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Fenômenos de Transporte

Prof a. Mara Nilza Estanislau Reis 1º semestre 2008

Fenômenos de Transporte – 01/2008

Disciplina: Fenômenos de Transporte Cursos:

Engenharia de Controle e Automação Engenharia Elétrica

Prof a.:

Mara Nilza Estanislau Reis 1º semestre 2008

Objetivos: -

Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de Calor;

-

Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso;

-

Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas;

-

Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos;

-

Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido.

Ementa: Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade. Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, Aplicações.

1


Índice 1. Introdução a Mecânica dos Fluidos..................................................................

12

1.1. Definição.............................................................................................

12

1.2. Objetivo...............................................................................................

12

1.3. Aplicação.............................................................................................

12

2. Definição de um Fluido.....................................................................................

12

2.1. Introdução...........................................................................................

12

2.2. A Hipótese do Contínuo......................................................................

13

2.3. Princípio da Aderência........................................................................

13

3. Métodos de Análise...........................................................................................

14

3.1. Sistema................................................................................................

14

3.2. Volume de Controle............................................................................

14

4. Dimensões e Unidades......................................................................................

14

4.1. Introdução............................................................................................

14

4.2. Sistemas de Dimensões.......................................................................

14

4.3. Sistemas de Unidades..........................................................................

15

5. Propriedades Físicas dos Fluidos......................................................................

16

5.1. Peso Específico....................................................................................

16

5.2. Volume Específico..............................................................................

17

5.3. Densidade Relativa..............................................................................

17

5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta...........................................

18

5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico..................................................

19

5.5.1. Condições Isotérmicas.............................................................

19

5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................

19

5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ...............................................

19

6. Campo de Velocidade.......................................................................................

20

7. Regime Permanente e Transiente......................................................................

21

7.1. Regime Permanente.............................................................................

21

7.2. Regime Transiente...............................................................................

21

7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................

21

8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional..............................................................

21

8.1. Escoamento Unidimensional...............................................................

21

2


8.2. Escoamento Bidimensional.................................................................

22

8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............

23

8.4. Campos de Tensão...............................................................................

26

9. Viscosidade.......................................................................................................

27

9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ).............................................

27

9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)...............................................................

29

9.3. Número de Reynolds: (Re) .................................................................

29

9.4. Tipos de Escoamento...........................................................................

30

10. Pressão............................................................................................................

32

10.1. Lei de Pascal......................................................................................

34

11. Fluidoestática..................................................................................................

34

11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................

35

11.2. Pressão Manométrica........................................................................

37

11.3. Pressão Absoluta...............................................................................

38

11.4. O Barômetro de Mercúrio.................................................................

38

11.5. Aplicação para a Manometria............................................................

39

11.6. Tipos de Manômetros........................................................................

41

11.6.1. Manômetros de líquido..........................................................

41

11.6.2. Manômetros metálicos..........................................................

43

12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes....................................................................

43

12.1. Princípio de Arquimedes...................................................................

44

13. Fluidodinâmica................................................................................................

47

13.1. Sistema..............................................................................................

47

13.2. Volume de Controle..........................................................................

48

13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para Volume de Controle................................................................................... 13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um Volume de Controle Arbitrário..................................................................

3

48 49

13.4.1. Casos Especiais.....................................................................

50

13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica....................................

51

13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle.............

53

13.6. Equação de Bernoulli........................................................................

55

13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais.........................

57


13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli......

57

13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli.....................................

59

13.6.2.1. Teorema de Torricelli.............................................

59

13.6.2.2. Medidores de Vazão...............................................

60

13.6.2.2.1. Tubo de Venturi.......................................

62

13.6.2.2.2. Tubo de Pitot...........................................

63

13.6.2.2.3. Placa de Orifício......................................

65

13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação.............................

68

13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga.............

68

13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais..................................................................................................

69

13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................

70

13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas.....................................

70

13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas..................................

74

13.8. Potência Fornecida por uma Bomba.................................................

81

14. Transferência de Calor....................................................................................

86

14.1. Introdução..........................................................................................

86

14.2. Modos de Transferência de Calor.....................................................

86

14.2.1. Condução............................................................................

86

14.2.2. Convecção..........................................................................

87

14.2.3. Radiação.............................................................................

87

14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor.............................................

88

14.3.1. Condução............................................................................

89

14.3.2. Convecção..........................................................................

92

14.3.3. Radiação.............................................................................

93

15. Condução........................................................................................................

96

15.1. Introdução à Condução......................................................................

96

15.2. Propriedades Térmicas da Matéria....................................................

97

15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle.......................

98

15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................

101

15.4.1. Coordenadas Cartesianas....................................................

101

15.4.2. Coordenadas Cilíndricas.....................................................

104

15.4.3. Coordenadas Esféricas.......................................................

104

4


15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................

105

15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente.........................

108

15.5.1. Parede Simples..................................................................

108

15.5.2. Resistência Térmica...........................................................

109

15.5.3. Parede Composta................................................................

113

15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo.......................................

116

15.5.5. Resistência de contato........................................................

116

15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Cilindro.......................................................................................

119

15.6.1. Distribuição de Temperatura..............................................

119

15.6.2. Parede Cilíndrica Composta...............................................

122

15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento.........................................

125

15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica Parede Plana....................................................................... 15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais.................................................................

129 130 130 133

16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas.........................

134

16.1. Introdução..........................................................................................

134

16.2. Tipos de Aletas..................................................................................

136

16.3. Balanço de Energia para uma Aleta..................................................

137

16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................

138

16.5. Desempenho da Aleta........................................................................

143

17. Condução Transiente.......................................................................................

146

17.1. Introdução..........................................................................................

146

17.2. Método da Capacitância Global........................................................

146

18. Convecção.......................................................................................................

148

18.1. Fundamentos da Convecção..............................................................

148

18.2. As Camadas Limites da Convecção..................................................

160

18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica.........................................

151

18.2.2. As Camadas Limites de Concentração..................................

152

5


18.3. Escoamento Laminar e Turbulento...................................................

153

18.4. A Camada Limite Térmica................................................................

156

EXERCÍCIOS RECOMENDADOS.....................................................................

158

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................

159

Apêndice A...........................................................................................................

160

Apêndice B............................................................................................................

164

6


Figuras Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante.

12

Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de

13

uma Força de Cisalhamento Constante. Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞

13

Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro.

14

Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.

14

Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto.

20

Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional.

22

Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional.

22

Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido.

28

Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds.

30

Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos.

31

Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente.

33

Figura 13 – Fluida em Repouso.

34

Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal.

35

Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático.

37

Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica.

38

Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio.

39

Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos.

39

Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes.

40

Figura 20 – Manômetro de Líquido.

41


42


42

Figura 23 – Tubo de Bourdon.

43

Figura 24 – Manômetro de Diafragma.

43

Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático.

43

Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso.

47

Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro.

48

Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo.

48

Figura 29 – Escoamento Unidimensional.

52

Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento

58

7


Unidimensional em um Duto. Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de controle usado para análise.

59 60

Figura 33 – Tubo de Venturi.

62

Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot.

63

Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico.

64

Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real.

66 68 69

Figura 39 - Ábaco de Moody.

72

Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa.

73

Figura 41 – Valores aproximados de k.

74

Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço.

75

Figura 43- Redução de Área – Bocal.

77

Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor.

78

Figura 45 – Válvula de gaveta.

79

Figura 46 – Válvula Globo.

80

Figura 47 – Válvula de Retenção.

80

Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba.

81

Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima.

83

Figura 50 - Transferência de calor.

86

Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia provocada pela atividade molecular. Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) Convecção forçada.

87 87

Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.

88

Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças.

88

Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana.

89

8


Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor.

91

Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies.

94

Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria.

97

Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas).

102

Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas).

104

Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas).

105

Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana.

108

Figura 63 – Circuito Térmico.

111

Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana.

113

Figura 65 – Circuito térmico equivalente.

114

Figura 66 – Parede Composta.

116

Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta.

116

Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato.

117

Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco.

119

Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta.

121

Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas.

124

Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta.

125

Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2.

128

Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica.

129

Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor. (a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno

131

assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário. Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor.

134 132 132

Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados.

133

Figura 80 – Configurações de Aletas.

133

Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida.

134

Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante.

139

Figura 83 – Eficiência de aletas.

144

9


Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares.

146

Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente.

147

Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por

148

convecção. Figura 87 - Transferência convectiva de Calor.

148

Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana.

149

Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica.

151

Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite.

152

Figura 91 – Camada Limite.

153

Figura 92 – Camada Limite Térmica.

156

Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos

166

Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm.

167

10


Tabelas Tabela 1 – Sistemas de Unidades.

15

Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia.

16

Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia.

71

Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos.

76

Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão.

76

Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção.

77

Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões

78

Tabela 8 – Valores de h (W/m².K)

92

Tabela 9 – Equações de Taxa

96

Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas

96

Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos

118

interfaciais Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas

118

Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos

163

11


1. Introdução a Mecânica dos Fluidos 1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso (Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica). 1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio produtor de trabalho. 1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, etc.

2. Definição de um Fluido 2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe.

Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente, enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b).

12


Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força de Cisalhamento Constante. 1a Situação: Figura 2a Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio estático. 2a Situação: Figura 2b Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de equilíbrio estático. 2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito. 2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3)

Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas.

13


3. Métodos de análise 3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 .

Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5.

Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo.

4. Dimensões e unidades 4.1. Introdução Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias (básicas) e secundárias (derivadas)). Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões. 4.2. Sistemas de Dimensões Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”. Exemplo: x = x 0 + V0 + 1 at 2 2

(

(L ) = (L ) + (L t × t )+ 1 2 L t 2 × t 2 14

)


4.3. Sistema de Unidades Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária. SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), quantidade de matéria e intensidade luminosa. Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura). Tabela 1 – Sistemas de Unidades. SISTEMA

MASSA COMPRI- TEMPO TEMPE- CORRENTE

DE

MENTO

QTE DE

RATURA ELÉTRICA MATÉRIA

UNIDADES

INTENSIDADE LUMINOSA

SI

Kg

m

s

K

ABSOLUTO

g

cm

s

K

TÉCNICO

utm

m

s

K

INGLÊS

slug

ft

s

R

INGLÊS

lbm

ft

s

R

Força:

1N = 1kg

m s2

Força:

1dina = 1g

Massa

1slug = 1lbf

A

mol

cd

TÉCNICO

cm s2 s2 ft

No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as diferentes grandezas.

15


A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa. Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. Fator

Prefixo

Símbolo

109

Giga

G

106

Multiplicativo Mega

M

10

3

Kilo

k

10-1

Deci

d

10-2

Centi

c

10-3

Mili

m

10-6

Micro

µ

10-9

Nano

n

10-12

Pico

p

5. Propriedades físicas dos fluidos 5.1. Peso especifico: (γ) É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. γ: Peso específico [F/L3] γ =

W ∀

W: Peso da substância [F] ∀ : Volume do fluido [L3 ]

γ =

mg m = g = ρg ∀ ∀

Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3) DIM: [F / L3]

16


5.2. Volume específico: (ν) Inverso da massa específica. υ: Volume específico [L3/M] υ=

∀ 1 = m ρ

ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3]

Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm) DIM: [L3/ M] 5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG) Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância de referência seja a água. δ: Densidade relativa [adimensional] δ = d = SG =

ρ ρ ref

ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da substância de referência [M/L3]

δ=d = SG=

DIM: [1]

17

ρfluido ρfluido padrão

=

γfluido γfluido padraão


5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β ) Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida em uma unidade de volume. ρ: Massa específica [M/L3] ρ=

m ∀

m: Massa do fluido [M] ∀ : Volume do fluido [L3 ]

Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3) DIM: [M / L3] A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm.

5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β) Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por unidade de volume. β: Módulo de elasticidade volumétrico β =

− ∆P ∆∀ / ∀

∆P: Variação de pressão [F/L2] ∆∀ : Variação de Volume [L3 ] ∀ : Volume [L3 ]

O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de volume. Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2) DIM: [F / L2]

18


Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão. 5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante P.V. = constante

P1V1 = P2V2

V 1 P2 = V 2 P1

P.dV + V.dP = 0 P.dV = - V.dP dV − dP = V P β =P

5.5.2. Condições adiabáticas: P.Vk = constante k = Cp / Cv P1.V1k = P2.V2k Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0 P.k.dV + V.dP = 0 dV − dP = V kP β = kP

5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) Inverso do módulo de elasticidade volumétrico. C=

1

β

C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F] β: Módulo de elasticidade volumétrico

[F/L2] Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf) DIM: [L2/F] 19


6. Campo de velocidade Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume de fluido ∀ mostrado na Fig. 6.

Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do volume infinitesimal δ∀ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão. r O campo de velocidade, V , é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa representação do campo de velocidades é dada por: r r V = V ( x, y , z , t )

r O vetor velocidade, V , pode ser expresso em termos de suas três componentes

escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e w, o campo de velocidades pode ser escrito como: r V = uiˆ + vˆj + wkˆ ,

onde: u = u (x, y, z, t ), v = v(x, y, z, t ) e w = w (x, y, z, t )

Exemplo: Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine: (a) As dimensões de cada campo de velocidade (b) Se está em regime permanente ou não

(1)

(2)

20

[

]

r V = ae −bx iˆ r V = ax 2iˆ + bxˆj


(4)

r V = axiˆ − bxˆj r V = (ax + t )iˆ − by 2 ˆj

(5)

r 1 V = a (x 2 + y 2 ) 2 1

(3)

( z )kˆ 3

Resolução: r r r r (1) Unidimensional ( V = V ( x ) ), regime permanente V ≠ V (t ) . r r r r (2) Unidimensional ( V = V ( x ) ), regime permanente V ≠ V (t ) . r r r r (3) Bidimensional V = V ( x, y ) , regime permanente V ≠ V (t ) . r r r r (4) Bidimensional V = V ( x, y ) , regime não permanente V = V (t ) . r r r r (5) Tridimensional V = V ( x, y, z ) , regime não permanente V = V (t ) .

7. Regime permanente e transiente 7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento,

não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é: ∂η = 0 , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido. ∂t

7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do

vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas espaciais, através de toda a extensão do campo.

8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades. 8.1. Escoamento unidimensional:

Exemplo: Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção transversal constante mostrado na Fig. 7.

21


Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela equação: ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ u = u max ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é unidimensional. 8.2. Escoamento bidimensional:

Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, portanto, bidimensional.

Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional.

22


8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente:

Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente. Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta linha é chamada de linha de tempo. Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula é uma trajetória. Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo no espaço, é definida como linha de emissão. As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, não pode haver escoamento através delas. No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e, subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento. A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não coincidem.

23


Exemplo: →

∧

∧

Considere o campo de escoamento V = axt i − b j , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 3 segundos. Resolução:

Partindo do princípio u = u = axt =

dx , dt

x

dx dy e v= , então: dt dt

t

dx ∫x x = ∫0 at.dt 0

1 2 at 2 ⎛ x⎞ 1 ln⎜⎜ ⎟⎟ = at 2 e x = x0 e 2 ∴ x = 3e 0,1t ⎝ x0 ⎠ 2

dy =b, e também, v = dt

y

t

y0

0

∫ dy = ∫ bdt ,

y = y0 + bt ∴ y = 1 + 3t

2

x = 3e 0,1t Æ Região a ser plotada no plano xy. y = 1 + 3t

Temos que Logo:

dy v = . dx s u

dy b = . dx axt y

Aplicando equações diferenciais temos:

∫ dy =

y0

Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, y = 1 + Para

24

t=1

Æ

⎛ x⎞ y = 1 + 15 ln⎜ ⎟ ⎝3⎠

t=2

Æ

⎛ x⎞ y = 1 + 7,5 ln⎜ ⎟ ⎝3⎠

t=3

Æ

⎛ x⎞ y = 1 + 5 ln⎜ ⎟ ⎝3⎠

x

b dx b ⎛ x⎞ ou y = y0 + ln⎜⎜ ⎟⎟ . x at ⎝ x0 ⎠

∫ at

x0

15 ⎛ x ⎞ ln⎜ ⎟ . t ⎝3⎠


Exemplo: →

∧

∧

O campo de velocidade V = ax i − by j , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0). Resolução:

A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por: dy v = dx u →

∧

∧

Para V = ax i − by j , façamos u = ax e v = -by, logo: dy v b. y = =− dx u a.x

Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos:

∫

dy b dx = −∫ y a x

b ln y = − ln x + c ∴ c = constante a ln y = ln x

25

−

b a

+ ln c ∴ ln c = constante


Portanto: y = cx

−

b a

Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c.

Como a = b = 1 sec-1, então

y = cx −1 =

a = 1 , e a equação das linhas de corrente é dada por: b

c c ou x = x y

Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y.

c é a equação da hipérbole. x

•

A equação y =

•

As curvas estão mostradas para diferentes valores de c.

8.4. Campo de Tensão

Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo. A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por ρ gdV , onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é ρ g por unidade de volume e g por unidade de massa.

O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de

26


tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de toda extensão do material. Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo

tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um tensor de 2ª ordem. Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , δAx , e tomando o limite quando δAx se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão mostradas abaixo: τ xx = lim

δFx δAx

∴ τ xy =

δA x → 0

lim

δF y δA x

δA x → 0

∴ τ xy =

lim

δFz δAx

δA x → 0

Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos.

9. Viscosidade 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)

Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou seja, a dificuldade do fluido em escoar. Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx.

27


Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por: δFx dFx = δAy → 0 δAy dAy

τ yx = lim

A taxa de deformação é igual a: δα dα = δt →0 δt dt lim

A distância entre os pontos M e M’é dada por: δl = δVδt

(a)

Para pequenos ângulos, δl = δyδα

(b)

Igualando-se (a) e (b),

dα du δα δu = ⇒ = δ t δy dt dy Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou:

τ yx ∝

du du ⇒ τ yx = µ . dy dy

A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. DIM: [F.t / L2= M/L.t] Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2) Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições normais.

28


Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa. A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso. 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)

Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.

ν: Viscosidade cinemática [L2/t] υ=

µ ρ

µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2] ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3]

DIM: [L2/t] Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s) Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes = 1cm2/s. 9.3. Número de Reynolds: (Re)

Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. Re: Número de Reynolds [adimensional]

ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] Re =

ρV * L* µ

V*: Velocidade do fluido [L/t] L*: Comprimento característico [L]

29


µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2] DIM: [1] O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Devese ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o comprimento da placa.

Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água. 9.4. Tipos de escoamento:

30

-

Escoamento laminar ( em tubulações Re ≤ 2300 )

-

Escoamento turbulento (Re > 4000)


Mecânica dos Fluidos Fluido não viscoso µ = 0 Compressível

Fluido viscoso µ≠ 0

Incompressível Ma < 0,3

Laminar Re ≤ 2300

Turbulento Re > 4000

Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do escoamento ( V ) pela velocidade do som (S) do meio.

Ma =

V S

Exemplo: Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se encontra na folga anular, em (Pa.s) Î Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão

de cisalhamento:

τ = µ.

du dy

Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual possamos trabalhar:

31


ou umax = ωr

W = 20rps ⎧1rot → 2.π .r ⎨ ⎩20rot → 20.2.π .r → 125,6rad / s umax = ωr = 1,13

umax =

m s

umax

π .n d

30 2 π .d .n = 60

Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material: A = π .D.L A = π 18.10− 3.60.10 − 3 A = 3,39.10− 6 m 2

Pelo torque, podemos tirar a força:

τ = F .r τ F=

r 0,0036 F= 9.10 −3 F = 0,4 N

Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia à força:

µ=

F ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ A ⎝ du ⎠

0,4.0,2.10 −3 du umax , onde = −3 dy y 3,39.10 .1,13 N .s µ = 0,0208 2 m

µ=

10. Pressão Força exercida em uma unidade de área. P: Pressão [F/L2] P=

F A

F: Força [F] A: Área [L2]

Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg) DIM: [F / L2]

32


A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão: P∀ = nR T

Onde: n: quantidade de matéria [mol] R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K

⎡ F .L ⎤ DIM: ⎢ ⎣ mol.k .T ⎥⎦ T: temperatura absoluta do gás [T] Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação pode ser reescrita na forma: P∀ = mRT

Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns.

R=

R MM

A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ou “standard”. A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser calculada da maneira mostrada a seguir:

Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente.

33


A pressão na superfície do fluido é igual a P0. A força na superfície do fluido é dada por P0 A A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso: F fluido = mg = ρ∀g = ρ ( Ah )g = Aρgh

A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do fluido e do peso da coluna de fluido: F = Fsup erfície + F fluido F = P0 A + ρghA

A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base: P=

F Fsup erfície + F fluido = A A

P=

P0 A + Aρgh = P0 + ρgh A

Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes. Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h. 10.1. Lei de Pascal:

“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”.

Figura 13 – Fluido em Repouso.

11. Fluidoestática É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido.

34


11.1. A equação básica da estática dos fluidos:

Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 14. z

dz

y x

dx dy

Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. A força total atuando no elemento é dada por: r r r r r dF = dFC + dFS = dm.g + dFS

A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é: r ⎛ ∂P dy ⎞ ⎟⎟dx.dzˆj dFL = ⎜⎜ p − ∂ 2 y ⎝ ⎠

A força de pressão na face direita é dada por:

( )

r ⎛ ∂P dy ⎞ ⎟dx.dz − ˆj dFR = ⎜⎜ p + ∂y 2 ⎟⎠ ⎝

35


A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do elemento,

( )

r ⎛ ∂P dy ⎞ ∂P dx ⎞ ∂P dx ⎞ ⎛ ⎛ ⎟dx.dzˆj dFS = ⎜ p − ⎟dy.dz − iˆ + ⎜⎜ p − ⎟dy.dziˆ + ⎜ p + ∂y 2 ⎟⎠ ∂x 2 ⎠ ∂x 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝

( )

( )

⎛ ∂P dz ⎞ ∂P dy ⎞ ∂P dz ⎞ ⎛ ⎛ ⎟⎟dx.dz − ˆj + ⎜ p − + ⎜⎜ p + ⎟dx.dykˆ + ⎜ p + ⎟dx.dy − kˆ ∂ ∂ ∂ y 2 z 2 z 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

r ⎛ ∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ ⎞ dFS = ⎜⎜ − i− j− k ⎟dx.dy.dz ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x

A força total é dada, portanto, por: r r r r ⎛ ∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ ⎞ dF = dm.g + dFS = dm.g + ⎜⎜ − i− j− k ⎟dx.dy.dz ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x

Como dm = ρ .d∀ = ρ .dx.dy.dz , r r ⎛ ∂P ˆ ∂P ˆ ∂P ˆ ⎞ r dF = ρ .dx.dy.dz..g + ⎜⎜ − i− j− k ⎟⎟dx.dy.dz = (ρ .g − ∇P )d∀ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

A 2ª Lei de Newton estabelece que: r r dF = dm.a

Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas as forças deve ser zero. Assim,

(ρ .gr − ∇P ) = 0 Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,

−

∂P + ρg x = 0 ∂x

−

∂P + ρg y = 0 ∂y

−

∂P + ρg z = 0 ∂z

Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z r apontado para cima ( g = − gkˆ) , as equações podem ser reescritas como: ∂P =0 ∂x

∂P =0 ∂y

∂P =0 ∂z

Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15). 36


Conclusões:

1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à mesma pressão; 2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da orientação (Lei de Pascal). Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15).

Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. PB = PC + ρgh

Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são denominadas pressões manométricas ou efetivas. 11.2. Pressão Manométrica:

Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm). Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 760 mmHg

37


A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. Se P>Patm, Pman > 0 Se P
Pressão medida a partir do zero absoluto. Pabs = Patm + Pman

ou Pman = Pabs − Patm

A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras equações de estado é a pressão absoluta.

Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 11.4. O Barômetro de Mercúrio:

A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17.

38


Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio.

PA = Patm PA' = PA pontos isobáros (mesma altura no mesmo fluido em repouso) PA = PE + ρgh PE = 0

vácuo

PA = ρgh ∴ Patm = ρgh = γh Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida de mercúrio. h = 760mmHg ⇒ 1atm = 760mmHg

11.5. Aplicação para a Manometria: P2 − P1 = ρg (z2 − z1 ) z2 − z1 =

P2 − P1 P2 − P1 = ρg γ

Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão.

Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39


1) P5 − P4 = ρ m g (z4 − z5 ) 2) P4 − P3 = ρ g g (z 3 − z 4 ) 3) P3 − P2 = ρ a g (z2 − z3 ) 4) P2 − P1 = ρo g (z1 − z2 ) Agrupando as equações acima temos: P5 − P1 = ρ o g (z1 − z2 ) + ρ a g (z2 − z3 ) + ρ g g (z3 − z4 ) + ρ m g (z4 − z5 )

Exemplo: 1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera. Patm dA=0,75

P3

36pol P2 dB=1,20 P1

Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. Resolução: Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´. Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos: 1 pol = 25,4 mm 36 pol = 0,914 m 15 pol = 0,381 m 10 pol = 0,254 m 5 pol = 0,127 m 40


Calculamos as diferenças de pressão: P1 − Patm = ρ B .g .h1− atm P1 = ρ f . padrão .SGB .g .h1− atm P1 = 1.103.1,20.9,81.0,914 = 10.759,60 Pa P1 − P 2 = ρ B .g .h1− 2 P 2 = P1 − ρ f . padão .SGB .g .h1− 2 P 2 = 10.759,60 − 1.103.1,20.9,81.0,381 = 6.274,47 Pa P 2 − P3 = ρ A .g .h2 − 3 P3 = P 2 − ρ f . padão .SG A .g .h2 − 3 P3 = 6.274,47 − 1.103.0,75.9,81.0,127 = 5.340,07 Pa Pa − P3 = ρ h2 o .g .h4 − 3 Pa = ρ h2 o .g .h4 − 3 + P3 Pa = 1.103.9,81.0,254. + 5.340,07 = 7.831,81Pa

Temos então como pressão no ponto “a”´:

Pa = 7.831,81Pa 11.6. Tipos de Manômetros:

11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em

forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo.


41


hA = hB p A = patm + ρghA pB = patm + ρghB p A = pB

Figura 21 – Manômetro de Líquido. p A = pB p A = patm + ρ a ghA pB = patm + ρb ghB

Figura 22 – Manômetro de Líquido. p A = pB p A = pC + ρ a ghA pB = patm + ρ b ghB pC , man = ρ b ghB − ρ a ghA

42


11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos

fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações industriais.

Figura 23 – Tubo de Bourdon.

Figura 24 – Manômetro de Diafragma.

12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado. As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de flutuação de um densímetro. Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em repouso.

Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. O empuxo vertical no cilindro elementar de volume d∀ é dado por: 43


dF = P2 dA − P1dA

dF = (Patm + ρgh2 )dA − (Patm + ρgh1 )dA dF = ρg (h2 − h1 )dA = ρgd∀

O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja,

∫

∫

F = dF = ρgd∀ = ρg∀

12.1. Princípio de Arquimedes:

“Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado pelo corpo.” O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido.

Corpo Imerso:

E = peso do volume de fluido deslocado E = ρ fluido∀corpo g W = ρ corpo∀corpo g

Corpo Flutuante:

E = peso do volume de fluido deslocado E = ρ fluido∀deslocado g W = ρ corpo∀corpo g

44


Situações Possíveis:

•

Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:

E =W

ρ fluido = ρcorpo

•

Corpo Afunda

W >E

ρcorpo > ρ fluido

•

Corpo Fica Parcialmente Imerso

E >W

ρ fluido > ρcorpo

O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C). Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado.

45


•

Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio:

O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.

• Corpo Afunda

O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo.

•

Corpo Fica Parcialmente Imerso

O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo. Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações:

•

46

Corpo imerso


Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo está em equilíbrio indiferente.

•

Corpo flutuante

Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro. Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável. Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em

equilíbrio instável.

13. Fluidodinâmica Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de controle, figuras 27 e 28. 13.1. Sistema:

Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles.

47


Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 13.2. Volume de Controle:

Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento.

Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle:

As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizandose a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds estabelece que:

Nsistema =

∫

massa ( sistema )

ηdm =

∫ηρd∀

∀ ( sistema )

(N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa. (η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura.

48


dN dt

= sistema

∂ ηρd∀ + ηρV • d A ∂t ∀C SC

∫

∫

Onde: dN sist. : é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do dt

sistema. ∂ ηρd∀ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N), ∂t ∀∫C

dentro do volume de controle.

η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa). ρd∀ : é um elemento de massa contido no volume de controle.

∫ηρd∀ :

é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de

∀C

controle.

∫ηρV •d A :

é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela

SC

superfície de controle.

ρV • d A : é a vazão em massa através do elemento de área d A . ηρV •d A : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área d A . r r V • n : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.

13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de controle arbitrário:

Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa, N sistema = M

η=

dM =1 dm

(

)

r r ∂ ⎛ dM ⎞ = ∫ ρd∀ + ∫ ρ V • n dA ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ sistema ∂t ∀C SC

Como a massa não varia no interior do sistema, ⎛ dM ⎞ =0 ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ sistema

49


∂ ∂t

∫

∀C

( r r)

ρd∀ + ∫ ρ V • n dA = 0 SC

Onde: r r V • n = u cosθ

Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área é dado por: r r r r V .dA = V dA cosθ , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área.

Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0° r r

r r

Na entrada de uma tubulação, V • n = −u , e, na saída, V • n = u Para um volume de controle fixo,

( r r)

∫ ρ V • n dA =

SC

∑ ρuA − ∑ ρuA

saída

entrada

Como o volume de controle é fixo,

∫

∀C

⎛ dρ ⎞ ⎜ ⎟d∀ + ∑ ρuA − ∑ ρuA = 0 ⎝ dt ⎠ saída entrada

ou

⎛ dρ ⎞ ⎜ ⎟d∀ + ∑ m& − ∑ m& = 0 ∀C ⎝ dt ⎠ saída entrada

∫

13.4.1. Casos especiais:

Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa. Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como:

∫ ρV •d A = 0

SC

Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é dada por:

50


∑ m& − ∑ m& = 0 , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para

saída

entrada

saídas e negativo para entradas. Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como: ρ

∫(

)

r r ∂ d∀ + ρ V • n dA = 0 ∂t ∀C SC

∫

ρentrada = ρ saída

A integral de d∀ em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos incompressíveis é dada por:

∫ V •d A = 0

SC

Definindo-se a vazão volumétrica Q por:

∫

Q = V •d A SC

a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas e saídas, como:

∑Q − ∑Q = 0

saída

entrada

A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área da seção, ou: r Q 1 V = = V •d A A A SC

∫

13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica:

Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t).

51


Figura 29 – Escoamento Unidimensional. Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t:

m& = ρ∀ A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada por: m& =

dm d (ρ∀) = dt dt

Aplicando-se a regra da cadeia,

m& =

dm d (ρ∀) = dt dt

Mas: d∀ d ds = ( As ) = A = Au dt dt dt

Assim: m& = ρuA + ∀

dρ dt

DIM: [M/t] Para escoamento incompressível,

dρ = 0. dt

m& = ρuA

A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por: Q=

d∀ = uA dt

DIM: [L3/t] A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: m& = ρQ

52


13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle:

A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua formulação para sistema é: .

.

Q− W

= sist .

dE dt

sist .

.

Onde: Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é adicionado ao sistema. .

W

: é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio

sobre o sistema (negativa). E: é a energia total do sistema, dada por:

∫ edm = ∫ eρd∀

E=

∀ ( sistema )

M ( sistema )

e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a energia potencial do sistema (por unidade de massa). 1 mV 2 + mgz + U 2 V2 e= + gz + u 2 E=

As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por: dN dt

= sistema

∂ ηρd∀ + ηρV • d A ∂t ∀C SC

Nsistema =

∫

∫

∫ ηdn = ∫ηρd∀

∀C

∀ ( sistema )

A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da termodinâmica, estabelecemos: N=E N = η. M η=

dE dm

η=e .

.

Q− W

sistema

=

no instante t0: 53

r ∂ eρd∀ + eρV • d A ∂t ∀C SC

∫

∫


.

.

.

Q− W

.

= Q− W ∀C

sist . .

O termo W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle. .

.

.

.

.

W = W eixo + W normal + W cisal + W outros .

W normal =

∫ pV •d A

SC

⎛ . ⎞ ∂ . . . Q − ⎜W eixo + pV •d A + W cisal + W outros ⎟ = eρd∀ + eρV •d A ⎜ ⎟ ∂t SC ∀C SC ⎝ ⎠

∫

.

.

Q− W =

∫

∫

r ∂ eρd∀ + (eρ + p )V • d A ∂t ∀C SC

∫

∫

⎞ r r ⎛V 2 ∂ ⎜⎜ Q& − W& = e ρ d ∀ + + gz + u + ρυ ⎟⎟ρV • dA ∫ ∫ 2 ∂t ∀C ⎠ SC⎝

Sendo: υ =

1

ρ

É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos .

sugeridos. Na equação, W eixo é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado .

sobre ou pelo volume de controle, W outros é qualquer taxa de trabalho não considerada, como trabalho produzido por forças eletromagnéticas.

Exemplo: Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência de calor. Î Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à

seguinte fórmula:

54


⎞ r r ⎛V 2 ∂ & & ⎟⎟ρV • dA ⎜ Q −W = e ρ d gz u ρυ ∀ + + + + ∫⎜ 2 ∂t ∀∫C ⎠ SC⎝

Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime permanente: ⎛ V12 ⎞ ⎛ V2 2 ⎞ & & ⎜ ⎟ + gz1 + u1 + p1υ1 ⎟ + ρ 2V2 A2 ⎜⎜ + gz 2 + u2 + p2υ1 ⎟⎟ Q − W = (− ρ1V1 A1 )⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Colocando a vazão mássica em evidência ⎞ ⎛ V 2 − V1 2 Q& − W& = m& ⎜⎜ 2 + g ( z 2 − z1 ) + (u2 − u1 ) + ( p2υ 2 − p1υ1 )⎟⎟ 2 ⎠ ⎝

(A)

h = entalpia específica = u + pυ h2 − h1 = ∆h = (u2 + p2υ 2 ) − (u1 + p1υ1 ) = C p .(T2 − T1 )

V1 = 0 OBS.: Cp é tabelado, Cpar = 0,24 ⋅

1HP = 550 ⋅

Z1 = Z 2

Btu lbf ⋅ ft e Rar = 53,3 lbm ⋅ R lbm ⋅ R

lbf ⋅ ft 1Btu = lbf ⋅ ft e 778 s

T (ºR) = 460 + T (ºF) Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos: ⎞ ⎛V 2 Q& = m& ⋅ ⎜⎜ 2 + C p ⋅ (T 2−T1 )⎟⎟ + W& ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎛ 500 2 ft 2 BTU lbm BTU Q& = ⎜⎜ − 2261,71 ⋅ 2 + 0 ,2399 ⋅ ⋅ (959 − 539 )⎟⎟ ⋅ 20 0 s lbm⋅ R s s ⎠ ⎝ 2 .

