FENÓMENOS DE TRANSPORTE - BIBLIOTECA UPIBI

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA

FENÓMENOS DE TRANSPORTE

ELABORADO POR: M. EN C. MARÍA GUADALUPE ORDORICA MORALES

2008

Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología

Fenómenos de Transporte

CONTENIDO I.

Introducción y conceptos básicos. 1.1 Panorama general de los fenómenos de transporte en la bioingeniería 1.2 Sistemas de unidades 1.3 Conversiones 1.4 Conceptos básicos de física y matemáticas 1.5 Ley de Newton de la viscosidad 1.6 Fluidos no Newtonianos 1.7 Viscosidad: Estimaciones

II. Transferencia de cantidad de movimiento. 2.1 Balances de cantidad de movimiento 2.2 Flujo de una película descendente. 2.3 Flujo a través de un tubo circular 2.4 Flujo a través de un espacio anular 2.5 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida 2.6 Ecuaciones de variación 2.7 Ecuación de continuidad 2.8 Ecuación de cantidad de movimiento 2.9 Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas 2.10 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 2.11 Uso de las ecuaciones de variación 2.12 Factores de fricción. III. Transferencia de energía. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14

Ley de Fourier de la conducción de calor Conductividad térmica: Estimaciones Balances de energía Conducción con disipación térmica Conducción con reacción química Conducción en paredes compuestas Conducción en una aleta de enfriamiento Convección forzada Convección libre Ecuaciones de variación Ecuaciones de energía Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas Uso de las ecuaciones de variación Coeficientes de transmisión de calor

IV. Transferencia de materia 4.1 4.2 4.3 4.4

Ley de Fick de la difusión binaria Difusividad: Estimaciones Balances de materia Difusión a través de una película de gas estancada

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Difusión a una película líquida descendente Ecuaciones de variación Ecuación de continuidad para sistema multicomponente Uso de las ecuaciones de variación Coeficiente de transferencia de masa M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales



CONCEPTOS BÁSICOS

M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales



I Conceptos Básicos Termodinámica: Forma de aprovechamiento energético de las sustancias, generación de nuevas formas de energía y transferencia de materia. La termodinámica es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemas termodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma de aprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas de energía y la transferencia de materia para crear orden o desorden. Donde el sistema esta caracterizado por sus variables termodinámicas las cuales describen el estado del sistema: • • •

Presión Volumen Temperatura

Pabs = Pmanometrica + Patmosferica 0> Pmanometrica Patm > 0

Un sistema termodinámico es una colección de materia que ocupa una región en el espacio sobre el cual se enfoca la atención para su estudio y análisis. Se define los alrededores del sistema como aquella porción de materia que ocupa la región del espacio que está fuera del sistema seleccionado. La superficie que separa el sistema de sus alrededores se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferencia de energía, materia y/o cantidad de movimiento.

SISTEMA

Transferencia de masa, energía o momento.

Frontera

Fig 1.1 Esquema representativo de un sistema Existen 3 clases de sistema (ver figura 1.2). Sistemas Aislados: los cuales no pueden intercambiar ni energía ni materia con

el entorno. Sin embargo, cada parte de ésta clase de sistema se constituye en un subsistema rodeado por las partes restantes y por lo tanto, se darán los intercambios de materia y energía para que cuando el sistema alcance el equilibrio, todas las partes del sistema sean indistinguibles. Sistemas Cerrados: los cuales intercambian energía con su exterior pero no materia.




Sistemas Abiertos: los cuales intercambian energía y materia con el exterior.

Los sistemas pueden ser Homogéneos (Pueden ser mezclas, pero deben ser medios continuos) y heterogéneos.

Fig 1.2 Diferencia entre los tres tipos de sistemas Para los sistemas homogéneos los fenómenos que involucran el desplazamiento o flujo de masa, energía, o cantidad de movimiento, de denomina fenómeno de transporte, y se modela empleando ecuaciones diferenciales que expresan los flujos en términos de cambios infinitesimales de las variables.

Fig 1.3 Diferencia entre los sistemas homogéneos y heterogéneos




Sistema de unidades.

Componente

Unidades Básicas: longitud (l), masa (m), tiempo (t), temperatura (T), concentración química (mol), corriente Unidades derivadas: fuerza (F), velocidad (v ), aceleración (a), presión (P), etc




TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO




Clasificación de los fluidos Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de ésta. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene.

No Newtonianos:

Un fluido no newtoniano es aquél cuya viscosidad varía con la tensión cortante que se le aplica. Como resultado, un fluido no-newtoniano no tiene un valor de viscosidad definido y constante, a diferencia de un fluido newtoniano. Suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímetros de cadena larga, fluidos biológicos, alimentos líquidos, Pinturas, suspensiones de arcillas, etc.

Newtonianos:

Es un fluido con viscosidad en que las tensiones tangenciales de rozamiento son directamente proporcionales al gradiente de velocidades.

Gases y fluidos de moléculas sencillas, el aire, el agua, la gasolina y algunos aceites minerales. El gradiente de velocidad en un punto es proporcional al esfuerzo cortante en dicho punto. dv / dx α Ƭ

Ecu. 1

El gradiente de velocidad es proporcional al esfuerzo cortante impuesto al fluido (ver fig 1.4). Ley de Newton de la Viscosidad

Fig 1.4 Representación de la les de Newton de la viscosidad Perfil de velocidad en estado estacionario entre dos laminas




Una vez alcanzado el régimen estacionario es preciso aplicar un fuerza cortante F para conservar el movimiento de la lámina interior. Esta fuerza viene dada por la expresión:

µ es la viscosidad del fluido

El régimen de flujo esta dado por el número de Reynolds, el cual es adimensional. Re = D v ρ / µ

Re < 2100 Flujo laminar Re > 2100 Flujo turbulento

D = Diámetro de la tubería (m) V = velocidad del fluido (m/s) ρ = Densidad del fluido (Kg/m3)

µ = viscosidad del fluido (m s/ Kg)

Plásticos de Bingham la relación de esfuerzo cortante frente al gradiente de velocidad, es lineal pero no pasa del origen.

