Lección No. 1 - Los fenómenos de transporte Los fenómenos de transporte
Antes de iniciar con los planteamientos conceptuales de los fenómenos de transporte, es necesario manejar con propiedad algunas definiciones. Lección No. 1 - Los fenómenos de transporte
Fenómenos de transporte:
Los fenómenos de transporte hacen referencia a tres contenidos íntimamente relacionados (transferencia de momento, calor y masa), no solo por sus características matemáticas, sino por que frecuentemente se pueden presentar de forma simultánea.
1. Transferencia de momento lineal: Se refiere a la que se presenta en los materiales en movimiento, como en operaciones unitarias de flujo de fluidos, sedimentación y mezclado. Es debida a la diferencia de velocidades entre diferentes capas de fluido. Su estudio se basa en la ley física que establece que un cuerpo en movimiento en ausencia de fuerzas externas conserva su cantidad de movimiento, y en presencia de influencias externas se cumple que
Ecuación 1.1
2. Transferencia de calor: Es la transferencia de energía debida a una diferencia de temperatura entre dos cuerpos. Su estudio se centra en la ley física de la conservación de la energía.
3. Transferencia de masa: Es el paso de moléculas de una sustancia de un lugar a otro en una mezcla, o entre dos fases homogéneas es contacto. El movimiento de las moléculas es debido a una “diferencia de potencial
químico”. El estudio de la T.M. se basa en la ley física de la conservación de la masa.
Niveles de alcance de los fenómenos de transporte.
En general se pueden considerar los fenómenos de transporte en tres niveles de detalle. Aun cuando cada uno de estos niveles brinda información importante para el entendimiento del proceso, en la medida que se profundiza en el detalle los modelos son más aproximados a la realidad, sin embargo el manejo matemáticos requerido también es mayor, por lo tanto el nivel al cual se determina realizar los modelos debe ser consistente con el detalle requerido; producto del balance entre la complejidad y la información requerida por el diseñador.
Nivel macroscópico. Los balances describen como la masa, la energía, el momentum y el momentum angular cambian en un sistema debido al aporte o retiro de una de estas cantidades a través de corrientes que entran o salen de un volumen de control. A este nivel no se intenta comprender los detalles del sistema, de manera tal que esta escala es apropiada para el diseño de equipos de proceso. Esta escala puede ir de de centímetros a metros.
Nivel microscópico. En este caso los balances se centran en regiones pequeñas dentro del equipo de proceso, con el objetivo de obtener perfiles de velocidad, concentración, temperatura o presión. Esta es una información más detallada que permite una mejor comprensión de los mecanismos de transferencia molecular. Esta escala puede ir de micras a centímetros.
Nivel molecular. Los balances se dirigen a la comprensión de la transferencia de las cantidades fundamentales en términos de estructuras moleculares. Esta es una escala en la que rara vez los ingenieros actúan, siendo un campo más tradicional para químicos y físicos, pues su escala se encuentra entre 1 y 1000 nanómetros.
El principal objetivo del presente curso es estudiar los fenómenos de transporte a nivel microscópico.
Lección No. 2 - La ecuación general de balance Ecuación general de balance
Uno de los principios básicos para el desarrollo de los modelos de comportamiento de los sistemas de proceso es el relacionado con las ecuaciones de balance, tanto de materia como energía y cantidad de movimiento, las cuales se basan en las tres leyes fundamentales que tienen los mismos nombre, la ley de conservación de la materia, la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la cantidad de movimiento. En la presente discusión se considerara la ley de conservación de la materia puesto que esta ley es intuitivamente la que más se conoce, sin embargo la discusión que se realizara es extensiva a las tres leyes de conservación.
Si consideramos un proceso, o una sección de este, es lógico pensar que la cantidad de materia de un componente (A) que ingresa al sistema es iguala a la cantidad de materia que sale del mismo, sin embargo si existe alguna discrepancia en esta observación esta puede ser causada por al menos una de las siguientes razones: hay acumulación de materia, hay generación de materia o hay consumo de materia en el sistema. La generación o el consumo ocurren producto de una reacción. Mientras que la acumulación podría ser por ejemplo el llenado de un tanque.
