Aplicações da Integral

Módulo 2

Aplicações da Integral

%¶NEWNQFG¶TGCFGWOCTGIKºQNKOKVCFCGHGEJCFC A partir deste momento passaremos a examinar Nesta seção vamos abordar uma das aplicações as aplicações do conteúdo GDLQWHJUDOGHÀQLGD&RPHoDUHPRVFRPDDSOLFDomR estudado na Unidade anterior. TXH PRWLYRX D GHÀQLomR GHVWH LPSRUWDQWH FRQFHLWR matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que estudamos na Unidade 7. 9DPRV FRQVLGHUDU VHPSUH D UHJLmR TXH HVWi HQWUH RV JUiÀFRV GH GXDVIXQo}HV6XSRQKDPRVHQWmRTXH f (x) e g(x) sejam funções conWtQXDVQRLQWHUYDORIHFKDGR a, b e que f (x) * g(x) para todo x em a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela reta x b , conforPHLOXVWUDDÀJXUDDEDL[Rpb A

0 f (x) < g(x) dx . a

327

Curso de Graduação em Administração a Distância

y f(x)

A g(x) 0

[ a

] b

x

Figura 8.1

4XDQGRDUHJLmRQmRIRUWmRVLPSOHVFRPRDGDÀJXUDpQHFHVViULDXPDUHÁH[mRFXLGDGRVDSDUDGHWHUPLQDURLQWHJUDQGRHRVOLPLWHV de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos. Passo 1.9RFrID]RJUiÀFRGDUHJLmRSDUDGHWHUPLQDUTXDOFXUYDOLPLWD acima e qual limita abaixo. Passo 2.9RFrGHWHUPLQDRVOLPLWHVGHLQWHJUDomR2VOLPLWHVa e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x) e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x. Passo 3.&DOFXOHDLQWHJUDOGHÀQLGDSDUDHQFRQWUDUDiUHDHQWUHDVGXDV curvas. Observação &RQVLGHUHPRVDJRUDDiUHDGDÀJXUDSODQDOLPLWDGDSHOR JUiÀFRGH f (x) , pelas retas x a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma função contínua sendo f (x) ) 0 , para todo x em a, b , conforme ÀJXUDDVHJXLU

328

Módulo 2

y a

b

0

x

A f(x)

Figura 8.2

O cálculo da área A é dado por: b

0 f (x) dx

A

,

a

RXVHMDEDVWDYRFrFDOFXODUDLQWHJUDOGHÀQLGDHFRQVLGHUDURPyGXOR RXYDORUDEVROXWRGDLQWHJUDOGHÀQLGDHQFRQWUDGD Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas: Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas: y f (x) x 6 e y g(x) x 2 . Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região y 10 8 6 4 2 −2

−1

0

1

2

3 x

Figura 8.3 329


Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos f (x) g(x) , isto é, x 6 x 2 ou x 2 x 6, que fornece x 2 < x < 6 0 3HODIyUPXODGH%KDVNDUDHQFRQWUDPRVDVUDt]HV da equação acima, x <2 e x 3 , que serão os limites de integração. Observe, pelo JUiÀFRDFLPDTXH x 6 * x 2 , para todo x em <2, 3 . Passo 3. Calculando a área da região limitada por: y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em <2, 3 temos : b

A

0 f (x) < g(x) dx a

3

= 0 x 6 < x 2 dx <2

3

0 x 6 < x

<2

2

dx

3

£ x2 x3 ¥ =²

6x < ´ 3¦ ¤ 2 <2 2 £3 33 ¥ £ (<2)2 (<2)3 ¥ = ² 6 = 3< ´ < ²

6 = (<2) < 3¦ ¤ 2 3 ´¦ ¤ 2 £9 ¥ £4 <8 ¥ = ² + 18 < 32 ´ < ² < 12 < ´ 3¦ ¤2 ¦ ¤2 £9 ¥ £ 8 ¥ = ² + 18 < 9´ < ² 2 < 12 + ´ 3 ¦ ¤2 ¦ ¤ £9 ¥ £ 8 ¥ £ 9 18 ¥ £ <30 8 ¥ < ² 9´ < ² <10 ´ ² ´¦ 3 3 ¦ ¤ 2 ´¦ ²¤ ¤2 ¦ ¤ =

27 <22 27 22 81 + 44 125 <

= u.a. 2 6 3 2 3 6

Portanto, a área limitada por

125 y f (x) x 6 e y g(x) x 2 em <2, 3 é 6

unidades de área. Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 .

