UNA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE VALORES EXTREMOS AL CÁLCULO DEL VALOR EN RIESGO Joaquín Aranda Gallego -
[email protected] J. Alberto de Luca Martínez -
[email protected] Universidad de Murcia
Reservados todos los derechos. Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo, 22 y 23 de Junio de 2000”. ISBN: 84-699-2357-9
Una aplicación de la Teoría de Valores Extremos al cálculo del Valor en Riesgo
Aranda Gallego, Joaquín De Luca Martínez, J. Alberto Dpto. de Métodos Cuantitativos para la Economía Universidad de Murcia
Ponencia Abril 2000
Resumen: El Valor en Riesgo, VaR, constituye en la actualidad la herramienta básica de todo gestor de riesgos financieros así como el referente más reciente de la aplicación masiva de las técnicas estadísticas al campo de las Finanzas. Desde su incorporación al instrumental básico de la práctica financiera, han sido múltiples las caracterizaciones y propuestas de cómputo que se han venido realizando. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones, entendemos que se ha perdido la perspectiva del verdadero problema: la mayor parte de estos planteamientos olvida el hecho de que VaR es un cuantil extremo y así, en lugar de hacer uso de las herramientas que la Estadística ofrece para el estudio de estos sucesos de baja probabilidad, recurren a métodos típicos de inferencia que, si bien son apropiados para determinar los valores centrales de una distribución, son poco eficaces para recoger el comportamiento en las colas. En nuestro trabajo, proponemos una aproximación al cálculo del VaR basada en la Teoría de Valores Extremos, una rama de la Teoría de la Probabilidad cuyo objetivo es, precisamente, analizar los extremos observados de una distribución y predecir más allá de estos. Palabras clave: Riesgo de Mercado, VaR, Teoría de Valores Extremos Área: G2. Métodos de estadística económica
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Fundamentos del Valor en Riesgo
El progresivo acortamiento de los márgenes de intermediación del negocio bancario tradicional, vivido en los últimos 20 años, ha provocado que las entidades financieras se vuelvan cada vez más hacia los mercados financieros como forma de complementar sus cuentas de resultados. De esta manera, las entidades de crédito a nivel mundial comenzaron a verse potencialmente afectadas, no sólo por el tradicional riesgo de que sus acreditados no devolvieran los créditos, sino también, y de una forma cada vez mayor, por los riesgos derivados de los cambios de los precios de los activos financieros en los que invertían. Dicho de otra forma, los sistemas bancarios a nivel internacional se exponían de forma importante, no solo al tradicional riesgo de crédito, sino también al de mercado, entendido éste, según la definición del Banco Internacional de Pagos de Basilea, BIS (1988), como El riesgo de pérdidas en las posiciones de dentro y fuera de balance derivadas de movimientos en los precios de mercado Las instituciones supervisoras, conscientes de esta situación, fueron emitiendo normativas nacionales tendentes a incluir, de una forma u otra, el riesgo de mercado en los requisitos de capital de las entidades financieras y fue surgiendo la necesidad, en un entorno financiero cada vez más globalizado, de que se llegara a un consenso a nivel internacional sobre esta cuestión. Así, en Abril de 1993, el Comité de Basilea de Supervisión Bancaria emitió una recomendación donde se recogía un conjunto de sistemas de cómputo de la exposición al riesgo de mercado de las entidades financieras, conformando lo que se conoce como modelo estándar. Apenas dos meses después de la quiebra de Barings PCL, en Abril de 1995, dicho Comité publicó tres documentos adicionales, BIS (1995a, 1995b, 1995c), anticipando sus intenciones de modificar el Acuerdo de Capital de 1988. Finalmente, en enero de 1996 se emitió la Enmienda al Acuerdo de Capital para incorporar el riesgo de mercado, BIS (1996), la cual establecía que, a más tardar el 1 de enero de 1998, se debería incluir el riesgo de mercado en el computo de los requerimientos de recursos propios de las entidades. Si bien la propia Enmienda recogía una ampliación del modelo estándar, su principal novedad radicó en que permitía a las entidades la utilización de sus propios modelos internos de determinación del
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riesgo de mercado para la cuantificación de los requerimientos mínimos de recursos propios. No obstante, el acuerdo del BIS estableció que las entidades que se acogieran a la opción de utilizar sus modelos internos habían de considerar en ellos una serie de requisitos mínimos tanto de carácter cualitativo (existencia de una unidad independiente de control de riesgo, emisión de informes diarios...) como cuantitativo. En la definición de estos últimos tomaban una gran importancia dos conceptos que resultan complementarios, el Value-at-Risk (VaR), que trata de cuantificar el riesgo que asume una entidad usualmente por su participación en los mercados, y el Stress Testing, un ejercicio que tiene por objeto evaluar el riesgo en que se incurre en situaciones excepcionales. Ambas técnicas, no obstante, ya se estaban empezando a implantar en una parte de la industria financiera, sobre todo a medida que se generalizaba la operativa con productos derivados. Como una primera aproximación, siguiendo a Jorion (1997), se puede definir el VaR como un método de cálculo del riesgo de mercado que utiliza técnicas estadísticas estándar para medir la peor pérdida previsible del valor de una cartera de activos (V ) en un intervalo de tiempo (h ) bajo condiciones normales de mercado a un nivel de confianza dado (u ) . Esto es, el VaR sería aquel valor tal que Pr ¡Vt h Vt p VaR I t ¯° 1 u ¢ ± siendo I t el conjunto de información disponible en t. Así pues, si el VaR diario de una cartera al 99% es de 10 millones de euros, se tiene una confianza de que solo el 1% de los días la variación diaria de los precios de mercado hará perder a la entidad más de 10 millones de euros. Alternativamente, el VaR puede entenderse, como apunta Prisker (1996), como el volumen de capital que la entidad requeriría para absorber las pérdidas registradas por su cartera en casi todas las circunstancias. La Enmienda concretaba, de una forma un tanto confusa, que cuando el VaR fuera a servir de base para la determinación del los requerimientos mínimos de capital de una entidad, se debía computar diariamente, a un nivel del confianza del 99% y para un periodo de mantenimiento de los activos de 10 días.