Ƭ=Ƭ0 + (dv/dY) Ƭ0 = Tensión o esfuerzo de fluencia = Viscosidad plástica Pseudo plásticos y dilatantes que siguen un comportamiento potencial (Fluido de la ley de la potencia) la relación entre esfuerzo cortante y gradiente de velocidad no es lineal.




Log Ƭ = log K (dv/dy) Log Ƭ = log K (dv/dy) Log Ƭ = log K + log (dv/dy) Plásticos en general tienen características de plásticos de Bingham Ƭ= Ƭ0 + K (dv/dy)

es el indice de comportamiento del fluido

La densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad por lo que el gradiente de velocidad se considera como una fuerza impulsora del transporte de la cantidad de movimiento. La viscosidad es la propiedad de un fluido que se opone al movimiento relativo de capas adyacentes en el fluido. La viscosidad en gases la densidad aumenta con la temperatura. La viscosidad en líquidos disminuye al aumentar la temperatura. En gases, la cantidad de movimiento se transporta por las moléculas que se desplazan libremente, mientras que en los líquidos el mecanismo principal del transporte de cantidad de movimiento coincide en el choque efectivo de las moléculas.




Principio de estados correspondientes Establece que todas las sustancias puras en la región fluida pueden describirse con las ecuaciones de funcion de dos variables reducidas. PV = z RT

Pr = P / Pc

Tr = T / Tc

Ƭyx = - µ ( dvx/dy) Ƭyx [=] N/m2, dina/ cm2 Vx [=] m / s , cm / s Y [=] m, cm µ [=] Kg/ms ó g / cms ó poise

Ley de Newton de la viscosidad

V = µ/ ρ

[ = ] m2/s

Viscosidad cinética

Métodos para determinar la viscosidad Método de Uyehara. El valor de µc se puede estimar con la siguiente expresión. µc = 61.6 (PMTc) ½ (Vc) -2/3 µc = 7.70 PM ½ Pc 2/3 Tc -1/6 µc [=] micropoises Pc [=] atmosferas (atm) Tc [=] kelvin (K) Vc [=] cm3 / g mol

Ecu.

1.a

Ecu 1.b




Fig 1.5 Viscosidad reducida µr = µ/ µc, en función de la temperatura reducida, para distintos valores de la presi6n reducida Pr = P / Pc. [O. A. Uyehara y K. M. Watson, Nur. Perroleum News, Tech Section 36,764 (Oct. 4, 1944); revisada por K. M. Watson (1960). Una versi6n a gran escala de este gráfico se inserta en 0. A. Hougen, K. M. Watson y R. A. Ragatz, C. P. P. Chats Wiley, Nueva York (1960), Segunda edición.




Ejemplo 1.1 Calcule la viscosidad del Nitrógeno molecular (N2) a 50 °C y 854 atm utilizando el método de Uyehara. PM = 28.02 Pc = 33.5 atm (obtenido de tabla) Tc = 126.2 K (obtenido de tabla) T = 50 °C = 323 K P = 854 atm µc = 180 x106 g / cm s (teórico) Aplicando la ecuación 1.b se obtiene:

Calculando la Temperatura y Presión reducida para interpolar en la grafica 1.5 se tiene:

En la Fig. 1.5 se lee que µ/µc = 2.39 = µr aproximadamente. Por tanto, el valor estimado de la viscosidad es:

El valor experimental es 455x10-6. El error en este caso es mínimo por lo que el método es aceptable. Nota: se le deja al alumno que compruebe el resultado utilizando la ecuación 1.a

Método de Kobayashi

El valor de µc se puede obtener de tablas.




Fig. 1.6 1.6 Viscosidad reducida µr = µ / µc en funci6n de la presión reducida Pr = P / Pc, y la temperatura reducida Tr = T / Tc,. [N. L. Carr, R. Kobayashi y D. B. Burroughs, Am. Insr. Min.& Met. Engrs., Petroleum Tech., 6, 47 (1954).




Postulados de la teoría cinética de los gases • • • • •

Gases constituidos por partículas que se mueven en línea recta y al azar Movimiento se modelan si las partículas chocan entre si o con las paredes del recipiente. La velocidad de las partículas se considera despreciable Entre partículas no existen fuerzas de atracción ni de repulsión La energía cinética media de las partículas es proporcional a la temperatura absoluta del gas.

Método por la ecuación de Chapman-Enskog Se basa en la teoría cinética de los gases, esta teoría da expresiones de los coeficientes de transporte en función de la energía potencial de interaccione entre dos moléculas de gas.

donde ϵ/K = 0.77 Tc ϵ/K = 1.15 Tb ϵ/K = 1.92 Tm

σ = 0.841 Vc1/3 ó 2.44 (Tc/Pc)1/3 σ = 1.116 V 1/3 σ = 1.22 V1/3

ϵ/K [=] K

σ [=] Amstrong Pc [=] atm µc [=] g / cm s

Ejemplo 1.2 La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3 °C, es 1800 x 10 -7 poise. Estimar el valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3 °C. Utilizando el método de Kobayashi. T1 = 40.3 °C = 313.5 K P1 = 45.3 atm µ1 = 1800 x 10-7 poise por lo tanto la Pr y Tr son:




Con estos valores se interpola en la grafica de la figura 1.6 y se tiene una µ# de 1.12 que corresponden a las condiciones iníciales del problema, por lo tanto µ° = µ/µ# es de: 1610 x 10 -7 poise Y para calcular a las condiciones deseadas: T2 = 313.5 K P2 = 114.6 atm µ2 = ? ? por lo tanto Tr = 1.03 y Pr = 1.57 interpolando µ# = 3.7 para calcular la viscosidad se tiene: µ = µ# µ° = (3.7) (1610 x 10-7poise) = 5957 x 10 -7 poise El valor experimental es de 5800 x 10 -7 poises. Ejemplo 1.3 Calcular la viscosidad del CO2 a 1 atm y: a) 200 K b) 300 K c) 800 K T (K) 200 300 800

σ

ϵ / k ( K)

KT/ϵ

Ωµ

3.996 3.996 3.996

190 190 190

1.053 1.579 4.21

1.549 1.296 0.96

µ experimental (x 10 -4) 1.015 1.495 -----




2. Distribución de velocidad Vx, y , z , θ, r = variables que se utilizan en las ecuaciones de cantidad de movimiento. Ecuación general de Balance de Cantidad de movimiento Entrada – Salida + Generación – Consumo = Acumulación

>0 0 <0

Balance de cantidad de movimiento Primero se selecciona una envoltura delgada de fluido que tenga la misma geometría que el objeto sobre el cual se hace el balance. La ecuación para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad de movimiento es:

Fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que actúan sobre el volumen) Transferencia de cantidad de movimiento. El movimiento se transfiere de dos maneras 1. Viscoso: es una transferencia perpendicular al movimiento del fluido. 2. Cinético: es un transferencia paralela al movimiento del fluido. Procedimiento para la resolución de un problema: 1. Escribir el balance de cantidad de movimiento para una envoltura de espesor finito. 2. Se hace tender el espesor a cero utilizando la definición matemática de la primera derivada con el fin de obtener la ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. 3. Se introduce la expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad. 4. Se resuelve la ecuación para obtener las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema. 5. Se evalúan las constantes de integración utilizando las condiciones limites del sistema.




Ecuación general de transporte molecular Los tres procesos de transporte molecular de momento lineal, calor y masa se caracterizan por el mismo tipo de ecuación de transporte.

Viscosidad

Cantidad de calor

Difusividad térmica

El transporte molecular de una partícula se lleva a cabo en un fluido por los movimientos de las moléculas individuales. (Figura 2.1)

Flujo de una película descendente

Fig. 2.1 Diagrama esquemático del experimento de una película descendente, con indicación de los efectos finales. En la región de Longitud L la distribución de velocidad está totalmente desarrollada.

Fluido newtoniano

τ= -µ (dv/dy)

Fluido incompresible

ρ , µ = constantes

Estado estacionario Flujo laminar

A = 0 v = constante Re < 2100




Ejemplo 2.1 ejemplo de la aplicación de flujo viscoso de una película descendente.

Fig. 2.2 Flujo viscoso isotérmico de una película de líquido bajo la influencia de la gravedad, sin formación de ondulaciones. Capa de espesor ∆x sobre la que se aplica el balance de cantidad de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel. Aplicando la ecuación de balance:

Ecu 2.1 Por estado estacionario A = 0 la ecuación 2.1 queda:

v = constante por lo tanto la velocidad es cero, por lo que

Ecu 2.2 2.2 Multiplicando la ecuación 2.2 por -1 y dividiendo entre WL∆x y aplicando lomite cuando ∆x tiende a cero, obtenemos:

Ecu 2.3 2.3

Ecu 2.4 2.4




Integrando la ecuación 2.4 obtenemos:

Ecu 2.5 2.5

Tomando en cuenta las condiciones de frontera: τxz = 0 cuando x = 0 y resolviendo la ecuación 2.5 obtenemos que la constante C1 es cero. Por lo tanto el perfil de área del fluido es:

Ecu 2.6 2.6 Sustituimos la ecuación 2.6 en la ley de Newton

Ecu 2.7 2.7 Resolviendo la ecuación diferencial y despezando al perfil de velocidad obtenemos:

Ecu 2.8 Se evalúa la ecuación 2.8 con las condiciones de frontera 2 ( Vz= 0 cuando x = a, grosor de capa).

a=

Ecu 2.9 La ecuación 2.9 es el perfil de velocidad del fluido. Condiciones de frontera. Para fluidos en movimiento se considera dos puntos importantes: 1. En la interface sólido-líquido (paredes) la capa del fluido pegada al as paredes no se mueve, sin embargo, adquiere la velocidad con la que se desplaza la pared

τ=τmax




2. En el centro del perfil: la velocidad en este punto es máxima, por lo que el esfuerxo

de corte es cero (τ=0)

V = V max Velocidad del fluido Fig 2.3 Condiciones de frontera




Flujo a través de un tubo circular

CL2 r=R v=0

τ=τ

CL1 r=0

v v max

Fig 2.4 Flujo a través de un tubo circular y condiciones de frontera Entrada

Salida

Transporte viscoso Transporte cinético

Fuerzas de presión Fuerzas de gravedad Realizando el balance de materia.

Ecu 2.10




Multiplicando la ecuación 2.10 por Y sustituyendo:

Ecu 2.11 Aplicar limite cuando ∆r tiende a cero

Ecu 2.12

Ecu 2.13 Integrando y resolviendo la ecuación con las CL1 se tiene que la C1=0 por lo que el perfil de área es:

Ecu 2.14 Sustituir el perfil de área en la ley de newton:

Ecu 2.15 Resolviendo la ecuación diferencial y aplicando las CL2 para obtener la C2 y el perfil de velocidad del fluido en el tubo.

Ecu 2.16 Ecuación de Hagen-Poiseuille




Esta ecuación establece la relación que existe entre la velocidad volumétrica de flujo y las fuerzas que lo originan, para poder usar esta ecuación se tienen que usar las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4.

Flujo laminar ρ constante Estado estacionario Fluido Newtoniano

5. Efectos finales despreciables 6. Medio continuo 7. No hay deslizamiento en la pared

Problema: Flujo a través de una rendija

Fig 2.5 Flujo a través de una rendija Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas separadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad (ver figura 2.5): Solución:




Flujo a través de una sección de corona circular

Entrada

Salida

T. viscoso

V = cte =0 T. cinético

Fza P.