330

Módulo 2

Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y 5 4 3 2 1 −2

−1

0

1

2

x

Figura 8.4

Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo f (x) g(x) ,temos,4 x 2 ou x 2 = 4.Logo,x ( 4 = ( 2,ouseja, x1 <2 e x2 2. Assim, a <2 e b 2 . Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 , em <2, 2 será: b

A

0 f (x) < g(x) dx a 2

2

£ x3 ¥ = 0 4 < x dx ² 4x < ´ 3¦ ¤ <2 <2 3 £ ( < 2)3 ¥ 2 ¥ £ = ² 4 = 2 < ´ < ² 4 = ( < 2) < 3¦ ¤ 3 ´¦ ¤ £ <8 ¥ £ 8¥ £ 8¥ 8¥ £ = ² 8 < ´ < ² <8 < ´ ² 8 < ´ < ² <8 + ´ 3¦ ¤ 3¦ ¤ 3¦ 3¦ ¤ ¤

2

8 8 8 16 + 8 < = 16 < 2 = = 16 < 3 3 3 3 48 < 16 32 = u.a. 3 3 = 8<

Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x 2 em 32 <2, 2 é unidades de área. 3 331


Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por y f (x) 8 < x 2 e g(x) x 2 . Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y 8 7 6 5 4 3 2 1 −2

0

−1

1

2

x

Figura 8.5

Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos f (x) g(x) , isto é, 8 < x 2 x 2 , que fornece 8 2 x 2 e x1 <2 e x2 2 . Assim, a <2 e b 2 . Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 < x 2 e g(x) x 2 será: b

A

0

f (x) < g(x) dx

=

0

<2

0 8 < x

2

<2

a

2

2

< x 2 dx

2

£ x3 ¥ 8 < 2 x dx ² 8 x < 2 ´ 3¦ ¤ <2 2

£ ( < 2)3 ¥ 23 ¥ £ = ² 8 = 2 < 2 = ´ < ² 8 = ( < 2) < 2 = 3¦ ¤ 3 ´¦ ¤ £ <8 ¥ 8¥ £ = ² 16 < 2 = ´ < ² <16 < 2 = ´ 3¦ 3¦ ¤ ¤

332

Módulo 2

= 16 <

16 16 16 + 16 < = 32 < 2 = 3 3 3

= 32 <

32 96 < 32 64 = u.a. 3 3 3

Portanto, a área limitada por y f (x) 8 < x 2 e g(x) x 2 em 64 <2, 2 é unidades de área. 3 Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x 2 < 5x , o eixo x e as retas x 1 e x 3.

Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região.

y

1

1,5

2

2,5

3

0

x

−1 −2 −3 −4 −5 −6 Figura 8.6

Passo 2. Os limites de integração são a 1 e b 3. Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x 2 < 5x o eixo x e as retas x 1 e x 3, será:

333


3

A

0 1

3

£ x3 x2 ¥ x < 5x dx ² < 5 = ´ 2¦ ¤ 3 1 2

£ 33 32 ¥ £ 13 12 ¥ = ² <5= ´ < ² <5= ´ 2¦ ¤ 3 2¦ ¤3 £ 27 9¥ £ 1 1¥ = ² <5= ´ < ² <5= ´ 2¦ ¤ 3 2¦ ¤ 3 £ 45 ¥ £ 1 5 ¥ £ 18 < 45 ¥ £ 2 < 15 ¥ < = ²9 < ´ < ² < ´ ² 2 ¦ ¤ 3 2 ¦ ¤ 2 ´¦ ²¤ 6 ´¦ ¤ £ <27 ¥ £ <13 ¥ <27 13 <² = ²

´ ´ 2 6 ¤ 2 ¦ ¤ 6 ¦ =

<81 + 13 <68 < 34 34 u.a. 6 6 3 3

Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x 2 < 5x , o eixo x 34 unidades de área. e as retas x 1 e x 3 é 3 Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2/ . Resolução: 9RFrWHPRVVHJXLQWHVSDVVRV Passo 1. Esboço da região: y 1

0

1

Figura 8.7

334

2

2

x

Módulo 2

Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo JUiÀFRDFLPDQRLQWHUYDOR 0 , / , f (x) sen x * 0 e no intervalo / , 2/ , f (x) sen x ) 0 . Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo eixo x de 0 até 2/ será:

2/

/

A 0 sen x dx

0

0 sen x dx < c os x /

/ 0

2/

< cos x /

=

= <( < 1) < ( < 1) + <1 < <( < 1)

= 1 + 1 + <1 < 1 = 2 + <2 = 2 + 2 = 4 u.a. Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo x de 0 até 2/ é 4 unidades de área.