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Así, la obtención del VaR se limita a algo que, a priori, parece de gran sencillez: calcular diariamente el percentil de orden 0,01 de la distribución de incrementos decenales del valor de la cartera. Computado este percentil, tras algunos ajustes, se determinaría el nivel de capital necesario para hacer frente al riesgo de mercado. Sin embargo, llegados a este punto aparecen tres dificultades básicas a la hora de calcular el VaR. En primer lugar tendríamos que determinar el origen del riesgo al que se enfrenta la cartera o, desde un punto de vista más operativo, el conjunto de factores de riesgo que alteran los precios de mercado de los activos. Por ejemplo, en el caso de instrumentos cuyos precios dependen de los tipos de interés, el BIS propone que se identifiquen un mínimo de seis factores de riesgo que den cuenta de los movimientos de la estructura temporal de los tipos de interés; para riesgo de cambio, el BIS propone que se consideren como factores de riesgo todos los tipos de cambio que pueden afectan al valor de la cartera... Definidos los factores de riesgo, el siguiente paso en el proceso de medición de riesgos consiste en determinar la forma en que aquéllos afectan a los precios y, por último, encontrar la distribución que siguen los factores de riesgo1. Desgraciadamente, ninguna de estas tareas es sencilla y ambas pueden ser fuente de errores importantes en la estimación del riesgo. Precisamente ha sido en estas cuestiones en las que se ha centrado la investigación en los últimos cinco años dando a un gran número de propuestas alternativas de cálculo del VaR que difieren, básicamente, en las últimas dos circunstancias: en el uso o no de aproximaciones para el cálculo de las variaciones en el valor de las carteras y en el tipo de distribución que se asume para los factores de riesgo. Atendiendo a la primera, pueden distinguirse, muy someramente, dos grandes categorías de métodos: los métodos delta y delta-gamma y los métodos de valoración completa (o full valuation). Los primeros proponen aproximar el cambio en el valor de la cartera mediante un desarrollo en serie de Taylor de orden uno (los métodos delta)
1
Con mayor precisión, la distribución de las variaciones de los factores de riesgo, pues son éstas la que originan los cambios en los precios. A partir de ahora, entiéndase que al hablar de factores de riesgo como fuente del riesgo de mercado, nos referimos a sus variaciones.
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o de orden dos (los métodos deltagamma) en el cambio en los factores de riesgo. Los segundos, mucho más lentos pero más exactos, sobre todo para posiciones con fuertes no linealidades como es el caso de los activos con opcionalidad, simulan posibles trayectorias de los factores de riesgo a lo largo del tiempo y proceden a la valoración exacta de los activos de la cartera en cada escenario. En un gran número de métodos, y éste es el tercero de los problemas, es necesario disponer de una distribución para los rendimientos de los factores de riesgo. Ante este problema, es común asumir una distribución normal para los rendimientos, supuesto éste, que si bien facilita enormemente los cálculos y desarrollos, no parece muy realista a la vista de las principales referencias sobre distribuciones de rendimientos de activos financieros2. En todas ellas se rechaza la hipótesis de normalidad y, aunque no se alcanza un consenso sobre la distribución exacta que subyace a los rendimientos, todos coinciden en que la distribución ha de tener colas gruesas. La detección de colas gruesas no hace más que complicar el problema a que nos enfrentamos ya que, como indican Jansen y De Vries (1991), hay una considerable controversia en relación con la masa exacta de probabilidad que reside en las colas de la distribución, cuando precisamente el VaR se define como un cuantil extremo. Esta misma circunstancia es la que hace no recomendable el uso de los métodos de ajuste estadístico habituales. Diebold (1998) hace referencia explícitamente a esta cuestión: [Los] métodos paramétricos implícitamente se centran en realizar un buen ajuste en las regiones donde están la mayoría de los datos [...], incluso sofisticados métodos no paramétricos [...] es bien conocido que realizan un ajuste pobre en las colas. Pero es que es más, el escaso número de observaciones extremas hace muy difícil encontrar un método que, sobre la base exclusivamente de esta información, sea capaz de ofrecer estimaciones fiables para futuros eventos extremos. Ambas apreciaciones nos llevan a pensar que la estimación de una función de densidad completa no parece la mejor forma de aproximarnos al problema de la estimación de extremos, el caso que aquí nos ocupa. En este sentido, las recientes aplica-
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Puede verse, por citar solo las más significativas, Mandelbrot (1963, 67), Fama (1965), Praetz (1972), Blattberg et al. (1974), Kon (1984), Boothe y Glassman (1987) o Mittnik y Rachev (1993).