Q = −2,49.106

BTU s

13.6. Equação de Bernoulli:

Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode ser simplificada. ⎞ r r ⎛V 2 ∂ ⎜⎜ Q& − W& = e ρ d ∀ + + gz + u + ρυ ⎟⎟ρV • dA ∫ ∫ 2 ∂t ∀C ⎠ SC⎝

55


Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de trabalho realizadas, a equação se reduz a: ⎞ r r ⎛V 2 Q& − W& = ∫ ⎜⎜ + gz + u + ρυ ⎟⎟ρV • dA 2 ⎠ SC⎝

Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se alteram, a equação pode ser dada por: r r ⎛V 2 ⎞ r ⎛V 2 ⎞ r Q& − W& = ( gz1 + u1 + ρ1υ )(− m& 1 ) + ( gz 2 + u2 + ρ 2υ )m& 2 + ∫ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ρV2 • dA2 − ∫ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ρV1 • dA1 2 ⎠ 2 ⎠ A2 ⎝ A2 ⎝ No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva. ⎛ V22 ⎞ ⎛ V1 2 ⎞ & & ⎟ρV2 • dA2 − ∫ ⎜⎜ ⎟ρV1 • dA1 Q − W = ( gz2 − gz1 + u2 − u1 + ρ1υ − ρ1υ )m& + ∫ ⎜⎜ 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ A2 ⎝ A1 ⎝ Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que: ⎛V 2 ⎞ ⎛V 2 ⎞ ⎟ ⎜ ρ VdA α = ∫A ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ∫A ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠ρVdA

Onde: α: é o fator de correção da energia cinética Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta: ⎛ V2 V2⎞ Q& − W& = ⎜⎜ gz2 − gz1 + u2 − u1 + p2υ − p1υ + α 2 2 − α1 1 ⎟⎟m& 2 2 ⎠ ⎝

Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para escoamento em regime laminar, α = 2. Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se: Q& W& ⎛ V2 V2⎞ − = ⎜⎜ gz2 − gz1 + u2 − u1 + p2υ − p1υ + α 2 2 − α1 1 ⎟⎟ m& m& ⎝ 2 2 ⎠

Reescrevendo-se a equação, ⎛ V2⎞ ⎛ V 2 ⎞ W& Q& ⎜⎜ gz1 + p1υ + α1 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ gz2 + p2υ + α 2 2 ⎟⎟ = + (u2 − u1 ) − 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ m& m& ⎝

Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia .

W mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo m&

representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido 56


.

Q (Hs) e o termo (u2 − u1 ) − representa a conversão irreversível de energia mecânica na m&

seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de calor. 13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais:

Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos de atrito (fluidos ideais), têm que: .

Q (u2 − u1 ) = m&

A equação de Bernoulli pode ser dada então por: ⎛ V2⎞ ⎛ V2⎞ ⎜⎜ gz1 + p1υ + α1 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ gz2 + p2υ + α 2 2 ⎟⎟ = H s 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se conserva. A equação é dada por: ⎛ V2⎞ ⎛ V2⎞ ⎜⎜ gz1 + p1υ + α1 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ gz 2 + p2υ + α 2 2 ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎛ V2⎞ ⎟ = H = constante ⎜⎜ gz + pυ + α 2 ⎟⎠ ⎝

Equação de Bernoulli para fluidos ideais

A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível em regime permanente é constante. 13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli:

Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais são: P : ρg

Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão

estática local. z:

57

Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação.


α

V2 : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão 2g

dinâmica local. H:

Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento. Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva.

A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura de carga dinâmica (de velocidade).

Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um Duto. p V2 + Linha Energética: z + ρg 2 g

Linha Piezométrica: z +

58

P . ρg


13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli: 13.6.2.1. Teorema de Torricelli:

Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício lateral.

Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a: 2

2

V1 V2 P P2 + z2 + = 1 + z1 + ρg ρg g g

Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1 A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja, Q = A1V1 = A2V2

No entanto, A1 >> A2 . Pode-se considerar, portanto, V1 = 0 . Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, P1 = P2 = Patm . Além disso, z1 − z2 = h Portanto, h=

V22 2g

V2 = 2 gh

Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma altura h.”.

59


13.6.2.2. Medidores de vazão:

Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico.

Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de controle usado para análise.

A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima. A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A equação de Bernoulli estabelece que 2

2

P2 V2 P V1 + z2 + α 2 = 1 + z1 + α1 ρg 2 g ρg 2g

Como z1 = z2, a equação se reduz a: 2

2

P2 V2 P V1 + α2 = 1 + α1 2 g ρg 2g ρg

Assim, considerando-se escoamento turbulento, α1= α2 = 1 e: 60


ρ⎛

2 2 ⎜V 2 − V 1 ⎞⎟ ⎠ 2⎝

P1 − P2 =

ρV 2 ⎛⎜

2 V 1 ⎞⎟ 1− 2 ⎜ V 22 ⎟ ⎝ ⎠ 2

P1 − P2 =

As velocidades V 1 e V 2 podem ser relacionadas através da equação de conservação de massa, V 1 A1 = V 2 A2

Ou V 1 A2 = A1 V2

Assim, 2

ρV 2 ⎛

A ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ 2 ⎝ A1 ⎠

P1 − P2 =

A velocidade teórica (ideal) V 2 é, portanto, dada por: 2(P1 − P2 )

V2 =

⎡ ⎛ A ⎞2 ⎤ ρ ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ A1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por: Q = V 2 A2

Q=

2(P1 − P2 ) ⎡ ⎛ A ⎞2 ⎤ ρ ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ A1 ⎠ ⎥ ⎦ ⎣

. A2

No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da vazão através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando a vena contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser considerados uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes quando os contornos medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de pressão influencia a leitura da pressão diferencial. A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal que:

61


Q=

2(P1 − P2 ) ⎡ ⎛ A ⎞2 ⎤ ρ ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢ ⎝ A1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

.Cd . At

Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área da garganta, e não a área do escoamento na seção 2. São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, medidos com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na entrada do medidor. 13.6.2.2.1. Tubo de Venturi:

O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da velocidade em uma tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento, provocando um aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos números de Reynolds (maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos fabricantes deve ser consultada. A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no estrangulamento é medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig. 33.

Figura 33 – Tubo de Venturi. Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A), 2

2

P1 V1 P V2 + + z1 = 2 + + z2 ρ Ag 2g ρ Ag 2g

62


No entanto, z1 = z2 2

2

P1 V1 P V2 + = 2 + ρ A g 2g ρ Ag 2g

Falta ainda relacionar as velocidades V 1 e V 2 à vazão mássica ou à vazão volumétrica. A equação da continuidade estabelece que, para fluidos incompressíveis: Q = V 1 A1 = V 2 A2

Ou:

V1 =

Q A1

V2 =

Q A2

V 2 =V1

A1 A2

Igualando-se as expressões P1 e P2 e substituindo-se as expressões para as velocidades, chega-se a: Q = A1 ⋅

2 ⋅ (P1 − P2 ) ⎡⎛ A ⎞ 2 ⎤ ρ A ⋅ ⎢⎜⎜ 1 ⎟⎟ − 1⎥ ⎢⎣⎝ A2 ⎠ ⎥⎦

13.6.2.2.2. Tubo de Pitot:

Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a medição de vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2 configurações. Na primeira (Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no tubo, a velocidade do fluido é reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de Bernoulli:

Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot.

63


2

2

P1 V 1 P V2 + + z1 = 2 + + z2 ρg 2 g ρg 2 g

Mas: z1 = z2 V 2 =0

Assim, 2

P1 V 1 P + = 2 ρg 2 g ρg

ou: P2

ρ

−

P1

ρ

2

=

V1 2

As pressões podem ser relacionadas às alturas do fluido: P1 = Patm+ ρgh1 P2 = Patm+ ρgh2 Substituindo-se na equação de Bernoulli, ⎛P −P⎞ V 1 = 2 g ⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ ⎝ ρg ⎠

V 1 = 2 g (h2 − h1 )

Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a diferença de cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A,

Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 2

2

P1 V1 P V2 + + z1 = 2 + + z2 ρ Ag 2g ρ Ag 2g

64


Mas: z1 = z2 V 2 =0

Assim, 2

P1 V1 P + = 2 ρ Ag 2g ρ A g

ou: P2

ρA

−

P1

ρA

=

V1 2

2

As pressões nos pontos 1 e 2 podem ser relacionadas através das seguintes expressões: PC = P1+ ρ A gh1 PD = P2+ ρ A gh2 Mas, PC = P D + ρ B g (h1 − h2 )

Assim, P2 − P1= ( ρ A − ρ B )(h1 − h2 ) g

A velocidade do escoamento é dada, então, por: V1 =

2 g ( ρ A − ρ B )(h1 − h2 )

ρA

13.6.2.2.3. Placa de orifício:

A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de manuais. A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com tomadas de canto (fig.36) é: ⎛D ⎞ C = 0,5959 + 0,0312⎜ t ⎟ ⎝ Dl ⎠

65

2 ,1

8

91,71 ⎛ D ⎞ ⎛D ⎞ − 0,184⎜ t ⎟ + 0,75 ⎜ t ⎟ ⎝ Dl ⎠ Re Dl ⎝ Dl ⎠

2,5


Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de orifício. Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas de flange e com tomadas de pressão D e D/2.

Figura 36 (b) – Placa de Orifício. A1 = área da seção reta do tubo. A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante). A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante). Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos: p1

2

2

V1 p V2 + + Z1 = 2 + + Z2 γ 2g γ 2g

(1)

Porém, a área na seção reta na “vena contracta” será multiplicada por um fator CC chamado coeficiente de contração, então: A2 = CC A0 66

(2)


Assim sendo, Q = V1 A1 = V2Cc A0

(3)

Cortando Z1 e Z2 na equação (1) e substituindo (3) em (1), temos, P1

γ

+

Q2 P2 Q2 = + 2 gA12 γ 2 g( Cc A0 )2

h1 − h2 =

Q2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ 2 2 − 2 ⎟⎟ 2 g ⎝ CC A0 A1 ⎠

h1 − h2 =

Q 2 ⎛ A12 − CC2 A02 ⎞ ⎜ ⎟ 2 g ⎜⎝ CC2 A02 A12 ⎟⎠

Q=

CC2 A02 A12 ⋅ 2 g (h1 − h2 ) A12 − CC2 A02 ⎛A ⎞ C A ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠ 2 C

Q=

Q=

2

2 0

⎛A ⎞ 1 − CC2 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠

2

⋅ 2 g (h1 − h2 )

2

⋅ 2 g (h1 − h2 )

CC A0 ⎛A ⎞ 1 − CC2 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠

Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV” responsável pelas perdas por atrito e choques no orifício, então: Q=

CV CC A0 ⎛A ⎞ 1 − CC2 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠

2

⋅ 2 g (h1 − h2 )

(4)

Definimos o coeficiente de forma do orifício “C” como sendo a relação:

C=

CV CC ⎛A ⎞ 1 − CC2 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ A1 ⎠

2

(5)

A equação (4) pode ser escrita: Q = CA0 2 g (h1 − h2 )

67

(6)


13.6.2.2.4. Pressão de estagnação:

É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito.

Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática.

P

γ P0

γ

+

V2 + z = constante 2g

=

P

γ

+

V2 2g

onde: P0: é a pressão de estagnação V0 = 0 z0 = z P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por um instrumento movendo-se com o escoamento). P0 − P

γ

=

⎛P −P⎞ V = 2 g ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ γ ⎠

V2 2g

13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – perda de carga: 2

2

P2 V 2 P1 V1 + z2 + = + z1 + + ∆H p 2 g ρg 2g ρg

Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de peso do líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa pelos acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade.

68


13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais:

Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real. P : ρg

Energia de Pressão por unidade de peso do fluido.

z:

Energia de Posição por unidade de peso do fluido.

V2 : 2g

Energia Cinética por unidade de peso do fluido.

∆H p : Perda de Carga entre os pontos 1 e 2. A perda de carga (∆H p ) depende da rugosidade (ε) e do comprimento (L) da tubulação e da presença de acessórios e conexões no sistema. A perda de carga total é, portanto, a soma da perda de carga contínua (∆H pC ) , devida ao atrito do escoamento com as paredes ao longo da tubulação, com a perda de carga local (∆H pL ), devida à perda de pressão pelo atrito do escoamento com os acessórios e conexões, mudanças de área e outros. ∆H P = ∆H PC + ∆H PL

A perda de carga unitária é definida como sendo a razão entre a perda de carga e o comprimento da tubulação:

J =

69

∆H P L


A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada através de relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e da rugosidade relativa do duto. 13.7.2. Tipos de perda de carga: 13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos. 2

∆H PC

LV = f D 2g

onde: L é a distância percorrida pelo fluido entre as 2 seções consideradas, DIM: [L]. D é o diâmetro do duto, DIM: [L]. V é a velocidade média do fluido, DIM: [L/t].

g é a aceleração da gravidade, DIM: [L/t2]. f é o coeficiente de atrito. O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. Basicamente, ele depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da

()

velocidade média do escoamento V e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da análise dimensional, obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e o número de Reynolds. O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por:

Re =

ρV D V D = µ υ

O número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento: Re ≤ 2100 , o escoamento é laminar.

Se

2100 < Re < 4000 , o escoamento está na faixa de transição.

Re ≥ 4000 , o escoamento é turbulento.

O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, o fator de atrito pode ser calculado por: 70


f =

64 Re

Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais complicada. A expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook: 1 f 0, 5

⎛ξ / D 2,51 ⎞ ⎟ = −2 log⎜⎜ + 0,5 ⎟ 3 , 7 Re . f ⎝ ⎠

No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por um procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito(f0), dado por: ⎡ ⎛ ξ / D 5,74 ⎞⎤ f 0 = 0,25⎢log⎜ + 0,9 ⎟⎥ ⎣ ⎝ 3,7 Re ⎠⎦

−2

Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook, pode-se determinar um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro. Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram determinados experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e sumarizados em um ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody. Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade absoluta (ε) em tubos, para alguns materiais comuns de engenharia. Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. Rugosidade ε (mm)

Material

Aço rebitado

0,9 a 9

Aço comercial

0,046

Concreto

0,3 a 3

Ferro fundido

0,26

Ferro fundido asfaltado

0,12

Ferro galvanizado

0,15

Madeira

0,2 a 0,9

Trefilado

0,0015

71


Figura 39 - Ábaco de Moody.

72


Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa.

73


13.7.2.2. Perdas de carga localizadas:

Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma série de acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao passar por estes obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão diminuída. As perdas de carga locais foram determinadas experimentalmente e modeladas segundo duas equações diferentes. 1o método: Método direto 2

∆H PL =

(∑ k )V2 g

k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41)

Figura 41 – Valores aproximados de k.

74


2o método: Método dos comprimentos equivalentes

Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e material. 2

∆H PL

L V = f e D 2g

Le: é o comprimento equivalente da tubulação (Fig. 41) A perda de carga total é: ∆H P = ∆H Pc + ∆H PL

Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço. A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga considerável, se for mal projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas de entradas. Para saídas, o coeficiente de perda local vale 1,0.

75


Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos.

Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento descarrega de um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, para uma saída submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a geometria. Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este caso, a Tab. 5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área AR (razão entre a menor e a maior área da contração ou expansão). Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão.

Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela equação: K = (1-RA)2 76


As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação de um bocal ou um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo utilizado para a redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os coeficientes de perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para diferentes ângulos θ.

Figura 43 – Redução de Área – Bocal. Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção θ

Kcontração A2 / A1

10º

15º - 40º 50º - 60º

90º

120º

150º

180º

0,50

0,05

0,05

0,06

0,12

0,18

0,24

0,26

0,25

0,05

0,04

0,07

0,17

0,27

0,35

0,41

0,10

0,05

0,05

0,08

0,19

0,29

0,37

0,43

As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem de diversas variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um aumento da pressão estática do escoamento (redução da velocidade média), o coeficiente de perda é comumente apresentado em termo de um coeficiente de recuperação de pressão, CP: CP =

P2 − P1 1 ρV12 2

O coeficiente de perda é dado por K = 1−

1 − CP AR 2

Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados. CPi = 1 −

1 AR 2

K = CPi − CP

77


A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total do difusor.

Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de perda por (U2/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser usado o maior valor de velocidade. As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para cada um dos acessórios, são mostrados na Tab. 7. Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões. Acessórios

Le/D

Válvula Gaveta

8

Válvula Globo

340

Válvula Angular

150

Válvula de Esfera

3

Válvula Globo de Retenção

600

Válvula Angular de Retenção

55

78


Válvula de pé com Crivo Guiado

420

Válvula de pé com Crivo Articulado

75

Cotovelo Padrão de 90º

30

Cotovelo Padrão de 45º

16

Curva de Retorno – 180º

50

Tê Padrão: Escoamento Principal

20

Tê Padrão: Escoamento Lateral

60

Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma grande variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a realizar, das propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da temperatura do escoamento e da forma de acionamento pretendida. As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção.

Figura 45 – Válvula de gaveta. As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O comando é, em geral, manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se aplicam, a casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar totalmente a passagem do fluido. 79


As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja extremidade existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do fluido por orifício. Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da vedação do orifício em qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, mesmo com abertura máxima.

Figura 46 – Válvula Globo. As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há a tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela diferença de pressão provocada.

Figura 47 – Válvula de Retenção. Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga localizadas. Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da literatura, proposta por Fox e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como dados representativos para algumas situações comumente encontradas. Para válvulas, o projeto irá variar significativamente, dependendo do fabricante. Sempre que possível, os

80


valores fornecidos pelos fabricantes deverão ser utilizados para a obtenção de dados mais precisos. Além disso, como as perdas de carga introduzidas por acessórios e válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos cuidados tomados durante a fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, por exemplo, poderão causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas.

13.8. Potência fornecida por uma bomba

Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição mais elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma quantidade de energia por unidade de peso do fluido Hman.

Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. Aplicando-se a equação de Bernoulli para fluidos reais entre os pontos 1 e 2, P1 V1 2 P2 V22 z1 + + + H man = z 2 + + + ∆H p ρg 2 g ρg 2 g

A potência real da bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por: N B = γQH man ⎡F⎤

Onde: γ: é o peso específico do fluido DIM ⎢ 3 ⎥ ⎣L ⎦ ⎡ L3 ⎤ ⎥ ⎣t ⎦

Q: é a vazão volumétrica através da bomba DIM ⎢ 81


Hman: é a energia por unidade de peso do fluido fornecida pela bomba (altura manométrica). É a energia fornecida a cada kgf de líquido para que partindo do reservatório inferior atinja o reservatório superior, vencendo a diferença de pressão entre os reservatórios, a altura de desnível geométrico e a perda de carga DIM [L ] . No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida pela bomba para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por dissipação por atrito no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como sendo a razão entre a energia disponível para o fluido e a energia disponível para a bomba, ou seja, a razão entre a potência real da bomba e a sua potência ideal.

η=

potência real potência ideal

A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Uma unidade bastante utilizada é o cavalo-vapor (cv), sendo 1 cv = 736W = 75 kgfm/s e 1 hp = 746W = 76 kgfm/s, ou seja, 1 hp = 1,014 cv Nm=

γQH man η

Exemplo: Um conjunto elevatório esquematizado na figura abaixo trabalha nas seguintes condições: -

Vazão = 100 l.s-1

-

Material = Ferro fundido

-

Rendimento total = 75%

-

Diâmetro da tubulação de recalque = 200 mm

-

Diâmetro da tubulação de sucção = 250 mm

-

µ H 2O = 1.10 − 6

m2 s

Determinar: a) Perda de carga na linha de sucção em (m). b) Perda de carga na linha de recalque em (m). c) Altura manométrica em (m). d) Potência da bomba de acionamento em (cv).

82


Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima Resolução:

Para calcularmos os itens acima, iremos dividir em dois blocos: Sucção e

Recalque. a)

Sucção: (Antes da bomba) *Acessórios na sucção:

- 1 válvula de pé e crivo = 65,0 m - 1 curva de 90º = 3,0 m

Le = 65 m + 3 m Q = V×A m3 π 0,100 = VS × × (250 × 10 −3 )m 2 s 4 VS = 2,037 m

s

* Cálculo do número de Reynolds: Re =

ρVD VD = µ υ

Re =

2,037 m × 0,25m s −6 m 2 1× 10 s

Re = 5,1× 105 83


* Obtenção do fator de atrito: Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento se caracteriza turbulento. ⎛ε ⎞ Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎜ = 0,00104 ⎟ e o ⎝D ⎠ ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0205. * Cálculo da perda de carga na sucção usando o método do comprimento equivalente: ∆H S = f ×

(L + Le) × VS 2 D

2g

(4,5 + 65 + 3)m × (2,037 m s ) = 0,0205 ×

2

∆H S

250 × 10 −3 m

2 × 9,81 m

s2

∆Hs = 1,257m b)

Recalque: (Depois da bomba) *Acessórios no Recalque:

- 1 válvula de retenção = 25,0 - 1 curva de 90º = 2,4 - 1 registro gaveta = 1,4

Le = 25,0 m + 2,4 m + 1,4 m Q = V×A 0,100

π m3 = VR × (200 × 10 −3 )m 2 s 4

VR = 3,183 m

s

* Cálculo do número de Reynolds: Re =

ρVD VD = µ υ

3,183 m × 0,2m s Re = −6 m 2 1×10 s

Re = 6,37 ×105 * Obtenção do fator de atrito: Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento se caracteriza turbulento.

84


⎞ ⎛ε Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎜ = 0,0013 ⎟ e o ⎠ ⎝D ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0215. * Cálculo da perda de carga na sucção: ∆H R = f ×

(L + Le) × VR 2 D

2g

(36 + 25 + 1,4 + 2,4)m × (3,183 m s ) = 0,0215 ×

2

∆H R

2 ×10 −3 m

2 × 9,81 m

s2

∆H R = 3,597m

∆H T = ∆H S + ∆H R = 1,257m + 3,597m = 4,854m c)

Cálculo da altura manométrica: * Pela equação de Bernoulli temos: 2

2

P V V + 1 + H man = 2 + 2 + Perdas γ 2g γ 2g

P1

P1+ V1 2/2.g + Hman = P2+ V2 2/2.g + perdas ( ∆H T ) P1man=0 ; P2man=0 ; Z1=0 ; Z2=21 m ; V 1=0 ; V 2= V

( 3,183 m ) s =

R

=3,18m/s

2

H man

2 × 9,81 m

s

+ 21m + 4,584m 2

H man = 26,1m d)

Cálculo da potência da bomba: * Rearranjando a equação de Bernoulli temos: Nm =

γQH man η

* Substituindo os valores teremos: γ × Q × H man 1× 10 Nm = = η

N m = 3480 N m = 46,4c.v.

85

kgf .m s

3

kgf m

3

× 100 ×10 −3 m

0 ,75

1c.v. = 75

kgf .m s

3

s

× 26 ,1m


14. Transferência de Calor 14.1. Introdução Sempre que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou dois sistemas a diferentes temperaturas colocadas em contato, haverá transferência de energia por calor. A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de temperatura, no sentido da temperatura mais alta para a mais baixa.

S2

S1 Calor T1 > T2

Figura 50 - Transferência de calor. Os processos de transferência de calor devem obedecer às leis da Termodinâmica:

1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas transformada de uma forma para outra.

2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja a transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta.

14.2. Modos de Transferência de Calor: Os diferentes processos através dos quais o calor é transmitido são chamados modos. Os modos de transferência de calor são: condução, convecção e radiação.

14.2.1. Condução: Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido. É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura mais alta para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes em contato físico direto. A energia é transferida através de comunicação molecular direta, sem apreciável deslocamento das moléculas.

86


T1

T2 Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia provocada pela atividade molecular. 14.2.2. Convecção: Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, quando estiverem em temperaturas diferentes. É um processo de transferência de energia através da ação combinada de condução de calor, armazenamento de energia e movimentação da mistura. É importante principalmente como mecanismo de transferência de energia entre uma superfície sólida e um fluido.

Tar

Tar

qc

qc T1

CONVECÇÃO NATURAL

T1 CONVECÇÃO FORÇADA

Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) Convecção forçada.

14.2.3. Radiação: Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura finita. É a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma temperatura não nula. O calor radiante é emitido por um corpo na forma de impulsos, ou quantas de energia.

87


Tviz

q T Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida pelos corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos estados eletrônicos, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é usualmente distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 54.

Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor:

Equações de Taxa

88


Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da equação de taxa apropriada. A equação pode ser usada para se calcular a quantidade de energia transferida por unidade de tempo. A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de (W – Watt) no sistema internacional. Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do fluxo de calor, q " , que é a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção da troca de calor). No sistema internacional, a unidade do fluxo é (W/m2).

14.3.1. Condução Equação de taxa: Lei de Fourier " qcond = −k

onde

dT dx 2

q"cond : Fluxo de calor por condução na direção x (W/m )

k: Condutividade térmica do material da parede (W/m.K) dT : Gradiente de temperatura na direção do fluxo de calor (K/m) dx

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área perpendicular à direção da transferência de calor, qcond = − kA

dT dx

O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da temperatura decrescente. A lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria (sólidos, líquidos e gases), desde que estejam em repouso. Seja a transferência unidimensional de calor em uma parede plana (Figura 55).

Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana.

89


Considere que, na parede mostrada na figura 55, a superfície em x = 0 se encontra a uma temperatura T1 e a superfície em x = L se encontra a T2. A transferência de calor é, portanto, unidimensional (direção x). Para regime permanente sem geração interna de calor, pode-se considerar que a distribuição de temperaturas no interior da parede é linear. Assim, o gradiente de temperatura pode ser dado por: dT T2 − T1 = dx L

O fluxo de calor é dado por: ∆T ⎛T −T ⎞ ⎛T −T ⎞ " = −k ⎜ 2 1 ⎟ = k ⎜ 1 2 ⎟ = k qcond L ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠

A taxa de condução de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo pela área perpendicular à direção da transferência de calor, é dada por: " qcond = qcond A

⎛T −T ⎞ qcond = kA⎜ 1 2 ⎟ ⎝ L ⎠

Utilizando a analogia com circuitos elétricos, pode-se definir a resistência térmica à condução Rt,cond a partir da resistência elétrica R. R=

V1 − V2 i

Rt , cond =

T1 − T2 qcond

Rt , cond =

L kA

onde: Rt,cond. = resistência térmica à condução de calor (W/K)-1

Exemplo: 1) Uma parede de concreto, área superficial de 20 m2 e espessura de 0.30 m, separa uma sala de ar condicionado do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é mantida a 25ºC, e a condutividade térmica do concreto é 1W/m.K. Determine a perda de calor através da parede para as temperaturas ambientes internas de – 15 ºC e 38 ºC que correspondem aos extremos atingidos no inverno e no verão.

90


Î Resolução: Para calcularmos a perda de calor através da parede devemos utilizar a

equação que rege a lei básica de transferência de calor referente à condução térmica em uma parede plana: qcond = k . A.

T1 − T2 L

Substituindo os valores em relação à temperatura de –15ºC temos a condução térmica como: qcond = k . A.

T1 − T2 L

25º C − (− 15º C ) W .20m 2 . 0,3m m.K = 2667W

qcond = 1 qcond

Substituindo em relação à temperatura de 38ºC temos: qcond = k . A.

T1 − T2 L

25º C − 38º C W .20m 2 . 0,3m m.K = −867W

qcond = 1 qcond

14.3.2. Convecção Equação de taxa: Lei de Resfriamento de Newton

Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. " qconv = h(Ts − T∞ )

onde: q "conv. : Fluxo de calor por convecção (W/m2) h: Coeficiente convectivo de calor (W/m2K) Ts: Temperatura da superfície (K) T∞: Temperatura do fluido (K) A taxa de transferência de calor por convecção é dada por: " qconv = qconv A

91


qconv = hA(Ts − T∞ )

A Tab. 8 apresenta valores típicos do coeficiente de convecção h:

Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) Gás

Líquido

Convecção Natural

5-25

50-1.000

Convecção Forçada

25-250

50-20.000

Ebulição ou Condensação

2.500-100000

A resistência térmica à convecção é dada por: Rt , conv =

T1 − T2 qconv

Rt , conv =

1 hA

onde: Rt,conv. = resistência térmica à convecção de calor (W/K)-1

Exemplo: 1) Um circuito integrado (chip) quadrado com lado w = 5 mm opera em condições isotérmicas. O chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas superfícies laterais e inferior estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície superior encontra-se exposta ao escoamento de uma substância refrigerante a T∞ = 15ºC. A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve exceder a T= 85ºC. Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência de calor por convecção correspondente de h= 200 W/m2.K. Determine a potência máxima que pode ser dissipada pelo chip. Î Resolução: Para calcular a potência máxima dissipada pelo chip temos que calcular

o fluxo de transferência de calor gerada pelo sistema, levando em consideração a temperatura máxima à qual o chip pode atingir: q"conv = h(Tsup − T∞ ) W (85º −15º ).K m 2 .K W q"conv = 14.000 2 m q"conv = 200

92


Calculamos agora a potência máxima utilizando o valor acima encontrado: qconv = q' 'conv .A

qconv = Pmax

(

)

2 W . 5.10 −3 m 2 2 m = 0 ,35W

qconv = 14000

14.3.3. Radiação Lei de Stefan-Boltzmann A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 µm a 1000 µm é chamada radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua temperatura. O fluxo máximo que pode ser emitido por uma superfície é: " qrad = σTs4

onde: q”rad: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2) Ts: Temperatura absoluta da superfície (K) σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8W/m2K4) Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal ou um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito absorvedor de radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro (independentemente do comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora um corpo negro não exista na natureza, alguns materiais se aproximam de um corpo negro. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto pode absorver aproximadamente 99% da radiação térmica incidente. A quantidade de energia liberada de uma superfície como calor radiante depende da temperatura absoluta e da natureza da superfície. Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um irradiador perfeito ou “corpo negro”. O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo negro à mesma temperatura e é dado por: " qrad = εσTs4

93


onde: ε é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão da superfície em relação a um corpo negro (0 ≤ ε ≤ 1) . A Tabela A.5 (Apêndice A) apresenta a emissividade de alguns materiais comuns, a 300 K. Outra propriedade radiativa importante é a absortividade α, que indica a eficiência de absorção da superfície. A taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante complicada, dependendo das propriedades radiativas das superfícies e de seu formato. Um caso especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena superfície a uma temperatura Tsup e uma superfície isotérmica bem maior que a primeira, que a envolve completamente (Figura 57).

Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. Considerando-se a superfície menor cinzenta (ε = α ) , o fluxo radiativo líquido pode ser dado por:

(

" qrad = εσ Ts4 − Tviz4

)

A taxa líquida de troca de calor é:

(

qrad = εσA Ts4 − Tviz4

)

onde: A: Área da superfície menor Ts: Temperatura da superfície menor Tviz.: Temperatura da superfície maior Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como:

94


(

)

qrad = εAσ (Ts − Tviz )(Ts + Tviz ) Ts2 + Tviz2 ou qrad = hr A(Ts − Tviz )

onde:

(

hr = εσ (Ts + Tviz ) Ts2 + Tviz2

)

Assim, a resistência térmica à radiação é dada por: Rt , rad =

Ts − Tviz qrad

Rt , rad =

1 hr A

onde: Rt,rad. = resistência térmica à radiação de calor (W/K)-1 Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já que nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta para ela. As superfícies mostradas na Fig. 57 podem também, simultaneamente, trocar calor por convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada, portanto, pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção. q = qrad + qconv

Exemplo: 1) Uma superfície com área de 0,5 m2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150ºC é colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a 25ºC. Determine a taxa de emissão de radiação pela superfície? Î Resolução: Para calcular a taxa de emissão de radiação devemos utilizar a fórmula

referente à radiação para uma superfície: qrad = ε .σ .T 4 sup q' ' rad = 0 ,8 × 5 ,67 × 10 −8 q' ' rad = 1452 ,22

( )

W 4 × (150 + 273 ) K 4 2 4 m K

W m2

A Tab. 9 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de transferência de calor. 95


Tabela 9 – Equações de Taxa Taxa Condução

qcond = − KA

Fluxo

dT dx

q" cond = − K

dT dx

Convecção

qconv = −hA(Ts − T∞ )

q" conv = h(Ts − T∞ )

Radiação

qrad = hrA(Ts − Tviz )

4 q" rad = εσ T 4s − T viz

(

)

15. Condução 15.1. Introdução à Condução A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais. " Para a condução unidimensional, qcond = −k

dT dx

O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por: ⎛ ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T ˆ ⎞ q" = − k ⎜⎜ i+ j+ k ⎟ = − k∇T ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x

onde ∇ é o operador gradiente. q" = q "x iˆ + q "y j + q "z kˆ

onde: q"x = −k

∂T ∂x

q"y = − k

∂T ∂y

q"z = − k

∂T ∂z

A Tab.10 apresenta, para os três sistemas de coordenadas cartesianas, a lei de Fourier.

Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas. Sistemas de

Lei de Fourier

Forma compacta

coordenadas Cartesianas

⎛ ∂T ˆ ∂T ˆ ∂T q" = −k ⎜⎜ i+ j+ ∂y ∂z ⎝ ∂x

Cilíndricas

⎛ ∂T ˆ 1 ∂T ˆ ∂T q" = −k ⎜⎜ j+ i+ ∂z r ∂φ ⎝ ∂r

Esféricas

96

⎞ kˆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ kˆ ⎟⎟ ⎠

q" = q" x iˆ + q" y ˆj + q" z kˆ ⎛ ∂T ˆ 1 ∂T ˆ ∂T q" = − k ⎜⎜ j+ i+ ∂z r ∂φ ⎝ ∂r

⎞ kˆ ⎟⎟ ⎠

1 ∂T ˆ ⎞ 1 ∂T ˆ ⎞ ⎛ ∂T ˆ 1 ∂T ˆ ⎛ ∂T ˆ 1 ∂T ˆ k ⎟ q" = − k ⎜ k⎟ q" = − k ⎜ j+ j+ i+ i+ r sen θ ∂θ ⎠ r sen θ ∂θ ⎠ r ∂θ r ∂θ ⎝ ∂r ⎝ ∂r


15.2. Propriedades térmicas da matéria: A condutividade térmica (K) apresenta a capacidade de um corpo de transferir calor. Ela depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Conforme mostrado na figura 58, em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de um líquido que, por sua vez, é maior que a de um gás. No sistema internacional, a unidade de k é (W/m.K). Para uma taxa de calor fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma redução do gradiente de temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Esta tendência se deve, em grande parte, às diferenças de espaçamento intermolecular nos estados da matéria. A Figura 58 apresenta valores da condutividade térmica para alguns materiais, a 300 K.

Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria.

97


O produto ρcp, comumente chamado de capacidade calorífica, mede a capacidade de um material de armazenar energia térmica. Uma vez que substâncias que possuem densidade elevada são tipicamente caracterizados por reduzidos calores específicos, muitos sólidos e líquidos, que são considerados meios bons para o armazenamento de energia possuem capacidades caloríficas de magnitude apreciável. Ao contrário, devido às suas baixas densidades, os gases são muito pouco adequados para o armazenamento de energia térmica. No sistema internacional, a unidade de ρcp é (J/m3.K). A difusividade térmica (α) é definida como sendo a razão entre a condutividade térmica e a capacidade calorífica: α=

k

ρc p

onde k é a condutividade térmica e ρc p é a capacidade calorífica.

Ela mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à sua capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de α responderão rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais com valores reduzidos de α responderão mais lentamente, levando mais tempo para atingir uma nova condição de equilíbrio. No sistema internacional, a unidade de α é (m2/s). Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades térmicas, enquanto os sólidos não metálicos apresentam menores valores desta propriedade.

15.3. Conservação de energia em um volume de controle Em qualquer instante, de tempo (t) e intervalo de tempo (∆t), deve haver um equilíbrio entre todas as taxas de energia. - Num instante (t): a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica entram num volume de controle, mais a taxa com que a energia térmica é gerada no interior do volume de controle, menos a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica deixam o volume de controle, devem ser iguais à armazenada no interior do volume de controle.