Fig 2.6 Flujo ascendente a través de dos cilindros concéntricos

Fza g

Vamos a considerar ahora otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilíndricas, pero cuyas condiciones límites son diferentes. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares, coaxiales de radios KR y R (véase Fig. 2.6). Comenzamos efectuando un balance de cantidad de movimiento sobre una fina envoltura cilíndrica, y se llega a la misma ecuación diferencial que se ha obtenido anteriormente para el flujo en un tubo en el ejemplo anterior ecuación 2.13

Ecu 2.17 Al Integrar obtenemos:

Ecu 2.18 En este caso C1 no puede ser cero como en el caso anterior por lo que las condiciones = 0 y V1 = max limite son: r = λR Lo más que podemos decir es que ha de existir un máximo de la curva de velocidad en un cierto plano (hasta ahora desconocido) por lo que el perfil de es:

Ecu 2.19




Ecu 2.20 Sustituir el perfil de área en la ley de newton:

Ecu 2.21 Resolviendo la ecuación diferencial e integrando con respecto a r.

Ecu 2.23 En este caso se tienen 2 condiciones limite mas: CL2: CL3: Al sustituir estas condiciones se obtienen dos ecuaciones para

Ecu 2.23.a 2.23.a

Ecu 2.23.b Al igualar ambas ecuaciones (2.23.a y 2.23.b)

Resolviendo la ecuación y conocemos el valor de λ y y sustituyendo estas constantes en la ecuación de (2.23) se obtiene el perfil de velocidad para el fluido:

Ecu 2.23




3. Ecuaciones de variación Ecuación de continuidad Esta ecuación es otra manera de expresar la ley de conservación de la materia y se deduce aplicando un balance de materia a un elemento estacionario de volumen ∆x, ∆y, ∆z; a traves del que está circulando el fluido (véase Fig. 3.1).

Fig 3.1 Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fijo en el espacio, a través de la cual esta circulando un fluido.

Ecu 3.1




Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos Tabla 3.1 Ecuaciones de movimiento en coordenadas rectangulares En función de τ

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes




Tabla 3.2 Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas En función de τ

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes




Tabla 3.3 Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares(x, y, z)

Tabla 3.4 Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas (r, θ, z)




Flujo a través de una rendija. (utilizando las ecuaciones de variación ecuación F de la Tabla 3.1)

Fig 3.2 flujo a través de una rendija

Ecu 3.2

Reacomodando la ecuación 3.2

Ecu 3.1 Ecu 3.2 Resolviendo la ecuación deferencial e integrando:

Ecu 3.3 Obtenemos:

Ecu 3.4 Sustituyendo la ecuación 3.4 en 3.1 observamos que el la ley de newton y resolviendo la ecuación diferencial.

Ecu 3.5

Ecu 3.6 Las CL1 son: x = B y

=0




Ecu 3.7 Sustituyendo 3.7 en 3.6

Ecu 3.8

Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular Ω0. (Véase Fig. 3.3.) Los efectos finales pueden despreciarse.

Fig 3.3 Flujo laminar de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales, el exterior de los cuales gira con una velocidad angular Ω0. Solución: Datos a considerar: • • • •

Cilindro exterior gira, cilindro interior estático Flujo laminar Fluido newtoniano e incompresible Velocidad constante (edo. estacionario)

•

Hallar vθ y τrθ




Utilizar la ecuación de variación E de la tabla 3.2, tomando las consideraciones y reacomodando la ecuación obtenemos:

Ecu 3.9 Igualando a cero la ecuación y resolviendo el sistema (integrar 2 veces) considerando CL1 CL1

Ecu 3.10 Ecu 3.11

De esta manera se obtienen 2 ecuaciones:

Ecu 3.12.a Ecu 3.12.b Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las constantes 1 y 2:

Ecu 3.13

Ecu 3.14 Sustituyendo las constantes en la ecuación 3.11 obtenemos e perfil de

Ecu 3.15 Utilizando la ecuación D de la tabla 3.4 podemos obtener el esfuerzo cortante




Ecu 3.16

Conservación de la Energía Mecánica Flujo laminar Re< 2100 Flujo

Turbulento Re> 2100

Ecuación de Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700-1782)

Fig 3.4 Representación grafica de la ecuación de Bernoulli Energía contenida en el elemento del fluido. E = Ef + E p + Ek

Por la primera ley de la termodinámica E1 = E2




Ecu 3.17 Restricciones: 1. 2. 3. 4.

Fluido incompresible Sin dispositivos mecánicos entre las secciones de interés Sin transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido Sin perdida de energía por fricción

Ecuación general de la energía •

Ampliación de Bernoulli Elimina las restricciones 2 y 4

Ecu Ecu 3.18 Donde: Energía si hay bomba Energía removida Perdidas menores (por fricción)

k = coeficiente de resistencia (adimensional) Ecuación de Darcy (flujo turbulento y laminar) Factor de fricción de Darcy (adimensional) Ecuación de Hagen-Poiseville (Flujo laminar) Laminar Turbulento Diagrama de Moody




Ejemplo: De un recipiente grande fluye agua con una rapidez de 1.2 ft3/s, a través de un sistema de conductos como el que se muestra en la figura 3.4. Calcula la cantidad total de energía perdida en el sistema debido a la presencia de válvula, codos, las entradas del tubo y la fricción del fluido. 1

Pman = 0 V=0

12 ft

Flujo

13 ft D = 3 in

Solución: aplicando la ecuación 3.18 Ya que Pman es cero

Porque el D Es> tubo2

Po lo que la ecuación queda:

Ecu Ecu 3.1 3.19 Datos:



Despejando


de la ecuación 3.19

Sustituyendo los valores

Problemas 1. Encuentre la rapidez de flujo de agua que sale de un tanque. El tanque esta sellado y tiene una presión de 140 KPa por encima del agua, hay una perdida de energía de mientras el agua fluye por la boquilla. Realiza el esquema con todos los parámetros y condiciones. El tanque esta lleno a 2.4m y diámetro del tanque de 50 mm. Determina el flujo másico. Solución:

2. Una cañería de agua consiste en un conducto de presión hecho de concreto de 18 in de diámetro, calcule: La caída de presión en un tramo de 1 milla de longitud, debido a la friccion en la pared del conducto si este transporta 15 ft3/s de agua a 50 °F 3. En la figura se muestra una parte de un sistema de protección contra incendios en el cual una bomba saca agua a 60°F de un recipiente y la transporta al punto B, con una rapidez de flujo de 1500 gal/min. Calcula la altura h requerida para el nivel del agua en el tanque, son el fin de mantener 5 psi de presión relativa en el punto A. A 50 y 60 °F el peso específico del agua es de 62,4 lbf/pie3 Para tubo de acero calibre 40 de 8 pulgadas el diámetro interno es 0.6651 pie Para tubo de acero calibre 40 de 10 pulgadas el diámetro interno es 0.8350 pie










TRANSFERENCIA DE ENERGÍA




Transferencia de energía Mecanismos de transmisión de calor. Conducción: el calor se desplaza desde el extremo con más calor hacia el más frio. Convección: transporte de energía interna, el calor se transfiere por el mezclado de los materiales y por conducción. . Radiación: el medio a través del cual se transfiere el calor casi nunca se calienta. Básicamente, este mecanismo consiste en una transferencia de calor por radiación electromagnética. Conducción: En sólidos, agitación de moléculas mas próximas al foco de calor se propaga a las moléculas vecinas sin que se muevan de lugar. Buenos conductores de calor (metales), conducen con dificultad el calor (madera y corcho). Aislamiento térmico: se recubren superficies con materiales que no sean buenos conductores. El calor también puede ser conducido en líquidos y gases los cual se verifica mediante la transferencia de energía.

Ley de Fourier

Fig 4.1 Formación del perfil de temperatura en estado estacionario en una placa solida situada entre dos laminas; véase un caso análogo para transporte de cantidad de movimiento. Donde: q [=] cal/cm2s k = conductividad térmica [=] cal / cm s K T [=] K Y [=] cm




Difusividad térmica Conductividad térmica: Se estima a partir generalmente de las propiedades críticas, pero los métodos gráficos que se utilizan están basados en el principio de estados correspondientes y son análogos a los que se usan para viscosidad. K = f(T,P) Teoría de la conductividad calorífica de los gases a baja densidad. Las conductividades caloríficas de los gases monoatómicos diluidos se conocen muy bien y pueden predecirse con exactitud mediante la teoría cinética. En cambio, la teoría de los gases poliatómicos se ha desarrollado tan sólo de una forma parcial, si bien existen algunas aproximaciones groseras que tienen interés. Para gases monoatómicos se tiene la ecuación de Chapman-Enskog

Ecu 4.1 Donde: K [=] [=]

Amstrong ( )

T [=] Kelvin (K) PM [=]

se obtiene de la tabla B-2

gas monoatómico Poliatómicos (Eucken)

Numero de Prandtl

Ecu 4.2

Ecu 4.3 4.3

Ecu 4.4 4.4

Ésta es la fórmula de Eucken para el número de Prandtl de un gas poliatómico a baja densidad. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales



Ejemplo: método de Owen Estimar la conductividad térmica del etano a 67.2 °C y 191.9 atm, si a 1 atm y 67.2 °C Kc= 0.0237 Datos: Etano Tc = 305.4 K Pc = 48.2 atm T = 67.2 °C = 340.35 K P = 191.9 atm

Bajo las condiciones de 67.2 °C y 1 atm

Distribución de temperatura en sólidos Flujo laminar Procedimiento similar a los problemas de transferencia de cantidad de movimiento. La ecuación de balance de energía se describe de la siguiente forma:

Ecu 4.5 Los mecanismos por los que se puede entrar o salir energía del sistema son conducción y transporte conectivo (causado por el movimiento global de fluido), la energía que entra o sale de esta forma se le llama calor sensible. Se considera que la energía calorífica se produce por degradación de energía eléctrica, mecánica (disipación viscosa), y convección de energía química en calor.




Condiciones límite: Las más frecuentes son: a) T = T0 temperatura de superficie conocida b) q = q0 densidad de flujo de calor en la superficie conocida c) En interface solida-fluido se tiene: q = h ( T – Tfluido ) ley de enfriamiento de Newton Donde h es un coeficiente de transferencia de calor d) En interface solido-solido puede estar determinada la conductividad de T y q. Ejemplo: Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico. se considera un alambre de sección circular de radio R y conductividad eléctrica ke (ohm-1 cm -1). Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya densidad de corriente es Z (amps cm-1). La transmisión de una corriente eléctrica es un proceso irreversible, y parte de la energía eléctrica se transforma en calor (energía calorífica). La velocidad de producción de calor por unidad de volumen viene dada por la expresión:

Ecu 4.6 Se es el calor que se origina debido a la disipación eléctrica. Se supone que el aumento de temperatura en el alambre no es grande, de forma que no es preciso tener en cuenta la variación de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura. La superficie del alambre se mantiene, a la temperatura To. Vamos a demostrar cómo se puede determinar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre caliente.




Fig 4.2 flujo de calor en un alambre de radio R Realizando el balance de energía contemplando la entrada y salida, puesto que es Edo estacionario y flujo laminar, se obtiene la ecuación:

Ecu 4.6 Resolviendo el limite, notamos que se obtiene la derivada de rqr con respecto a r, y resolviendo la ecuación diferencial para obtener la densidad de flujo de energía.

Ecu 4.7 Aplicando las condiciones límite nos damos cuenta que c1 tiene que ser cero CL1 r=0 no es infinito (nulo), por lo tanto la densidad de flujo de energía para este alambre es:

qr

Ecu 4.8 Sustituyendo la densidad de flujo de energía en la ley de Fourier (fig 4.1)

Ecu 4.9 Resolviendo la ecuación de diferencial de primer grado. (donde k es constante)

Ecu 4.10



CL2

T= To

Fenómenos de Transporte y

r=R

Con estas condiciones se encuentra c2 y sustituyendo en la ecuación 4.10se obtiene que el aumento de la temperatura es una función parabólica de la distancia r medida desde el eje del alambre.

