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LEY DE LOS SENOS La ley de los senos es una herramienta básica para resolver triángulos de cualquier tipo y establece que: a b c = = sen A sen B sen C
C
a
b A
B
c Figura 1
Esta ley se utiliza cuando se conocen: 1) Dos os ángulos interiores del triángulo y uno de sus lados. 2) Dos os lados del triángulo y el ángulo opuesto a cualquiera de estos lados.
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Ejemplo 1: Si A = 40o y B = 60o determinar la longitud de los lados b y c y el valor del ángulo C para el siguiente triángulo
b
C
A c
2.8 cm B B
Figura 2.
Resolución Cálculo del lado b b 2.8 = o sen (60 ) sen (40o ) 2.8 b= sen (60o ) o sen (40 ) 2.8 b= (0.866) 0.6427 b = 3.77 cm Cálculo del ángulo C
A + B + C = 180o C = 180o − ( A + B) C = 180o − 100o C = 80o
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Cálculo del lado c 3.77 c = o sen (60 ) sen (80o ) 3.77 c= sen (80o ) o sen (60 ) 3.77 c= (0.9848) 0.866 c = 4.28 cm
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Ejemplo 2: Determinar la longitud del lado b y los ángulos B y C para el siguiente triángulo, considerando que A = 125o
C
a = 17 cm
b A
B c = 9 cm Figura 3
Resolución Cálculo del ángulo C 17 9 = o sen (125 ) senC
senC =
9 sen (125o ) 17
senC =
9(0.8191) 17
senC = 0.4336 C = ang sen (0.4336) C = 25o
Cálculo del ángulo B
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A + B + C = 180o B = 180o − ( A + C ) B = 180o − 150o B = 30o Cálculo del lado b b 9 = o sen (30 ) sen (25o )
b=
9 sen (30o ) sen (25o )
b=
9(0.5) 0.4226
b = 10.64 cm
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LEY DE LOS COSENOS Al igual que la ley de los senos, la ley de los cosenos también es una herramienta básica para resolver triángulos de cualquier tipo y establece que:
2 2 2 a = b + c − 2bc cos A b
2
2 2 = a + c − 2 ac cos B
2 2 2 c = a + b − 2 ab cos C
C
a
b A
B
c Figura 4
Esta ley se utiliza para determinar la longitud de un lado del triágulo tri gulo cuando se conocen los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que calcular. También se utiliza cuando se conocen los tres la lados del triángulo.
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Ejemplo: Para el triángulo que se muestra en la F Figura igura 2, calcular la longitud del lado “a” si A = 35o , b=11cm y c=15cm.
Resolución
b
C
a B
A c Figura 2
2 2 2 o a = ( 11) + (15) − 2(11)(15) cos(35 cos (35 ) 2 o cos(35 (35 ) a = 121 + 225 − 330 cos 2 a = 121 + 225 − 330(0.8191) 2 a = 75.679 a = 8.699 cm
