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1 se divide cu 25, n 2 N:
3.(i) Descompuneti in factori expresia xy x y + 1: (ii) Demonstrati ca daca numerele intregi a si b veri…ca ja + bj > j1 + abj, atunci ab = 0: (OJM 2010) 4. Determinati cate numere de 4 cifre abcd veri…ca simultan egalitatile a + b = c + d si a2 + b2 = c2 + d2 : (ONM 2010) 5. Fie a; b; c; d numere naturale nenule si p = a + b + c + d: Stiind ca p este numar prim, aratati ca p nu divide ab cd: (ONM 2010) 6. Determinati perechile de numere naturale (a; b) care veri…ca egalitatea: p a + 2b b2 = 2a + a2 + j2a + 1 2bj: (OJM 2010) 1
7. Aratati ca
r 44:::4 | {z }88:::8 | {z }9 2 Q; n 2 N . n
n 1
8. Patratul oricarui numar natural are forma 4k sau 8k + 1; k 2 N: 9. Restul impartirii unui patrat perfect la 3 este 0 sau1. 10. Numarul a3
a + 2 nu este patrat perfect, a 2 N: r 11. Pentru orice numar natural n > 1; numarul 11:::1 | {z }44:::4 | {z } este n
2n
irational.
(OJM 2006)
12. Determinati numerele naturale r cu proprietatea ca exista numerele naturale prime p si q astfel incat p2 + pq + q 2 = r2 : (ONM 2011) 13. Laturile a; b; c ale unui triunghi veri…ca relatiile a + b c = 2 si 2ab c2 = 4. Sa se arate ca triunghiul este echilateral. (ONM 2007) 14. Fie m; n numere naturale cu m > 1 si 22m+1 ca 22m+1 n2 7:
n2
0: Aratati
(ONM 2007) 15. Fie a si b doua numere naturale. Sa se arate ca numarul a2 + b2 este diferenta a doua patrate perfecte daca si numai daca ab este par. (OJM 2009) 16. a) Fie m; n numere naturale, m > 1: Sa se arate ca numarul m + 4n4 nu este prim. 5 6 b) Sa se arate ca numarul 34 + 45 se descompune in produs de doi factori, …ecare mai mare decat 102009 : (ONM 2009) 4
17. Se consider¼ a numerele prime p1 ; p2 ; :::; p6 (nu neaparat distincte) ¸si num¼ arul natural n astfel încât p21 + p22 + ::: + p26 = 2009n : S¼ a se arate c¼ a printre cele sase numere prime considerate exista doua consecutive. (Lauren¸tiu Duican 2009) 18. Daca x; y; z; t 2 N au proprietatea (x2 + y 2 ) (z 2 + t2 ) = 3 (xz + yt)2 , sa se arate ca x = y = 0 sau z = t = 0: (ONM 1992) 2
19. Pentru doua numere naturale m si n sa se arate ca numarul 5 + 5n se scrie ca suma a doua patrate perfecte daca si numai daca n m este par. (ONM 2003) m
Tema de casa 1 (Calcul algebric) 1. Fie a, b doua numere reale nenule si x = a+ 1b ; y = b+ a1 : Calculati 1 in functie de x si y : ab + ab si a2 b + ab12 : 2. Fie n 2 N: Aratati ca n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 este patrat perfect. 3. Fie a si b doua numere naturale. Aratati ca daca 3 j a2 + b2 atunci 9 j a2 + b 2 : 4. Fie n 2 N: Aratati ca n se scrie ca suma a doua patrate perfecte daca si numai daca 2n se scrie ca suma a doua patrate perfecte. Tema de casa 2 (Calcul algebric) 1. Fie a; b; c 2 Z astfel incat a + b + c = 0: Aratati ca este patrat perfect.
1 2
(a4 + b4 + c4 )
2. Determinati x; y 2 Z astfel incat (x2 + y) (x + y 2 ) = (x + y)3 : r 3. Sa se arate ca 44:::4 | {z } 88:::8 | {z } 2 Q; n 2 N : 2n
n
4. Aratati ca exista o in…nitate de numere naturale care se pot scrie ca suma a doua patrate perfecte dar nu se pot scrie ca diferenta a doua patrate perfecte.
Aurel Bârsan, Colegiul Na¸tional "Dr. Ioan Me¸sot¼ a" Bra¸sov