98

taxa de aumento da energia


- Num intervalo de tempo(∆t): a quantidade de energia térmica e a energia mecânica que entra num volume de controle, mais a quantidade de energia térmica gerada no interior do volume de controle, menos a quantidade de energia térmica e a energia mecânica que deixa o volume de controle, devem ser iguais ao aumento na quantidade de energia armazenada no interior do volume de controle. dEac E& af + E& g − E& ef = E& ac = dt

a equação acima pode ser utilizada em qualquer instante de tempo. A forma alternativa, que se aplica a um intervalo de tempo (∆t), é obtida pela integração da equação ao longo do tempo: Eaf + E g − Eef = ∆Eac

Em palavras essa relação diz que as quantidades de energia que entram e que são geradas atuam em favor do crescimento da quantidade de energia acumulada no interior do volume de controle, enquanto a energia que sai atua diminuindo a quantidade de energia armazenada. Os termos relativos à entrada e saída de energia são fenômenos de superfície. Ou seja, eles estão associados exclusivamente aos processos que ocorrem na superfície de controle e são proporcionais a sua área. Uma situação comum envolve a entrada e a saída de energia por meio da transferência de calor por condução, convecção e ou radiação. Em situações que envolvem o escoamento de um fluido através da superfície de controle, os termos também incluem a energia transportada pela matéria que entra e sai do volume de controle. Essa energia pode compreender as formas interna, cinética e potencial. Os termos de entrada e saída podem também incluir as interações referentes ao trabalho que ocorre nas fronteiras do sistema. O termo da geração de energia está associado à conversão de uma outra forma de energia qualquer (química, elétrica, eletromagnética, ou nuclear) em energia térmica. Esse é um fenômeno volumétrico. Ou seja, ele ocorre no interior do volume de controle e é proporcional a magnitude do seu volume. Por exemplo, uma reação química exotérmica pode estar acontecendo, convertendo energia química em térmica. Nesse caso, o efeito a ser computado é um aumento na energia térmica da matéria no interior 99


do volume de controle. Outra fonte de energia térmica é a conversão de energia elétrica que ocorre devido ao aquecimento resistivo quando se passa uma corrente elétrica através de um material condutor. Isto é, se uma corrente elétrica I passa através de uma resistência R no interior do volume de controle, energia elétrica é dissipada a uma taxa igual a I².R, que corresponde à taxa na qual a energia térmica é gerada (liberada) no interior do volume de controle. Embora esse processo possa ser alternativamente tratado como se houvesse a realização de trabalho elétrico no sistema (entrada de energia), o efeito líquido continua sendo a criação de energia térmica. O armazenamento ou acúmulo de energia também é um fenômeno volumétrico, e variações no interior do volume de controle podem ser devido a mudanças nas energias internas, cinética e ou potencial do seu conteúdo. Portanto, para um intervalo de tempo ∆t, o termo relativo ao armazenamento de energia, ∆ Eac, pode ser igualado a soma ∆U

+ ∆KE + ∆PE. A variação na energia interna, ∆U, consiste em um componente sensível ou térmico, que leva em consideração os movimentos de translação, rotação e ou vibração dos átomos/moléculas que compõem a matéria; um componente latente, que está relacionado às forças intermoleculares que influenciam as mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso; um componente químico, que compreende a energia armazenada nas ligações químicas entre os átomos; e um componente nuclear, que representa as forças de coesão existentes nos núcleos dos átomos.

Exemplo: 1) Um equipamento eletrônico possui um dissipador de potência agregado à sua estrutura. Tal dissipador está em um ambiente cuja temperatura do ar, à qual passa por suas aletas, é de T∞ =27ºC e sua área é de 0,045m2. Qual o coeficiente convectivo de calor do ar (h), cuja temperatura da vizinhança e da superfície são, respectivamente, Tviz.= 27ºC e Tsup= 42ºC e a emissividade è de 0,8. A potência dissipada pelo equipamento é de 20 W. Î Resolução: Para calcular o coeficiente convectivo do ar devemos utilizar a equação

que rege a lei de conservação de energia em um volume de controle: Eaf + E g − Eef = ∆Eac

100


Como o equipamento não gera energia e o termo referente ao armazenamento de energia não varia com o tempo, temos: Eaf − Eef = 0 X

Identificando os termos acima em parâmetros de convecção e radiação temos: Eaf = P Eef = qrad. + qconv.

Substituindo os valores temos: E af = 20W E ef = εσA(Tsup . + Tviz. ) + h. A(Tsup . − T∞ ) 4

4

(

)

E ef = 0,8.5,67.10 −8.0,045 315 4 − 300 4 + h.0,045(315 − 300 )

Substituindo os termos acima na equação X: Eaf = Eef

(

)

20 = 0,8.5,67.10 −8.0,045 3154 − 300 4 + h.0,045(315 − 300 ) 20 − 3,56 0,675 W h = 24,35 2 m .K h=

15.4. Equação da Difusão de Calor 15.4.1. Coordenadas cartesianas Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim, pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua superfície utilizando-se a lei de Fourier. Para se determinar a distribuição de temperaturas, considere o volume de controle infinitesimal de dimensões dx, dy e dz mostrado na figura 59. E& g e E& a representam, respectivamente, a geração interna de calor e o acúmulo de energia que podem existir no volume de controle e qx , qy e qz são as taxas de calor por condução nas três direções.

101


Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle

E& e − E& s + E& g = E& a

(q

x

) (

)

+ q y + q z − q x + dx + q y + dy + q z + dz + q&dxdydz = ρc p

∂T dxdydz ∂t

3 q& : Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m )

ρc p

∂T : Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m3) ∂t

Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções coordenadas, q x + dx = q x +

∂q x dx ∂x

q y + dy = q y +

∂q y ∂y

dy

q z + dz = q z +

∂q z dz ∂z

Assim, ∂q y ⎛ ⎞ ∂T ∂q ∂q qx + q y + qz − ⎜⎜ q x + x dx + q y + dy + qz + z dz ⎟⎟ + q&dxdydz = ρc p dxdydz ∂t ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝

−

∂q y ∂T ∂q ∂q x dxdydz dx − dy − z dz + q&dxdydz = ρc p ∂t ∂z ∂x ∂y

102


As taxas qx , qy e qz podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier, qx = −k

∂T dydz ∂x

q y = −k

∂T dxdz ∂y

qz = −k

∂T dxdy ∂z

−

∂ (qx )dx − ∂ q y dy − ∂ (qz )dz + q&dxdydz = ρc p ∂T dxdydz ∂t ∂x ∂y ∂z

−

⎞ ∂T ∂⎛ ∂T ∂ ⎛ ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎞ dydz ⎟dx − ⎜⎜ − k dxdz ⎟⎟dy − ⎜ − k dxdy ⎟dz + q&dxdydz = ρc p dxdydz ⎜− k ∂t ∂z ⎝ ∂z ∂y ⎝ ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎠ ⎠

( )

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎟⎟dxdydz + ⎜ k dxdydz ⎜k ⎟dxdydz + ⎜⎜ k ⎟dxdydz + q&dxdydz = ρc p ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t

Dividindo-se pelo volume infinitesimal dxdydz,

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎟⎟ + ⎜ k ⎜k ⎟ + ⎜⎜ k ⎟ + q& = ρc p ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação, adotando-se algumas hipóteses: •

Condutividade térmica constante (k constante):

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q& ρc p ∂T + + + = k ∂t ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k ou

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T q& 1 ∂T + + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 k α ∂t onde: α =

•

k = difusividade térmica do material (m2/s) ρc p

(

)

Regime Permanente ∂T ∂t = 0 :

∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎟ + ⎜k ⎜k ⎟ + ⎜k ⎟ + q& = 0 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠

•

Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração interna de calor:

d ⎛ dT ⎞ ⎜k ⎟=0 dx ⎝ dx ⎠

103


Neste caso, k

dT = constante dx

q x = constante

Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem geração interna de energia, o fluxo de calor é constante na direção da análise.

15.4.2. Coordenadas Cilíndricas Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se escrever a equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. Seja o volume de controle em coordenadas cilíndricas mostrado na Figura 60.

Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). ⎛ ∂T ˆ 1 ∂T ˆ ∂T ˆ ⎞ q" = −k∇T = −k ⎜⎜ i+ j+ k⎟ ∂z ⎟⎠ r ∂φ ⎝ ∂r

q ′r′ = − k

∂T ∂r

qφ′′ = −

k ∂T r ∂φ

q ′z′ = − k

∂T ∂z

∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜⎜ k ⎟⎟ + ⎜ k ⎜ kr ⎟+ 2 ⎟ + q& = ρc p r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t 15.4.3. Coordenadas Esféricas Seja o volume de controle em coordenadas esféricas mostrado na Figura 61.

104


Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). ⎛ ∂T ˆ 1 ∂T ˆ 1 ∂T ˆ ⎞ q" = − k∇T = − k ⎜⎜ i+ j+ k⎟ r ∂θ r sen θ ∂φ ⎟⎠ ⎝ ∂r

qr′′ = − k

∂T ∂r

qθ′′ = −

k ∂T r ∂θ

qφ′′ = −

k ∂T r senθ ∂φ

1 ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ 1 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎟⎟ + 2 ⎜⎜ k ⎜ k sen θ ⎟ + q& = ρc p ⎜ kr ⎟+ 2 2 2 ∂θ ⎠ ∂t ∂r ⎠ r sen θ ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ r sen θ ∂θ ⎝ r ∂r ⎝

15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial A solução das equações que governam problema depende ainda das condições físicas que existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for dependente do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial (condição inicial). Como a equação da condução de calor é uma equação de Segunda ordem nas coordenadas espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada coordenada espacial que descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no tempo, basta apenas uma condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de condições de contorno comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a situação para um sistema unidimensional, especificando a condição de contorno na superfície x = 0, com a transferência de calor ocorrendo na direção dos x positivos.

1) Temperatura da Superfície Constante – condição de Dirichlet

T (0, t ) = Ts

105


2) Fluxo de Calor Constante na Superfície –condição de Neumann −k

∂T ∂x

= q"x (0) x =0

a) Fluxo de Calor Diferente de Zero

−k

∂T ∂x

= q S" x =0

b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática) ∂T ∂x

=0 x=0

3) Condição Convectiva na Superfície

−k

∂T ∂x

= h[T∞ − T (0, t )] x =0

Exemplo: 1) Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior que sua espessura L, encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é aproximadamente igual à do sorvedouro, Td = 30ºC. De repente uma corrente elétrica é passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura T = 15ºC e coeficiente convectivo h = 10 W/m2.K, é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície inferior continua mantida a Td. Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da posição e do tempo. Î Resolução: Para obtermos a equação e as condições de contorno e inicial devemos

primeiramente fazer algumas considerações: 106


*

Uma vez que W>>L, os efeitos causados pelas superfícies laterais são

desprezíveis, e a transferência de calor no interior de barra é basicamente unidimensional na direção do eixo do x. .

*

Taxa volumétrica de geração de calor uniforme, q .

*

Propriedades físicas constantes.

A distribuição de temperatura é governada pela equação de calor: ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ . ∂T ⎟⎟ + ⎜ k ⎟ + ⎜⎜ k ⎟ + q = ρc p ⎜k ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t

Para as considerações do problema de transferência de calor unidimensional com propriedades físicas constantes, a equação se reduz a: .

∂ 2T q 1 ∂T + = ∂x 2 k α ∂t

A condição de contorno para a superfície inferior sendo esta mantida em um valor constante em relação ao tempo, temos: T (0, t ) = Td = 30º C

A condição de contorno em relação à superfície superior da barra será: − k.

∂T ∂x

= h[T (L, t ) − T∞ ] x=L

A condição inicial é inferida a partir do reconhecimento de que, antes da mudança das condições, a barra encontrava-se a uma temperatura uniforme Td, sendo: T (x,0) = Td = 30º C

107


15.5 Condução Unidimensional em Regime Permanente 15.5.1. Parede Simples Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Figura 62). Considere a condução unidimensional de calor através da parede, em regime permanente, sem geração interna. A temperatura é função somente de uma coordenada espacial (no caso x) e o calor é transferido unicamente nesta direção. A transferência de calor ocorre por convecção do fluido quente a T∞1 para a superfície da parede a Ts1 em x = 0, por condução através da parede e por convecção da superfície da parede em x = L a Ts2 para o fluido frio a T∞2 .

Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana . A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por:

Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cartesianas: ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎟⎟ + ⎜ k ⎜k ⎟ + ⎜⎜ k ⎟ + q& = ρc p ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t

Hipóteses: •

Condução unidimensional ⎛⎜ ∂T ∂y = ∂T ∂z = 0 ⎞⎟

•

Sem geração interna (q& = 0)

•

Regime permanente ∂T ∂t = 0

⎠

⎝

(

)

A equação se reduz, então, a d ⎛ dT ⎞ ⎜k ⎟=0 dx ⎝ dx ⎠

Considerando-se a condutividade térmica do material constante,

108


k

d 2T =0 dx 2

ou

d 2T =0 dx 2

Integrando-se 2 vezes em x, dT = C1 dx

T = C1 x + C2

Para se determinar as constantes de integração C1 e C2, aplicam-se as condições de contorno: T (0) = TS ,1

T (L ) = TS , 2

Pode-se então determinar as constantes de integração: C1 =

TS ,2 − TS ,1 L

C 2 = TS ,1

Assim, T (x ) =

TS , 2 − TS ,1 L

x + TS ,1

Na condução unidimensional, em regime permanente, numa parede plana, sem geração de calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x. A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier: q x = −kA

dT kA (TS ,1 − TS ,2 ) = dx L

O fluxo de calor é dado por: q"x =

qx k = (TS ,1 − TS , 2 ) A L

Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes.

15.5.2. Resistência Térmica Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência, conclui-se que a resistência térmica assume a forma: Rt =

∆T q

Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana :

109


Rt , cond . =

L kA

Para a convecção: Rt , conv. =

1 hA

Para a radiação: Rt , rad . =

1 hr A

(

Onde hr = εσ (Ts + T∞ ) Ts 2 + T∞ 2

)

Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a mesma forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão utilizada para a área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões para os diferentes sistemas de coordenadas. No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a superfície é conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa de calor é constante. Pode-se fazer um balanço de energia entre os fluidos quente e frio, q x = qconv1 = qcond = qconv 2

Aplicando-se as equações de taxa apropriadas, q x = h1 A(T∞ ,1 − TS ,1 ) =

kA (TS ,1 − TS ,2 ) = h2 A(TS ,2 − T∞,2 ) L

Reescrevendo-se a equação anterior, qx =

(T∞,1 − TS ,1 ) = (TS ,1 − TS ,2 ) = (TS ,2 − T∞,2 ) 1

h1 A

L

kA

1

h2 A

Utilizando-se o conceito de resistência térmica, qx =

(T∞,1 − TS ,1 ) = (TS ,1 − TS ,2 ) = (TS ,2 − T∞,2 ) Rconv1

Rcond

Rconv 2

Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma

110


Figura 63 – Circuito Térmico. Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da diferença global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot. qx =

T∞ ,1 − T∞ , 2 Rtot

Como as resistências térmicas condutivas e convectivas estão em série, Rtot = Rconv1 + Rcond + Rconv 2 Rtot =

1 1 L + + h1 A kA h2 A

onde: T∞,1- T∞,2 = diferença de temperatura global (K). Rtot = Resistência térmica total (K/W).

Exemplo: 1) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira, isolamento à base de fibra de vidro e gesso, conforme indicado no desenho. Em um dia frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são de he=60 W/m2.K e hi=30 W/m2.K. A área total da superfície da parede é de 350 m2.

111


Isolamento à base de fibra de vidro (28Kg/m3), kf

Camada de gesso kg

Compensado de Madeira, km

Interior Exterior

Exterior

hi, T∞,i= 20ºC

he, T∞e= -15ºC

10mm

20mm

100 Lg

Lf

Lm

a) Para as condições dadas, determine uma expressão para a resistência térmica total da parede, incluindo os efeitos da convecção térmica nas superfícies interna e externa da parede. b) Determine a perda total de calor através da parede.

Rconv,i

T∞,i

RCond1

T1

RCond2

T2

RCond3

T3

Rconv,e

T4

T∞,e

Î Resolução:

a) Para calcular a expressão para a resistência térmica total da parede devemos utilizar a seguinte fórmula que rege a resistência térmica, levando em consideração as camadas da parede. Rtotal =

Lg Lf L 1 1 + + + m + hi . A k g . A k f . A k m . A he . A

b) Para determinar a perda total de calor através da parede devemos utilizar uma fórmula que relaciona a temperatura das extremidades com a resistência térmica total. q=

Calculando a resistência total temos: 112

T∞ ,i − T∞ ,e Rtotal


Rtotal =

Lg Lf L 1 1 + + + m + hi . A k g . A k f . A k m . A he . A

1 ⎛⎜ 1 L g L f Lm 1⎞ + + + + ⎟ A ⎜⎝ hi k g k f k m he ⎟⎠ 1 ⎛ 1 0,01 0,1 0,02 1 ⎞ = + + + ⎟ ⎜ + 350 ⎝ 30 0,17 0,038 0,12 60 ⎠ K = 8,3.10 −3 W

Rtotal = Rtotal Rtotal

Determinando agora a perda total de calor através da parede: q=

T∞ ,i − T∞ ,e Rtotal

20 − (− 15 ) 8 ,3 × 10 −3 q = 4216 ,86W

q=

15.5.3. Parede Composta Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes (Figura 64).

Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. A taxa de transferência de calor qx é dada por: qx =

113

T∞ ,1 − TS ,1 TS ,1 − TS , 2 TS , 2 − TS ,3 TS ,3 − TS , 4 TS , 4 − T∞ , 4 T∞ ,1 − T∞ , 4 = = = = = LA LB LC 1 1 Rtot h1 A h4 A kA A kB A kC A


onde Rtot = ∑ Rt =

L L L 1 1 + A + B + C + h1 A k A A k B A kC A h2 A

No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies da parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, o fluxo total de calor entre a superfície e o fluido seria dado como a soma dos fluxos de convecção e radiação. A resistência térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à resistência à convecção, já o potencial (∆T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo. O circuito térmico para a parede constituída por apenas um material é:

Figura 65 – Circuito térmico equivalente. Muitas vezes, é mais conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência de calor U. q x = UA∆T

onde: U : Coeficiente global de transferência de calor ⎛⎜ W 2 ⎞⎟ ⎝ m K⎠ ∆T : Diferença global de temperatura (K) A : Área de troca de calor (m 2 ) U =

1 Rtot A

Exemplo: 1) A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica conhecida, kA= 20 W/m.K e kC= 50 W/m.K, e também espessura de LA= 0,30m e LC= 0,15m. O terceiro material B que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura LB= 0,15m, mas sua condutividade térmica é desconhecida.