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ciones de la Teoría de Valores Extremos, EVT en adelante, al campo de las Finanzas parecen ofrecer un punto de vista novedoso y, a priori, bien fundamentado desde un punto de vista estadístico, con el que realizar la estimación de medidas del riesgo de mercado. Esto es así porque la EVT se centra en el estudio de los extremos de una distribución, de los sucesos de baja probabilidad, desarrollando un conjunto de herramientas a partir de las cuales es posible determinar los cuantiles extremos de una distribución sin necesidad de conocer la distribución completa. Siendo nuestro objetivo ilustrar la aplicación de la EVT al cálculo del VaR, organizamos lo que resta del presente trabajo de la siguiente forma: en el epígrafe segundo realizamos una breve reseña de los principales desarrollos teóricos y de estimación de la Teoría de Valores Extremos orientando nuestra reseña hacia el estudio de información financiera; en el tercero, realizamos una aplicación al cálculo del VaR de una posición en divisas, haciendo especial hincapié en su comparación con los métodos normales de cálculo del VaR; finalizaremos con unas breves conclusiones.
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Teoría de Valores Extremos
Si bien los orígenes de esta disciplina podemos encontrarlos en el siglo XVIII, su desarrollo se ha producido básicamente en los últimos 100 años. De hecho, no fue sino hasta 1958 cuando E. J. Gumbel publicó Estadísticos de extremos, el primer libro dedicado íntegramente a la EVT. En esta publicación se define el objetivo de la EVT como [...] analizar los extremos observados y predecir más allá de éstos. Este objetivo, aunque ambicioso, es alcanzable, en la medida que, tal como reseña Gumbel Los extremos no son constantes sino que son nuevas variables estadísticas que dependen de la distribución inicial y del tamaño de la muestra. No obstante, se pueden alcanzar resultados ciertos que no dependen de la distribución inicial. En la breve reseña teórica que realizamos a continuación nos centraremos en los desarrollos de distribuciones asintóticas del máximo3 de un conjunto de variables
3
Nos centramos, por comodidad, en el caso del máximo, lo cual no supone una pérdida de generalidad en la medida que, como es conocido, min X 1, X 2 , !, X n max X 1, X 2, !, X n .
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aleatorias, pues ésta es la base para lograr plantear una versión estimada de la función de distribución de las variables originales, válida únicamente en los extremos, a partir de la cual estimar los cuantiles extremos deseados.
2.1
Distribución asintótica del máximo de un conjunto de variables aleatorias
Partimos de un conjunto X1, X 2, !, Xn , de variables aleatorias no degeneradas, independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución desconocida, F y estadísticos de orden X1:n p X 2:n p ! p X n :n y estamos interesados en estudiar la distribución del máximo, X1:n , que vendrá dada por F1:n (x ) Pr ¢X1:n b x ¯± Pr ¡ max X1 , X 2 , !, X n b x ¯° F (x )n ¢ ± ahora bien, la utilidad práctica de esta expresión es muy limitada en nuestro caso en la medida que requiere conocer la distribución de las variables aleatorias de partida que, por hipótesis, es desconocida. Ante esto, se puede realizar un planteamiento alternativo, inspirado en el Teorema Central del Límite, y que consiste en estudiar la distribución asintótica del máximo de un conjunto de variables aleatorias con el objetivo de que nos sirva de aproximación para analizar la distribución del máximo de un número lo suficientemente alto de variables aleatorias. Dicho de otro modo, estamos interesados en estudiar bajo qué condiciones existen las constantes cn 0 y dn tal que se verifica que cn (X1:n dn ) tiende en Ley a alguna variable aleatoria no degenerada, cuáles son las posibles leyes límite y bajo qué condiciones dicha convergencia tiene lugar hacia una distribución límite concreta. El Teorema de Tipos Extremos, uno de los resultados fundamentales de la EVT, da respuesta a la pregunta anterior en tanto que establece que, si existen las constantes de normalización, únicamente pueden existir tres tipos de leyes que pueden jugar el papel de variables límite, los llamados tipos extremos.
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Teorema 1.
Teorema de Tipos Extremos4
Sea X1, X 2, !, Xn una sucesión de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución F y sea X1:n p X 2:n p ! p X n :n sus estadísticos de orden. Si existen las constantes de normalización cn 0 y dn \ tal que se verifica L cn X1:n dn ¶¶l G
(1)
siendo G una variable aleatoria límite no degenerada, entonces G pertenece a alguno de los tres tipos de valores extremos siguientes: Fréchet Tipo 1
Weibull Tipo 2
Gumbel Tipo 3
0 £¦ G1,B (x ) ¦¤ ¦¦ exp x B
¦¥ exp < x B > ¦£¦ G2,B (x ) ¤ ¦¦ 0 ¥ £¦ G3,B (x ) ¦¤ exp < exp x > ¦¦¥
x b0 x 0 x b0 x 0 x\
siendo B 0 el índice de cola de la distribución. Inversamente, cada uno de los tres tipos puede aparecer como distribución límite en (1) y de hecho aparece cuando G es la distribución de las variables X.
,
En definitiva, partiendo del supuesto de que el máximo debidamente normalizado de una sucesión de variables aleatorias tiene una distribución límite no degenerada, este teorema garantiza su atracción hacia alguno de los tres tipos extremos (esto es, su pertenencia al dominio máximo de atracción del tipo que corresponda). Hemos de indicar que este resultado, como otros que seguirán, no depende crucialmente de la verificación del supuesto de independencia e igualdad de distribución de las variables de partida sino que es generalizable, con leves modificaciones, a sucesiones dependientes5.
4
Puede verse la demostración en Resnick (1987).
