Oleh: Hanung N. Prasetyo DISTRIBUSI NORMAL

STATISTICS WEEK 6

Oleh : Hanung N. Prasetyo

DISTRIBUSI NORMAL TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Pengantar: Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi kontinyu

yang

sangat

penting

di

bidang

statistika.

diantaranya distribusi normal. Distribusi ini sangat berperan pada statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis, pengujian panjang umur (life testing) dan sebagainya

TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: 1.

Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi Probabilitas Kontinu secara benar.

2.

Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan dengan distribusi normal

3.

Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.


Daftar Isi Materi: •

Distribusi Normal

•

Distribusi Normal Baku

•

Luas Daerah dibawah Kurva Normal


Perhatikan grafik Histogram dan Poligon berikut f(X)

Histogram Poligon Kurva

X TELKOM POLTECH/HANUNG NP

6.1 Distribusi Normal Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (17771855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter

µ (mean) dan σ (simpangan baku) dinyatakan n(x; µ,σ ) Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3 melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda. TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Distribusi Normal • Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Disebut pula dengan distribusi Gauss (Gaussian distribution). • Fungsi densitas dari variabel random X dengan mean µ dan variansi σ2 adalah:

1 − (1 / 2 ) [( x − µ ) / σ, ]2 −∞ < x <∞ n( x; µ , σ ) = e 2π σ


0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

dnorm(x)

σ

-4

-2

0

µ

2

x

Gambar 6.1 Kurva normal


4

0.3

µ1 ≠ µ2 0.2

σ12 = σ 22 = 1

0.0

0.1

dnorm(x, 5, 1)

0.4

0.5

Distribusi Normal

0

2

4

6

8

10

x

Gambar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama


1.5

Distribusi Normal

1.0

µ2 = 0,σ 22 = 0.5 0.5

dnorm(x, 0, 0.25)

µ1 = 0,σ12 = 0.25

µ3 = 0,σ 32 = 0.75

0.0

µ4 = 0,σ 42 = 1 -4

-2

0

2

4

x

Gambar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama TELKOM POLTECH/HANUNG NP

0.8 0.4

µ2 = −2,σ 2 = 1

0.0

0.2

dnorm(x, 1, 0.5)

0.6

µ1 = 1,σ1 = 0.5

-6

-4

-2

0

2

4

x

Gambar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Karakteristik Distribusi Normal • Data merupakan data kontinu (interval atau rasio) • Sebaran bersifat simetris dengan modus tunggal (unimodal) • Mean=median=modus • Batas nilai memungkinkan untuk seluruh bilangan riil tak terbatas kekiri maupun kekanan • Secara umum karakteristik ditentukan oleh dua parameter yaitu mean dan standar deviasi TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Perhitungan Probabilitas pada Distribusi Normal x2

• P(x1 < X < x2) = =

∫x n (x ; µ , σ )

dx

1

1 2π σ

x2

∫x

e

− (1 / 2 ) [( x − µ ) / σ ]

2

dx

1

• Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku x −µ z= σ TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Sifat Distribusi Normal • • • •

Grafik simetri terhadap sumbu tegak x (=μ) Grafik selalu berada diatas sumbu X (f(X)>0) Mempunyai satu nilai Modus Grafik mendekati sumbu X (tidak akan memotong sumbu X) • Luas dibawah kurva f(X) dan diatas sumbu X sama dengan satu ( P(- ∞ < x < ∞ ) = 1 )


Kurva Normal Kurva normal yang dibentuk oleh normal, memiliki bentuk lonceng simetris dan lebih lanjut memiliki properti sebagai berikut: 1.memiliki modus, median, dan mean pada satu titik 2.kurva berbentuk simetri terhadap sumbu vertikal yang melewati µ 3.kurva memiliki titik belok pada x = µ ±σ 4.kurva normal mencapai sumbu horizontal secara asimptot


Tumpuk/stack

Tumpang tindih

14

16

18

20

22


24

26

Sebaran Y~N(M,SD) dan Z~N(0,1)

0.2

0.0

0.0

0.1

0.1

0.2

P(x)

P(x)

0.3

0.3

0.4

0.4


-6

-6

-4

-2

0

2

4

-2

0

2

4

6

X

0.3 0.2 0.1 0.0

0.0

0.1

0.2

P(x)

0.3

0.4


0.4

Sebaran Y~N(M,SD) dan Z~N(0,1) X

P(x)

-4

6

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

X

-2

0

2 X


4

6

Distribusi Normal

0.025

6.08

13.92

4

6

8

10

12

14

0.10 0.05

0.025

0.99

0.005

0.005

0.00

Prob

0.10 0.05

0.95

0.00

Prob

0.15

0.15

0.20

0.20

Distribusi Normal

4.848

15.152

16

4

6

8

10 Rentang Nilai

Rentang Nilai


12

14

16

Bentuk umum Kurva Distribusi Normal • Disebut juga dengan Distribusi Gauss. f(X)

1  X-µ  -   2 σ 

1 e f (X ) = σ 2π σ = simpangan baku µ = rata - rata

σ

-σ

π = 3,14159.... µ

X

e = 2,71828....