Lo anterior puede expresarse mediante una ecuación de balance como la siguiente
Ecuación 2.1
La anterior ecuación es la forma más general de la ecuación de conservación y cualquier sistema puede representarse mediante la misma. Por ejemplo en un
proceso en estado estable, donde no existe acumulación dentro del sistema el termino de acumulación es 0 y la ecuación se reduce a;
Ecuación 2.2
Para sistemas no reactivos y en estado estable, se hará cero no solo el término de acumulación sino también los términos de generación y consumo dentro del sistema y la ecuación se transformara a su forma más básica
Ecuación 2.3
Para la ecuación de balance de energía los términos de generación y consumo estarán relacionados con el trabajo realizado sobre el sistema y el trabajo realizado por el sistema mientras que la acumulación (o des acumulación) implica cambios en la temperatura del sistema y la generación en un balance de cantidad de movimiento corresponderá a las fuerzas que actúan sobre el sistema.
Los términos a considerar en un balance de energía de listan a continuación
Velocidad de entrada de energía por transporte convectivo Velocidad de salida de energía por el transporte convectivo Velocidad entrada de energía por transporte molecular Velocidad de salida de energía por transporte molecular Velocidad de trabajo realizado en el sistema por transporte molecular Velocidad de trabajo realizado por el sistema por transporte molecular Velocidad de trabajo realizado en el sistema por fuerzas externas Velocidad de producción de energía
Los términos que se deben considerar en un balance de cantidad de movimiento son los siguientes
Velocidad de entrada de momento por transporte convectivo Velocidad de salida de momento por el transporte convectivo Velocidad de entrada de momento por transporte molecular Velocidad de salida de momento por transporte molecular La fuerza de gravedad que actúa sobre el sistema
Condiciones límite Una vez planteados los balances necesarios se generan ecuaciones diferenciales y aparecerán constantes de integración al hacer las integrales correspondientes. Estas constantes pueden ser evaluadas mediante el uso de "condiciones limite". Algunas de las condiciones limite que pueden ser útiles se listan a continuación.
Para balances de masa
La concentración en una superficie se ha especificado, XA = XA0. El flujo de masa en una superficie se ha especificado, NAZ = NA0 En una interface donde hay transferencia convectiva de masa se puede calcular el flux con la ecuación de flujo convectivo. NA0 = kc (CA0 - CAB) Cuando hay reacción química se puede conocer la velocidad de formación o desaparición de una sustancia con la ley de cinética de reacción
Para balances de energía
En la superficie se ha especificado la Temperatura. En la superficie se ha especificado el flujo de calor
En una interface se cumple que la temperatura y el flujo de calor son los mismos en las dos fases.
Para balances de cantidad de movimiento
El fluido se encuentra adherido al solido en una interface sólido-líquido de manera que la velocidad del fluido es igual a la del sólido Dos fluidos se encuentran adheridos en una interface líquido-líquido de manera que la velocidad de los dos fluidos es igual Un líquido en contacto con un gas no recibe esfuerzo desde el gas y su valor será 0, siempre y cuando el gradiente de velocidad del lado del gas no sea demasiado grande.
Presión de vapor:
La Presión de vapor es una propiedad de los líquidos. Y puede definirse como “la presión a la cual ebulle un líquido a determinada temperatura”; sin embargo aunque el líquido no esté ebullendo, posee una presión de vapor. Esta presión es la que ejercen moléculas del la sustancia que efectivamente están en fase vapor, exactamente en la interfase del líquido con la atmósfera circundante. La presión de vapor puede ser de gran ayuda para encontrar la condiciones limites cuando un líquido está en contacto con un gas
Considere un vaso con agua, exactamente en su superficie existe una capa de vapor de agua que no puede ser vista, la presión que ejercen estas moléculas es la presión de vapor del agua a la temperatura en que se encuentre el líquido. La presión de vapor puede calcularse con ecuaciones como la de Antoine. Las ecuaciones que permiten predecir la presión de vapor son de la forma
Ecuación 2.4
Lección No. 3 - Ecuación general de los fenómenos de transporte. Ecuación general de los fenómenos de transporte.
Los fenómenos de transporte se manifiestan producto de la diferencia de masa, energía térmica (calor) o momento lineal entre zonas adyacentes que se encuentran en contacto, ocurriendo un transporte neto de esa propiedad. En general en los gases, producto de la su libertad de movimiento, la velocidad de transporte es relativamente alta mientras que en los líquidos y los sólidos la transferencia se manifiesta con velocidades ostensiblemente menores.
Los fenómenos de transporte tienen como característica que la velocidad de transporte es inversamente proporcional a la resistencia y directamente proporcional a la fuerza impulsora, similar a lo que establece la ley de Ohm. Esto matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma:
Ecuación 3.1
La resistencia a los fenómenos de transporte es la distancia, mientras que la fuerza impulsora, como ya se ha mencionado es la diferencia en concentración masa, de cantidad de movimiento o de energía térmica. La constante de proporcionalidad que permite convertir esta relación en una igualdad se conoce como difusividad (molecular, de cantidad de movimiento o térmica). Lo que nos conduce a la siguiente ecuación:
Ecuación 3.2
donde Ψz es la velocidad de la propiedad a través de una sección transversal perpendicular a z, [cantidad de propiedad/s m2], δ es la constante de proporcionalidad [m2/s]. Γ es la concentración de la propiedad [cantidad de propiedad/m3], y z es la distancia en la dirección del flujo en m.
Lección No. 4 - Operaciones de vectores y tensores Operaciones de vectores y tensores
Las magnitudes que intervienen en la teoría de los fenómenos de transporte pertenecen a las siguientes categorías: escalares (temperatura, volumen y tiempo); vectores (velocidad, cantidad de movimiento, aceleración y fuerza) y tensores de segundo orden (tensor de esfuerzo cortante o de densidad de flujo de cantidad de movimiento). La matemática vectorial y tensorial es extensa y se puede dedicar un curso completo para su estudio. La lección cuatro consiste en una revisión de los apartados A.1, A.2 y A.3 del apéndice A del texto de Bird, que se encuentra en formato pdf.
Lección No. 5 - Derivación e integración de vectores y tensores Derivación e integración de vectores y tensores
Las magnitudes que intervienen en la teoría de los fenómenos de transporte pertenecen a las siguientes categorías: escalares (temperatura, volumen y tiempo); vectores (velocidad, cantidad de movimiento, aceleración y fuerza) y tensores de segundo orden (tensor de esfuerzo cortante o de densidad de flujo de cantidad de movimiento). La matemática vectorial y tensorial es extensa y se puede dedicar un curso completo para su estudio. La lección cincoconsiste en una revisión de los apartados A.4 a A.9 del apéndice A del texto de Bird, que se encuentra en formato pdf.
Unidad 2 - TRANFERENCIA DE CALOR Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO En la presente unidad, la unidad dos, se estudia la transferencia de calor y la transferencia de cantidad de movimiento, despues de lo cual se revisan algunos modelos donde se manifiesta más de un fenómeno de transporte y las correlaciones entre los tres fenómenos.
Capítulo 4 - TRANSFERENCIA DE FLUIDOS.
Lección No. 16 - Generalidades de transferencia de fluidos y transferencia de calor Consideraciones generales sobre la transferencia de fluidos y la transferencia de calor
Clasificación de los fluidos.
Los fluidos provocan esfuerzos y circulan sometidos a estos mismos. Los fluidos newtonianos son los más sencillos y se caracterizan por la propiedad de que el gradiente de velocidad en un punto es proporcional al esfuerzo cortante en dicho punto, es decir:
Ecuación 16.1
El resto de fluidos se denominan no newtonianos. El aire, el agua, el vapor de agua, todos los gases y la mayoría de fluidos constituidos por moléculas sencillas son newtonianos. Las suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímeros de cadena larga, fluidos biológicos, alimentos líquidos, pinturas, suspensiones de arcillas y mezclas de hormigón son, en general, no newtonianos. Los no newtonianos pueden dividirse en tres amplias clases de materiales que se presentan a continuación.