5
Una excelente referencia para consultar esta cuestión es Leadbetter et al. (1983); también puede consultarse en Galambos (1978).
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Por último, es de interés reseñar que existe una representación alternativa de los tipos extremos, debida a Jenkinson y von Mises que resulta de gran utilidad en la medida que representa los tres tipos en una única familia de funciones de distribución dependientes de un parámetro Y que guarda una estrecha relación con B. Definición 2.
Tipo generalizado de valores extremos
Definimos el tipo generalizado de valores extremos, Gξ, como ¦£¦ exp (1 Yx )1/ Y ¯ ¢ ± GY (x ) ¦¤ ¦¦ exp < exp(x )> ¦¥
Yv0 Y 0
con Y y tal que 1 Yx 0 .
,
Se puede fácilmente comprobar que esta función, dependiendo de los valores de Y, puede dar lugar a los tres tipos extremos. De hecho, si Y B1 0, se tiene el tipo Fréchet, cuando Y B1 0, se obtiene el tipo Weibull y el caso Y 0, es, trivialmente, el Gumbel.
2.2
Colas de la distribución original y dominios de atracción
La principal aportación del Teorema de Tipos Extremos es que facilita una especificación funcional aproximada con la que estudiar la distribución del máximo de un número lo suficientemente alto de rendimientos haciendo innecesario conocer, al menos en principio, la distribución completa de la variable aleatoria original. Ahora bien, este resultado sobre la distribución asintótica del máximo aparentemente parece que tiene poco que ver con nuestro objetivo original: estimar el VaR, un cuantil extremo de una distribución de rendimientos, no de su máximo. Sin embargo existe una estrecha relación entre la distribución asintótica del máximo y el comportamiento en la cola de la distribución original. Intuitivamente parece claro, el máximo es un suceso que, por definición, pertenece a la cola derecha de la distribución y, por tanto, la distribución asintótica del máximo debería estar estrechamente relacionada con la distribución de la variable aleatoria original cuando nos situamos en su cola. El siguiente Teorema y su Corolario permiten centrar definitivamente esta cuestión.
9
Teorema 3.
Aproximación de Poisson6
Sea {X n } una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución F. Sea 0 b U b d y supongamos que existe una sucesión (no decreciente) de números reales {un } tal que se verifica lim n <1 F (un )> U
n ld
(2)
entonces lim Pr
exp(U )
n ld
La inversa también es cierta.
(3) ,
Nótese que, a partir de la aproximación de Poisson, particularizando adecuadamente el valor de U para cada x, podemos llegar fácilmente al Teorema 1. La aproximación de Poisson no hace más que justificar la intuición anterior sobre la relación entre la cola y el máximo, ya que si se cumple la ecuación (2), 1 F (un ) ha de ser extremadamente pequeño, lo cual implica que estamos en la cola de la distribución original y, por tanto, en ese caso y solo en ese caso, podemos pasar a (3). Precisamente esta relación entre la cola y el máximo, unida al Teorema 1 permite caracterizar los dominios de atracción de los tres tipos de valores extremos a partir del comportamiento en la cola de la distribución original. Corolario 4.
Condición alternativa de convergencia7
La función de distribución F pertenece al dominio máximo de atracción de algún tipo de valores extremos, G Y , con constantes de normalización cn 0 y bn si y solo si lim n ¢1 F x / cn dn ¯± ln GY (x )
n ld
entendiendo que cuando G (x ) 0 el límite es infinito.
,
Así, dicho al contrario, si estimamos el índice de cola de la distribución asintótica del máximo tendremos absolutamente determinada la parte derecha de la expre-
6
La demostración puede consultarse en Leadbetter et al. (1983).
7
Puede verse la demostración, por ejemplo, en Embrechts et al. (1997).
10
sión anterior y, por tanto, podremos utilizarla, bajo ciertas condiciones, para realizar una aproximación8 a la cola de la distribución de la variable aleatoria original, que era el objetivo buscado.
2.3
Variaciones regulares y tipos extremos
Ante una muestra de datos financieros concreta y asumiendo que las premisas del Teorema de Tipos Extremos se cumplen, surge ahora una nueva pregunta ¿qué tipo extremo es el relevante para esa muestra? Analizando esta cuestión desde un punto de vista estrictamente teórico, existe un amplio conjunto de condiciones necesarias y/o suficientes que ha de cumplir la variable aleatoria original para pertenecer a cada uno de los dominios de atracción9. En cualquier caso, al aplicar la Teoría de Valores Extremos al análisis de rendimientos financieros el problema de la elección del tipo extremo se simplifica bastante al ser posible analizar las condiciones de pertenencia a los dominios de atracción a la luz de las regularidades estadísticas de las variables financieras. Concretamente, como se ha comentado anteriormente, la principal constante de los últimos 30 años en la modelización de rendimientos es que las distribuciones no son normales y que presentan colas gruesas. Si bien es cierto que a nivel estadístico no existe una definición unívoca sobre lo que se entiende por una distribución de cola gruesa no lo es menos que si nos centramos en la literatura financiera reciente el consenso es prácticamente generalizado10, por no decir total: una distribución tiene colas gruesas si 1 F (x ) varía regularmente11 en infinito con índice a 0 , condición ésta que nos permite seleccionar el dominio
8
Es muy importante destacar que la aproximación sólo es válida cuando estamos muy a la derecha de la distribución original, esto es cuando F (x ) 1 .
