Fenômenos de Transporte II - Profa. Cintia B. Gonçalves
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE Em processos de aquecimento ou resfriamento em equipamentos com operação em batelada, assim como na colocação em marcha ou na parada de equipamentos com operação contínua, a transferência de calor ocorre em regime transiente Na transferência de calor em regime transiente, a temperatura muda não só com a posição no interior do corpo, ela também muda com o tempo em uma mesma posição; tanto a taxa de transferência de calor através do corpo, como a energia interna do corpo mudam com o tempo. O corpo acumula ou desacumula energia interna.
1ª Abordagem: SISTEMAS CONCENTRADOS (SITUAÇÃO MAIS SIMPLES) T T¥ (ar quente) Corpo metálico qualquer (elevada condutividade térmica) Resistência externa à transferência de calor (RE) =
1 h × A
Resistência interna à transferência de calor (RI) =
Lc k × A
Lc =
volume área
=
Em geometria: Plana Cilindrica Esférica
V A
Exemplos: tratamento térmico de enlatados em equipamentos em batelada, aquecimento e resfriamento de equipamentos contínuos.
Quando RI <<<<< RE, pode-se desconsiderar a diferença de temperatura no interior do corpo e admitir que todo ele se aquece (no caso contrário, resfrie) a uma temperatura uniforme por todo
• Desenvolvimento da equação: Calor transferido para o corpo = Calor acumulado no corpo Taxa de calor transferido
q = h. A.(T¥ - T )
Taxa de calor acumulado
q = m.c p .
o corpo, a qual muda com o tempo. t = t1 T = T1
t=0 T = T0 RI RE
=
t = t2 T = T2
Lc k h × Lc = = BIOT 1 h k
h = coeficiente convectivo transporte de calor fluido-corpo
< 0 ,1
h. A.(T¥ - T ) = m.c p .
dT dt
t
Condição inicial: p/ t = 0 ® T=To t0 = t
t=
m .c p h. A
- m .c p
0
T¥ = temperatura do fluido (constante ao longo do tempo)
A = área de transferência de calor (na superfície do corpo)
T(t) = temperatura do corpo (uniforme em todo o corpo, mas variável com o tempo)
m.c p
T
dT h. A To (T¥ - T ) .ò
CONCEITOS IMPORTANTES EM REGIME TRANSIENTE Bi = Número de Biot = h.Lc = RI k
kcal
ö ÷÷ ø
o
.C [Bi ] = h.mkcal 2 o
T¥ - T =e T¥ - To
æ - çç ç è
h. A m .c p
ö ÷.t ÷÷ ø
t = tempo
cp = calor específico do corpo
T
. - ln (T¥ - T ) T
æ T -T . ln çç ¥ h. A è T¥ - To
ò dt =
.m
= Adimensional
h.m. C
Equação ou perfil de temperatura válida para qualquer sistema com RI desprezível
= Tempo Adimensional
m .s s = Adimension al 2 m
onde a =
To
a .t 2 Lc
2
[Fo ] =
T¥
RE
o
Fo = Número de Fourier = T
dT dt
de
m = massa do corpo
A aproximação é válida só quando a resistência interna é muito menor que resistência externa. NÃO ESQUECER QUE É UMA APROXIMAÇÃO
Lc = L Lc = R 2 Lc = R 3
k r × cp
= difusividade térmica
t
1
• A situação descrita anteriormente, de sistemas concentrados, ocorre somente para sólidos metálicos (elevada condutividade térmica) com pequena dimensão característica (pequeno raio ou pequena ½ espessura).
Escrevendo o Perfil de Temperatura em função de Bi e Fo: æ ç
h. A
ö ÷
e sabendo que: m = r .V k a= r .c p
.t ç m .c ÷ T¥ - T =e è pø T¥ - To
Lc = æ ç
h. A
ö ÷
æ ç
h
ö ÷
æ
V A
a ×h
ö
÷.t .t .t -ç ç r ×V ×c p ÷ ç r ×c × L ÷ ç k ×L ÷ T¥ - T ø =e è =e è p cø =e è cø T¥ - To
Mas
Bi =
h.Lc k
Fo =
• Tal situação NUNCA OCORRE para sólidos alimentícios pois sua condutividade térmica é baixa e a resistência interna NUNCA É DESPREZÍVEL.