&KHJRXDKRUDGHSRUHPSUiWLFD RTXHYRFrDSUHQGHXQHVWDVHomR 5HVSRQGDRVH[HUFLFLRVHFDVRWHQKD dúvidas, busque orientação junto ao 6LVWHPDGH$FRPSDQKDPHQWR

Exercícios propostos – 1

&DOFXODUDiUHDGDUHJLmRHVSHFLÀFDGDHPFDGDH[HUFtFLR a)

y 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

x

Figura 8.8 335


Onde y f (x) x 1 . y

b)

4 3

2

1

0

1

2

3

4

x

Figura 8.9

Onde y f (x) x . 2)

Determinar a área da região limitada por: y f (x) x e y g(x) x 2 < x .

3)

Determinar a área da região limitada por y f (x) < x 1, o eixo x e as retas x <2 e x 0 .

4)

Determinar

a

área

2

da

região

limitada

por

2

y f (x) x e y g(x) < x 4x . 5)

Calcular a área da região limitada por y f (x) as retas x 1 e x 4 .

1 x

, o eixo x e

Volume de sólido de revolução 2YROXPHGHXPVyOLGRGHVHPSHQKDXPSDSHOLPSRUWDQWHHPPXLWRVSUREOHPDVQDVFLrQFLDVItVLFDVWDLVFRPRGHWHUPLQDomRGHcentro de massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução. 336

Módulo 2

Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do plaQRHPWRUQRGHXPDUHWDFKDPDGDeixo de revolução, contida no plano. Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada por y f (x) , o eixo x , x a e x b em torno do eixo x . Então o volume V deste sólido é dado por: V /0

b

a

2

f (x) dx.

3RGHPRVSURYDUDIyUPXODDFLPDXWLOL]DQGRDUJXPHQWRVVHPHOKDQtes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas QmRIDUHPRVHVWHHVWXGR1HVWHWUDEDOKRGDUHPRVDSHQDVDIyUPXOD *UDÀFDPHQWH y

y = f(x)

a

0

b

x

Figura 8.10

337


y

x

Figura 8.11

Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a fronteira da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por V /0

d

c

2

g y dy.

y d

x = g(y)

0 c Figura 8.12 338

x

Módulo 2

f x * g x * 0 para todo x D a,b . Então o volume do sólido

Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e suSRQKDmos que

de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por:

b V / 0 ³ f x a

2

2

< g x µ dx.

*UDÀFDPHQWH

y y = f(x)

y = g(x) a

0

b

x

Figura 8.13

y

x

Figura 8.14

339


Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x 2 , o eixo x e as retas x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido de revolução gerado. Resolução: ,QLFLDOPHQWH FRQVWUXtPRV R JUiÀFR GD FXUYD GDGD SHODÀJXUD y y = f(x) 4

1 0

1

2

x

Figura 8.15

Temos: b V /0 f x a

2

2

2

dx / 0 x dx 2

1

2

x5 / / 32 < 1 5 1 5

31 / , unidades de volume (u.v.). 5

Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y x 3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y .

340

Módulo 2

Resolução: ,QLFLDOPHQWHFRQVWUXtPRVRJUiÀFRGDVFXUYDVGDGDV y 2

y = x3

1,5 1 0,5 −1

0

−0,5

0,5

1

1,5

2

x

−0,5 −1 Figura 8.16

De y x 3 temos x y1/ 3 . Logo, o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo y é dado por V /0

d

c

2

1

dy / 0 y g y

0

2/ 3

dy

3/ 5/ 3 1 3/ y u.v. 0 5 5

Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x 2 y < 2 , 2y < x < 2 0 , x 0 e x 1em torno do eixo x .

341


Resolução:9HMDDÀJXUDDEDL[RUHSUHVHQWDQGRDUHJLmR y 5

x² = y−2

4 3 2y−x−2 = 0

2 1

0

−2

2

4

x

−1

Figura 8.17

(a) Volume do sólido em torno do eixo x . Neste caso, temos b V / 0 ³ f x a

2

2

< g x µdx

2 2 £1 ¥ 2 / 0 ³ x 2 < ² x 1´ µdx 0 ¤2 ¦ µ ³ 1

1£ ¥ 15 / 0 ² x 4 x 2 < x 3´ dx 0¤ 4 ¦ 1

£ x 5 5x 3 x 2 ¥ /²

<

3x ´ 4 2 ¤ 5 ¦0 £ 1 5 1 ¥ 79/ / ² < 3´ u.v. 20 ¤5 4 2 ¦

342

Módulo 2

Exercícios propostos – 2

1)

2)

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x , de região limitada por: a)

y 2x 1, x 0, x 3 e y 0.

b)

y x 2 1, x 1, x 3 e y 0.