9
Una referencia muy útil para consultar la amplia gama de condiciones de convergencia para cada tipo de valores extremos es Embrechts et al. (1997).
10
Vease, por ejemplo, Jansen y De Vries (1991), Hols y De Vries (1991), Longin (1996), Lux (1996), Bassi et al. (1997), Dannielson y De Vries (1997a), Dannielson y De Vries (1997b), Embrechts et al. (1997), Kearns y Pagan (1997), Resnick (1997), Dannielson et al. (1998), Diebold et al. (1998), Resnick y Starica (1998), Dewachter y Gielens (1999), McNeil (1999).
11
Puede consultarse este concepto y algunas de sus propiedades en Feller (1971).
11
máximo de atracción del tipo Fréchet en virtud del siguiente Teorema debido a Gnedenko (1943): Teorema 5
Condición necesaria y suficiente de pertenencia al dominio máximo de atracción del tipo Fréchet
Una función de distribución F pertenece al dominio máximo de atracción del tipo Fréchet si y solo si se verifica que
\
^
x F sup x ; F (x ) 1 d
1 F (tx ) x B t ld 1 F (t ) lim
B 0 x 0
en este caso, las constantes de normalización de la convergencia vendrán dadas por cn ¡¢F 1 1 n 1 ¯°±
1
dn 0
,
Dicho de otro modo, una función de distribución pertenece al dominio máximo de atracción del tipo Fréchet si, no teniendo punto final a la derecha, varía regularmente con índice B 0 .
2.4
Técnicas de estimación
Existen, al menos desde un punto de vista histórico, dos métodos para enfrentarnos al problema de la estimación del índice de cola de un tipo extremo: la estimación paramétrica, planteada inicialmente por Gumbel (1958), y que actualmente se encuentra en desuso a nivel financiero, y la estimación que se puede denominar de Dominio Máximo de Atracción, MDA, que parte de los artículos de Pickands (1975) y Hill (1975) y que actualmente es, prácticamente, la única que se utiliza en nuestro campo. Las técnicas de estimación MDA parten del supuesto de que se dispone de un conjunto de variables aleatorias, X1, X 2, !, Xn , no degeneradas, independientes e idénticamente distribuidas según una función de distribución, F, desconocida que pertenece al dominio máximo de atracción de algún tipo extremo y con estadísticos de orden X1:n p X 2:n p ! p X n :n . Mediante la aplicación de alguna de las propiedades asintóticas derivadas de la pertenencia a los dominios máximos de atracción, estas técnicas consiguen obtener una versión paramétrica o semiparamétrica de la distribución original, válida para los ma-
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yores valores de la variable, a partir de la cual realizar la estimación del índice de cola. En función de la propiedad utilizada aparecen los diferentes estimadores del índice de cola, por orden cronológico, Pickands (1975), Hill (1975), De Haan y Resnick (1980), Smith (1987), Decker et al. (1989), Leabetter (1991) y Kratz y Resnick (1995). En cualquiera de los casos, merece la pena destacar que el verdadero nexo de unión entre estas técnicas se encuentra, desde nuestro punto de vista, en el hecho de que solamente se cumplen sus supuestos cuando x l d o, dicho de otra forma, cuando se quiere conocer el comportamiento de la variable para valores de la variable suficientemente altos. Es por ello que, como decíamos, sólo utilizan una parte de la información de la muestra original, en particular, las mayores observaciones, para realizar la estimación. La idea intuitiva que subyace a estos métodos de estimación es utilizar únicamente la información que pertenece (presumiblemente) a la cola de la distribución, puesto que se desea realizar inferencia sobre el máximo (la cola) de ésta, eliminando así la información central de la muestra que, a nuestros efectos, es irrelevante. Es por ello que este tipo de métodos estadísticos también se conocen bajo el acrónimo de Let the tails speaks for themselves También es importante destacar que, en lo que sigue, utilizaremos indistintamente las dos notaciones introducidas con anterioridad para el índice de cola, esto es, su notación habitual, B, y la notación inversa Y, teniendo en cuenta que en el caso Fréchet, Y B1 .
El estimador de Hill En este trabajo utilizaremos el estimador propuesto por Bruce M. Hill en 1975 en su artículo A simple general approach to inference about the tail of a distribution que, sin duda alguna, es el estimador del índice de cola más importante y extendido en el campo de las Finanzas. Su expresión viene dada por l B
H m :n
1m ¯ ¬ ¡ ln X i:n ln X m:n ° ¡ m i 1 ° ® ¢ ±
1
(4)
siendo m el número de estadísticos de orden que entran a formar parte de la estimación.