´
Lc Lc
a .t 2 Lc
• Mas uma SITUAÇÃO SIMILAR pode ocorrer para recipientes contendo alimentos sob forte agitação. Esta é a situação de um tacho agitado contendo um fluido alimentício; considerado como um leito PERFEITAMENTE MISTURADO.. IMPORTANTE: a transferência de calor no alimento sob agitação ocorre por CONVECÇÃO.
T¥ - T = e - ( Bi × Fo ) T¥ - To
Tacho agitado com mistura perfeita, sendo aquecido ou resfriado em regime transiente. æ U .A ö ç ÷
.t ç m .c ÷ T¥ - T =e è pø T¥ - To
U = coeficiente global de transferência de calor entre alimento sob agitação e o meio de aquecimento (ou resfriamento)
Exercício de aplicação 1 Determinar a reposta de temperatura de um fio de cobre de 0,8 mm de diâmetro a T0 = 150 ºC quando imerso subitamente em: a) Água (h = 70 kcal/h.m2.ºC) a 40 ºC b) Ar (h = 10 kcal/h.m2.ºC) a 40 ºC Dados: kcobre = 322 kcal/h.m.ºC cp cobre = 0,091 kcal/kg.ºC r = 8975 kg/m3
A = área de transferência de calor m = massa do alimento no tacho = ralimento.Valimento cp = calor específico do alimento T¥ = temperatura do meio de aquecimento ou resfriamento T = temperatura do alimento ao longo do tempo
2ª Abordagem: RESISTÊNCIA INTERNA NÃO DESPREZÍVEL (CASO MAIS COMUM E MAIS COMPLICADO) 2A) Transferência de calor em regime transiente em placa plana infinita de espessura 2L -L
2L
+L
T0
h = coeficiente convectivo de T.C., considerado constante ao longo de todo o processo
T0
t=0
T(±L,t) = temperatura na superfície do corpo (posições +L e –L), varia com o tempo q(t) = taxa de calor transferido, varia com o tempo
T¥
T¥
T(x,t) = temperatura do corpo ao longo do processo, varia com o tempo e a posição considerada
t = t1
t = t2
t = t3
t = t4
T0 = temperatura inicial do corpo, considerada uniforme T¥ = temperatura do fluido que envolve o corpo, considerada constante ao longo de todo o processo
A = área de T.C, área da superfície do sólido através da qual se estabelece o contato térmico com o fluido; esta área é suposta constante ao longo de todo o processo (o sólido NÃO se contrai ou encolhe durante o processo)
q(t ) =h. A.[ T(±L, t) - T¥ ]
2
Condições iniciais e de contorno da equação: 1. t = 0 T=To , -L £ x £ L
2a Lei de Fourier: æ ¶ 2T ¶ 2T ¶ 2T ¶T = a .çç 2 + 2 + 2 ¶t ¶y ¶z è ¶x
ö ÷÷ ø
a = difusividade térmica = ¶ 2T =0 ¶y 2
Equação que comanda a transferência de calor em regime transiente nessas condições 2
k m ; [a ] = r .c p s
2. t = ¥
T=T¥ , -L £ x £ L
3. x = 0
æ ¶T ö = 0, "t ç ÷ è ¶x ø x =0
4. x = L
æ ¶T ö k × A×ç = h × A × (T ÷ è ¶x ø x = ± L
Simetria do perfil de temperatura
x=± L
- T¥ )
Convecção na interface
Integração da equação por separação de variáveis: ¶T ¶ 2T = a. 2 ¶t ¶x
Não há T.C nas direções y e z
[
]
¥ é ù T - T¥ 2.sen(ln .Lc ) 2 = åê ú. exp - ln .a .t . cos(ln .x ) To - T¥ n =1 ë Lc .ln + sen(ln .Lc ). cos( ln .Lc ) û
¶ 2T =0 ¶z 2
Onde os valores de l (l1, l2, ……, ln) são as n raízes da equação.
