BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Pengertian Asuransi Asuransi
berasal
dari
pertanggungan atau asuransi
kata
verzekering
(Belanda)
yang
berarti
(Nugraha, 2009). Menurut Sembiring (1986),
asuransi berasal dari kata assurance atau insurance yang berarti jaminan atau pertanggungan terhadap kejadian yang tidak pasti. 2.3
Tingkat Bunga dan Nilai Tunai Pembayaran Tingkat bunga digunakan dalam menentukan nilai sekarang dari
pembayaran yang akan datang atau nilai tunai pembayaran. Pada perhitungan dengan bunga majemuk, besar pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan besar bunga yang diperoleh (Futami, 1994). Didefinisikan:
vn
1 (1 i) n
(2.1)
yang menyatakan nilai sekarang pembayaran sebesar Rp. 1 yang dilakukan n tahun kemudian, dimana i adalah besarnya bunga, v adalah pembayaran sebesar Rp. 1 yang akan dibayarkan satu tahun kemudian. Apabila pembayaran dilakukan satu tahun lebih cepat, maka besarnya bunga yang hilang adalah:
d 1 v
i (1 i)
5
(2.2)
6
2.4
Tabel Komutasi Tabel komutasi adalah tabel yang perhitungannya memiliki hubungan erat
dengan tabel mortalitas. Simbol–simbol pada tabel komutasi digunakan untuk perhitungan single premi, premi tahunan, cadangan premi dan perhitungan– perhitungan nilai asuransi lainnya (Futami, 1993). Tabel komutasi yang digunakan dalam penelitian ini:
Dx v x l x
(2.3)
N x Dx k
(2.4)
k 0
Pada tabel komutasi asuransi joint life yang digunakan dapat dilihat dari fungsi ini (Futami, 1994): 1
Dxy v 2
( x y )
l xy
(2.5)
N xy Dxk , y k
(2.6)
k 0
2.5
Tabel Mortalitas Tunggal dari Helligmann-Pollard Tabel mortalitas atau dalam asuransi dikenal dengan nama tabel tingkat
kematian mempunyai peranan yang sangat penting dalam menentukan premi. Pada tabel ini, hidup dan meninggalnya seseorang pada usia tertentu tertulis di tabel mortalitas ini dengan seperangkat fungsi–fungsi probabilitas yang berhubungan (Futami, 1993). Tabel mortalitas tunggal berisi l x , p x , q x dan sebagainya.
7
Secara umum x menyatakan usia peserta asuransi, n menyatakan jangka waktu asuransi peserta x , dan l x menyatakan jumlah orang berusia x tahun. Peluang orang berusia x akan tetap hidup selama 1 tahun adalah p x . Dirumuskan sebagai berikut:
px
l x 1 lx
(2.7)
Peluang orang berusia x akan tetap hidup selama n tahun adalah
n
px .