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El estimador de Hill es, bajo ciertas condiciones sobre n y m, débilmente consistencia, Mason (1982), fuertemente consistente, Deheuvels et al. (1988), y, tal como puede verse en Hall (1982), Goldie y Smith (1987) o De Haan y Resnick (1996)
H L Y m:n Y ¶¶l m N 0, Y 2
Es crucial destacar que no se utilizan todas las observaciones disponibles en la muestra para estimar el índice de cola sino únicamente las m superiores surgiendo, así, el principal problema de estos métodos de estimación: la elección de m. Si lo analizamos desde un punto de vista ligado a la inferencia, podemos hacer la siguiente reflexión informal, para un tamaño de muestra fijo: • por una parte nos interesa elegir un m lo suficientemente alto como para que, al incrementarse el número de datos con el que realizamos la estimación, se consiga que la distribución y varianza del estimador se acerquen lo más posible a sus versiones asintóticas. • pero, por otra parte, también interesa elegir un m suficientemente bajo, ya que un m demasiado alto implica salirnos del conjunto de observaciones que, presumiblemente, cumplen las condiciones de la estimación. Existe, por tanto, un claro trade-off entre varianza y sesgo. Conforme se consigue disminuir la varianza de la estimación se aumenta su sesgo y viceversa: el objetivo fundamental de cualquier técnica de selección de m ha de ser establecer un equilibrio adecuado entre ambas fuerzas. Desafortunadamente no existe ningún procedimiento óptimo de elección de m, si bien una de las herramienta más extendida son los llamados gráficos de Hill (o del estimador de que se trate) que representan los valores del índice de cola estimado como función del número de estadísticos de orden que entran a formar parte de la estimación, esto es
\ m, Bl m:n ,
1 b m b n, m `^
La idea intuitiva que subyace a la utilización del gráfico es que conforme se incrementa m, la varianza del estimador va disminuyendo y el sesgo aumentando y, por
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tanto, es de prever que exista en el gráfico una zona intermedia para la cual se observe un relativo equilibrio entre ambas fuerzas y el estimador permanezca estable.
2.5
Cálculo del VaR
Una vez que se dispone de una estimación del índice de cola de la distribución de los factores de riesgo, el último paso para calcular el VaR es construir la versión estimada de la cola de dicha distribución. Se puede demostrar fácilmente12, a partir de los planteamientos anteriores, que ésta vendrá dada por lH B m :n
m x ¬ n (x ) 1 F n x m:n ®
y, por tanto, la expresión del cuantil de orden p, p 1 , será xlp x m:n
n ¯ ¡ (1 p)° ¡¢ m °±
lH 1/ B m :n
siendo muy importante destacar, aún a riesgo de ser reiterativos, que esta expresión solo es válida para calcular cuantiles extremos de la distribución original y, en ningún caso, se puede tomar como una expresión general de los cuantiles de dicha distribución. En definitiva, si nuestras variables son los rendimientos de los factores de riesgo de una determinada cartera, la expresión anterior permite, disponiendo de una estimación del índice de cola, calcular los cuantiles extremos de dicha distribución y, por tanto, utilizando cualquier modelo que relacione los rendimientos de los factores de riesgo con el valor de la cartera, calcular el VaR.
12
Vease, por ejemplo, Embrechts et al. (1997).
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3
Una aplicación de la EVT al cálculo del VaR
En este epígrafe vamos a aplicar los desarrollos anteriores a un caso de cálculo del VaR de una posición simple en divisas (straight FX) de dólares estadounidenses, USD, frente a yenes japoneses, JPY. La elección de este tipo de posición no es arbitraria sino que responde al hecho de buscar un activo con el que fuera posible calcular el VaR fácilmente para así centrar nuestra atención en los efectos y consecuencias de la estimación de valores extremos más que en la propia problemática usual del cálculo del Valor en Riesgo. Así, se ha buscado un activo para el cual el factor de riesgo, según indica el Banco Internacional de Pagos, es el propio rendimiento del activo y que se relaciona linealmente con la variación de valor de la cartera. Por tanto, el VaR vendría dado, simplemente, por el producto del valor al contado de la cartera de USD, valorado en JPY, y el cuantil que corresponda de la distribución de rendimientos del tipo de cambio JPY/USD. La muestra original consiste en los promedios bidask de los tipos de cambio interbancarios diarios JPY/USD tomados todos los miércoles desde el 3 de enero de 1990 hasta el 29 de diciembre de 1999, en total 522 observaciones. Si llamamos x t al tipo de cambio del día t, el factor de riesgo vendría dado por la tasa de variación semanal, en porcentaje, del tipo de cambio, esto es, ft 100(x t / x t 7 1) . En el Apéndice presentamos la representación gráfica de ambas series así como sus principales estadísticos descriptivos; únicamente destacar el valor del coeficiente de curtosis del factor de riesgo que claramente supera el registro de la distribución normal. Evidentemente, con la información disponible, podemos calcular tanto el VaR de una posición larga al contado en USD como el de una posición corta, que corresponderían, respectivamente a los cuantiles de orden 0,01 y 0,99 de la distribución del factor de riesgo.
16
3.1
Estimación de los índices de cola
Puesto que nos interesa calcular el VaR de las dos posiciones vamos a realizar el análisis de las colas de la distribución de rendimientos por separado, evitando así el apriorístico supuesto, por lo demás habitual, de que son simétricas. Para ello, dividimos la muestra original del factor de riesgo en dos submuestras: la de valores positivos, 253 observaciones, y la de valores negativos, 268 observaciones. Como hemos visto con anterioridad, el principal problema de la estimación del índice de cola radica en determinar dónde comienza exactamente la cola de la distribución y, por tanto, seleccionar, cara a realizar la estimación, únicamente aquellas observaciones de la muestra original que pertenecen a la cola de la distribución. Ante la inexistencia de un procedimiento bien fundamentado de selección del m óptimo que reseñábamos con anterioridad, hemos optado por realizar la selección basándonos en el gráfico de Hill, aun a pesar de la subjetividad que conlleva. Para ello, hemos calculado el valor del estimador de Hill, de acuerdo a nuestra ecuación (4), para los 125 primeros estadísticos de orden de cada cola y construidos los gráficos de Hill correspondientes, que se presentan en la Figura 1. 6,0
6,0
5,0
5,0
4,0
4,0
3,0
3,0
2,0
2,0
1,0
1,0
0,0
0,0 0
25
50
75
Cola izquierda
100
125
0
25
50
75
100
125
Cola derecha
Figura 1. Gráficos de Hill del tipo de cambio JPY/USD
La primera característica que hemos de destacar de los gráficos es que, para los valores de m relevantes, las estimaciones índice de cola son claramente positivas, dando, de alguna forma, verosimilitud, junto con la fuerte leptocurtosis del factor, a nuestro supuesto de partida de que la distribución pertenecía al dominio máximo de atracción del tipo Frechet.
