Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan
Tahun Ajaran 2013/2014
Himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mempunyai elemen atau anggota.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat hubungan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Contoh?
Mahasiswa dan mata kuliah.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mahasiswa dan keluarga.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Bilangan?
Yang lain?
Program dengan variabel.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Bahasa pemrograman dengan sintaksnya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teks polos dan terenkripsi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi?
Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Matriks
Matriks merepresentasikan struktur diskret.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Struktur diskret digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskret dan hubungannya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi, graf, pohon, ...
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Matriks adalah susunan skalar elemenelemen dalam baris dan kolom.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
mxn
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A = [aij]
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Matriks bujursangkar?
Matriks-Matriks Khusus ●
Matriks diagonal.
●
Matriks identitas.
●
Matriks segitiga atas/bawah.
●
Matriks transpos.
●
Matriks setangkup.
●
Matriks 0/1.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Operasi aritmatika matriks.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(1) Penjumlahan matriks?
(2) Syarat penjumlahan matriks?
(3) Perkalian dua buah matriks?
(4) Syarat perkalian matriks?
Sifat-sifat operasi perkalian matriks. (dapat dibaca pada buku referensi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perkalian matriks dengan skalar.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi
Hubungan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika terdapat 2 himpunan, kita dapat menyatakan hubungan di antara keduanya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pasangan terurut. (ordered pairs, dari perkalian kartesian)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang (mungkin) dibentuk dari anggota pertama dari himpunan A dan anggota kedua dari himpunan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A x B = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
R ⊆ (A x B)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∈ R, kita gunakan a R b. (a dihubungkan dengan b oleh relasi R)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∉ R, kita gunakan a R b. (a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A disebut daerah asal (domain) dari R.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
B disebut daerah hasil (codomain) dari R.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(5) D adalah himpunan mahasiswa dan E adalah himpunan mata kuliah. D = {Badu, Almi, Magi}, dan E = {Matematika Diskret, Teknik Digital}. Berapa jumlah perkalian kartesian antara D dan E? Sebutkan himpunan pasangan terurutnya!
|A|.|B|
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
AxB={?}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil pada semester ganjil.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
R={?}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(Badu, Matematika Diskret) ∈ R
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Badu R Matematika Diskret
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(Badu, Teknik Digital) ∉ R
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Badu R Teknik Digital
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(6) Ada dua buah himpunan A dan B. A = {5, 9, 11, 21} dan B = {5, 15, 21, 22, 81}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan: (a,b) ∈ R jika a habis membagi b. Tentukan relasi R dan gambarkan!
R={?}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Gambar 2 cakram dan tuliskan elemen A dan B pada masing-masing cakram.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∈ R, gambarkan panah dari a ke b yang menyatakan a mempunyai relasi dengan b.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi khusus?
Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan saja. (Contoh pada himpunan A adalah relasi dari A x A)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Representasi Relasi
(1) Representasi relasi dengan tabel
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(2) Representasi relasi dengan matriks
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(3) Representasi relasi dengan graf berarah
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Directed graph atau digraph.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Setiap elemen himpunan dinyatakan dengan titik, atau disebut sebagai simpul atau vertex.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan panah.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat simpul asal dan simpul tujuan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pasangan terurut (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. (kalang atau loop)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi Inversi
Baca di buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kombinasi Relasi
Relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Operasi himpunan dapat diterapkan. (irisan, gabungan, selisih, beda setangkup, dkk.)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hasil operasi juga berupa relasi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(7) A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B. Tentukan R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, R2 – R1, R1 ⊕ R2!
Komposisi Relasi
Menerapkan relasi pertama, baru yang kedua.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(8) R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S!
Tulis “komponen pertama” dari relasi pertama, kemudian tulis “komponen terakhir” dari relasi kedua.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Baca sifat-sifat relasi pada buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fungsi
Berapa lama waktu yang dibutuhkan komputer untuk mengeksekusi sebuah program?
Perkalian matriks.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat hubungan antara ukuran masukan dengan kebutuhan waktu.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kebutuhan waktu adalah fungsi dari ukuran masukan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner f dari A ke B merupakan fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat 1 elemen di dalam B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
f:A→B (f memetakan A ke B)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fungsi disebut pemetaan/transformasi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
f(a) = b, jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan A merupakan daerah asal dari f.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan B adalah daerah hasil dari f.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari a.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
a dinamakan pra-bayangan dari b.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut dengan jelajah (range) dari f.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(9) Apa perbedaan antara relasi dan fungsi? Jelaskan!
Fungsi adalah relasi yang khusus.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dengan cakupan: 1) tiap elemen di dalam himpunan A harus dipakai oleh prosedur yang mendefinisikan f, 2) terdapat implikasi “dihubungkan tepat satu elemen”: jika (a,b) ∈ f dan (a,c) ∈ f, maka b = c.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Contoh Bentuk Fungsi ●
Himpunan pasangan terurut. ●
●
Formula pengisian nilai. ●
●
f(x) = 4x + 3.
Kata-kata. ●
●
Fungsi adalah relasi.
f adalah fungsi pada blabla..
Kode sumber program ●
Sesuai dengan sintaks. Ada parameter.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(10) Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B. a) Tentukan f(1), f(2), dan f(3)! b) Sebutkan daerah asal, daerah hasil, dan jelajah dari f!
(11) A adalah himpunan mahasiswa di Unsoed. Mana dari pemetaan berikut yang mendefinisikan fungsi pada himpunan A? a) setiap mahasiswa memetakan NIM b) setiap mahasiswa memetakan plat nomor c) setiap mahasiswa memetakan istrinya d) setiap mahasiswa memetakan kosnya e) setiap mahasiswa memetakan dosen walinya f) setiap mahasiswa memetakan dosen favorit
Fungsi satu-ke-satu (injektif), fungsi pada (surjektif), fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijeksi).
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fungsi Inversi
Baca di buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Komposisi Fungsi
Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi B ke himpunan C. Komposisi f dan g dinotasikan dengan f ○ g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f ○ g)(a) = f(g(a)).
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
f ○ g adalah fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(12) Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u), (3,v)} yang memetakan A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y}, (v,x),(w,z)} yang memetakan B = {u,v,w} ke C = {x,y,z}. Sebutkan fungsi komposisi A ke C!
Daftar Bacaan ●
Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed