Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107)

Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan

Tahun Ajaran 2013/2014

Himpunan.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Mempunyai elemen atau anggota.


Terdapat hubungan.


Contoh?

Mahasiswa dan mata kuliah.


Mahasiswa dan keluarga.


Bilangan?

Yang lain?

Program dengan variabel.


Bahasa pemrograman dengan sintaksnya.


Teks polos dan terenkripsi.


Relasi?

Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain.


Matriks

Matriks merepresentasikan struktur diskret.


Struktur diskret digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskret dan hubungannya.


Relasi, graf, pohon, ...


Matriks adalah susunan skalar elemenelemen dalam baris dan kolom.


mxn


A = [aij]


Matriks bujursangkar?

Matriks-Matriks Khusus ●

Matriks diagonal.

●

Matriks identitas.

●

Matriks segitiga atas/bawah.

●

Matriks transpos.

●

Matriks setangkup.

●

Matriks 0/1.


Operasi aritmatika matriks.


(1) Penjumlahan matriks?

(2) Syarat penjumlahan matriks?

(3) Perkalian dua buah matriks?

(4) Syarat perkalian matriks?

Sifat-sifat operasi perkalian matriks. (dapat dibaca pada buku referensi)


Perkalian matriks dengan skalar.


Relasi

Hubungan.


Jika terdapat 2 himpunan, kita dapat menyatakan hubungan di antara keduanya.


Pasangan terurut. (ordered pairs, dari perkalian kartesian)


Himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang (mungkin) dibentuk dari anggota pertama dari himpunan A dan anggota kedua dari himpunan B.


Notasi: A x B = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}


Relasi biner.


Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.


R ⊆ (A x B)


Jika (a,b) ∈ R, kita gunakan a R b. (a dihubungkan dengan b oleh relasi R)


Jika (a,b) ∉ R, kita gunakan a R b. (a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R)


A disebut daerah asal (domain) dari R.


B disebut daerah hasil (codomain) dari R.


(5) D adalah himpunan mahasiswa dan E adalah himpunan mata kuliah. D = {Badu, Almi, Magi}, dan E = {Matematika Diskret, Teknik Digital}. Berapa jumlah perkalian kartesian antara D dan E? Sebutkan himpunan pasangan terurutnya!

|A|.|B|


AxB={?}


Jika R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil pada semester ganjil.


R={?}


(Badu, Matematika Diskret) ∈ R


Badu R Matematika Diskret


(Badu, Teknik Digital) ∉ R


Badu R Teknik Digital


(6) Ada dua buah himpunan A dan B. A = {5, 9, 11, 21} dan B = {5, 15, 21, 22, 81}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan: (a,b) ∈ R jika a habis membagi b. Tentukan relasi R dan gambarkan!

R={?}


Gambar 2 cakram dan tuliskan elemen A dan B pada masing-masing cakram.


Jika (a,b) ∈ R, gambarkan panah dari a ke b yang menyatakan a mempunyai relasi dengan b.


Relasi khusus?

Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan saja. (Contoh pada himpunan A adalah relasi dari A x A)


Representasi Relasi

(1) Representasi relasi dengan tabel


(2) Representasi relasi dengan matriks


(3) Representasi relasi dengan graf berarah


Directed graph atau digraph.


Setiap elemen himpunan dinyatakan dengan titik, atau disebut sebagai simpul atau vertex.


Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan panah.


Jika (a,b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.


Terdapat simpul asal dan simpul tujuan.


Pasangan terurut (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. (kalang atau loop)


Relasi Inversi

Baca di buku referensi.


Kombinasi Relasi

Relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut.


Operasi himpunan dapat diterapkan. (irisan, gabungan, selisih, beda setangkup, dkk.)


Hasil operasi juga berupa relasi.


(7) A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B. Tentukan R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, R2 – R1, R1 ⊕ R2!

Komposisi Relasi

Menerapkan relasi pertama, baru yang kedua.


(8) R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S!

Tulis “komponen pertama” dari relasi pertama, kemudian tulis “komponen terakhir” dari relasi kedua.


Baca sifat-sifat relasi pada buku referensi.


Fungsi

Berapa lama waktu yang dibutuhkan komputer untuk mengeksekusi sebuah program?

Perkalian matriks.


Terdapat hubungan antara ukuran masukan dengan kebutuhan waktu.


Kebutuhan waktu adalah fungsi dari ukuran masukan.


Relasi biner f dari A ke B merupakan fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat 1 elemen di dalam B.


f:A→B (f memetakan A ke B)


Fungsi disebut pemetaan/transformasi.


f(a) = b, jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.


Himpunan A merupakan daerah asal dari f.


Himpunan B adalah daerah hasil dari f.


Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari a.


a dinamakan pra-bayangan dari b.


Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut dengan jelajah (range) dari f.


(9) Apa perbedaan antara relasi dan fungsi? Jelaskan!

Fungsi adalah relasi yang khusus.


Dengan cakupan: 1) tiap elemen di dalam himpunan A harus dipakai oleh prosedur yang mendefinisikan f, 2) terdapat implikasi “dihubungkan tepat satu elemen”: jika (a,b) ∈ f dan (a,c) ∈ f, maka b = c.


Contoh Bentuk Fungsi ●

Himpunan pasangan terurut. ●

●

Formula pengisian nilai. ●

●

f(x) = 4x + 3.

Kata-kata. ●

●

Fungsi adalah relasi.

f adalah fungsi pada blabla..

Kode sumber program ●

Sesuai dengan sintaks. Ada parameter.


(10) Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B. a) Tentukan f(1), f(2), dan f(3)! b) Sebutkan daerah asal, daerah hasil, dan jelajah dari f!

(11) A adalah himpunan mahasiswa di Unsoed. Mana dari pemetaan berikut yang mendefinisikan fungsi pada himpunan A? a) setiap mahasiswa memetakan NIM b) setiap mahasiswa memetakan plat nomor c) setiap mahasiswa memetakan istrinya d) setiap mahasiswa memetakan kosnya e) setiap mahasiswa memetakan dosen walinya f) setiap mahasiswa memetakan dosen favorit

Fungsi satu-ke-satu (injektif), fungsi pada (surjektif), fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijeksi).


Fungsi Inversi

Baca di buku referensi.


Komposisi Fungsi

Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi B ke himpunan C. Komposisi f dan g dinotasikan dengan f ○ g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f ○ g)(a) = f(g(a)).


f ○ g adalah fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f.


(12) Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u), (3,v)} yang memetakan A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y}, (v,x),(w,z)} yang memetakan B = {u,v,w} ke C = {x,y,z}. Sebutkan fungsi komposisi A ke C!

Daftar Bacaan ●

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.


Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107)

Recommend Documents