17
Por otra parte, centrándonos ya en el propio gráfico, entendemos que en ambos casos se sigue razonablemente el comportamiento usual que reseñábamos en el epígrafe anterior para esta herramienta. Así, en la zona en la que m es bajo, los valores estimados del parámetro experimentan fuertes oscilaciones, debido a que los valores estimados por el estimador de Hill, como consecuencia del escaso número de estadísticos de orden que entran a formar parte de su cálculo, es muy sensible a una entrada adicional y, por tanto, varía fuertemente ante la entrada de nueva información. Conforme se van incorporando más observaciones en su cálculo, los valores estimados se van estabilizando alcanzando una cierta estabilidad en las zonas indicadas que, presumiblemente, son aquéllas en las cuales se produce el deseado equilibrio entre sesgo y varianza. Finalmente, al ir entrando progresivamente estadísticos de orden que claramente no pertenecen a la cola de la distribución, los valores estimados se van sesgando registrando una tendencia descendente. Pasando ya al estudio detallado de las zonas estables del gráfico de Hill de la cola izquierda, hemos decidido seleccionar la primera zona relativamente estable que aparece en el gráfico y que se encontraría entre m 29 y m 38 donde el valor estimado se mueve en torno a 2,7612. El principal motivo que nos lleva esta elección es elegir un valor de m (un conjunto de valores, estrictamente hablando) que, cumpliendo el requisito de estabilidad del gráfico, sea lo más bajo posible para asegurar que los valores observados que entran a formar parte de la estimación pertenezcan a la cola de la distribución. Se podría objetar a esta elección que aparecen otras zonas estables a partir de m 40 pero entendemos que éstas se encuentran incluidas dentro de la zona en la que presumiblemente el sesgo comienza a incrementarse (aunque nótese que se va produciendo a saltos, lo que podría deberse a otro tipo de consideraciones fuera del ámbito de este análisis). Al analizar la zona estable de la cola derecha, observamos que es necesario seleccionar valores algo altos de m para encontrar una zona donde el estimador se mantenga relativamente estable en un intervalo de valores de m de una amplitud relevante. La primera zona estable aparece, desde nuestro punto de vista, desde m 46 hasta m 76 en torno a un valor estimado de 2,4227. En este caso, sí se observa con mayor claridad cómo al finalizar la zona de estabilidad los valores estimados van sesgándose de forma lenta pero progresiva.
18
Ante la necesidad de elegir un valor concreto de m para proceder a la estimación del índice de cola, hemos decidido seleccionar aquel m que hace que valor estimado del índice de cola sea el que más se acerca a su valor medio en la zona. En cualquier caso, esta elección concreta tiene escasa relevancia en los resultados finales ya que, por la propia construcción del estimador, tanto los valores del índice de cola estimado como los del último estadístico de orden utilizado son, dentro de cada zona, muy similares. La estimación final del índice de cola y los estadísticos relevantes de cada cola los resumimos en la Tabla 1. Valores estimados
Cola izquierda
Cola derecha
n
253
268
m
35
66
x m :n
-2,3524
1,4245
Bm :n
2,7603
2,4210
Tabla 1. Estimaciones del índice de cola JPY/USD
3.2
Cálculo del VaR
Una vez que disponemos de ambas estimaciones del índice de cola, por aplicación directa de las fórmulas expuestas en 2.5 podemos calcular los cuantiles extremos de la distribución del factor de riesgo. Así, en la tabla siguiente recogemos el cuantil del 1% de la distribución de los incrementos porcentuales del factor, válido para calcular el VaR de una posición larga en USD y el del 99%, útil para calcular el de la posición corta. Cola izquierda Posición Larga
Cola derecha Posición Corta
Estimaciones bajo EVT -6,0932%
5,3506%
Estimaciones bajo normalidad -3,5723%
3,5723%
Tabla 2. Cuantiles del factor de riesgo JPY/USD
Para calcular el VaR bastaría con cambiar de signo el producto del valor de la cartera de USD, expresado en JPY, por los cuantiles anteriores. Si el valor de la cartera lo fijamos en 100 JPY, el Valor en Riesgo de la cartera de USD sería de 6,0932 JPY para la posición larga y de 5,3506 JPY para la corta. Merece la pena destacar que el cuantil izquierdo registra un valor algo superior al derecho, dando lugar a pen-
19
sar que el mantenimiento de una posición larga en USD es más arriesgado, si hablamos de riesgo en términos estrictos de VaR, que el mantener la posición corta. Pero donde realmente se pone de manifiesto la relevancia del análisis es al comparar los resultados obtenidos por Teoría de Valores Extremos con los que se desprenderían utilizando el supuesto usual de normalidad. En nuestro caso, para la misma cartera de USD con valor contado 100 JPY, el VaR descendería hasta 3,5723 JPY: prácticamente la mitad. Así, una entidad que realizara el cálculo del VaR utilizando el supuesto de normalidad, de forma consciente o inconsciente mediante la utilización de un procedimiento de caja negra, estaría infravalorando en casi un 50% el riesgo que soporta al mantener la posición en divisas. O, dicho de otra forma, el nivel de confianza al que está calculando su VaR está muy lejos del 99% exigido por el BIS. Una forma alternativa de apreciar este hecho vendía dada por la Figura 2 en la que representamos, con los niveles de confianza en el eje de abcisas, los valores estimados para el VaR según la estimación de Teoría de Valores Extremos (línea gruesa) y la basada en la Normal (línea fina) para ambas posiciones. 20,0
20,0
15,0
15,0
10,0
10,0
5,0
5,0
0,0
0,0
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1
0,95
0,96
Posición larga
0,97
0,98
0,99
1
Posición corta
Figura 2. VaR EVT vs VaR Normal
Como era de esperar, conforme se incrementa el nivel de confianza con que se realiza la estimación, mayor es el error en que se incurre, evidenciando la importancia que tienen los sucesos extremos y poco probables en el cálculo de una medida de lo poco probable como es el VaR.