Dirumuskan sebagai berikut:
n
px
l xn lx
(2.8)
Peluang orang yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia x 1 tahun adalah q x . Dirumuskan sebagai berikut:
qx 1 px 1
l x1 l x l x1 d x lx lx lx
(2.9)
Peluang orang yang berusia x tahun meninggal sebelum mencapai usia n tahun adalah n q x . Dirumuskan sebagai berikut: n
q x 1 n p x 1
l xn lx
(2.10)
Penelitian ini menggunakan formula Helligmann-Pollard dalam mengitung tingkat kematian (Matvejevs & Matvejevs, 2001). Formula Helligmann-Pollard sebagai berikut:
8
c qx A( x B ) D exp E (ln x ln F ) 2 G H x px
(2.11)
dengan A, B, C , D, E , F , G, H seperti pada tabel 2.1 Tabel 2.1 Konstanta yang Digunakan dalam Rumus Helligmann-Pollard Konstanta A B
Laki 0.00194 0.05093
Perempuan 0.00115 0.03310
C
0.14249
0.12811
D
0.00607
0.00029
E
1.61992
23.44606
F
57.83349
21.11713
G
0.00005
0.00006
H
1.10715
1.09116
sumber: Matvejevs & Matvejevs (2001) 2.6
Tabel Mortalitas Joint Life Sama dengan halnya tabel mortalitas tunggal, tabel mortalitas joint life
merupakan tabel tingkat kematian yang mempunyai peranan dalam menentukan premi (Futami, 1994). Dalam tabel ini hidup dan meninggalnya dari gabungan usia x1 tahun, usia x 2 tahun hingga xm tahun. Tabel mortalitas hidup gabungan berisi l x1x2 ...xm , p x1x2 ...xm , q x1x2 ...xm dan sebagainya. Secara umum x1 , x2 ,..., xm menyatakan usia peserta, n menyatakan jangka waktu asuransi joint life. Fungsi jumlah orang yang berusia x1 dikalikan fungsi jumlah orang yang berusia x 2 tahun hingga dikalikan fungsi jumlah orang yang berusia xm tahun dinotasikan dengan l x1x2 ...xm dan dirumuskan sebagai:
9
lx1 x2 ...xm lx1 lx2 ... lxm
(2.12)
Peluang orang berusia x1 , x2 ,..., xm , 1 tahun kemudian akan tetap hidup dinotasikan dengan p x1x2 ...xm dan dirumuskan sebagai berikut:
p x1x2 ...xm p x1 p x2 ... p xm
l x 1 l x1 1 l x2 1 ... m l x1 l x2 l xm
l x1 1:x2 1:...:xm 1
(2.13)
l x1x2 ...xm
sedangkan peluang orang berusia x1 , x2 ,..., xm , n tahun kemudian akan tetap bertahan hidup dinotasikan dengan n p x x ...x dan dirumuskan sebagai: 1 2
n
m
p x1x2 ...xm n p x1 n p x2 ...n p xm
l x1 n
l x1 n:x2 n:...:xm n
l x1
l x2 n l x2
...
l xm n l xm
l x1x2 ...xm
(2.14)
Peluang salah satu dari x1 , x2 ,..., xm meninggal dalam jangka waktu 1 tahun dinotasikan dengan q x1x2 ...xm dan dirumuskan sebagai:
q x1x2 ...xm 1 p x1x2 ...xm 1 ( p x1 p x2 ... p xm ) l x 1 l x 1 l x 1 1 1 2 ... m lx l x2 l xm 1
1
l x1 1:x2 1:...:xm 1 l x1x2 ...xm
10
l x1x2 ...xm l x1 1:x2 1:...:xm 1
(2.15)
l x1x2 ...xm
sedangkan peluang salah satu dari x1 , x2 ,..., xm meninggal dalam jangka waktu n tahun dinotasikan dengan n q x1x2 ...xm dan dirumuskan sebagai: n
q x1x2 ...xm 1 n p x1x2 ...xm 1
n
p x1 n p x2 ...n p xm
l x n l x n l x n 1 1 2 ... m lx l x2 l xm 1
1
l x1 n:x2 n:...:xm n l x1x2 ...xm
l x1x2 ...xm l x1 n:x2 n:...:xm n
(2.16)
l x1x2 ...xm
Peluang orang berusia x1 , x2 ,..., xm dalam jangka waktu n tahun akan meninggal semua dinotasikan dengan n q x x ...x dan dirumuskan sebagai: 1 2
n
m
q x x ...x n q x1 n q x2 ...n q xm 1 2
m
(1 n p x1 ) (1 n p x2 ) ... (1 n p xm ) l x n l x n l x n 1 1 1 2 ... 1 m l x1 l x2 l xm l l l x l x1 n l x2 l x2 n ... xm xm n 1 lx lx lx 1 2 m
l
x1
l x1 n l x2 l x2 n ... l xm l xm n l x1x2 ...xm
(2.17)
11
2.7
Anuitas Hidup Anuitas hidup adalah suatu rangkaian pembayaran yang dilakukan apabila
orang yang membayarnya masih hidup (Bowers, et.al, 1997). Pembayaran dapat dilakukan pada interval tertentu, baik bulanan maupun tahunan. Anuitas yang pembayarannya dilakukan diawal tahun disebut anuitas awal sedangkan anuitas yang pembayarannya dilakukan diakhir tahun disebut anuitas akhir. Anuitas hidup yang digunakan peneliti untuk perhitungan premi ada 2 jenis anuitas hidup, yaitu anuitas hidup yang ditunda dan anuitas hidup berjangka. 2.7.1
Anuitas Hidup yang Ditunda Tunggal dan Joint Life Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akan dilakukan selang beberapa
waktu kemudian disebut anuitas tunda (Futami, 1993). Anuitas yang ditunda pembayarannya ada yang dilakukan diawal tahun dan ada juga diakhir tahun. Anuitas awal pada anuitas yang ditunda dengan jangka waktu penundaan n tahun dinotasikan dengan
n
ax , sedangkan anuitas akhir pada anuitas yang ditunda
dengan jangka waktu penundaan n tahun dinotasikan dengan
n
ax .