Usando ainda os seguintes adimensionais: X=
x r ou = Adimensional de posição no corpo sólido L R
Fo =
a .t = Fourier = tempo adimensional L2c
Obtém-se: ¥ é ù T - T¥ 2.sen(ln .Lc ) 2 2 = åê ú. exp - ln .Lc .Fo . cos(ln .Lc . X ) To - T¥ n =1 ë ln .L + sen(ln .Lc ). cos(ln .Lc ) û
[
Fourier T - T¥ = função(Bi, Fo, X) To - T¥
Adimensional de posição
Equação colocada na forma gráfica, CARTAS DE HEISLER
x T ( x , t ) - T¥ T ( 0 , t ) - T¥
1
]
L
Bi
F
o=
a .t
L2
Temperatura do plano médio, para uma placa plana infinita, de espessura 2L
Q Q0
Bi =
F o × Bi 1
Bi
Temperatura como uma função da temperatura do centro, para uma placa plana infinita, de espessura 2L
2
Perda de calor adimensional Q/Q0, para uma placa plana infinita, de espessura 2L, com o tempo
3
r
R
T ( r , t ) - T¥ T ( 0 , t ) - T¥
1
F
o=
Bi
a .t
R2 1
Temperatura do plano médio, para um cilindro infinito, de raio R
Bi
Temperatura como uma função da temperatura do eixo, para um cilindro infinito, de raio R
Q Q0 Bi =
1
F o × Bi
2
F
Perda de calor adimensional Q/Q0, para um cilindro infinito, de raio R
r
Bi
o=
a .t
R2
Temperatura do plano médio, para uma esfera, de raio R
R
T ( r , t ) - T¥ T ( 0 , t ) - T¥
Q Q0
Bi =
F o × Bi
1
Bi
2
Perda de calor adimensional Q/Q0, para uma esfera, de raio R
Temperatura como uma função da temperatura do eixo, para uma esfera de raio R
4
Exercício de aplicação 2 Um cilindro longo (L = 2 m) de aço (k=40 W/m.K, a=1´10-5 m2/s, r=7854 kg/m3, cp=434 J/kg.K) com 0,2 m de diâmetro e temperatura inicial de 400 ºC, é subitamente imerso em água a 50 ºC. Se o coeficiente convectivo é igual a 200 W/m2.K, após 20 minutos, calcule: (a) a temperatura no centro do cilindro, (b) a temperatura na superfície do cilindro, (c ) o calor transferido para a água.
D
L
Exercício de aplicação 3
Uma placa longa de carne aço (k=0,499 W/m.K, r=1073 kg/m3, cp=3480 J/kg.K) com 0,203 m de espessura e temperatura inicial de 37,8 ºC é resfriada com ar a 1,7 ºC e coeficiente convectivo igual a 39,7 W/m2 K. Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 10 ºC.
Exercício de aplicação 4 No preparo de uma festa, a anfitriã deseja resfriar bebidas enlatadas (k=0,497 kcal/h.m.ºC, a=0,497´10-3 m2/h, r=1000 kg/m3, cp=1 kcal/kg.ºC) de 18 até 1,5 ºC. A temperatura do congelador é de -18ºC e o coeficiente convectivo é igual a 2,84´10-3 W/cm2 ºC. As latas possuem diâmetro igual a 6 cm. Determine o tempo aproximado de resfriamento.
Exercício de aplicação 5 Uma maça (k=0,355 W/m.ºC, r=820 kg/m3, cp=3600 J/kg.ºC) com 6 cm de diâmetro inicialmente a 15 ºC é resfriada com água a 2 ºC e coeficiente convectivo igual a 50W/cm2 ºC. Determine o tempo necessário para que o centro da maça atinja 3ºC.
Cilindro curto de diâmetro 2R e comprimento 2Z æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö çç T - T ÷÷ cilindro curto = çç T - T ÷÷ cilindro infinito ´ çç T - T ÷÷ placa de è o ¥ ø 2 R´2 Z è o ¥ ø2 R è o ¥ ø espessura 2 Z
Corpos bi- e tridimensionais
Barra infinita de espessura 2L e largura 2W Exercício de aplicação 6
æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö çç T - T ÷÷ barra = çç T - T ÷÷ placa ´ çç T - T ÷÷ placa è o ¥ ø 2 L´2W è o ¥ ø 2 L è o ¥ ø 2W
Um assado de forma cilíndrica (10 x 20 cm) com 2,3 kg, inicialmente a 20 ºC, é colocado em um forno a 180 ºC e coeficiente convectivo igual a 14 W/cm2 ºC. Determine o tempo necessário para que o centro do assado atinja 90 ºC. Propriedades do assado: k=0,649 kcal/h.m.ºC, a=1,576´10-7 m2/s, r=985,7 kg/m3, cp=4,179 kJ/kg.ºC
Paralelepípedo de espessura 2L, largura 2W e comprimento 2Z
æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö æ T - T¥ ö çç ÷÷ ÷ ´ç ÷ ÷ = çç ´ç pedo To - T¥ ÷ø placa çè To - T¥ ÷ø placa çè To - T¥ ÷ø placa è To - T¥ ø paralelepí è 2 L´2W ´2 Z 2L 2W 2Z
5