No newtonianos independientes del tiempo,
En estos se cumple que la velocidad de cizalladura solo depende del esfuerzo cortante, es decir
Ecuación 16.2 Existen varios tipos de fluidos dependiendo de la forma de la relación de η frente a du/dy. La clasificación se muestra en la figura siguiente.
Figura 16.1 fluidos no newtonianos independientes del tiempo,
La tensión de influencia hace referencia a que el fluido requiere de la aplicación de un esfuerzo “crítico” para que empiece a fluir. A continuación se presentan algunos ejemplos para los fluidos NNs independientes del tiempo:
algunas arcillas. n estado líquido.
soluciones de almidón espesas, arena de playa mojada, polvos finos en suspensión.
vegetales.
No newtonianos dependientes del tiempo pero no elásticos.
Son fluidos cuyo comportamiento en un momento determinado está influenciado por lo que les ha ocurrido en el pasado reciente. Por ejemplo, la salsa de tomate que ha estado en reposo durante un rato no fluirá; sin embargo, una botella recientemente agitada fluirá fácilmente. Estos fluidos parecen “tener una memoria” que se desvanece con el tiempo, por tanto se puede escribir: Ecuación 16.3
Figura 16.2 Fluidos no newtonianos dependientes del tiempo.
arcilla de bentonita.
esfuerzo como las pinturas, tintas de imprenta, salsa de tomate, lodos de perforación petrolera.
No newtonianos viscoelásticos.
Son materiales que combinan las propiedades elásticas de los sólidos con el comportamiento de los fluidos. Como ejemplos se tiene la saliva y en general todos los fluidos biológicos, sopa concentrada de tomate, masa de pan y muchas soluciones poliméricas. Con los viscoelásticos el diagrama de η frente a du/dy sólo dice parte de la historia; experimentos transitorios (dar un giro rápido a la lata de sopa de tomate y observar el movimiento a derecha e izquierda del fluido) son necesarios para caracterizar sus propiedades elásticas.
Conceptos energéticos:
Algunas
propiedades que
se
utilizaran
en
el
curso
son
conceptos
termodinámicos y otros son prácticos.
Capacidad calorífica a presión constante: de manera práctica se define como la energía necesaria para elevar cierto número de grados a cierta cantidad de una sustancia. Sin embargo su definición termodinámica es:
Ecuación 16.4
es decir, la derivada parcial de la entalpía respecto a la temperatura a presión constante. Esta definición es extremadamente útil cuando se realizan balances de energía.
La entalpía es una propiedad energética que hace referencia al contenido energético de una porción de materia cuando se involucra un trabajo hacia el medio circundante o cuando la materia se encuentra en movimiento. Su definición es: H = U + PV. Al producto PV se le conoce como energía de flujo.
Cuando una sustancia recibe energía en forma de calor, y este aporte genera un aumento en su temperatura, al aporte energético se le denomina “calor sensible”. Este calor puede ser calculado con cambios de entalpía.
Cuando una sustancia cambia de fase (p.e se evapora), el aporte de energía no genera un aumento en la temperatura, puesto que la energía es utilizada por las moléculas para el cambio de fase. En este caso, al calor aportado se le denomina “calor latente”. El calor latente puede calcularse con ecuaciones como las de Clapeyron o pueden encontrarse tabulados los valores en algunas tablas para diversas sustancias.
Lección No. 17 - Ley de newton de la viscosidad Cantidad de movimiento
Dado que el impulso o la cantidad de movimiento de un cuerpo, se define como el producto de su masa por su velocidad, se puede pensar en la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad de masa. O sea que, los cambios en la velocidad de un fluido pueden originar transporte de cantidad de movimiento, así como los cambios de temperatura originan transporte de calor. La descripción matemática de este transporte forma una parte importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. Como el concepto de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza, se deben revisar algunas definiciones básicas.
Transporte de cantidad de movimiento entre placas paralelas.