Ecu 4.11 4.11 Ejercicio: Conducción de calor en un anillo circular: El color fluye a través de una pared angular cuyo radio interno es r0 y el contorno r1.la conductividad calorífica varia linealmente con la temperatura desde r0 a la temperatura T0 hasta r1 a la temperatura T1. Descubrir una expresión para el flujo de calor a través de la pared situado en r = r0

Solución:

Fig 4.3 4.3 perfil de temperatura en una pared anular




Conducción de calor por disipación viscosa:

Fig 4.4 4.4 flujo entre dos cilindros con generación de calor de origen viscoso. El fluido comprendido entre las líneas de trazo se presenta en forma idealizada en la siguiente figura.

Fig 4.5 Forma idealizada de una parte del sistema de flujo de la figura 4.4 en el que ha desaparecido la curva de las superficies cilíndricas

Fluido newtoniano incompresible Estado estacionario A= 0 Cilindro exterior gira con velocidad Ω La friccion genera calor b<< R se desprecia la curvatura, s trabaja con coordenadas cartesianas.

Se genera calor de acurdo a Solución

Definiciones: • • • • • • •

Flujo de calor Q=qA Densidad de flujo o flux q [=] (energía/ tiempo) * (1/área) Conduccioón q = - k dT/dx Q [=] energía / tiempo Convección q = h (Tf – T0) Coeficiente de transferencia de calor (h) Coeficiente global de transferencia de calor Cuando k depende de la temperatura en forma lineal se puede tomar el promedio.




Ecuaciones de variación para sistemas no isotérmicos Generalización del balance de energía aplicada a una envoltura para obtener la ecuación de energía. Elemento estacionario de volumen a través del cual fluye un liquido puro. Se escribe la ley de conservación de la energía para un fluido en un instante dado. A = E - S + G - C

Regla de Gibbs

A = estado estacionario (nulo) E - S= energía cinética G = adición de calor C = trabajo F = 2 -π +N F = grados de libertad Π = numero de fases N = numero de compuestos

Problema: Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origen viscoso Determinar la distribución de temperatura en un fluido newtoniano incompresible contenido en dos cilindros coaxiales que se representan en la figura. Considere que las superficies mojadas de los cilindros interno y externo están a la temperatura Tk y T1 respectivamente. Suponga un flujo laminar estacionario y despreciable la variación de la ρ, µ y k con la temperatura. Tabla 4.1 Componentes de la densidad e flujo de energía q




Tabla 4.2 A La ecuación de Energía en función de las densidades de flujo de energía y de cantidad de movimiento.




Tabla 4.2 B La ecuación de Energía en función de las propiedades de Transporte (para fluidos newtonianos de ρ,µy k constantes

Obsérvese que la constancia de p implica que Cv = Cp)




Temperatura máxima en un lubricante Un aceite actúa como lubricante de dos superficies cilíndricas. La viscosidad angular del cilindro exterior es de 7908 rpm. El radio del cilindro exterior es de 5.06 cm y la distancia entre los dos cilindros es de 0.027 cm. ¿Cuál es la máxima temperatura en el aceite, si se sabe que la temperatura en ambas paredes es de 70 °C? Propiedades físicas del aceite son: Viscosidad 92.3 Cp Densidad 1.22 g / cm3 Conductividad calorífica 0.0055 cal / s cm °C Realiza el diagrama anotando las condiciones de frontera. Nota se recomienda realizarlo con las ecuaciones de variación y con balance de energía. Solución:

Repita algunos ejercicios anteriores pero con ecuaciones de variación.




TRANSFERENCIA DE MATERIA




Transporte de materia Interviene en destilación. Adsorción, secado y extracción liquido-líquido. Aplica para gases, líquidos y sólidos. En general los tres procesos de transferencia se tiene que realizar balance de entradas y salidas de energía o movimiento Aplica para sistemas con varios componentes (mezclas).

Ecu 5.1 D

= Difusividad molecular (m2/s)

CA = concentración de A (gmol / mol) Expresiones de la concentración

Concentración de masa ρ [=] Kg / m3 Concentración molar

Ci = ρ /ρi

Fracción masica wi = ρi / ρ Fracción molar

αi = C i / C

Tipos de difusión • • • •

Ordinaria: por gradiente de concentración. De presión: por gradiente de presión. Térmica: por gradiente de temperatura. Forzada: se debe a una desigualdad de fuerza, características que se encuentran sobre los componentes A y B

En una mezcla que difunde, las distintas especies químicas se mueve con velocidades diferentes (v), por lo tanto, se requiere una velocidad media de masa v, que para una mezcla de n componentes. Pero también se tiene una velocidad media local v*, que es con que las moléculas atraviesan una sección perpendicular a la velocidad.

Ecu 5.2 y 5.3 Ley de Fick de la difusión: JA* = - C DAB▼XA

Ecu 5.4




Tabla 5.1 A Formas equivalentes de la primera le de Fick de la difusión:

Variación de la Difusividad con la presión y temperatura. La Difusividad DAB de un sistema binario es mas una función de la temperatura , presión y composición, a diferencia de µ y k, pero del mismo modo se propone correlaciones que tiene un campo de acción limitada y se basa mas en la teoría que en la experiencia. Para las mezclas binarias a baja presión, DAB es inversamente proporcional a la presión, aumenta con la temperatura, y es casi independiente de la composición, para una mezcla de dos gases determinados.