20
4
Conclusión
Partiendo de la idea de que estimar el VaR es, en última instancia, estimar un cuantil extremo de una distribución, en este trabajo hemos intentado poner de manifiesto la necesidad de implementar métodos de cálculo de este cuantil que estén específicamente diseñados para la estimación de sucesos extremos. Así, frente a los métodos de inferencia paramétrica y no paramétrica tradicionales de los que se viene haciendo uso asiduamente para estas cuestiones, aparecen otros, los basados en la Teoría de Valores Extremos, que ofrecen un instrumental alternativo, específicamente diseñado para trabajar con sucesos extremos. Para ilustrar esta afirmación hemos realizado una aplicación de cálculo del VaR para una posición USD/JPY llegando a un resultado claro: la estimación del VaR utilizando el supuesto usual de normalidad infravalora el riesgo de la posición en casi un 50%, con las consecuencias que esto implica. Si bien es cierto que, en la medida que el tipo de cambio permanezca estable o evolucione de forma favorable para la entidad, la situación no tiene por qué tener mayores consecuencias (de hecho, los beneficios serán muy satisfactorios13), no lo es menos que un movimiento adverso y extremo (que bien puede ser puramente coyuntural) puede hacer que se materialicen, de forma súbita e inesperada, quebrantos muy importantes en la cartera FX. En cualquier caso, aunque la probabilidad de este suceso es muy pequeña, no es menos cierto en este terreno merece la pena ser prudentes.
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13
Las operaciones de Nick Leeson, el operador jefe de Barings PCL en Singapur, y que a la postre harían quebrar el Banco el 23 de febrero de 1995, habían generado una quinta parte de los beneficios de Barings en 1994.
21 BANK FOR INTERNATIONAL SETTLEMENTS (1995b): Planned supplement to the Capital Accord to incorporate market risks, Basle Committee on banking supervision, Basilea. BANK FOR INTERNATIONAL SETTLEMENTS (1995c): Proposal to issue a supplement to the Basle Capital Accord to cover market risks, Basle Committee on banking supervision, Basilea. BANK FOR INTERNATIONAL SETTLEMENTS (1996): Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks, Basle Committee on banking supervision, Basilea. BASSI, F., P. EMBRECHTS Y M. KAFETZAKI (1997): A survival kit on quantile estimation, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich (Preprint), pp. 19. BLATTBERG, R. C. Y N. J. GONEDES (1974): A comparison of the stable and student distributions as statistical models for stock prices, Journal of business, 47, pp. 244-280. BOOTHE, P. Y D. GLASSMAN (1987): The statistical distribution of exchange rates, Journal of international economics, 22, pp. 297-319. DANIELSSON, J. Y C. G. DE VRIES (1997): Beyond the sample: extreme quantile and probability estimation, Tinbergen Institute Technical Report, 39. DANIELSSON, J. Y C. G. DE VRIES (1997a): Value-at-risk and extreme returns, Group Working Paper 273, London School of Economics, 33 pp.
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23
Apéndice Recogemos a continuación un breve resumen de los principales estadísticos descriptivos de las series utilizadas.
Tipo de cambio JPY/USD Núm. datos Media Varianza Asimetría Curtosis Mínimo Mediana Máximo
522 118,7244 259,3943 0,1632 -0,4070 80,6000 0,0296 159,6600
Orden 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,250
Cuantiles muestrales Valor Orden Valor 83,27 0,995 158,60 83,72 0,990 157,86 87,24 0,975 151,80 96,99 0,950 145,91 99,85 0,900 138,37 106,17 0,750 129,90
Orden 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,250
Cuantiles muestrales Valor Orden Valor -5,4630 0,995 3,6978 -4,5456 0,990 3,4063 -3,5885 0,975 2,8624 -2,6470 0,950 2,2869 -1,8898 0,900 1,5888 -0,8786 0,750 0,9197
Factor de riesgo JPY/USD Núm. datos Media Varianza Asimetría Curtosis Mínimo Mediana Máximo
521 -0,0557 2,4322 -0,5679 2,9139 -8,1614 0,0296 6,8487
Representación gráfica 160,0
10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 -2,0 -4,0 -6,0 -8,0 -10,0
150,0 140,0 130,0 120,0 110,0 100,0 90,0 80,0 90
91
92
93
94
95
96
Tipo de cambio
97
98
99
90
91
92
93
94
95
96
Factor de riesgo
97
98
99