6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb: b

b

∫

P(a ≤ x ≤ b) = f(x)dx =

2 2 πσ a

0.2 0.0

0.1

dnorm (x)

0.3

0.4

a

∫

1

 x−µ  −1 2  σ 2 e dx

-4

-2

a

0 x

2

b

4

Gambar 6.5 Luas daerah P(a
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata µ dan variansi σ 2 dinyatakan sebagai: n(x; µ,σ ) =

1 2πσ

x−µ 2 −( 1 )( ) σ 2 e ; −∞ < x < ∞

dengan π = 3,14159.... dan e = 2, 71828....

Begitu µ

dan σ 2 diketahui, maka kurva normal dapat ditentukan. Misal:

µ = 50; σ = 5

maka ordinat n(x; 50, 5)

dengan mudah dapat

dihitung.


•

Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral. Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal dengan µ = 0 dan σ 2 = 1 x−µ z = Caranya menggunakan transformasi dengan rumus σ Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1. x−µ Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh z = σ

. Jadi jika

X bernilai x = x1 dan x = x 2 maka perubah acak Z akan Bernilai z = x1 − µ dan z = x 2 − µ kemudian dinyatakan sebagai: 1 2 σ σ

P(x1 ≤ x ≤ x 2 ) =

1

∫

2πσ 2 x 1

z2

=

x2

2 x − µ   −1 2  σ  e dx =

1

z2

∫

2πσ 2 z 1

∫ n(z, 0,1) dx = P(z1 < z < z2 )

z1 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

2 − 1 ( z) e 2 dx

0.5 0.4 0.3 0.2 0.0

0.1

dnorm(x, 1, 0.75)

-4

-2

0

X1

2

x2

4

x

Gambar 6.6 P(x1

Distribusi Normal Baku Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku 0.4 0.3 0.1

0.2

dnorm(x, 0, 1)

0.4 0.2

0.0

0.0

dnorm(x, -1, 0.5)

0.6

0.8

→

-4

-3

-2

x1

-1

0

x2

1

2

-4

-2

z1

0 z

z2

2

4

P(z1 < z < z 2 )

P(x1 < x < x 2 )

Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan P(x1 < x < x 2 ) = P(z1 < x < z 2 ) TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Probabilitas P(a
f(X)

Akan lebih mudah dihitung jika nilainilai X ditransformasikan menjadi nilai-nilai baku Z.

a

µ

Z= b

X


X-µ

σ

Probabilitas P(a
µ-2σ

µ-σ

µ

µ+σ

-3

-2

-1

0

1

µ+2σ

2

µ+3σ

3

Dengan transformasi tersebut maka diperoleh Distribusi Normal Z yang mempunyai rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1. Distribusi Normal Z ini disebut dengan Distribusi Normal Standar. Probabilitas menjadi P(z1

Probabilitas P(a
-3

-2 -1 z1

0

1

2 z2


3

X

Probabilitas P(a
Contoh 6.1 Diketahui suatu distribusi normal dengan

µ = 50 dan

σ = 10

Carilah probabilitas bahawa X mendapat nilai

antara 45 dan 62

Jawab: Dicari nilai z yang berpadaan dengan x1 = 45 dan x 2 = 62 adalah 62 −50 = 1.2 z1 = 45−50 = −0.5 dan z 2 = 10

10

P( 45 < x < 62) = P( −0, 5 < z < 1.2)

0.00

0.0

0.01

0.1

0.02

0.2

0.03

0.3

0.04

0.4

Jadi:

0

20

40

60

P( 45 < x < 62)

80

100

-4

-2

2

P( −0, 5 < z < 1.2)

Gambar 6.7 Luas daerah contoh 6.1 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

0

4

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh: P( 45 < x < 62) = P( −0, 5 < z < 1, 2) = P(z < 1, 2) − P(z < −0, 5) = 0, 8849 − 0, 3085 = 0, 5764

Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal z

0.00

………

0.04

……..