Considérese un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas. La distancia entre las placas es pequeña comparada con las otras dimensiones de las placas. En el tiempo t = 0 la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante vx1 = V aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior se deja estacionaria (vx = 0). Al moverse la placa inferior arrastra consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente, y el fluido se mueve a la misma velocidad de la superficie. Esta es la condición de frontera denominada de “no deslizamiento” fundamentada experimental y teóricamente. Como la placa superior está estacionaria, la velocidad del fluido allí es cero. Pero la capa de fluido vecina a la placa inferior se mueve con respecto a la capa de fluido inmediatamente superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le imprime movimiento. De esta manera el movimiento de la placa inferior hace aparecer un campo de velocidades en el líquido, con la velocidad decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en la placa superior.
El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en vx, la velocidad del fluido en la dirección x, desde cero hasta algún valor positivo. Como la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad, habrá un correspondiente aumento en la cantidad de movimiento x. En otras palabras, la cantidad de movimiento x se transporta en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una capa de fluido a la siguiente. Para t = 0 hay un cambio brusco en z = 0 desde vx = V hasta vx = 0. En t = t1 la velocidad aumenta cerca del plano inferior, pero el impulso todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. En t = t2, la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa inferior. Finalmente en t = ∞ se obtiene estado estable en el cual la velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. El concepto de tiempo infinito es claramente una abstracción matemática. Para fluidos muy viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar el 99 % de la condición de estado estable.
Ley de Newton de la viscosidad.
Considerando de nuevo el flujo entre dos placas. Luego de un cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final estacionario. Una vez alcanzado dicho estado de movimiento es preciso aplicar una fuerza F x constante para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza claramente depende de la velocidad V, de la naturaleza del fluido, de la distancia entre las placas (b) y del área de contacto S de las mismas con el líquido. Para este caso especial viene dada por:
Ecuación 17.1
Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia z. El coeficiente de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido. Usando deltas se puede escribir:
Ecuación 17.2
Donde la pendiente de la curva vx contra z es Δvx/Δz. Al tomar el límite cuando z tiende a 0 se aproxima a la verdadera pendiente en z, la que está dada por la derivada parcial ∂vx/∂z. La ecuación básica resultante para el transporte de impulso unidireccional inestable es:
Ecuación 17.3 llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. ηzx es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido situada a una distancia z, por el fluido existente en la región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación anterior se denominan newtonianos. Según las consideraciones hechas, ηzx puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área, o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación, se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es decir, la dirección de velocidad decreciente, tal como ocurre con la densidad de flujo de calor que es proporcional al gradiente negativo de temperatura o al de masa que es proporcional al gradiente negativo de concentración. Examinando la ecuación también se ve que μ tiene las dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo.
Lección No. 18 - Balance de cantidad de movimiento Transporte de cantidad de movimiento unidireccional estacionario.
Considerando de nuevo el caso de las placas, no hay flujo neto de cantidad de movimiento convectivo en la dirección x debido a que vx no depende de x. La acción de los esfuerzos cortantes en un elemento de volumen de altura dz puede incluirse tanto como fuerzas en un balance de fuerzas como un flujo de cantidad de movimiento en un balance de cantidad de movimiento. Nótese que no existen otras fuerzas netas actuando en la dirección x pues la presión no varía con x y la gravedad no varía en esta dirección. Aplicando el balance generalizado, para el caso de fluidos newtonianos de densidad y viscosidad constantes, teniendo presente que se supone alcanzado el estado estacionario y que vx es sólo función de z, además de las anteriores consideraciones sobre presión y fuerza se obtiene:
Ecuación 18.1
pero
Ecuación 18.2
Por lo cual
Ecuación 18.3 Es decir, ηzx = ηs es una constante. O sea hay distribución de flujo de cantidad de movimiento constante. Separando variables en la ley de newton e integrando entre los límites dados por las condiciones límite:
Ecuación 18.4
Este perfil lineal es análogo al que se obtiene para el transporte de calor en una pared plana sin generación.
Simetría radial.
Hablando de la simetría cilíndrica, vz = f(r) y vr = vθ = 0, el transporte de cantidad de movimiento en la dirección r está descrito por:
Ecuación 18.5 que es similar a la ecuación de ηzx para transporte de la cantidad de movimiento x en la dirección z de la placa plana.
Transporte de cantidad de movimiento con generación.