114


Rconv1

RCondA

Tint

T∞,i

RCondB

TAB

RCondC

Text

TBC

Em condições de regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de Tsup,e= 20ºC, uma temperatura na superfície interna de Tsup,i= 600ºC e uma temperatura do ar no interior de forno de T∞= 800ºC. O coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do forno é igual a 25 W/m2.K. Qual é o valor de kB? Î Resolução: Para calcular o valor de kB, devemos primeiro calcular o valor da

resistência total do circuito térmico: qx =

∆T Rtérmica

T∞ ,i − Text . Rtotal Rtotal =

=

=

T∞ , i − Text Rtotal

=

T∞ , i − Tint Rconv.

=

Tint − TA, B Rcond . A

=

TA, B − TB ,C Rcond .B

=

TB ,C − Text . Rcond .C

T∞ ,i − Tint Rconv.

(T∞ , i − Text ).Rconv T∞ , i − Tint .

=

780 1 31,2 h. A = 25. A = A = 0,156 A 200 200 800 − 600

(800 − 20).

Encontramos agora a condutividade térmica kB pela soma das resistências: Rtotal = Rconv. + Rcond . A + Rcond .B + Rcond .C 0,156 1 0,3 0,15 0,15 = + + + 25. A 20. A k B . A 50. A A 0,156 1 ⎛ 1 0,3 0,15 0,15 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ + + + 50 ⎟⎠ A A ⎝ 25 20 kB 0,15 0,156 = 0,04 + 0,015 + 0,003 + kB 0,15 0,098 W k B = 1,53 m.K kB =

15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo Seja a parede composta apresentada na Figura 66.

115


Figura 66 – Parede Composta.

Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. Se for adotada a hipótese de transferência unidimensional de calor, pode-se representar o circuito térmico de uma das maneiras mostradas na Figura 67. No caso (a), supõe-se que as superfícies normais à direção x são isotérmicas e, no caso (b), que as superfícies paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada caso, representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor.

15.5.5. Resistência de contato É importante reconhecer que, em sistemas compostos, a queda de temperatura nas interfaces entre os vários materiais pode ser considerável. Essa mudança de temperatura é atribuída ao que é conhecido como resistência térmica de contato, Rt,c. Seu efeito é mostrado na figura abaixo. Para uma área de superfície unitária, a resistência térmica de contato é definida pela expressão: R"t ,c =

116

T A − TB q" X


Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato A existência da resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície. Pontos de contato se entremeiam com falhas que são, na maioria dos casos, preenchidas com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à condução de calor através da área de contato real e à condução e/ou radiação através das falhas. A resistência de contato pode ser vista como duas resistências térmicas em paralelo: aquela que se deve aos pontos de contato e aquela que está vinculada às falhas. Tipicamente, a área de contato é pequena e, sobretudo no caso de superfícies rugosas, a principal contribuição para a resistência térmica de contato é fornecida pelas falhas. Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente nas falhas (fluido interfacial), a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento da área dos pontos de contato. Tal aumento pode ser obtido por um acréscimo na pressão de contato ou na junção e/ou pela redução da rugosidade das superfícies de contato. A resistência de contato também pode ser reduzida pela seleção de um fluido com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Nesse sentido, a ausência de um fluido nas falhas (vácuo na interface) elimina a condução de calor através da falha, contribuindo para a elevação da resistência de contato. O efeito de carga ou pressão em interfaces metálicas pode ser visto na tabela 10, que apresenta uma faixa aproximada de resistências térmicas em condições de vácuo. O efeito da presença de um fluido nas falhas na resistência térmica de contato em uma interface de alumínio é mostrado na tabela 11. A contrário da tabela 10, muitas aplicações envolvem o contato entre sólidos diferentes, e/ou uma ampla variedade de materiais intersticiais (enchimentos) tabela 11. 117


Qualquer substância intersticial que preencha as falhas entre as superfícies em contato e cuja condutividade térmica exceda a do ar irá causar uma redução na resistência de contato. Duas classes de materiais são bastante adequadas para este propósito são os metais macios e as graxas térmicas. De forma distinta das interfaces anteriores, que não são permanentes, muitas juntas são aderidas definitivamente. Devido às resistências interfaciais entre o material da superfície original e o da junta de ligação, a resistência térmica real do contato excede o valor teórico, calculado a partir da espessura L e da condutividade térmica k do material da junta. A resistência térmica dessas juntas permanentes também é afetada de maneira adversa por vazios e rachaduras que podem se formar durante a fabricação da peça ou como resultado de ciclos térmicos que ocorram durante a sua operação normal.

Resistência Térmica, RHt,c × 104 (m2.K/W) (a) Vácuo na Interface

(b) Fluido Interfacial

100 kN/m2

10000 kN/m2

Aço Inoxidável

6 a 25

Cobre

Pressão de Contato

Ar

2,75

0,7 a 4,0

Hélio

1,05

1 a 10

0,1 a 0,5

Hidrogênio

0,720

Magnésio

1,5 a 3,5

0,2 a 0,4

Óleo de Silicone

0,525

Alumínio

1,5 a 5,0

0,2 a 0,4

Glicerina

0,265

Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos interfaciais.

RHt,c × 104 (m2.K/W)

Interface

Chip de silício / alumínio esmerilhado com ar

0,3 a 0,6

(27 a 500 kN/m2) Alumínio / alumínio, com folha de índio

~0,07

2

(~100 kN/m ) Aço inoxidável / aço inoxidável, com folha de índio

~0,04

(~3500 kN/m2) Alumínio / alumínio, com revestimento metálico

0.01 a 0.1

(Pb) Alumínio / alumínio, com graxa Dow Corning 340 118

~0.07


(~100 kN/m2) Aço inoxidável / aço inoxidável com graxa Dow Corning

~0,04

(~3500 kN/m2)

Chip de silício / alumínio, com 0,02 mm de epóxi Latão / latão, com 15 µm de solda à base de estanho

0,2 a 0,9 0,025 a 0,14

Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Cilindro Com freqüência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas unidimensionais. Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a superfície externa, a um fluido frio (Figura 69). Considere a transferência de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior do cilindro.

Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco

15.6.1. Distribuição de Temperatura Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cilíndricas

∂T 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎜⎜ k ⎟⎟ + ⎜ k ⎜ kr ⎟+ 2 ⎟ + q& = ρc p r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t

119


Hipóteses:

•

Condução unidimensional ⎛⎜ ∂T ∂φ = ∂T ∂z = 0 ⎞⎟

•

Sem geração interna

•

Regime permanente

⎝

⎠

(q& = 0)

(∂T ∂t = 0)

Após serem feitas as simplificações, a equação se reduz a: 1 d ⎛ dT ⎞ ⎜ kr ⎟=0 r dr ⎝ dr ⎠ kr

dT = constante ⇒ q r = constante dr

Considerando-se a condutividade térmica k constante, k d ⎛ dT ⎞ ⎜r ⎟=0 r dr ⎝ dr ⎠ d ⎛ dT ⎞ ⎜r ⎟=0 dr ⎝ dr ⎠

Integrando-se uma vez em r, r

dT dT C1 = C1 ou = dr r dr

Integrando-se outra vez em r, T (r ) = C1 ln r + C2

Aplicando-se as condições de contorno T (r = r1 ) = Ts1

T (r = r2 ) = Ts 2 , pode-se obter as constantes de integração C1 e C2 C1 =

T −T Ts1 − Ts 2 C2 = Ts 2 − s1 s 2 ln r2 ln(r1 / r2 ) ln(r1 / r2 )

Assim, T=

Ts1 − Ts 2 ⎛ r ln⎜ ln(r1 / r2 ) ⎜⎝ r2

⎞ ⎟⎟ + Ts 2 ⎠

A taxa de transferência de calor é dada por:

qr = −kA 120

dT dT = −k (2πrL) dr dr


Onde: A=2πrL é a área normal à direção da transferência de calor. dT 1 Ts1 − Ts 2 = dr r ln (r1 / r2 )

q r = 2πLk

Ts1 − Ts 2 ln(r2 / r1 )

O fluxo de calor é dado por:

q r " = −k

qr " =

dT dr

k Ts1 − Ts 2 r ln(r2 / r1 )

A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio r), o que não acontece com o fluxo de calor, que é função de r.

d ⎛ dT ⎞ ⎜ Kr ⎟=0 dr ⎝ dr ⎠ d ⎛ qr ⎞ ⎟=0 ⎜− dr ⎝ 2πL ⎠

d (qr ) = 0 dr A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro. A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por:

Rcond =

Ts1 − Ts 2 qr

Rcond =

ln(r2 / r1 ) 2πLk

Exemplo: 1) Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm, possui um revestimento isolante de espessura 20 mm. A temperatura no interior e na superfície do cilindro são respectivamente 800 K e 490 K. Determinar a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro, sendo que o isolante térmico é silicato de cálcio (k= 0,089 W/m.K).

121


Î Resolução: Para determinar a perda de calor por unidade de comprimento do

cilindro devemos utilizar a fórmula que rege a taxa de transferência de calor: qr = 2πLk

Ts1 − Ts 2 ln(r2 / r1 )

qr W 800K − 490K = 2.π .0,089 . L m.K ⎛ 26.10−3 ⎞ ⎟ ln⎜⎜ −3 ⎟ 6 . 10 ⎝ ⎠ qr W = 118,16 L m

15.6.2. Parede Cilíndrica Composta Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração interna, através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Figura 70.

T∞4,h4

T∞1,h1

Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta. A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim,

qr =

T∞1 − T∞ 4 T∞1 − Ts1 Ts1 − Ts 2 Ts 2 − Ts 3 Ts 3 − Ts 4 Ts 4 − T∞1 = = = = = Rtot Rconv1 Rcond 1 Rcond 2 Rcond 3 Rconv 2

onde:

Rtot =

∑R

t

=

Definindo: U = 122

ln (r2 / r1 ) ln (r3 / r2 ) ln (r4 / r3 ) 1 1 + + + + 2πr1 Lh1 2πk A L 2πk B L 2πk C L 2πr4 Lh 4 1 Rtotal A


Utilizando-se a definição do coeficiente global de transferência de calor,

q r = U i Ai (T∞1 − T∞ 4 ) = UA∆T = UA(T∞1 − T∞ 4 ) U = coeficiente global de transferência de calor (W/m2.K) ∆T= diferença global de temperatura (K) A = área de troca de calor (m2) Se U for definido em termos da área da superfície interna do cilindro A1 = 2πr1L, tem-se que: U1 =

1 1 r1 ⎛ r2 ⎞ r1 ⎛ r3 ⎞ r1 ⎛ r4 ⎞ r1 1 + ln⎜ ⎟ + ln⎜ ⎟ + ln⎜ ⎟ + h1 k A ⎜⎝ r1 ⎟⎠ k B ⎜⎝ r2 ⎟⎠ k C ⎜⎝ r3 ⎟⎠ r4 h4

Esta definição é arbitrária. O coeficiente global de transferência de calor pode ser definido em termos de A4 ou qualquer uma das outras áreas intermediárias.

U i Ai = U 1 A1 = U 2 A2 = U 3 A3 = U 4 A4 =

1 Rtot

Exemplo: 1) Vapor escoando em um tubo longo, com paredes delgadas, mantém a sua parede a uma temperatura de 500 K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento térmico composta por dois materiais diferentes, A e B. Suponha existir entre os materiais uma resistência térmica de contato infinito. A superfície externa está exposta ao ar onde T∞ = 3000 K e h = 25 W/m.K. Qual é a temperatura na superfície externa TsupB? TsupA kA=5W/m.K kB=0,25W/m.K TsupB Tsup1

T∞ ; h

Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas.

123


Î Resolução: Para calcularmos a temperatura na superfície externa TsupB, devemos

utilizar a seguinte fórmula referente à taxa de calor: Rcond.B

Tsup.B

Tsup.1

qr =

Tsup 1 − Tsup B Rcond .B

Tsup 1 Rcond . B

−

Rconv.

Tsup B Rcond .B

= =

T∞

Tsup B − T∞ Rconv . Tsup B Rconv .

−

T∞ Rconv .

⎛ 1 T 1 ⎞ Tsup 1 ⎟⎟ = Tsup B ⎜⎜ + ∞ + ⎝ Rcond . B Rconv . ⎠ Rcond . B Rconv . Tsup 1 T + ∞ Rcond . B Rconv . Tsup B = ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎝ Rcond . B Rconv . ⎠ Para obtermos o resultado devemos primeiramente calcular as resistências: Rcond.B e Rconv.: ⎛ 100.10−3 m ⎞ ⎟ ln⎜⎜ −3 ⎟ 0,44 50 . 10 m ln (r2 / r1 ) ⎠= = ⎝ Rcond .B = W 2πk B L L 2π .0,25 .L m.K 1 1 6,36.10− 2 = = Rconv. = 2πr2 Lh∞ 2π .100.10− 3.L.25 W L m 2 .K

Substituindo agora o resultado acima obtido na equação referente a TsupB para obtermos tal temperatura:

Tsup 1 Tsup B =

124

R cond .B ⎛ 1 ⎜⎜ ⎝ Rcond .B

T∞ Rconv.

500 K 300 K + 0,44 6,36.10 − 2 = = 325,25 K ⎞ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ + + Rconv. ⎟⎠ ⎜⎝ 0,44 6,36.10 − 2 ⎟⎠

+


15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento Para se aumentar ou diminuir a taxa de calor retirada do cilindro sem alterar as condições do escoamento externo, pode-se colocar uma camada de um segundo material sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente do material do cilindro.

Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro. Como a resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência térmica equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 72). A possibilidade de existência de uma espessura de isolamento ótima para sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos contrários associados a um aumento nessa espessura, pois embora a resistência condutiva aumente com a adição de isolante, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa. Para esta espessura a perda de calor seria mínima, e a resistência total à transferência de calor seria máxima. Na realidade, uma espessura de isolamento ótima não existe, mas sim, um raio crítico de isolamento, onde o fluxo de calor é máximo (minimiza a perda térmica graças a maximização da resistência total à transferência de calor). Seja um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido quente e a superfície externa, a um fluido frio (Figura 72). A taxa de transferência de calor do fluido quente para o fluido frio irá depender da espessura de isolamento, ou seja, do raio externo do cilindro. Como a resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção

125


apresenta comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de maximizar a perda de calor através da parede do cilindro. A taxa de calor é dada por:

qr =

(Ts1 − T∞ 2 ) Rtot

onde Rtot =

ln(r2 / r1 ) 1 + 2πkL 2πr2 hL

Assim,

qr =

2πL(Ts1 − T∞ ) ln(r2 / r1 ) 1 + k r2 h

Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que minimiza o valor de q’ ou que maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a partir da exigência de que: dR 'tot =0 dr

Assim:

1 1 − =0 2πkr 2πr 2 h ou

r= O mínimo valor de qr é obtido fazendo-se: dqr =0 dr2

⎛ 1 1 ⎞ − 2πL(Ts1 − T∞ )⎜⎜ − 2 ⎟⎟ dqr ⎝ kr2 hr2 ⎠ = 0 = 2 dr2 ⎡ ln(r2 / r1 ) 1 ⎤ + ⎢ ⎥ r2 h ⎦ ⎣ k Esta condição é satisfeita quando:

126

k h


r2 =

k = rc h

rc = Raio crítico de isolamento. Para valores de r menores que rc a taxa de transferência de calor aumenta com o aumento da espessura de isolamento; para valores de r maiores que rc a taxa de transferência de calor diminui com o aumento da espessura de isolamento. →

O efeito do raio crítico é revelado pelo fato de que, mesmo para uma camada de isolamento térmico com pouca espessura, a resistência total ainda não é tão grande quanto o valor para o tubo sem qualquer isolamento.

→

Se r < rcr , a resistência térmica total decresce e, portanto, a taxa de transferência de calor aumenta com a adição de isolamento.Essa tendência permanece até que o raio externo da camada de isolamento atinja o raio crítico. De forma contrária, se r > rcr, qualquer adição de isolamento aumenta a resistência térmica total e, portanto, diminue a perda de calor.

→

Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência térmica total através da aplicação de uma camada de isolamento térmico existe somente para o caso de tubos ou fios de pequeno diâmetro e para coeficientes de transferência de calor por convecção pequenos, onde usualmente r > rcr.

→

A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor varie na direção da transferência, como é o caso da condução radial em um cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a área normal à direção da transferência de calor é constante , não havendo uma espessura crítica para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o aumento da espessura da camada de isolamento).

Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo em r = rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 73.

127


Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2.