1. Anuitas awal yang ditunda
t n
t n
Dxt N xn Dx Dx
(2.18)
Dxt N xn1 Dx t n1 Dx
(2.19)
a v t t p x n x 2. Anuitas akhir yang ditunda
a n x
vt t px
t n1
12
Dengan menggunakan tabel mortalitas
n
p x1x 2 ...xm didapat rumusan untuk anuitas
hidup yang ditunda joint life (Futami, 1994) sebagai berikut: 1. Anuitas awal yang ditunda joint life
Dx1 tx2 t ...xm t
t n
t n
Dx1x2 ...xm
a v t t p x1x2 ...xm n x x ...x 1 2
m
N x1 nx2 n...xm n
(2.20)
Dx1x2 ...xm
2. Anuitas akhir yang ditunda joint life
a n x x ...x 1 2
2.7.2
m
vt t px1x2...xm
t n1
Dx1 t , x2 t ,...,xm t
t n1
Dx1x2 ...xm
N x1 n1, x2 n1,...,xm n1
(2.21)
Dx1x2 ...xm
Anuitas Hidup Berjangka Joint Life Anuitas hidup berjangka adalah anuitas hidup dimana pembayarannya
dilakukan pada suatu jangka tertentu. Anuitas hidup berjangka awal dengan jangka waktu n tahun dinotasikan dengan ax:n , sedangkan anuitas hidup berjangka akhir dengan jangka waktu n tahun dinotasikan dengan a x:n
(Futami,
1993). Anuitas hidup berjangka joint life adalah suatu kontrak anuitas hidup dimana pembayaran dikaitkan oleh hidup atau matinya dari dua tertanggung atau lebih dan dilakukan pada suatu jangka tertentu. Pembayaran nilai tunai anuitas awal dari anuitas hidup berjangka dinotasikan dengan ax x ...x 1 2
m :n
akhir dari anuitas hidup berjangka dinotasikan dengan a x x ...x 1 2
m :n
sedangkan anuitas (Futami, 1994).
Anuitas hidup berjangka joint life dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Nilai sekarang anuitas awal joint life berjangka jika x1 , x2 ,..., xm hidup.
