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL Em componentes, a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3]
* Ortogonalidade: Como o cosseno pode ser positivo, negativo ou nulo, o mesmo pode ocorrer com o produto escalar. Um vetor a é chamado de ortogonal ao vetor b se a.b = 0. Então b é também ortogonal a a e dizemos a e b são vetores ortogonais.
19
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL Teorema 2: O produto escalar de dois vetores não-nulos é 0 se e somente se esses vetores são perpendiculares. * Comprimento e ângulo: quando b = a, então a.b 2 fornece a.a = |a| . Logo, Daí que para o ângulo γ entre 2 vetores não-nulos, resulta em:
20
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Propriedades do produto escalar: considerando quaisquer vetores a, b e c e escalares q1 e q2:
21
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL A multiplicação escalar é comutativa e é distributiva com relação à adição vetorial: Distributividade
Além disso, quando|cos γ| ⩽ 1, temos que: Desigualdade de CauchySchwarz
E também:
Desigualdade triangular
Um cálculo direto com produtos internos mostra que:
22
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Aplicações do produto escalar: - Trabalho realizado por uma força:
23
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Aplicações do produto escalar: - Componente de uma força em uma dada direção: pode-se usar o conceito de componente ou projeção de um vetor a na direção de um vetor b (⧧ 0), definida por: Portanto, p é o comprimento da projeção ortogonal de a sobre uma linha reta l, paralela a b:
24
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL Se multiplicarmos p por |b|/|b| = 1, temos a.b no numerador:
Pode-se representar a projeção p de a na direção b e a projeção q = |b|.cos ɣ de b na direção a.
25
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Produto vetorial ou produto cruzado O produto escalar resulta em um escalar, por outro lado, há aplicações onde precisamos de um produto que resulte novamente em um vetor (Ex: estudos relacionados a rotações). Definição: O produto vetorial a x b (lê-se “a vetorial b”) de dois vetores a e b é o vetor v = a x b. Se a e b têm direções iguais ou opostas, ou se a = 0, ou b = 0, então v = a x b = 0. Em qualquer outro caso, v tem o módulo: |v| = |a x b| = |a||b|.senɣ.
26
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL Considerando os vetores a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3], então v = [v1, v2, v3] = a x b, tem as componentes:
27
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL Sabendo-se que v = [v1, v2, v3] = v1i+v2j+v3k, podemos ver que ela é a expansão do seguinte determinante simbólico pela sua primeira linha.
Os produtos vetoriais das bases canônicas são os seguintes:
28
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Propriedades gerais do produto vetorial: a) Para todo escalar l, b) A multiplicação cruzada é distributiva em relação à adição vetorial:
c) A multiplicação cruzada não é comutativa: d) A multiplicação cruzada não é associativa:
29
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Aplicações do produto vetorial: - Momento de uma força: o momento m de uma força p em relação a um ponto Q é definido como o produto m = |p|d, onde d é a distância entre Q e a linha de ação L de p. Se r é o vetor de Q até um ponto A qualquer sobre L, então: d = |r|.senɣ. Como ɣ é o ângulo entre r e p, vemos que m = |r x p|. O vetor m = r x p é chamado vetor momento, ou vetor momento de p.
30
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL * Produto escalar triplo O produto misto triplo de três vetores a, b, c é representado por (a b c) e definido por:
Em termos das componentes a = [a1, a2, a3], b = [b1, b2, b3] e c = [c1, c2, c3], podemos escrevê-lo como um determinante de terceira ordem. Para isso, fazemos b x c = v = [v1, v2, v3]
31
PRODUTO ESCALAR E VETORIAL
* Propriedades e aplicações do produto escalar triplo a) Na representação do produto escalar triplo, o ponto e a cruz podem ter suas posições invertidas:
b) Interpretação geométrica: o valor absoluto (a b c) é o volume do paralelepípedo que tem a, b, c como os vetores das bordas.
c) Independência linear: 3 vetores R3 são linearmente independentes se e somente se seu produto escalar triplo é 0 32
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES
* Convergência Dizemos que uma sequência infinita de vetores a(n), n = 1, 2,..., é convergente se existir um vetor a tal que: a é chamado vetor-limite dessa sequência e escrevemos: Similarmente, dizemos que uma função vetorial v(t) de uma variável real t possui o limite l à medida que l se aproxima de t0, se v(t) for definida em alguma vizinhança de t0 e se
Então:
33
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES
* Continuidade Dizemos que uma função vetorial é contínua em t = t0 se ela é definida em alguma vizinhança de t0 e se Se introduzirmos um sistema de coordenadas cartesianas, podemos escrever
Então, v(t) é contínua em t0 se e somente se suas três componentes são contínuas em t0.