Ecua 5.5 Para mezclas binarias de gases no polares: a = 2.745 x 10 -4 b = 1.823 Para agua con un gas no polar a = 3.640 x 10 -4 b = 2.334

Si los gases A y B son no polares y se conocen sus parámetros de Lennard-Jones, se puede utilizar la teoría cinética de los gases, en particular la ecuación de ChapmanEnskog. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales



Ecu 5.6

Ecu 5.7 5.7 Donde

DAB [=] cm2 /seg C [=] gmol/cm3 T [=] K P [=] atm [=] Amströng




Fig 5.1 Grafica generalizada par alas Difusividad de gases densos Ejemplo. Una tuberiía contiene una mezcla de He y N2 a 298 K y 1 atm, condiciones constantes en todo el tubo. En un extremo la presión parcial PA1 del He es de 0.6 atm y en el otro extremo a 20 cm PA2 es de 0.2 atm. Calcule el flujo específico del He en estado estacionario cuando DAB es de 0.684 x 10 -4 m2/s R = 8314.3 m3 Pa/ Kgmol K. Solución: Aplicando la ley de Fick se obtiene:

Al resolver esta ecuación de primer orden:




Si hacemos CA = P / RT

Ecua 5.8 Ahora sustituyendo los valores numéricos en la ecuación 5.8 y realizando el análisis dimensional se obtiene el flujo especifico del componente (He).

Tabla 5.2 Difusividad experimental de algunos sistemas binarios De gases diluidos

Estimación de la Difusividad a baja densidad Estimar la DAB para el sistema Argón- Oxigeno a 293.2 K y 1 atm de presión total Solución: De tablas se obtienen los siguientes datos (tabla B-I): MA = MArgon= 39.944

σA = 3.418 Å

MB = MOxigeno= 32.00

σA = 3.433

Calculamos los parámetros σAB y oxigeno con las siguientes ecuaciones:

°K Å

°K para la solución de la mezcla argón

Ecu 5.9



Fenómenos de Transporte Ecu 5.10 5.10

Parametros de Lennar-Jones Por lo tanto

Por lo que:

Con este dato se obtiene de tablas (tabla B-I) ΩDAB = 1.003, sustituyendo estos valores en la ecuación 5.7:

Comparamos este dato con el de la tabla que muestra los datos experimentales para algunas mezclas binarias.

Estímese la DAB para una mezcla constituida para 80 moles % de metano y 20 moles % de etano a 136 atm y 313 K. el valor experimental de PDAB a 293 K 0.162 atm cm2/ s

Metano Etano

Pc (atm)

Tc ( atm)

Fraccion ( x)

45.8 48.2

190.7 305.4

0.8 0.2

PD / (PD)° = (incógnita / Valor de referencia )

Así se debe corregir la presión a temperatura deseada, el valor de (P DAB) que se indica, para elle se usa la ecuación de la teoría cinética con las constantes no polares para obtener (P DAB) a 313 K.



Pc´= ∑ Pcixi Tc´= ∑ Tcixi

Fenómenos de Transporte Pr´= P/Pc´ Tr´= P/Pc´

Y

Con estos datos se interpola en la grafica de la figura 5.1 para obtener PD / (PD)° que es de aproximadamente 0.73 por lo tanto:

Ley de Raoult (presiones parciales) L ---- solcion ideal Fases

V ---- gas ideal

Soluciones líquidas ideales

Vol → P → 0 Fzas → 0 PV/RT = z → 1

Cuando una fase líquida se puede considerar ideal, la presión parcial en el equilibrio de un gas en la solución puede ser calculada sin necesidad de determinaciones experimentales. Hay cuatro características significativas de las soluciones ideales; todas se relacionan entre sí: 1. Las fuerzas intermoleculares promedio de atracción y repulsión en la solución no cambian al mezclar los componentes. 2. El volumen de la solución varia linealmente con la composición. 3. No hay absorción ni evolución de calor al mezclar los componentes. Sin embargo, en el caso de gases que se disuelven en líquidos, este criterio no incluye el calor de condensación del gas al estado líquido. 4. La presión .total de vapor de la solución varía linealmente con la composición expresada en fracción molar. En realidad no existen soluciones ideales y las mezclas reales sólo tienden a ser ideales como límite. La condición ideal requiere que las moléculas de los componentes sean similares en tamaño, estructura y naturaleza química; tal vez la aproximación más cercana a dicha condición sea la ejemplificada por las soluciones de isómeros ópticos de




compuestos orgánicos. Sin embargo, prácticamente muchas soluciones se encuentran tan cerca de ser ideales que para fines de Ingeniería se pueden considerar como tales. En particular, los miembros adyacentes o casi adyacentes de una serie homóloga de compuestos orgánicos pertenecen a esta categoría. Así, por ejemplo, las soluciones de benceno en tolueno, de alcohol etílico y propílico o las soluciones de gases de hidrocarburos parafínicos en aceites de parafina pueden generalmente considerarse como soluciones ideales. Cuando la mezcla gaseosa en equilibrio con una solución liquida ideal, sigue también la ley de los gases ideales, la presión parcial p* de un soluto gaseoso A es igual al producto de su presión de vapor p a la misma temperatura por su fracción mol en la solución x. Esta es la ley de Raoult P* = px El asterisco se utiliza para indicar el equilibrio. La naturaleza del líquido disolvente no se toma en consideración, excepto cuando establece la condición ideal de la solución; por esta causa, la solubilidad de un gas particular en una solución ideal en cualquier disolvente es siempre la misma. Difusión: Desplazamiento de las moléculas individuales a través de un fluido por medio de los desplazamientos individuales y desordenados de las moléculas. La difusión molecular e análoga a la conducción de calor, la transferencia conectiva de ,asa es análoga a la convección en la transferencia de calor.,

Fig 5.2 Contra difusión equimolar en gases PA1 > PA2 PB2 > PB1

al se P = cte, los moles netos de A que difunden deben ser iguales a los de B, por lo tanto, JAB* = -JBZ* Pero P = Pa + PB = cte, por lo tanto c = cte

Así

Diferenciando dCA = - d CB

Pero dCA = - d CB → DAB = DBA




Ejemplo: En un tubo uniforme de 10 cm de largo se difunde NH3 (g) en N2 (g) a 1x105 Pa y 298 K. en el punto 1 la PA1= 1x104 Pa y en 2 PA2= 0.5 104 Pa. DAB = 0.025 x 10-4 m2/s. Calcule JA* en estado estacionario.