Un fluido newtoniano fluye hacia arriba en estado estable en el interior de un conducto circular largo de longitud L. Considérese una sección del tubo alejada de los extremos del mismo. Se toma a z como la dirección hacia arriba, y a r como la distancia desde el centro. La velocidad en la dirección z positiva es v z, la que depende de la posición radial. En z = 0 la presión que actúa uniformemente sobre el área transversal πR2 es P0; en z = L es PL. La densidad ρ del fluido se asume constante. En estas condiciones se dice que el flujo está completamente desarrollado, indicando que la velocidad vz es sólo función de r, no cambiando con z. Adicionalmente se supone que el fluido está en flujo laminar. Esto significa que una partícula trazadora colocada en una posición cualquiera, radial y angularmente hablando, permanece en la misma posición radial y angular a medida que avanza axialmente con el fluido. Para un fluido newtoniano fluyendo en un conducto circular el flujo laminar existe, para valores del número de Reynolds inferiores a 2100. El número de Reynolds es
una cantidad adimensional definida, para el caso de conductos circulares por la expresión Re = dvρ/μ.
Como problema de diseño se puede pensar en la necesidad de determinar la diferencia de presiones P0 – PL requerida para bombear un fluido con determinada viscosidad a través de un conducto de radio R y longitud L a una velocidad promedio V, con el fin de determinar el tamaño de la bomba necesaria.
Velocidad promedio.
Si la densidad es constante, la velocidad promedio vmed se define en términos del caudal volumétrico Q’ [m3/s] por: Q’ = Azvmed, en la que Az es el área transversal (πR2 para el tubo). Para hallar vmed a partir de la distribución de velocidad para tubos vz(r), se debe encontrar primero una ecuación para Q’ en términos de vz. Para hacerlo, se considera un elemento de área dAz = 2πrΔr. El caudal volumétrico para este elemento de área para cualquier z es ΔQ’= vz(2πrΔr). Para hallar el caudal volumétrico para el tubo completo se integra sobre el área transversal, haciendo tender Δr a cero:
Ecuación 18.6
Ecuación 18.7
En forma general para un conducto de área seccional arbitraria Az:
Ecuación 18.8
donde dAz es un elemento diferencial de área, normal a la dirección del flujo. En el ejemplo anterior dAz = d(πr2) = 2πrdr. Observando la ecuación es claro que el cálculo de vmed requiere el conocimiento de vz en cada posición radial.
Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre el elemento de volumen ΔV = 2πrLΔr . Como se supuso estado estable no hay aceleración neta y la suma de fuerzas actuando en la dirección z es cero. Estas son fuerzas superficiales como la presión, y del cuerpo o que actúan a través del fluido como las gravitacionales.
En general las fuerzas viscosas pueden actuar ya sea perpendicularmente a las superficies del fluido (fuerzas normales) o tangencialmente a las mismas (fuerzas cortantes). Sin embargo, para un fluido incompresible y newtoniano no hay esfuerzos viscosos normales como ηzz puesto que éstos dependerían de ∂vz/∂z, que es cero en flujo completamente desarrollado (vz no es función de z). El balance de cantidad de movimiento viscoso en la dirección r y convectivo en la dirección z debe equilibrarse con la suma de fuerzas de presión y gravitatorias que actúan sobre el elemento de volumen, entonces:
Ecuación 18.9
Como la velocidad en la dirección z no cambia sobre la misma línea de corriente, el segundo término del lado izquierdo, correspondiente al cambio de cantidad de movimiento convectivo en la dirección z, es cero. Recordando que Sr = 2πrL y ΔV = 2πrLdr, dividiendo por ΔV, evaluando cuando éste tiende a cero, y como por la disposición de los ejes gz = − g:
Ecuación 18.10 ΦM Es el término de generación de cantidad de movimiento. Las condiciones para resolver la ecuación son: En r = 0 r ηrz = 0 En r = R vz = 0
Con lo que se obtiene:
Ecuación 18.11
Ecuación 18.12
Ecuación 18.13 de donde: ηrz = ΦM (r/2) = ηs (r/R). Aquí ηs es el flujo de cantidad de movimiento en r = R. Esta expresión indica que la distribución de flujo es lineal. Usando la ley de Newton de la viscosidad: − μ(dvz/dr) = ΦM (r/2). Separando variables e integrando entre r y R se obtiene:
Ecuación 18.14
Lección No. 19 - Velocidad y arrastre sobre una placa plana Análisis aproximado de la velocidad y del arrastre en el flujo laminar sobre una placa plana
Consideremos el flujo estable en dos dimensiones de un fluido incompresible de propiedades constantes sobre una placa plana, tal como se ilustra en la figura 19.1. El eje x se toma a lo largo de la placa con el origen x = 0 en la arista de entrada y el eje y perpendicular a la superficie de la placa. Sean u(x, y) y v(x, y) las componentes de la velocidad en las direcciones x e y respectivamente, u∞ la velocidad libre del flujo y δ(x) el espesor de la capa límite de velocidad. Las componentes de la velocidad u(x, y) y v(x, y) satisfacen las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento de una capa límite.