34
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES Definição: Derivada de uma função vetorial: Dizemos que uma função vetorial v(t) é derivável num ponto t se o seguinte limite existe: Esse vetor v’(t) é chamado de derivada de v(t).
35
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES Em componentes, para um sistema de coordenadas cartesianas Logo, a derivada v’(t) é obtida derivando-se cada componente separadamente. As regras de derivação convencionais continuam a valer para a derivação das funções vetoriais: c = constante
36
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES
* Derivadas parciais de uma função vetorial Suponha que as componentes de uma função vetorial
sejam funções deriváveis de n variáveis t1,...,tn. Então, a derivada parcial de v em relação a tm é representada por ∂v/∂tm e é definida como a função vetorial
De forma similar, as derivadas parciais segundas são
E assim por diante.
37
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES * Curvas em mecânica. Velocidade. Aceleração Uma curva C pode ser representada por uma representação paramétrica r(t), tendo o tempo t como parâmetro. O vetor tangente a C é chamado de vetor velocidade v, uma vez que sendo tangente, seus pontos na direção instantânea do movimento e seu comprimento fornecem a velocidade escalar |v| = |r’| = (r’.r’)½ = ds/dt. A derivada de r(t) é chamada de vetor aceleração, sendo representada por a. Seu módulo |a| é chamado de aceleração do movimento.
38
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES * Aceleração tangencial e normal Enquanto o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória do movimento, o vetor aceleração, em geral, terá outra direção, assumindo a forma:
Onde o vetor aceleração tangencial atan é tangente à trajetória, e o vetor aceleração normal anorm é perpendicular à trajetória. Usando a regra da cadeia, teremos: Onde u(s) é o vetor tangente unitário. Outra derivação fornece:
39
DIFERENCIAÇÃO DE VETORES Como u(s) tem módulo constante, sua derivada du/ds é perpendicular a u(s). Logo, o primeiro termo à direita é o vetor aceleração normal e o segundo o vetor aceleração tangencial. O módulo de atan é dado por |atan| = a.v|v|. Logo, atan é essa expressão multiplicada pelo vetor unitário (1/|v|)v na direção de v:
além disso
40
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL Definição: O gradiente de uma dada função escalar f(x, y, z) é representado por grad f ou ∇f (lê-se nabla f), sendo a função vetorial definida por:
41
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL * Derivada direcional Quando desejamos encontrar uma taxa de alteração de f numa direção arbitrária no espaço, temos que a derivada direcional Dbf, ou df/ds da função f(x, y, z) num ponto P, na direção de um vetor b é definida por:
Aqui Q é um ponto variável sobre a reta L na direção de b, e |s| é a distância entre P e Q.
42
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL
Em coordenadas cartesianas: Usando o conceito de derivada direcional e a regra da cadeia:
Onde as aspas representam as derivadas em relação a s.
43
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL
Derivando o vetor r, teremos r’ = x’i + y’j + z’k = b. Logo, podemos representar Dbf como sendo o produto escalar de grad f e b.
44
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL * Divergente A partir de um campo escalar, podemos obter um campo vetorial usando o gradiente. De maneira inversa, a partir de um campo vetorial, podemos obter um campo escalar usando o divergente. Consideremos que v (x, y, z) seja uma função vetorial derivável, onde x, y, z são coordenadas cartesianas, e chamemos de v1, v2 v3 as componentes de v. Então, a função
é chamada de divergente de v, ou de divergência de um campo vetorial definido por v.