ax x ...x 1 2
m :n|
1 v p x1x2 ...xm v 2 2 p x1x2 ...xm ... v n1 n1 p x1x2 ...xm
13
n 1
v t t p x1x2 ...xm
(2.22)
t 0
2. Nilai sekarang annuitas akhir joint life berjangka jika x1 , x2 ,..., xm hidup. n
a x x ...x 1 2
2.8
m :n|
v t t p x1x2 ...xm
(2.23)
t 1
Premi Premi asuransi merupakan suatu pembayaran sejumlah uang kepada
perusahaan asuransi jiwa setiap jangka waktu tertentu sesuai dengan kontrak awal. Besarnya premi atas keikutsertaan dalam asuransi yang harus dibayarkan telah ditetapkan oleh perusahaan asuransi dengan memperhatikan keadaankeadaan dari tertanggung. Perhitungan premi yang menggunakan perkiraan tingkat mortalita dan tingkat bunga disebut premi netto. Perkiraan biaya dalam premi netto tidak digunakan (Futami, 1993). Perusahaan asuransi mengeluarkan kontrak (polis) yang mencakup pernyataan bahwa perusahaan asuransi akan membayarkan sejumlah uang yang disebut uang pertanggungan. Sedangkan pemegang polis akan melakukan rangkaian pembayaran yang disebut premi. Sebuah premi disebut premi bersih jika memenuhi prinsip kesetaraan:
E L 0
(2.24)
yaitu, jika nilai yang diharapkan dari kerugian sebuah perusahaan adalah 0. 2.8.1
Premi Tunggal Joint Life Premi tunggal joint life adalah apabila pembayaran premi yang dilakukan
pada waktu kontrak disetujui, selanjutnya tidak ada pembayaran lagi atau dengan
14
kata lain hanya sekali saja pembayaran selama kontrak disetujui. Premi tunggal yang digunakan peneliti untuk perhitungan ada 3 jenis premi tunggal, yaitu premi tunggal pure endowment, premi tunggal asuransi berjangka joint life, dan premi tunggal anuitas yang berubah pada asuransi Joint Life. Premi tunggal adalah pembayaran premi asuransi yang hanya dilakukan satu kali pada waktu kontrak asuransi disetujui, selanjutnya tidak ada pembayaran lagi. Yang dimaksud dengan pure endowment adalah suatu kontrak asuransi jiwa dimana pemegang polis, mulai dari saat kontrak dimulai sampai dengan jangka waktu tertentu tetap hidup maka pemegang polis tersebut menerima sejumlah uang pertanggungan (Futami, 1993). Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x tahun dan y tahun, dengan jangka waktu tertanggung n tahun dan besar uang pertanggungan adalah 1, dinotasikan dengan 1 Axy: n| dirumuskan sebagai berikut:
Axy: n| v n n pxy 1
(2.25)
Premi tunggal pure endowment joint life untuk peserta yang berusia x, y, dan z tahun, dengan jangka waktu tertanggung n tahun dan besar uang 1
pertanggungan adalah 1, dinotasikan dengan Axyz: n| (Futami, 1994) dirumuskan sebagai berikut:
Axyz:n| v n n pxyz 1
(2.26)
Asuransi berjangka adalah suatu asuransi apabila pemegang polis mulai disetujuinya kontrak asuransi sampai dengan jangka waktu tertentu (meninggal) sebelum masa kontrak abis maka akan dibayarkan uang pertanggungannya
15
(Futami, 1993). Uang pertanggungannya akan dibayarkan diakhir tahun polis pada saat peserta asuransi meninggal dunia. Premi tunggal asuransi berjangka joint life untuk usia x dan y tahun (Matvejevs & Matvejevs, 2001) dirumuskan sebagai berikut:
A1xy:n| v t t 1 p xy t p xy n
(2.27)
t 1
Premi tunggal asuransi berjangka joint life untuk usia x, y, dan z tahun (Futami, 1994) dirumuskan sebagai berikut:
A1xyz:n| v t t 1 p xyz t p xyz n
(2.28)
t 1