Exemplo: 1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, é usado para transportar uma substância refrigerante que está a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T∞ ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de isolamento térmico sobre o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K? Î Resolução: A resistência à transferência de calor entre o fluido refrigerante e o

ar é denominada pela condução de calor através da camada de isolamento térmico e pela convecção no ar. Sendo que, a resistência térmica total por unidade de comprimento do tubo è: ⎛r⎞ ln⎜⎜ ⎟⎟ r 1 R 'tot = ⎝ i ⎠ + 2π .k 2πrh

E a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo será:

q' =

T∞ − Ti R'tot

Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que minimiza o valor de q’ ou maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a partir de: r=

128

k h


Uma vez que o resultado da resistência térmica total é sempre positivo, r =

k éo h

raio de isolamento para o qual a resistência térmica é mínima, e não um máximo. Logo uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico não existe. Porém faz sentido pensar em raio crítico de isolamento. rcr =

k h

Abaixo do qual q’ aumenta com o aumento de r acima do qual q’ diminue com o aumento de r. Calculando em termos de raio crítico: rcr =

k h

W m 2 .K rcr = W 0,055 m.K rcr = 0,011m 5

15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – Esfera Seja uma esfera oca cuja superfície interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a superfície externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior da esfera.

Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica.

129


Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir daí, obtém-se a taxa de calor, dada por: qr =

4kπ (Ts1 − Ts 2 ) ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ r1 r2 ⎠

Assim, a resistência condutiva é dada por: R cond =

1 4kπ

⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ r1 r2 ⎠

15.8. Condução com Geração de Energia Térmica Iremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior do meio, têm sobre a distribuição de temperatura nesse meio. É importante ter atenção para não confundir geração de energia com armazenamento de energia.

15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica – Parede Plana Seja a parede plana da Fig.75, onde existe geração uniforme de energia térmica por unidade de volume (q’ é constante) e as superfícies são mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para uma condutividade térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor: d 2T q' + =0 dx 2 k

Aplicando as condições de contorno e todos os parâmetros, obtemos a distribuição de temperatura correspondente: T ( x) =

−T −T q' L2 ⎛ x2 ⎞ T x T ⎜1 − 2 ⎟ + sup, 2 sup,1 + sup,1 sup, 2 ⎜ ⎟ 2k ⎝ 2 2 L L ⎠

O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação acima. Note, contudo, que com a geração interna de calor o fluxo de calor não é mais independente de x.

130


Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.(a) Condições de contorno assimétricas.(b) Condições de contorno assimétricas.(c) Superfície adiabática no plano intermediário. O resultado anterior é simplificado quando as duas superfícies são mantidas a uma mesma temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura máxima, neste caso, encontra-se no plano intermediário:

T (0) = T0 =

q' L2 + Tsup 2k

Exemplo: 1) Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada do material A possui uma geração de calor uniforme q& = 1,5.106 W térmica k A = 75 W

K

m3

, condutividade

e espessura de LA=50 mm. A camada do material B não apresenta

geração de calor, tem condutividade térmica k B = 150 W

K

e espessura

LB = 20 mm.

A superfície interna da parede (material A) está perfeitamente isolada, enquanto a sua superfície externa (material B) é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30ºC e

131


h = 1000 W

m2 K

. Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2

da superfície resfriada. Î Resolução: A temperatura na superfície externa T2 pode ser obtida através de um

balanço de energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo assim obteremos T2: .

q .L A T2 = T∞ + h T2 = 30º C +

W .0,05m m3 W 1000 2 m .K

1,5.106

T2 = 105º C

Para determinar a temperatura na superfície isolada termicamente temos: .

q .(LA ) + T1 n To = 2.k A 2

Onde T1 será determinado visando o circuito térmico equivalente do processo: T1 = T∞ + (R"cond , B + R"conv ).q" LB ⎧ ⎪⎪ R"cond , B = k B ⎨ ⎪ R" = 1 ⎪⎩ conv h ⎛ ⎜ 0,02m 1 + T1 = 30º C + ⎜ W W ⎜ 1000 2 ⎜ 150 m.K m .K ⎝ T1 = 115º C

⎞ ⎟ ⎟.1,5.106.0,05m ⎟ ⎟ ⎠

Determinando agora To, substituindo o valor acima na equação n, obteremos: .

q .(LA ) To = + T1 2.k A 2

W 2 .(0,05m ) 3 m To = + 115º C W 2.75 m.K To = 140º C 1,5.106

132


15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais A geração de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um cilindro sólido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica. Em condições de regime estacionário, a taxa na qual o calor é gerado no interior do cilindro deve ser igual à taxa de calor transferido por convecção da superfície do cilindro para o fluido em movimento. Essa condição permite que a temperatura da superfície seja mantida a um valor fixo Ts . Sendo assim temos a distribuição de temperatura como: .

T( r )

q .r = 0 4k

2

2 ⎞ ⎛ ⎜1 − r ⎟ + Ts 2 ⎜ r0 ⎟⎠ ⎝

Para relacionar a temperatura da superfície Ts , com a temperatura do fluido, T∞ , tanto o balanço de energia na superfície quanto o balanço de energia total podem ser utilizados.

Exemplo: 1) Em um bastão cilíndrico e longo, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica de 0,5 W/m.K, há a geração de volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24000 W/m3. O bastão está encapsulado por uma camada cilíndrica com diâmetro externo igual a 400 mm, de um material com condutividade térmica de 4 W/m.K. A superfície externa desta camada está exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27ºC com um coeficiente de convecção de 25 W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica, e na superfície externa em contato com o ar.

Î Resolução: Para determinar a temperatura da superfície externa em contato com o ar

devemos utilizar um balanço global de energia. Sendo assim obteremos: .

Tsup

q .r = T∞ + 2.h

Tsup = 27 + 273º K + Tsup = 396º K

133

W .200.10 − 3 m m3 W 2.25 2 m .K

24000


Para determinar agora a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica devemos utilizar a fórmula que rege a distribuição de temperatura em relação ao raio: .

T( r )

T( r ) T( r )

2 ⎞ ⎛ ⎜1 − r ⎟ + Tsup ⎜ r2⎟ 0 ⎠ ⎝ 2 W 24000 3 . 200.10− 3 m ⎛ −3 2 ⎞ m ⎟ + 396 º K ⎜1 − 100.10 = −3 2 ⎟ ⎜ W 200.10 4. 4 ⎠ ⎝ m.K = 441º K

q .r = 0 4k

2

(

)

( (

) )

16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas 16.1. Introdução Aleta é um elemento sólido que transfere energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente.

Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante para um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito através do aumento do coeficiente de convecção h ou através da redução da temperatura do fluido T∞.

134


Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a área de troca de calor, através da utilização de aletas (Figura 78), que são elementos sólidos que transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente.

Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. Esquemas Típicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados

135


Figura 79 –Trocadores de Calor com tubos aletados. 16.2. Tipos de Aletas A Figura 80 ilustra diferentes configurações de aletas.

Plana, de seção reta uniforme

Anular

Plana, de seção transversal não uniforme

Piniforme (pino)

Figura 80 – Configurações de Aletas. 136


16.3. Balanço de Energia para uma Aleta Hipóteses: •

Condução unidimensional de calor

•

Regime permanente

•

Condutividade térmica da aleta constante

•

Radiação térmica desprezível

•

Sem geração de calor

•

Coeficiente de convecção uniforme

Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação da condução de calor. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig. 81),

Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. Neste caso, vale: Calor transferido por condução para dentro do elemento em x por unidade de tempo

=

Calor transferido por condução para fora do elemento em (x +dx) por unidade de tempo,

+

Calor transferido por convecção da superfície entre x e (x + dx) por unidade de tempo

qx = qx + dx + dqconv

onde

137

⎧q x = Energia transferida por condução para o volume infinitesimal ⎪ ⎨q x + dx = Energia transferida por condução do volume infinitesimal ⎪dq ⎩ conv = Energia perdida por convecção para o fluido


A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela Lei de Fourier: q x = − kAc

dT dx

onde: Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada. Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por condução na posição (x+dx) q x + dx = q x +

∂q dx ∂x

q x + dx = − kAc

dT d ⎛ dT ⎞ + ⎜ − kAc ⎟dx dx dx ⎝ dx ⎠

q x + dx = − kAc

dT d ⎛ dT ⎞ − k ⎜ − Ac ⎟dx dx dx ⎝ dx ⎠

A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é dada pela Lei de Resfriamento de Newton: dqconv = hdAs (T − T∞ )

onde: dAs é a área superficial infinitesimal do elemento. Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia, − kAc

dT dT d ⎛ dT ⎞ = −kAc − k ⎜ − Ac ⎟dx + hdAs (T − T∞ ) dx dx dx ⎝ dx ⎠

d ⎛ dT ⎞ h ⎜ Ac ⎟dx − dAs (T − T∞ ) = 0 dx ⎝ dx ⎠ k

como a área da seção reta Ac pode variar com x, dT dAc d 2T h dAs (T − T∞ ) = 0 + Ac 2 − dx dx k dx dx d 2T ⎛ 1 dAc ⎞ dT ⎛ 1 h dAs ⎞ ⎟ ⎟(T − T∞ ) = 0 +⎜ −⎜ dx 2 ⎜⎝ Ac dx ⎟⎠ dx ⎜⎝ Ac k dx ⎟⎠

Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma superfície expandida.

16.4. Aletas com área da seção transversal constante Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 82), a equação anterior pode ser simplificada. 138


Cada aleta está ligada na base a uma superfície T (0) = Tb e imersa num fluido na temperatura T∞.

Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante.

Ac = constante ⇒ As = Px ⇒

dAc =0 dx

dAs =P dx

d 2T hP (T − T∞ ) = 0 − dx 2 kAc

Definindo-se a variável θ (Excesso de Temperatura) θ = T − T∞ dθ dT = dx dx

d 2θ d 2T = dx 2 dx 2

d 2θ hP − θ =0 dx 2 kAc

Definindo-se: m2 =

hP kAc

d 2θ − m 2θ = 0 2 dx

Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes. A solução geral tem a forma:

θ ( x ) = C1e mx + C2e − mx

139


Para resolver esta equação, falta definir as condições de contorno apropriadas. Uma destas condições pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0) Temperatura constante na base da aleta T (x = 0) = Tb

θ (x = 0) = Tb − T∞ = θ b

A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser especificadas quatro condições diferentes, cada uma correspondendo uma situação física e levando a uma solução diferente.

A. Transferência convectiva de calor

A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por convecção. Fazendo-se um balanço de energia, hAc (T ( L) − T∞ ) = − kAc

dT dx

x=L

ou

hθ ( L ) = − k

dθ dx

x=L

Aplicando-se as condições de contorno, chega-se a: θ ( x) cosh [m( L − x)] + ( h / mk ) senh [m( L − x)] = θb cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL )

A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier q f = qb = − kAc

dT dx

= − kAc x =0

dθ dx

x =0

ou q f = hPkAc .θ b

senh( mL ) + ( h / mk ) cosh( mL ) cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL )

Para simplificar a solução, define-se: M =

(

)

hPkAc .θ b ,

Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por:

140


qf = M

senh( mL ) + ( h / mk ) cosh( mL ) cosh( mL ) + ( h / mk ) senh( mL )

B. Ponta da aleta adiabática (considerando que a perda de calor por convecção na extremidade da aleta é desprezível) dT dx

=0 x=L

ou dθ dx

=0 x=L

Neste caso, θ ( x ) cosh [m( L − x)] = θb cosh( mL )

q f = M .tgh ( mL )

C. Temperatura Fixa θ (x = L ) = θ L

θ ( x) (θ L / θ b ) senh(mx) + senh[m( L − x)] = θb senh(mL) qf = M

cosh( mL ) − (θ L / θ b ) senh( mL )

D. Aleta muito longa

Neste caso, quando L → ∞, θ L → 0 .

θ ( x) = e − mx θb qf = M

Exemplo: 1) Uma barra cilíndrica de diâmetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade mantida a 100ºC. A superfície da base está exposta ao ar ambiente a 25ºC, com um coeficiente convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra é construída em aço inoxidável, com condutividade térmica k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua perda térmica para a condição de transferência convectiva de calor. 141


Î Resolução: Para calcular a temperatura de barra em x=L devemos utilizar a fórmula

para transferência convectiva de calor: θ( x) θb

⎛ h ⎞ cosh[m( L − x)] + ⎜ ⎟. senh[m.( L − x)] m.k ⎠ ⎝ = ⎛ h ⎞ cosh(m.L) + ⎜ ⎟. senh(m.L) ⎝ m.k ⎠

Calculando alguns parâmetros para obter o resultado: Ac =

π .d 2 4

=

3,14.(25.10 −3 ) 2 = 4,9.10 − 4 m 2 4 P = 2.π.r = 7,9.10 −2 m

m=

h.P 10.7,9.10 −2 = = 10,73m kAc 14.4,9.10 − 4

M = h.P. Ac .k .θ b = 10.7,9.10 − 2.4,9.10 − 4.14 .(TB − T∞ ) = 5,52W

Calculando agora a temperatura da barra em x=L ⎛ h ⎞ cosh[m( L − L)] + ⎜ ⎟. senh[m.( L − L)] ⎝ m.k ⎠ ⎛ h ⎞ cosh(m.L) + ⎜ ⎟. senh(m.L) ⎝ m.k ⎠ 1 = ⎛ 10 ⎞ cosh(10,73.0,25) + ⎜⎜ ⎟⎟. senh(10,73.0,25) ⎝ 10,73.14 ⎠

θ ( x = L) = θb θ ( x = L) 75

θ ( x = L ) = 9,58K θ ( x = L ) = T( x = L ) − T∞ T( x = L ) = 9,58 + 25 = 34,58 K

Calculando agora a perda térmica para a condição proposta: ⎛ h ⎞ senh(m.L) + ⎜ ⎟. cosh(m.L) m.k ⎠ ⎝ qr = M . ⎛ h ⎞ cosh(m.L) + ⎜ ⎟. senh(m.L) ⎝ m.k ⎠ ⎛ 10 ⎞ senh(10,73.0,25) + ⎜⎜ ⎟. cosh(10,73.0,25) 10,73.14 ⎟⎠ ⎝ qr = 5,52. ⎛ 10 ⎞ cosh(10,73.0,25) + ⎜⎜ ⎟⎟. senh(10,73.0,25) ⎝ 10,73.14 ⎠ qr = 5,47W

142


16.5. Desempenho da Aleta As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da aleta.

Efetividade: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. A utilização de aletas somente se justifica se εf ≥ 2. A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um material de condutividade térmica elevada. Aumenta quando aumenta a razão entre o perímetro e a área da seção reta. εf =

qf hAc ,bθ b

onde: Ac,b é a área da seção reta da aleta, na base. Para aletas com seção reta uniforme, Ac ,b = Ac

Pode-se definir a resistência da aleta por:

Rt , f =

θb qf

Utilizando-se a resistência à convecção na base:

R t ,b =

1 hAc ,b

A efetividade pode ser definida, então, por εf =

Rt ,b Rt , f

Eficiência: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de transferência de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da base. ηf =

qf q max

=

qf hA f θ b

onde: Af = área superficial da aleta Para uma aleta com a extremidade adiabática (caso B):

143


ηf =

hPkA c .θ b . tanh( mL ) hPL θ b

=

tanh( mL ) , mL

m=

hP kA c

Este resultado pode ser utilizado para os casos em que há transferência de calor pela extremidade da aleta:

ηf =

tanh(mLc ) , mLc

Lc = L +

t D ou Lc = L + 2 4

Figura 83 – Eficiência de aletas.

144


Eficiência Global da Superfície: A eficiência da aleta ηf caracteriza o desempenho de uma única aleta. A eficiência global da superfície ηg caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado.

ηo =

qt qt = q max hAtθ b

onde: qt = taxa total de transferência de calor At = área total exposta

At = NA f + Ab Ab = área da superfície exposta – área das aletas Af = área superficial de cada aleta N = número total de aletas A taxa de transferência de calor máxima ocorreria se toda a superfície da aleta, assim com a base exposta, fosse mantida a Tb . A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície exposta (sem aletas) para o fluido é dada por:

q t = Nη f hA f θ b + hAbθ b onde ηf é a eficiência de uma aleta. ⎡ NA f ⎤ (1 − η f ⎥θ b qt = h Nη f A f + ( At − NA f ) θ b = hAt ⎢1 − At ⎣ ⎦

[

]

Assim,

ηo = 1−

145

NA f At

(1 − η f )


Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retangulares b) Anulares. Nas superfícies aletadas, S representa o passo das aletas.

17. Condução Transiente 17.1. Introdução Condução transiente ocorre em várias aplicações da engenharia e pode ser tratada por diferentes métodos. De início, deve ser calculado o número de Biot, que relaciona a resistência à condução no sólido e a resistência à convecção na superfície sólidolíquido. Se o número de Biot for muito menor que a unidade, o método da capacitância global pode ser aplicado. Caso contrário, efeitos espaciais ocorrem, e outros métodos são usados.

17.2. Método da Capacitância Global Considere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que é resfriado por imersão em um líquido de temperatura T∞ < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a temperatura do sólido decrescerá até que eventualmente atinja T∞. A essência deste método é a consideração de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Esta hipótese é satisfatória quando a resistência à condução dentro do material for muito menor que a resistência à convecção na interface sólido-líquido. Neste caso, a equação de condução de calor não pode ser empregada, e a temperatura transiente é determinada por um balanço global de energia no sólido. 146


Aplicando o balanço de energia ao sólido:

− E& s = E& a

Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. − hAs (T − T∞ ) = ρ∀c

∂T ∂t

θ = T − T∞

Definindo:

ρ∀c dθ

Resulta:

hAs dt

= −θ ⇒

ρ∀c hAs

θ

∫θ

i

dθ

θ

∫

t

= − dt 0

θ i = Ti − T∞

Onde: ρ ∀c

Integrando:

hAs

ln

θi = t ou θ

⎡ ⎛ hA ⎞ ⎤ θ T − T∞ = exp ⎢− ⎜⎜ s ⎟⎟t ⎥ = θ i Ti − T∞ ⎣ ⎝ ρ∀c ⎠ ⎦

Validade do Método da Capacitância Global Sob condições de regime permanente, o balanço de energia na superfície do sólido se reduz a:

kA (Ts,1 − Ts ,2 ) = hA(Ts ,2 − T∞ ) L Rearranjando:

Ts ,1 − Ts , 2 Ts , 2 − T∞

147

=

L / kA Rcond hL = = ≡ Bi 1 / hA Rconv k


Se Bi << 1, a resistência à condução dentro do sólido é muito menor que a resistência à convecção através da camada limite do fluido, e o erro associado à utilização do método da capacitância global é pequeno.

Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção.

18. Convecção 18.1. Fundamentos da Convecção Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade V e temperatura T∞ sobre uma superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 87.

T∞

q Ts Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. Se a temperatura da superfície for superior à temperatura do fluido, haverá uma transferência de calor por convecção da superfície para o fluido. O fluido térmico local é dado pela lei de resfriamento de Newton.

q ′′ = h.(Ts − T∞ ) onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção.

148


Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da superfície. A taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo da superfície. q = q′′dAs = (Ts − T∞ )dAs

∫

∫

q = (Ts − T∞ )dAs

Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção h para toda a superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor q′′ = h .(Ts − T∞ )

Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser relacionados por:

h=

1 As

∫

As

h.dAs

Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 88)

Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana.

As (x ) = bx h=

1 bL

h=

1 hdx L0

∫

hbdx As

L

∫

h = coeficiente médio de transferência de calor por convecção (W/m2. K). 149


h = coeficiente local de transferência de calor por convecção (W/m2. K). De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a CA,∞ escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor uniforme CA,s ≠ CA,∞, haverá transferência deste componente por convecção. A taxa de transferência de massa pode ser calculada através de um coeficiente local hm. Se CA,s > CA,∞ N”A = hm(CA,s - CA,∞) onde: N”A: fluxo molar da espécie A (Kmol/s.m²) Hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) CA,s: concentração molar de A na superfície (Kmol/m³) CA,∞: concentração molar de A no fluido (Kmol/m³) A taxa total de transferência de massa pode ser escrita na forma

NA = hm As (CA ,S −CA ,∞ ) onde hm : coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao coeficiente local por

hm =

1 As

∫ h dA m

s

dAs

A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa, através do fluxo mássico n”A (Kg/s.m²) ou da taxa de transferência de massa nA (Kg/s). Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A,

n" A = hm (ρA ,S − ρA ,∞ ) n A = h m A s ( ρ A , S − ρ A ,∞ ) 18.2. As Camadas Limites da Convecção

150


18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica Seja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89. u∞ y

u∞

CORRENTE

δ (x) CAMADA LIMITE τ HIDRODINÂMICA

x

Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no retardamento do movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente, até uma distância y = δ, onde o efeito de retardamento se torna desprezível. A velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u∞. 1)

A espessura da camada limite, δ, é definida como o valor de y para o qual u = 0,99 u∞;

2)

O perfil de velocidade na camada limite é a maneira com que u varia com y através da camada limite;

3)

Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são elevados; fora da camada limite, são desprezíveis;

4)

Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do conceito de camada limite:

Cf =

τs

ρu ∞2 2

onde:

τs

= tensão de cisalhamento na superfície (N/m2)

ρ = massa específica do fluido (kg/m3) u∞ = velocidade do fluido na corrente livre (m/s)

151


5) Para uma fluido Newtoniano

τs = µ

∂u ∂y

, y =0

Com µ = viscosidade dinâmica do fluido (kg/m. s).

18.2.2. As Camadas Limites de Concentração A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em uma parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma superfície e a concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na corrente livre, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido onde existem gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual

CA , S − CA CA , s − CA , ∞ O perfil de concentração na camada limite é similar ao perfil de temperatura na camada limite térmica (Fig. 90).

Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não se desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura

(δ ≠ δt ≠ δc ) . O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica, 152


u >> v ∂u ∂u ∂v ∂v = , , ∂y ∂x ∂y ∂x No interior da camada limite térmica, ∂T ∂T >> ∂y ∂x Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna mais fácil.

18.3. Escoamento Laminar e Turbulento Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes de convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor. Em geral, são obtidas equações empíricas para o cálculo dos adimensionais e, através de sua definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo, etc.), do regime do escoamento, se a convecção é natural ou forçada, etc. Para o tratamento de qualquer problema de convecção é relevante determinar se a camada limite é laminar ou turbulenta, já que tanto o atrito superficial como as taxas de transferência de calor por convecção dependem das condições da camada.

Figura 91 – Camada Limite. Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem.

153


A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, 105 ≤ Rex,c ≤ 3 × 106. Um valor representativo é Rex,c = 5 × 105, ou seja, o número de Reynolds crítico (ou de transição) é dado por:

ρ .u ∞ . x µ

Re x =

e

Re x ,c =

ρ .u ∞ . xc µ

onde: Rex,c = no de Reynolds crítico (início de transição do regime laminar para turbulento) Número de Reynolds - é a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas:

Re L =

ρVL VL = µ ν

Número de Prandtl - é a relação entre a difusividade de momento e a difusividade térmica – relaciona a distribuição de temperatura à distribuição de velocidade:

Pr =

µc p k

=

ν α

Para escoamentos laminares δ δ t ≈ Pr n . Para gases δ ≈ δ t , metais líquidos δ >> δ t , e para óleos δ

<< δ t .

Número de Nusselt - é o gradiente de temperatura adimensional na interface fluidosuperfície: Nu L =

hL kf

Coeficiente de atrito - é tensão de cisalhamento adimensional na superfície:

Cf =

τs ρV 2 2

Fator de atrito – é a queda de pressão adimensional para escoamento interno: f =

∆p

(L D )(ρ u m2

2

)

Parâmetros Adimensionais

•

Número de Reynolds

Re =

154

ρud µ


•

Número de Nusselt

Nu =

•

Número de Prandtl

Pr =

•

ν Cpµ = α Kf

Número de Sherwood

Sh = •

hd Kf

hmd DAB

Número de Schmidt

Sc =

ν DAB

onde DAB é a difusividade de massa (m²/s) Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem. A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta transição ocorre para Re=5x105, ou seja, o numero do Reynolds crítico (ou de transição) é dado por:

ρu∞xc = 5 x10 5 µ

Re x , c =

onde u∞ é a velocidade da corrente livre. Para escoamento laminar (Rex< 5x105), a espessura da camada limite fluidodinâmica é

δlam =

5x Re x

A espessura da camada limite térmica é dada por

δ = Pr 3 δt 1

O número de Nusselt local é dado por

Nux =

155

hxx = 0,332 Re1x/ 2 Pr1 / 3 , válida para Pr ≥0,6 K


Uma outra expressão para o número de Nusselt local, válida para qualquer valor de Prandtl, é dada por Nux =

0,3387 Re1x/ 2 Pr1 / 3

[1 + ( 0,0468 / Pr ) ]

2 / 3 1/ 4

Para escoamento turbulento (Re>5x105)

δturb = 0,37 Re

−1 / 5 x

⎛ ρu∞ ⎞ ⎟⎟ .x = 0,37⎜⎜ ⎝ µ ⎠

−1 / 5

x −1 / 5 .x

Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a turbulenta cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x4/5, enquanto no escoamento laminar, a espessura varia com x1/2. Para escoamentos turbulentos,

δ ≈ δt O número d Nusselt local é dado por

Nux = 0,0296 Re4x / 5 Pr1 / 3 , válida para 0,6
T∞

T∞

CORRENTE

δ (x) CAMADA LIMITE TÉRMICA

x

Tsup.

Figura 92 – Camada Limite Térmica. No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com T(y) = T∞. No entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, T (x,0) = T∞ . Por sua 156


vez estas partículas do fluido em contato com a superfície atingem o equilíbrio térmico com essa superfície, e trocam energia com partículas fluidas em camadas adjacentes, criando um gradiente de temperatura. 1)

A espessura da camada limite térmica, δt, é definida como o valor y para o qual:

(Ts − T ) (Ts − T∞ ) = 0,99 2)

Na superfície não existe movimentação do fluido e a transferência de calor ocorre unicamente por condução. Com isso,

∂T q ′s′ = − k f ∂y

y =0

e

h=

− k f ∂T ∂y Ts − T∞

onde kf = condutividade térmica do fluido (W/m.K)

157

y =0


EXERCÍCIOS RECOMENDADOS: * FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001. (Quinta Edição)

CAPÍTULO 1: 1.2; 1.25; 1.26; 1.30 e 1.34.

CAPÍTULO 2: 2.1; 2.27; 2.28; 2.32; 2.33 e 2.36 a 2.40.

CAPÍTULO 3: 3.13 a 3.20; 3.22 e 3.27.

CAPÍTULO 4: 4.9 a 4.12; 4.17 a 4.19; 4.23; 4.24; 4.27; 4.29 e 4.182 a 4.188.

CAPÍTULO 6: 6.33; 6.35; 6.36; 6.38; 6.39; 6.40; 6.41 e 6.42. * INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998. (Quinta Edição)

CAPÍTULO 1: 1.1 a 1.7; 1.10 a 1.13; 1.15; 1.17 a 1.19; 1.24 a 1.28; 1.35; 1.37; 1.39 e 1.42 a 1.49.

CAPÍTULO 2: 2.2; 2.4; 2.7 a 2.10; 2.14; 2.18; 2.21; 2.23; 2.34 e 2.39.

CAPÍTULO 3: 3.2; 3.10; 3.12; 3.13; 3.15; 3.32; 3.37; 3.38; 3.44 e 3.66.

158


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: * BASTOS, Francisco de Assis A., Problemas de Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan S.A., 1983. * CARVALHO, Djalma Francisco, Instalações Elevatórias, Bombas, Fumarc, Belo Horizonte, 1984.

* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001. * HOLMAN, J.P., Transferência de Calor, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São Paulo, 1983. * INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998. * MACINTYRE, Archibald Joseph, Bombas e Instalações de Bombeamento, Editora Guanabara S.A., Rio de Janeiro, 1987.

* MYERS, J.E. e C.O. Bennett, Fenômenos de Transporte, Quantidade de

Movimento, Calor e Massa, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São Paulo, 1978. * OZISIK, M. Necati, Transferência de calor: um texto básico, Editora Guanabara Koogan S.A., c1990. * SCHIOZER, Dayr, Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan S.A. Rio de Janeiro, 1996. * SISSOM, Leighton E. E Donald r. Pitts, Fenômenos de Transporte, Editora Guanabara Koogan S.A. Rio de Janeiro, 1988. * SHAMES, Irving H., Mecânica dos Fluidos, Volume I e II, Editora Edgard Blucher Ltda., 1977. * STREET, Robert L. e John K. Vennard, Elementos de Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan S.A., 1978. * TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Cálculo, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994. * TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Materiais, Projeto e Desenho, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994. * THOMAS, Lindon C., Fundamentos da Transferência de calor, Prentice-Hall do Brasil, 1985. * WHITE, Frank M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda., Rio de Janeiro, 2002. 159


Apêndice A Tabela A.1 – Propriedades de Fluidos Comuns a 20ºC e 1atm. Massa Específica Viscosidade Absoluta Fluido Kg/m3 Kg/(m.s) ____________________________________________________________________________

Água Freon -12 Gasolina Glicerina Mercúrio Óleo SAE 10W Óleo SAE 10W30 Óleo SAE 30W Óleo SAE 50W Querosene Hidrogênio Hélio Ar seco CO2

998 1327 680 1260 13550 870 876 891 902 804 0,084 0,166 1,203 1,825

Tabela A.2 – Massa Específica da Água a 1 atm. T(ºC) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Massa Específica (Kg/m3) 1000 1000 998 996 992 988 983 978 972 965 958

Tabela A.3 - Massa Específica do Ar a 1 atm. T(ºC) -40 0 20 50 100 150 200 250 300 400 500 160

Massa Específica (Kg/m3) 1,520 1,290 1,203 1,090 0,946 0,835 0,746 0,675 0,616 0,525 0,457

1,00x10-3 2,62x10-4 2,92x10-4 1,49 1,56x10-3 1,04x10-1 1,70x10-1 2,90x10-1 8,60x10-1 1,92x10-3 9,05x10-6 1,97x10-5 1,80x10-5 1,48x10-5


Tabela A.4 - Massa Moleculares de Gases Comuns. Fluido Massa Molecular (Kg/Kmol) H2 2,016 He 4,003 H2O 18,02 Ar seco 28,96 44,01 CO2 CO 28,01 28,02 N2 32,00 O2 NO 30,01 N2O 44,02 7,091 Cl2 CH4 16,04 Tabela A.5 – Emissividades a 300K. Superfície Água Concreto Folha de amianto Tijolo vermelho Placa de gesso Madeira Pavimentação de asfalto Vidro de janela Teflon Alumínio polido Solo Pele

Emissividade 0,96 0,88-0,93 0,93-0,96 0,93-0,96 0,90-0,92 0,82-0,92 0,85-0,93 0,90-0,95 0,85 0,03 0,93-0,96 0,95

Tabela A.6 – Condutividades Térmicas a 300K. Material Aço inoxidável AISI 304 Alumínio puro Chumbo Cobre puro Ferro puro Algodão Asfalto Compensado de madeira Manta de fibra de vidro Pele Solo Tijolo comum Vidro pyrex Ar seco

161

K (W/m.K) 14,9 237 35,3 401 80,2 0,06 0,062 0,12 0,038 0,37 0,52 0,72 1,4 0,0263


Tabela A.7 – Valores de Densidade para alguns fluidos a 20 °C. Fluido Hidrogênio Ar Gasolina Água Mercúrio Óleo SAE 30 Glicerina

Densidade (Kg/m3) 0,087 1,205 680 998 13580 891 1264

Tabela A.8 – Valores de Viscosidade para alguns fluidos a 20 °C. Fluido Hidrogênio Ar Gasolina Água Mercúrio Óleo SAE 30 Glicerina

Viscosidade (Kg/m.s) 8,8x10-6 1,8x10-5 2,9x10-4 1,0x10-3 1,5x10-3 0,29 1,5

Tabela A.9 – Propriedades Termodinâmicas de Gases Comuns na Condição Padrão ou “ Standard” .

162


Gás Ar Bióxido de Carbono Hélio Hidrogênio Metano Monóxido de Carbono N2 O2 H2O

CO

He H2 CH4

CO2

–

Símbolo Químico

28,01 32,00 18,02

28,01

4,003 2,016 16,04

44,01

28,98

Massa Molecular, Mm

296,8 259,8 461,4

296,8

2077 4124 518,3

188,9

286,9

1039 909,4 ~2000

1039

5225 14,180 2190

840,4

1004

742 649,6 ~1540

742,1

3147 10,060 1672

651,4

717,4

1,40 1,40 ~1,30

1,40

1,66 1,41 1,31

1,29

1,40

55,16 48,29 85,78

55,17

386,1 766,5 96,32

35,11

53,33

0,2481 0,2172 ~0,478

0,2481

1,248 3,388 0,5231

0,2007

0,2399

0,1772 0,1551 ~0,368

0,1772

0,7517 2,402 0,3993

0,1556

0,1713

163

Nitrogênio Oxigênio Vapor

a Temperatura e pressão na condição padrão ou “standard”. T = 15º = 59ºF e p = 101,325 kPa (abs.) = 14696 psia. b R ≡ Ru/Mm; Ru = 8314,3 J/(kgmol·K) = 1545,3 pé · lbf/(lbmol · ºR); 1 Btu = 778,2 pé · lbf. O vapor d’água comporta-se como um gás ideal quando superaquecido de 55ºC (100ºF) ou mais. c

Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos


Apêndice B Tabela B.1– Grandezas e Unidades utilizadas em Mecânica dos Fluidos. Grandeza

Massa

Fatores de Conversão

1 slug = 14,594 kg = 32,174 lbm 1 lbm = 0,4536 kg 1 tonelada = 1000 kg

Comprimento

1 ft = 12 in = 0,3048 m 1 mi = 5280 ft = 1609,344 m

Temperatura

T (K) = T (°C) + 273,15 1R = 1,8K

Força

1 kgf = 9,80665 N = 2,2046 lbf 1lbf = 4,4482N

1dina = 1g

cm = 1x10 −5 N 2 s

1 onça = 0,27801 N Energia

1 ft.lbf = 1,3558 J 1 Btu = 252 cal = 1055,056 J 1 kWh = 3,6x106 J

Pressão

1 psi = 6894,76 Pa

1

N = 1Pa = 10 −5 bar = 0,9872x10 −5 atm 2 m

1 lbf/ft2 = 47,88 Pa 1 psi = 1 lbf/in2 = 144 lbf/ft 2 = 6895 Pa 1 atm = 101325 Pa 1 bar = 1x105 Pa linHg (a 20ºC) = 3375 Pa Potência

1 hp = 550 ft.lbf/s = 745,7 W = 1,014 cv 1 cv = 735 W

Densidade

1 slug/ft3 = 515,4 Kg/m3

Viscosidade

1 slug/(ft.s) = 47,88 kg/(m.s) 1 Ns/m2 = 1 kg/ms = 10 poise

Viscosidade Cinemática

1 stokes (St) = 1 cm2/s = 1x10-4 m2/s

Volume

1 ft3 = 0,028317 m3

164


1 galão = 231 pol3 = 0,0037854 m3 1 litro = 0,001 m3 = 0,035315 ft3 Área

1 ft2 = 0,092903 m2 1 mi2 = 2,78784x107 ft2 = 2,59x106 m2 1 acre = 4046,9 m2 = 43560 ft2

Peso Específico

1 lbf/ft3 = 157,09 N/m3

Massa Específica

1 slug/ft3 = 515,38 kg/m3 1 lbm/ft3 = 16,0185 kg/m3 1 g/cm3 = 1000 kg/m3

165


Figura A1

166


Figura A2

167

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