45
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL Outra notação comum para o divergente é:
Observe que ∇.v refere-se ao escalar div v, ao passo que ∇f se refere ao vetor grad f.
46
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL Teorema 3: Invariância da divergência: o divergente div v é uma função escalar, isto é, seus valores dependem somente dos pontos no espaço. Porém, não da escolha das coordenadas, de modo que, em relação a outro sistema de coordenadas cartesianas x*, y*, z* e às correspondentes de v
47
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL Consideremos que f (x, y, z) seja uma função escalar duas vezes derivável. Então seu gradiente existe,
e podemos fazer mais uma derivação, com a primeira componente em relação a x, a segunda com relação a y e a terceira com relação a z, para formarmos o divergente,
logo, obtemos o resultado fundamental de que o divergente do gradiente é o laplaciano (∇2f é chamado de laplaciano de f)
48
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL Consideremos que v (x, y, z) = [v1, v2, v3] = v1i+v2j+v3k seja uma função vetorial derivável de coordenadas cartesianas x, y, z. Então, o rotacional da função vetorial v ou do campo vetorial dado por v é definido pelo determinante “simbólico”
49
GRADIENTE. DIVERGENTE.ROTACIONAL Teorema 4: Corpo girante e rotacional: o rotacional do campo de velocidades de um corpo rígido em rotação tem a direção do eixo de rotação, e seu módulo é igual ao dobro da velocidade angular da rotação.
Teorema 5: Os campo de gradiente são irrotacionais. Isto é, se uma função vetorial continuamente derivável for o gradiente de uma função escalar f, então seu rotacional é o vetor nulo.
Além disso, se o divergente do rotacional de uma função vetorial duas vezes continuamente derivável v for zero, então
50
INTEGRAÇÃO DE VETORES
* Integral de linha Numa integral de linha integramos uma dada função ao longo de uma curva C no espaço (ou no plano). Logo, uma integral de curva seria um nome mais apropriado, embora integral de linha seja o nome padrão.
51
INTEGRAÇÃO DE VETORES Representamos parametricamente a curva C
Dizemos que a curva C é o caminho de integração, A:r(a) é seu ponto inicial e B:r(b) seu ponto final. A direção em que t aumenta é chamada de direção positiva em C e pode ser indicada por uma seta. Quando os pontos A e B são coincidentes, dizemos que C é um caminho fechado. 52
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Definição e cálculo das integrais de linha Uma integral de linha de uma função vetorial F(r) sobre uma curva C:r(t) é definida por: r’ = dr/dt
Em termos de componentes, com dr = [dx, dy, dz] e ‘ = d/dt, teremos:
Se o caminho de integração C for uma curva fechada, escrevemos:
53
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Propriedades gerais simples de uma integral de linha k = cte
54
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Independência do caminho das integrais de linha: São três os teoremas para os quais a independência do caminho na integral acima ocorre em um domínio D: Teorema 1: F = grad f Teorema 2: A integração ao longo de curvas fechadas em C e D sempre fornece o resultado 0 Teorema 3: Rot F = 0, desde que D seja simplesmente conectado
55
INTEGRAÇÃO DE VETORES Teorema 6: Uma integral de linha com F1, F2, F3 contínuas num
domínio D no espaço é independente do caminho em D se e somente se F = [F1, F2, F3] for gradiente de alguma função f em D F = grad f,
logo,
F1 = ∂f/∂x, F2 = ∂f/∂y, F3 = ∂f/∂z
Teorema 7: Num domínio D, a integral independe do caminho se e somente se seu valor ao longo de cada caminho fechado em D for nulo.
56
INTEGRAÇÃO DE VETORES Teorema 8: Num domínio D no espaço, a integral de linha independe do caminho se e somente se a forma diferencial
tiver funções de coeficientes contínuos F1, F2, F3 e se for exata em D. Dizemos que um domínio D é simplesmente conectado se cada curva fechada em D puder ser continuamente diminuída a um ponto qualquer em D sem deixar D. Ex: o interior de uma esfera com um número finito de pontos dela retirados é o caso de domínio simplesmente conectado, o que não ocorre no interior de um toro (como uma rosquinha).
