Solución a los Ejercicios Propuestos Instructor: Oscar Yupanqui Huamán Parte 1: Triángulos Congruentes y Triángulos Similares 1. El perímetro de un triangulo ABC es 80 cm. Se tiene otro triangulo MNP cuyos lados son 2, + 3 y 3 + 5. Hallar el valor de m si se sabe que ABC y MNP son congruentes.
Como sabemos, ABC y MNP son triángulos congruentes, por tanto sus lados son iguales. Esto quiere decir que su perímetro también va a ser el mismo. Luego, tenemos:
2 + + 3 + 3 + 5 = 80 6 + 8 = 80 6 = 72 = 12
2. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes?
Para determinar cuáles de los triángulos mostrados son congruentes buscamos aquellos triángulos que tengan los mismos ángulos y los mismos lados. Los triángulos que cumplen estas condiciones son: ACB, DEF y MNO.
3. Los triángulos ABC y DEF mostrados a continuación son congruentes. Determinar el valor de DE+EF.
Como sabemos que ABC y DEF son congruentes, entonces buscamos la correspondencia entre sus respectivos lados y ángulos.
Completamos los ángulos faltantes en cada uno de los triángulos tomando en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triangulo es igual a 180°.
DE es el lado opuesto al ángulo de 40° en el triangulo DEF. AC=9 es el lado opuesto al ángulo de 40° en el triangulo ABC Por tanto, DE=9
EF es el lado opuesto al ángulo de 60° en el triangulo DEF. BC=15 es el lado opuesto al ángulo de 60° en el triangulo ABC Por tanto, EF=15
Nos piden: + = 9 + 15 = 24
4. Si un árbol de 20 metros proyecta una sombra de 48 metros. ¿Qué sombra proyectará un árbol de 30 metros?
Este problema podemos representarlo de la siguiente manera:
30 20
48
X
Estos triángulos son semejantes porque tienen la misma forma (esto significa que tienen los mismos ángulos), lo único que va a cambiar son los lados. Entonces establecemos la relación entre sus lados: 48 = 20 30 Despejamos x: 48 30 = 20 Finalmente, obtenemos: = 72
5. Hallar el valor de x+y:
Los triángulos ABE y CDE tienen los mismos ángulos pero tienen lados diferentes, esto significa que son semejantes. El lado AB del triangulo ABE se relaciona con el lado CD del triangulo CDE El lado BE del triangulo ABE se relaciona con el lado DE del triangulo CDE. El lado AE del triangulo ABE se relaciona con el lado EC del triangulo CDE. Para hallar “y” establecemos la siguiente relación: = 9 12 = 5 =
12 5 9
=
20 3
Para hallar “x” establecemos la siguiente relación: = 9 15 = 5 5 15 = 9 25 = 3 Recordemos que nos piden + =
+
=
= 15
Parte 2: La circunferencia 1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro −5, 6 y radio √3. Sabemos que la ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r está dada por: − ℎ + − " = # Para nuestro caso, ℎ, " = −5, 6 y # = √3 Reemplazando en la ecuación de la circunferencia tenemos: $ − −5 % + $ − 6% = √3 + 5 + − 6 = 3
2. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro −7, 15 y radio 5√2.
Como en el ejercicio anterior, para este caso tenemos que ℎ, " = −7, 15 y # = 5√2 Reemplazando en la ecuación de la circunferencia tenemos: $ − −7 % + $ − 15% = 5√2 + 7 + − 15 = 50
3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a. − 1 + − 5 = 4 Escribimos la ecuación en la forma: − ℎ + − " = # $ − 1% + $ − 5% = 2 De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 1, 5 y radio igual a 2. b. + 12 + − 7 = 20 Escribimos la ecuación en la forma: − ℎ + − " = # $ − −12 % + $ − 7% = √20 De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en −12, 7 y radio igual a √20. c. + − 2 − 6 + 6 = 0 Reescribimos la ecuación − 2 + − 6 + 6 = 0 Agregamos y quitamos para obtener 2 trinomios cuadrado perfecto, pero teniendo siempre cuidado de no alterar la ecuación original: − 2 + 1 + − 6 + 9 − 4 = 0 − 2 + 1 + − 6 + 9 = 4 − 1 + − 3 = 2 De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 1, 3 y radio igual a 2.
d. + − 10 = 0 Reescribimos la ecuación: + − 10 + 25 − 25 = 0 + − 10 + 25 = 25 − 0 + − 5 = 5 De esto podemos ver que la circunferencia tiene centro en 0, 5 y radio igual a 5.