Caso general para la difusión de gases A y B mas convección JA* = VAd CA [=] Kgmol A / m2 s VA= velocidad de difusión [=] m/s VM = velocidad molar promedio de velocidad del flujo respecto a un punto estacionario.

VA

VA = VAd + VM Velocidad de difusión = difusión + velocidad conectiva VA = VAd + VM por CA………… Ecu 5.13 CA VA = CA VAd + CA VM…………… Ecu 5.14 5.14

VAd

VM

Cada término es un flujo especifico NA = JA* + CA VM

………………………… Ecu 5.15 5.15

N = flujo conectivo total de la corriente general respecto al punto estacionario N = C VM

= NA + NB

……………… ………………….

Ecu 5.16 5.16

Ecu 5.17 5.17

Sustituyendo la ecuación 5.17 en la ecuación 5.18



Fenómenos de Transporte ……………….

=

ley de Fick =

Ecu 5.18 5.18

………………… Ecu 5.19 5.19

Se sabe que XA = CA /C

……………… Ecu 5.20 5.20 Ecuación general para la difusión + convección, para resolver se debe conocer la relación entre NA + NB. Es valida para la difusión en gases, líquidos y sólidos. Para contra difusión equimolar. NA = JA* = - NB = -JB*

Ecu 5.21 5.21

Caso particular a difunde y B en reposo Estado

estacionario

Algún limite al final de la trayectoria de difusión al componente B por lo que no puede atravesarlo. PA2 = 0 por lo que el volumen de B es muy grande en relación al de A •

Ley de Raoult

•

Ecuacion de Antoine

De la ecuación

Sabiendo que NB = 0 por lo tanto reacomodando la ecuación queda:

Si

y




Nos damos cuenta que se trata de una ecuación diferencial de primer orden, al resolver esta ecuación obtenemos:

Se considera la media logarítmica de B inerte. P = PA1 + PB1 = PA2 + PB2 PB1 = P – PA1; PB2 = P – PA2

Por lo tanto

DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACION EN SOLIDOS Y EN FLUJO LAMINAR

Ecu 5.22 Difusión molecular Transporte correctivo C O N. A L T A

C O N.

difusión

A L T A

Reacciones Químicas Homogeneo

Heterogénea

Cambios de concentración en todo el volumen (en ecuación de variación se toma como generación)

Puede tener catalizador, cambio de concentración, primero en la superficie de catalizar y después se desplaza. RA = Kn’’’ CAn|superficie.



2

RA [=] moles/ cm s


NAZ|superficie = Kn’’ CAn|superficie CA [=] moles/ cm3 n = orden de la reeaccion

Nota En la reacción heterogénea la Generación se toma en cuanta en el balance Balance de materia Condiciones limite a) XQ = XAb en una superficie b) En una superficie se puede conocer NA si se conoce NA | NB, por ejemplo NA = NA0 c) Para difusión en un solido sumergido den un fluido NA0 = KC ( CA0 – CAf) d) Puede conocerse la velocidad de reacción en la superficie, por ejemplo NA0 = K1‘’CA Ejemplo:

Fig 5.5 Difusión de A en estado estacionario a través de B inmóvil. El grafico indica la forma en que se distorsiona el perfil de concentración debido a la difusión de A. Consideraciones: • •

Solubilidad de B en A es despreciable NB = 0 Z = Z1 es constante

• • • •

En interfase se tiene EVL, por lo tanto A+B = mezcla gaseosa ideal T,P del sistema son constantes, por lo tanto c = cte Estado estacionario.




Aplicando el balance de materia se obtiene: Entrada – Salida = 0

En la que S es el área de la sección transversal de la columna., dividiendo la ecuiacion entre (- S∆z) y aplicando el limite:

Sustituir la ecuación obtenida en la ecuación 5.22

Resolviendo la ecuación diferencial sabiendo que c DAB son constantes

Volviendo a integrar:

Ecu 5.23 Aplicando las condicione límite: CL1 z = z1 XA = XA1 CL2 z = z2 XA = XA2 Una vez encontradas las constantes de sustituyen en la ecuación 5.23

Ejercicio: Difusión a través de una película esférica no isotérmica a) Deducir el perfil de concentración y la densidad de flujo molar para la difusión a través de una envoltura esférica.




En estado estacionario sucede en el secado de pequeñas gotas y en la difusión a través de películas gaseosa que rodean a partículas catalíticas esféricas.

Solución:

Ejercicio: Difusión desde una gotita a un gas estancado Una gotita de la sustancia A esta suspendida en una corriente del gas B. El radio de la gota es r1. Se admite que existe una película esférica de gas estacionario de radio r2. (Use la figura anterior). La concentración de A en la fase gaseosa es XA1 para r = r1 y XA2 para r = r2. a. Demostrar, mediante un balance aplicado a una envoltura, que para la difusión en estado estacionario, r2NAr1, es una constante cuyo valor en la superficie de la gotita es r2NAr1. b. Demostrar que la Ec. 5.22 y el resultado del apartado (a) conducen a la siguiente ecuación para xA:

c. Integrar esta ecuación entre los limites r1 y r2 conel fin de obtener










REFERENCIAS

Bennett, O, Myers, J.E. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y materia (tomos 1 y 2). Reverte, México, 2ª, edición,1998 Bird, R., Byron, W.E., Stewart, E.N., Lightfoot. Fenómenos de transporte, un estudio sistemático de los fundamentos del transporte de materia, energía y cantidad de movimiento. Reverte, México, 1ª. Edición, 1993. Garcell Puyans, L. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa. Ministerio de Educación Superior de Cuba – IPN. México 1998. Geankoplis Ch. J., Procesos de transporte y principios de procesos de separación. compañía Editorial continental, cuarta Edición México, 2006. Sisson, E. Elements of transport phenomena, Mc. Graw Hill, Mèxico, 1972. Treybal, J.C. Operaciones de transferencia de masa. Mc. Graw Hill, Mèxico, 1980. Welty, J.R. Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa. Limusa, México 1972.


FENÓMENOS DE TRANSPORTE - BIBLIOTECA UPIBI

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