57
INTEGRAÇÃO DE VETORES Teorema 8: Critério de exatidão e independência do caminho: Na integral de linha, consideremos que F1, F2, F3
sejam contínuas e tenham derivadas parciais primeiras contínuas num domínio D no espaço. Logo: a) Se a forma diferencial anterior é exata em D, então em D, rot F = 0; em componentes: se a afirmação rot F = 0 se verifica em D e se D é simplesmente conectado, então é exata em D e, portanto, independente do caminho. 58
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Integrais duplas Vamos subdividir uma região R traçando retas paralelas aos eixos x e y como na figura abaixo:
Numeramos de 1 a n os retângulos que estejam inteiramente dentro de R. Em cada um desses retângulos escolhemos um ponto, digamos (xk, yk) no k-ésimo retângulo, cuja área chamaremos de ∆Ak. Então obtemos a soma:
59
INTEGRAÇÃO DE VETORES Supondo que f(x, y) seja contínua em R e que R tenha um contorno formado por número finito de curvas suaves, esta sequência converge e seu limite independe da escolha das subdivisões e de seus pontos correspondentes (xk, yk). Este limite é chamado de integral dupla de f(x, y) sobre a região R e é representado por:
60
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Propriedades das integrais duplas: Quaisquer funções f e g de (x, y), definidas e contínuas numa região R têm as seguintes propriedades: k = cte
61
INTEGRAÇÃO DE VETORES Se R é simplesmente conectada, então existe pelo menos um ponto (x0, y0) em R tal que tenhamos:
Onde A é a área de R. Este é o chamado teorema do valor médio para as integrais duplas
62
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Cálculo do valor de uma integral dupla por duas integrações sucessivas É possível calcular o valor de uma integral dupla numa região R por meio de duas integrações sucessivas
Aqui, y = g(x) e y = h(y) representam a curva do contorno de R e, mantendo x constante, integramos f(x,y) ao longo de y de g(x) até h(x). O resultado é uma função de x, que integramos de x = a até x = b.
63
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Superfícies para integrais de superfície Para as superfícies S nas integrais de superfície, será mais prático usar uma representação paramétrica. As superfícies são bidimensionais. Logo, precisamos de dois parâmetros, que chamaremos de u e v. Portanto, uma representação paramétrica de uma superfície S no espaço é da forma onde o ponto (u, v) varia em alguma região R do plano uv.
64
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Representação paramétrica de um cilindro: O cilindro circular x2+y2 = a2, -1≤ z ≤ 1 tem raio a, altura 2 e o eixo z como eixo. Uma representação paramétrica é
Os parâmetros u, v variam no retângulo R: 0≤ u ≤2π, -1≤ v ≤1 no plano uv.
65
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Representação paramétrica de uma esfera: Uma esfera x2+y2+z2 = a2 pode ser representada na forma:
Os parâmetros u, v variam no retângulo R no plano uv dado pelas desigualdades 0≤ u ≤2π, -π/2≤ v ≤π/2.
66
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Representação paramétrica de um cone: Um cone circular z = (x2+y2)½, 0 ≤ t ≤ H pode ser representada na forma:
Os parâmetros variam no retângulo R: 0 ≤ u ≤ H, 0 ≤ v ≤ 2π.
67
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Integrais de superfície Consideremos uma superfície S, dada por uma representação paramétrica na qual, (u, v) varia sobre uma região R no plano uv. Suponhamos que S seja suave por intervalos, de modo que S tenha um vetor normal N = ru x rv e um vetor normal unitário n =N(1/|N|) Para uma dada função vetorial F, podemos definir a integral de superfície sobre S por
68
INTEGRAÇÃO DE VETORES Podemos escrever a equação acima em componentes, usando F = [F1, F2, F3], N = [N1, N2, N3] e n = [cos α, cos β, cosγ]. Onde α, β e γ são os ângulos entre n e o eixo coordenado. Obtemos:
Podemos escrever cosαdA = dydz, cosβdA = dzdx, cosγdA = dxdy. Logo, teremos a seguinte integral de fluxo
69
INTEGRAÇÃO DE VETORES * Integrais de superfície sem observar a orientação: Outro tipo de integral de superfície é:
Aqui, dA = |N| dudv = |ru x rv|dudv é o elemento de área da superfície S desconsiderada a orientação.