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y , de região limitada por: y ln x, y <1, y 3 e x 0.

3)

Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado: a)

y 2x 2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dos x .

b)

y x 2 < 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dos x .

c)

y 2 2x , x 0 , y 0 e y 3; em torno do eixo dos y .

d)

y 2x < 1, x 0 , x 3 e y 0 ; em torno do eixo dos x .

343


Comprimento de arco A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no inWHUYDORIHFKDGR[a,b] &RQVLGHUHPRVRJUiÀFRGDIXQomR y f (x) . y

B = (b,ƒ(b)) y = ƒ(x)

A = (a,ƒ(a)) a

b

x

Figura 8.18

Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) . ª GRJUiÀFRGDGDIXQomR y f (x) . Seja s o comprimento da curva AB Então, s é dado por s

0

b

a

1 f '(x)

2

dx.

A seguir, apresentaremos alguns exemplos.

Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y 0 ) x ) 3. Resolução: Temos, y

344

x 1

1 y' . 2 2

x

1, 2

Módulo 2

Logo, s

0

0

b

a 3

0

1 f '(x) 1

2

dx

1 dx 4

5 3 3 x 5. 0 4 0 2 x Portanto, o comprimento de f (x) 1, para 0 ) x ) 3 é dada 2 3 por s 5 u.c. 2

0

3

5 dx 4

Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x 4 48 de x 2 a x 4 Resolução: Temos, 24xy x 4 48 1 3 2 y x

24 x 2 3x 2 x 4 < 16 y' < . 24 x 2 8x 2 Agora, s

0

b

a

0

4

2

0

4

2

1 y' 1

2

dx

0

2

£ x 4 < 16 ¥ 1 ² ´ dx 2 ¤ 8x ¦

4

2

1 x 8 256 < 32x 4 dx 4 64x

x 8 32x 4 256 dx 64x 4

(x 4 16)2 0 dx 2 (32x 2 )2 4 4 £ x 16 ¥ 0 ² ´ dx 2 2 ¤ 8x ¦ 4

0

4

2

(x 4 16)2

dx

(32x 2 )2

4

1 4 2 1 x 3 16 <2 0 x 16x dx ³ < µ 8 2 8 3 x 2 1 56 17 1 64 8 ³ < 4 < 8µ ³ 4 µ u.v. 8 3 3 8 3 6

345


9DPRVYHULÀFDUVHYRFr compreendeu estas importantes DSOLFDo}HVGDLQWHJUDOGHÀQLGD e para isto tente resolver os exercícios propostos a seguir. Se WLYHUG~YLGDVSURFXUHHVFODUHFr las antes de seguir adiante. Exercícios propostos – 3

%

Determine o comprimento das curvas dadas por: 1) 2) 3) 4) 5)

x2 1 < ln x, 2 ) x ) 4 . 2 4 1 3 y ln 1 < x 2 de x a x . 4 4 1 4 1 y x 2 de x 1 a x 2 . 4 8x / / y 1 < ln sen x de x a x . 6 4 1 x

Saiba Mais... Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1. KWWSSHVVRDOVHUFRPWHOFRPEUPDWHPDWLFDVXSHULRUVXSHULRUKWP KWWSZZZFHSDLIXVSEUHFDOFXOR

346

Módulo 2

RESUMO 1HVWD 8QLGDGH YRFr HVWXGRX DSOLFDo}HV GD LQWHJUDO GHÀQLGDHPFiOFXORGDiUHDGHXPDUHJLmRSODQDHOLPLWDGD HVWXGRXDSOLFDo}HVGDLQWHJUDOGHÀQLGDHPFiOFXORGHYROXPH do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.

347


RESPOSTAS • Exercícios propostos – 1

1)

a) 12 unidades de área.

2)

4 unidades de área. 3

3)

4 unidades de área.

4)


5)

2 unidades de área.

b)


• Exercícios propostos – 2

b)

1016 / u.v. 15

2500/ u.v.

b)

243 / u.v. 20

/ u.v. 30

d)

21/ u.v.

57/ u.v.;

1)

a)

2)

/£ 6 1¥ e < 2 ´ u.v.; 2 ²¤ e ¦

3)

a) c)

• Exercícios propostos – 3

348

1)

1 6+ ln 2 6,173u.c. 4

2)

£ 21¥ 1 ln ² ´ < u.c. ¤ 5¦ 2

4)

1 ln 2 < ln 2 2 ln 2 3 u.c. 2

5)

1 2 e < 1 u.c. 2e

3)

123 u.c. 32

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