Figura 19.1 velocidad y arrastre en flujo laminar sobre una placa plana
Continuidad:
Ecuación 19.1
Cantidad de movimiento:
Ecuación 19.2
El término de presión en la ecuación de cantidad de movimiento se puede relacionar con la velocidad de flujo externo u∞(x) evaluando la ecuación en el borde de la capa límite de velocidad, en donde u ~ u∞(x). Se encuentra que:
Ecuación 19.3 puesto que se considera que u∞(x) es sólo función de x. En el análisis de la capa límite se supone que se conoce la velocidad del flujo externo u∞(x) la cual se halla al resolver el problema de velocidad del flujo por fuera de la capa límite; en consecuencia se considera que el término dP/dx es conocido. Por ejemplo, en el caso de flujo a lo largo de una placa de velocidad del flujo externo u∞ es constante, entonces dP/dx=0, por lo tanto el gradiente de presión dP/dx no aparece en la ecuación de cantidad de movimiento en x para el flujo a lo largo de una placa plana. Las condiciones de frontera de estas ecuaciones son:
En y = 0, u = 0 y v = 0 En y = δ(x), u →u∞
Las condiciones de frontera establecen que en la superficie de la placa las componentes de la velocidad son cero (es decir, la superficie es impermeable al flujo) y que la componente axial de la velocidad en el borde de la capa límite en y = δ (x) es casi igual a la velocidad del flujo externo u∞. Ahora se resuelve el problema de velocidad descrito por el método integral aproximado que fue desarrollado originalmente por von Kármán. El propósito de presentar aquí este método aproximado de análisis es el de ilustrar la aplicación de esta poderosa técnica matemática para obtener una solución analítica del problema de velocidad y por lo tanto proporcionar alguna idea del significado de los diferentes parámetros. Los métodos aproximados son útiles para resolver analíticamente problemas más complicados los cuales no se pueden resolver fácilmente por métodos exactos; sin embargo, la exactitud de un método aproximado no se puede conocer antes de comparar la solución aproximada con la solución exacta. Los pasos básicos de este método son los siguientes:
1. Se integra la ecuación de cantidad de movimiento en x con respecto a y, sobre el espesor de la capa límite δ(x) y se elimina la componente v(x,y) de la velocidad por medio de la ecuación de continuidad. La ecuación resultante recibe el nombre de ecuación integral de cantidad de movimiento. 2. Sobre el espesor de la capa límite 0 ≤ y ≤ δ(x) se escoge un perfil adecuado para la componente u(x,y) de la velocidad. Generalmente se selecciona un perfil polinomial y la experiencia ha demostrado que no se aumenta apreciablemente la exactitud de la solución si se escogen polinomios mayores del cuarto grado. Los coeficientes se determinan en función del espesor de la capa límite δ(x) haciendo uso de las condiciones en y = 0 y y = 8(x); entonces el perfil de velocidad es una función de y y de δ(x) de la forma: Ecuación 19.4 3. Se sustituye el perfil de velocidad u(x, y) en la ecuación integral de cantidad de movimiento que se obtuvo en el paso 1 y se integra con respecto a la variable y. La expresión resultante es una ecuación diferencial ordinaria de δ(x); el espesor de la capa límite se determina resolviendo la ecuación diferencial ordinaria sometiéndola a la condición de frontera δ(x) = 0 para x = 0 4. Una vez que se conoce δ(x) se puede determinar la distribución de velocidad u(x, y). El coeficiente de arrastre se obtiene rápidamente a partir de su definición por medio de la distribución de velocidad encontrada en el paso 4. El método integral que se acaba de describir proporciona un método de solución muy directo de las ecuaciones de la capa límite. Aunque el análisis es aproximado, el coeficiente de arrastre determinado por este método es en la mayoría de los casos prácticos bastante aproximado a los resultados exactos.