70
INTEGRAÇÃO DE VETORES Se R é simplesmente conectada e G(r) é contínua num domínio contendo R, então existe um ponto (u0, v0) em R tal que:
Se G = 1, então teremos a área A(S) de S a partir de:
71
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA DE GAUSS * Integrais triplas: Uma integral tripla é uma integral de uma função f(x, y, z)calculada sobre uma região tridimensional limitada e fechada T no espaço. Subdividimos T em planos paralelos aos planos coordenados. Então, consideramos as caixas resultantes dessa subdivisão e que estejam inteiramente situadas no interior de T, numerando-as de 1 a n. Em cada caixa escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk) na caixa k. Chamando o volume da caixa k de ΔVk. Efetuando a soma:
72
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA DE GAUSS Pode-se mostrar que a somatório converge para um limite que é independente da escolha das subdivisões e dos pontos (xk, yk, zk) correspondentes. Esse limite é chamado de integral tripla de f(xk, yk, zk)sobre a região T e é representado por:
Assim como nas integrais duplas, pode-se calcular o valor das integrais triplas fazendo-se 3 integrações sucessivas.
73
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA DE GAUSS * Teorema da divergência de Gauss: É possível transformar as integrais triplas em integrais de superfície sobre a superfície de contorno de uma região no espaço e vice-versa. A transformação é realizada pelo teorema da divergência, que envolve o divergente de uma função vetorial F = [F1, F2, F3] = F1i+F2j+F3k
74
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA DE GAUSS Teorema 9: Consideremos que T seja uma região fechada e limitada no espaço, cujo contorno seja uma superfície suave por intervalos e orientável S. Consideremos também que F(x, y, z) seja uma função vetorial contínua e com derivadas parciais primeiras contínuas em algum domínio contendo T. Então:
Em componentes de F = [F1, F2, F3] e de um vetor normal unitário exterior n = [cosα, cosβ, cosγ] de S, a integral acima torna-se:
75
COORDENADAS CURVILÍNEAS Chamemos as coordenadas cartesianas x = x1, y = x2 e z = x3. Denotamos as coordenadas curvilíneas por q1, q2 e q3. Por cada ponto P passam 3 superfícies coordenadas q1 = const., q2 = const., q3 = const. Elas cruzam-se ao longo das curvas coordenadas. Assumimos as 3 curvas coordenadas através do ponto P como ortogonais. Assim, x1 = x1(q1, q2,q3), x2 = x2(q1, q2,q3), x3 = x3(q1, q2,q3)
76
COORDENADAS CURVILÍNEAS - Gradiente: grad f = ∇f = [fx1, fx2, fx3]. No sistema q, com u, v, w denotando vetores unitários na direção positiva q1, q2, q3, as curvas coordenadas serão:
Coord. cilíndricas Coord. esféricas
77
COORDENADAS CURVILÍNEAS - Divergente: div F = ∇.F = (F1)x1 + (F2)x2 + (F3)x3
Coord. cilíndricas Coord. esféricas
78
COORDENADAS CURVILÍNEAS - Rotacional:
Para coordenada cilíndricas, teremos na fórmula acima: h1 = hr = 1, h2 = hθ = q1 = r, h3 = hz = 1 Para coordenadas esféricas, teremos: h1 = hr = 1, h2 = hθ = q1senq3 = r senø, h3 = hø = q1 = r
79
ESPAÇOS VETORIAIS Um espaço vetorial é um conjunto V (não-vazio) de vetores, tal que, com quaisquer 2 vetores a e b em V, todas as suas combinações lineares αa = βb (α e β sendo quaisquer números reais) são elementos de V. O número máximo de vetores linearmente independentes em V é chamado de uma base de V. Logo, o número de vetores de uma base de V é igual a sua dim V. O conjunto de todas as combinações lineares de vetores dados a(1),... a(p) com o mesmo número de componentes é chamado de subespaço desses vetores.