4. Probar que la ecuación + + 4 − 2 + 7 = 0 no define una circunferencia. Reescribimos la ecuación: + 4 + 4 + − 2 + 1 + 2 = 0 + 4 + 4 + − 2 + 1 + 2 = 0 + 4 + 4 + − 2 + 1 = −2 + 2 + − 1 = −2 Si analizamos la segunda parte de este resultado, para que esta ecuación defina una circunferencia se debería de cumplir que # = −2, esto significa que # = √−2 Pero sabemos que en el conjunto de los números reales no existe la raíz cuadrada de un número negativo, por tanto concluimos que la ecuación anterior NO define una circunferencia.
5. La rueda de un camión tiene 120 cm de diámetro. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 40 vueltas? Primero vamos a determinar cuánto recorre el camión cuando da una vuelta. Para esto tenemos que hallar la longitud de la circunferencia de la rueda. Sabemos que la longitud de la circunferencia está definida como: 2&# Como el diámetro es igual a 120 cm, entonces su radio es 60 cm. Luego: 2&60 = 120& ' El resultado obtenido nos indica que el camión recorre 120& ' cuando da una vuelta. Si la rueda ha dado 40 vueltas, entonces el camión habrá recorrido: 120& 40 = 4800& '
Parte 3: Área y perímetro de Figuras Compuestas 1. Determinar el perímetro de la siguiente figura:
Completamos las medidas faltantes:
Como nos piden hallar el perímetro, tenemos que sumar la medida de todos los lados: 28 + 3 + 7 + 15 + 9 + 15 + 12 + 3 = 92
2. Determinar el perímetro de la siguiente figura:
Como nos piden hallar el perímetro, podemos proyectar los lados:
Y la figura obtenida será un rectángulo como el que se muestra a continuación:
Entonces nuestro problema se reduce a encontrar el perímetro de este rectángulo, esto es: 223 + 212 = 70 ( 3. Considerando que cada casilla tiene un área de 1( , determinar el área de la siguiente figura:
Como sabemos que cada casilla tiene un área de 1( , entonces nuestro problema se reduce a determinar el número de casillas que componen la figura. Se puede ver que la figura está formada por 34 casillas. Por consiguiente el área de la figura es igual a 34( 4. Un tablero de ajedrez está formado por ocho casillas en cada fila y otras ocho casillas en cada columna. Si el lado de cada casilla cuadrada mide 4 cm. ¿Cuál es el área total del tablero? Determinamos el número total de casillas del tablero: 8 8 = 64 Como el lado de cada casilla mide 4 cm, entonces el área de cada casilla será igual a 16 ' Finalmente, multiplicamos el área de cada casilla por el número de casillas: 16 ' 64 = 1024 ' El área total del tablero es: 1024 ' 5. El área de un triangulo ABC es de 312 ', su base mide 26 cm y su altura “x” cm. Hallar el área del triangulo DEF si su base mide (2x+8) cm y su altura mide (3x-5) cm. El área de un triangulo esta dado por:
)*
Reemplazando con los datos del problema tenemos: 26 = 312 2 = 24 Para hallar el área del triangulo DEF necesitamos conocer su base y su altura: Base: 2x+8=2(24)+8=56 cm Altura: 3x-5=3(24)-5=67 cm Finalmente, el área del triangulo DEF está dado por:
56 67 = 1876 ' 2
6. Un parque tiene la forma de un cuadrado de 22 metros de lado. Al centro del parque existe una zona circular de 5 metros de radio donde se encuentra una fuente de agua y el resto del parque está cubierto de césped. Determinar el área del parque que está cubierto por césped.
El problema consiste en hallar el área del cuadrado de lado igual a 22 metros y luego restarle el área del círculo de 5 metros de radio: Área del Cuadrado: 22 = 484 Área del Círculo: &5 = 25& Ahora determinamos el área del césped: Área del Césped= Área del Cuadrado-Área del Circulo Área del Césped=484 − 25&