Entonces, para el caso que se está analizando, el paso uno lleva a:
Ecuación 19.5
puesto que por el concepto de capa límite (du/dy) y =δ = 0. De esta ecuación se elimina la componente y de la velocidad haciendo uso de la ecuación de continuidad. La segunda integral del lado izquierdo se hace por partes:
Ecuación 19.6 puesto que u = u∞ en y = δ y u = 0 en -y = 0. Los términos del lado derecho de esta relación se determinan de la siguiente manera: de la ecuación de continuidad se obtiene inmediatamente dv/dy:
Ecuación 19.7 e integrando esta ecuación desde .y = 0 hasta y = δ se obtiene:
Ecuación 19.8
ya que v|y = 0 = 0 Al sustituir estas dos ecuaciones se encuentra:
Ecuación 19.9
Cuando se sustituye este resultado en la ecuación inicial se llega a:
Ecuación 19.10 o puesto que du2 = 2udu
Ecuación 19.11
Reagrupando e invirtiendo el orden de diferenciación e integración:
Ecuación 19.12
que es la ecuación integral de cantidad de movimiento para placa plana horizontal.
Lección No. 20 - Cantidad de movimiento de un componente i Balance de cantidad de movimiento de un componente i.
El balance de cantidad de movimiento es una expresión de la segunda ley de Newton “la tasa de variación de la cantidad de movimiento de un componente i es igual a la resultante se las fuerzas que actúan sobre i”. Cantidad de movimiento de i en un volumen Ω .
Ecuación 20.1
Donde es la velocidad de i respecto a una referencia fija
Las fuerzas que aguan sobre el componente i son:
- Fuerza sobre el cuerpo:
Ecuación 20.2 Donde g es la aceleración de la gravedad y
es la fuerza de interacción
sobre i, debida a todos los demás componentes de la mezcla.
- Fuerzas de superficie:
Ecuación 20.3
Donde
es el tensor de esfuerzos y
es un vector normal a la superficie.
La cantidad de movimiento de i transportada a través de la superficie Σ(Ω) es:
Ecuación 20.4
Donde
es la velocidad de i con relación a una referencia fija.
La cantidad de movimiento generada debido a la generación de masa de i por reacción química es:
Ecuación 20.5
Donde
es la velocidad de masa
Balance integral de cantidad de movimiento.
Con las consideraciones anteriores se llega a:
Ecuación 20.6
Transformando las integrales de superficie en integrales de volumen, utilizando el teorema de la divergencia y teniendo en cuenta que el volumen es arbitrario, se obtiene una ecuación de “balance diferencial de cantidad de movimiento para el componente i”:
Ecuación 20.7
Donde, en coordenadas cartesianas, los vectores expresados respectivamente por:
y
son
suma en j y k de 1 a Ecuación 20.8
suma en j y k de 1 a 3 Ecuación 20.9
Utilizando la ecuación de balance de masa de i (lecciones anteriores), se obtiene:
Ecuación 20.10 Que es la “ecuación de balance diferencial de cantidad de movimiento de i”.
Ecuación de balance de cantidad de movimiento de una mezcla como un todo.
Efectuando la suma miembro a miembro de la ecuación de C.M. de cada elemento i, se obtiene:
Ecuación 20.11
Por la ley de conservación de la cantidad de movimiento
cero, y por la ley de acción y reacción de Newton,
es igual a
Utilizando la definición
de la densidad de una mezcla, de la velocidad del centro de masa y de la velocidad de difusión de i con respecto a la velocidad del centro de masa definiendo:
y