80
ESPAÇOS VETORIAIS Um espaço vetorial é um conjunto V (não-vazio) de vetores, tal que, com quaisquer 2 vetores a e b em V, todas as suas combinações lineares αa = βb (α e β sendo quaisquer números reais) são elementos de V. O número máximo de vetores linearmente independentes em V é chamado de uma base de V. Logo, o número de vetores de uma base de V é igual a sua dim V. O conjunto de todas as combinações lineares de vetores dados a(1),... a(p) com o mesmo número de componentes é chamado de subespaço desses vetores.
81
ESPAÇOS VETORIAIS Teorema 9: O espaço vetorial Rn consistindo em todos os
vetores com n componentes (n números reais) possui dimensão n.
Teorema 10: Espaço-linha e Espaço-coluna: O espaço-linha e o espaço-coluna de uma matriz A têm a mesma dimensão, que é igual ao rank de A.
Definição: O rank de uma matriz A é o número máximo de vetores-linha linearmente independentes de A e é chamado de rank A.
82
ESPAÇOS VETORIAIS Para uma dada matriz A, o conjunto-solução de um sistema homogêneo Ax = 0 é um espaço vetorial chamando de espaço nulo de A e sua dimensão é chamada de nulidade de A. rank A + nulidade de A = número de colunas de A
83
ESPAÇOS VETORIAIS - Espaços de produto interno: Se a e b são vetores Rn, vistos como vetores-coluna, podemos formar o protudo aTb, o qual é uma matriz 1 x 1, que podemos identificar com o seu único elemento, ou seja, com um número. Esse produto é chamado de produto interno, ou produto escalar de a e b.
Obs: vetores cujo produto interno é nulo são chamados de ortogonais. O comprimento ou norma de um vetor em V é definido por: ||a|| = (a, a)½, (≧ 0). O vetor de norma 1 é chamado de vetor unitário. 84
TRANSFORMAÇÕES LINEARES Consideremos que X e Y sejam espaços vetoriais quaisquer. A cada vetor x em X, atribuímos um único vetor y em Y. Então, dizemos que há um mapeamento de X em Y. Vamos simbolizar este mapeamento por F. O vetor y de Y que está relacionado ao vetor de x de X é chamado de imagem de x sob F e é simbolizado por F(x). Dizemos que F é um mapeamento linear, ou uma transformação linear se, para todos os vetores v e x de X e os escalares c. F(v + x) = F(v) + F(x) F(cx) = cF(x)
85
TRANSFORMAÇÕES LINEARES - Transformação linear do espaço Rn no espaço Rn: Consideremos X = Rn e Y = Rm. Então, qualquer matriz real m x n A = [ajk] fornece uma transformação de Rn em Rm. y = Ax Como A(u + x) = Au + Ax e A(cx), essa transformação é linear. Inversamente, cada transformação linear F de Rn em Rm pode ser dada em termos de uma matriz A mxn
86
TRANSFORMAÇÕES LINEARES Consideremos que e(1), ..., e(n) seja uma base qualquer de Rn. Então, todo x em Rn tem uma representação única x = x1e(1) + ... + xne(n) Como F é linear, essa imagem implica para a imagem F(x) que F(x) = F(x1e(1) + ... + xne(n)) = x1F(e(1))+ ... + xnF(e(n)) Portanto, F é unicamente determinada pelas imagens dos vetores de uma base de Rn. Escolhemos para Rn a base-padrão
87
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Onde e(j) tem sua j-ésima componente igual a 1 e todas as outras iguais a zero. Podemos determinar uma matriz m x n A = [ajk] tal que, para cada x em Rn e sua imagem y = F(x) em Rm. y = F(x) = Ax
88
TRANSFORMAÇÕES LINEARES De fato, da imagem y = F(e(1)) de e(1), obtemos
da qual podemos determinar a primeira coluna de A, a saber a11 = y1, a21 = y2, am1 = ym.
89
TRANSFORMAÇÕES LINEARES No espaço euclidiano tridimensional E3, a base-padrão é usualmente escrita como e(1) = i, e(2) = j, e(3) = k. Portanto,
Estes são os 3 vetores unitários nas direções dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas no espaço.
90