: : -0.5

0.3085

0 : : 1.2

0.8849

: : TELKOM POLTECH/HANUNG NP

0.09

PELUANG EKSAK No

B.Bawah

B. Atas

Luas (Peluang)

1

Mean -1,645 Deviasi Baku

Mean + 1,645 Deviasi Baku

90%

2


Mean +1,96 Deviasi Baku

95%

3


Mean +2,58 Deviasi Baku

99%


LATIHAN Hitung probabilitas dari nilai Z berikut : • P(Z<-1,75) • P(-2,75-1,52) • P(Z<0,97) • Bila X adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata 25 dan simpangan baku 10, tentukan probabilitas P(20
Distribusi Kumulatif Perhitungan probabilitas variabel random Z yang berdistribusi normal standar akan lebih mudah dihitung dengan memakai fungsi distribusi kumulatif. Distribusi kumulatif dari Z adalah F(z) dimana F(z) = P(Z
P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) − P(Z < z1) = F(z2) − F(z1) TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Hitung probabilitas dari P(-1,43
z2 - za Lz2 - Lza = zb - za Lzb - Lza


Contoh (lanjutan) 2,53 - 2,50 Lz2 - 0,9938 = 2,55 - 2,50 0,9946 - 0,9938 Lz2 = 0,99428 - 1,43 - (- 1,40) Lz1 - 0,0808 = - 1,45 - (- 1,40) 0,0735 - 0,0808 Lz1 = 0,07642 Jadi P(- 1,43 < Z < 2,53) = F(2,53) − F(- 1,43) = 0,99428 - 0,07642 = 0,91786


Contoh Distribusi Normal 1. Tinggi badan mahasiswa ITB berdistribusi normal dengan µ = 165 cm dan σ = 10 cm. – Berapa probabilitas seorang mahasiswa yang dipilih secara acak memiliki tinggi lebih dari 180 cm? – Tentukan ambang di mana persentase mahasiswa yang melewati ambang batas ini tidak lebih dari 5%!


Contoh Distribusi Normal 2. Sebuah pabrik lampu menghasilkan lampu dengan usia nyala yang berdistribusi normal dengan µ = 2500 jam dan σ = 100 jam. Suatu batch dinyatakan sebagai baik kalau dari 5 lampu yang diuji, maksimum 1lampu yang usianya kurang dari 2350 jam. Berapa probabilitas suatu batch dinyatakan baik? Kalau terjadi kerusakan pada proses produksi sehingga µ-nya menjadi 2400 jam, berapa probabilitas kerusakan ini terdeteksi? TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Pendekatan Distribusi Normal Terhadap Distribusi Binomial Pada saat n sangat besar dan p tidak bernilai ekstrim mendekati 0 atau 1, perhitungan terhadap distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan perhitungan distribusi normal. Teorema: Jika X adalah sebuah variabel random binomial dengan mean µ = np dan variansi σ2 = npq, maka bentuk limit pada saat n ∞ dari distribusi binomial tersebut adalah: X − np Z = npq dengan z berdistribusi normal baku n(z; 0,1) TELKOM POLTECH/HANUNG NP

Pendekatan Dist. Normal atas Dist. Binomial (Contoh)

Probabilitas seorang pencandu narkoba terkena virus hepatitis B dari sebuah suntikan adalah 0,6. Jika di suatu kota terdapat 1000 orang pecandu, tentukan probabilitas bahwa tidak kurang dari 100 orang pecandu tersebut mengidap virus hepatitis B!


LATIHAN 1. Jika diketahui variabel random X mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 18 dan standar deviasi 2,5 hitung nilai k sehingga P(X

LATIHAN (lanjutan) 3.

4.

Nilai ujian statistika sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 34 dan standar deviasi 4. Jika X menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai Xo agar 10% dari kelompok nilai terendah berada dibawah Xo? Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika diperoleh nilai rata-ratanya adalah 60 dan standar deviasinya adalah 10. Bila distribusinya menyebar secara normal, berapa : a. persen yang mendapat nilai A jika nilai A>=80 b. persen yang mendapat nilai C jika nilai C terletak pada interval 56<=C<=68 c. persen yang mendapat nilai E jika nilai E<45


LATIHAN (lanjutan) 5.

Suatu percobaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakan metode Quickshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan rata-rata 510,8 byte dan simpangan baku 40,67 byte. a. Berapa persen dalam percobaan tersebut ditemukan ruang memori yang melebihi 600 byte? b. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyai ruang memori berkisar antara 500 sampai 550 byte, berapakah jumlah percobaan yang telah dilakukan oleh peneliti? c. Jika dalam percobaan tersebut ditemukan bahwa 10% hasil terendah, berapakah ukuran memori tertinggi dari kelompok hasil percobaan dengan ukuran memori terendah tersebut?


Oleh: Hanung N. Prasetyo DISTRIBUSI NORMAL

Recommend Documents