Premi tunggal asuransi berjangka anuitas yang berubah adalah asuransi yang uang pertanggungannya tidak ditetapkan dalam suatu jumlah yang pasti, melainkan berubah–ubah (Futami, 1993). Premi tunggal anuitas yang setiap tahun besar anuitasnya bertambah 1 disebut anuitas menaik sedangkan apabila berkurang 1 maka disebut anuitas menurun. Premi tunggal anuitas yang berubah pada asuransi joint life dirumuskan sebagai berikut 1. Usia tertanggung x tahun, y tahun, dan z tahun, meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan 1, meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan 1, dan seterusnya. Setiap tahun apabila meninggal besarnya uang pertanggungan selalu bertambah 1. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka menaik. Untuk usia x dan y tahun masa pertanggungan selama n tahun,
16
uang pertanggungan dibayarkan pada akhir masa pertanggungan, single preminya dinotasikan dengan ( IA)1xy:n| dirumuskan sebagai berikut:
( IA)1xy:n| t v t t 1 p xy t p xy n
(2.29)
t 1
dan untuk usia x, y, dan z tahun dinotasikan dengan ( IA)1xyz:n| dirumuskan sebagai berikut:
( IA)1xyz:n| t v t t 1 p xyz t p xyz n
(2.30)
t 1
2. Usia tertanggung x tahun dan y tahun, meninggal pada tahun polis pertama besarnya uang pertanggungan dikalikan n , meninggal tahun polis kedua besarnya uang pertanggungan dikalikan n 1 , dan seterusnya sampai polis tahun ke n besarnya uang pertanggungannya dikalikan 1. Asuransi yang demikian ini disebut juga asuransi berjangka menurun. Untuk single preminya dinotasikan dengan DAxy;n| dan dirumuskan sebagai berikut: 1
DA1xy;n| n 1 t v t t p xy t 1 p xy 2.8.2
(2.31)
Premi Tahunan Joint Life Misalkan P premi untuk kontrak pada usia x dan y jangka permbayaran
premi dan jangka pertanggungan sama yaitu n tahun. Premi yang dibayarkan selama x dan y hidup dengan rincian uang pertanggungan (benefit) sebagai berikut:
17
1.
Apabila peserta berusia x tahun dan y tahun tetap hidup sampai kontrak asuransi berakhir maka peserta mendapatkan uang pertanggungan sebesar Q.
2.
Apabila salah satu dari peserta meninggal dunia sebelum masa kontrak misalnya apabila y meninggal dunia sebelum masa kontrak berakhir maka x mulai tahun ke-n selama seumur hidup setiap tahunnya mendapatkan uang pertanggungan (benefit) sebesar Rx , demikian juga sebaliknya apabila x meninggal dunia maka y akan mendapat uang pertanggungan (benefit) sebesar R y .
3.
Apabila kematian dari pasangan juga terjadi (x dan y meninggal) sebelum kontrak berakhir maka ahli waris akan mendapatkan uang pertanggungan sejumlah premi yang telah dibayarkan, pada akhir tahun kematiannya. Sehubungan dengan asuransi tersebut maka nilai tunai dari pendapatan
premi dan nilai tunai dari benefit yang dibayarkan oleh pihak penanggung (Matvejevs & Matvejevs, 2001) dapat dirumuskan sebagi berikut: 1.
Nilai tunai dari pendapatan premi tahunan pada asuransi hidup gabungan untuk dua orang dapat dinyatakan sebagai berikut:
P 1 v p xy v 2 2 p xy ... v n1 n1 p xy P axy:n| 2.
(2.32)
Nilai tunai dari benefit yang dibayarkan pleh pihak penanggung dapat dinyatakan sebagai berikut: n 1
n 1
m 0 k n
k 0 m n
Q v n n p xy Rx v k k p x m q y R y v m m p y k q x P IAxy:n| 1
Q Axy: n| Rx n ax n q y Ry n ay n qx P IAxy:n| 1
1
(2.33)
18
3.
Dengan menggunakan prinsip ekivalensi, besar preminya adalah sebagai berikut:
P axy:n| Q Axy:n| Rx n ax n q y Ry n ay n qx P ( IA)1xy:n| 1
P axy:n| P ( IA)1xy:n| Q Axy: n| Rx n ax n q y Ry n ay n qx 1
P axy:n| IAxy:n| Q Axy: n| Rx n ax n q y Ry n ay n qx 1
1
Dengan demikian dapat ditentukan besarnya premi tahunan yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi (Matvejevs & Matvejevs, 2001).
Q Axy: n| Rx n ax n q y R y n ay n q x 1
P
1 axy:n| IAxy:n|
(2.34)
