Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107)

Tahun Ajaran 2013/2014. Relasi dan Fungsi. Matematika Diskret (TKE132107). Program Studi Teknik Elektro, Unsoed. Iwan Setiawan  ...

10 downloads 469 Views 224KB Size
Relasi dan Fungsi Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan

Tahun Ajaran 2013/2014

Himpunan.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Mempunyai elemen atau anggota.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Terdapat hubungan.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Contoh?

Mahasiswa dan mata kuliah.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Mahasiswa dan keluarga.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Bilangan?

Yang lain?

Program dengan variabel.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Bahasa pemrograman dengan sintaksnya.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Teks polos dan terenkripsi.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi?

Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Matriks

Matriks merepresentasikan struktur diskret.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Struktur diskret digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskret dan hubungannya.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi, graf, pohon, ...

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Matriks adalah susunan skalar elemenelemen dalam baris dan kolom.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

mxn

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

A = [aij]

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Matriks bujursangkar?

Matriks-Matriks Khusus ●

Matriks diagonal.



Matriks identitas.



Matriks segitiga atas/bawah.



Matriks transpos.



Matriks setangkup.



Matriks 0/1.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Operasi aritmatika matriks.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(1) Penjumlahan matriks?

(2) Syarat penjumlahan matriks?

(3) Perkalian dua buah matriks?

(4) Syarat perkalian matriks?

Sifat-sifat operasi perkalian matriks. (dapat dibaca pada buku referensi)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Perkalian matriks dengan skalar.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi

Hubungan.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika terdapat 2 himpunan, kita dapat menyatakan hubungan di antara keduanya.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Pasangan terurut. (ordered pairs, dari perkalian kartesian)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang (mungkin) dibentuk dari anggota pertama dari himpunan A dan anggota kedua dari himpunan B.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Notasi: A x B = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi biner.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

R ⊆ (A x B)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika (a,b) ∈ R, kita gunakan a R b. (a dihubungkan dengan b oleh relasi R)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika (a,b) ∉ R, kita gunakan a R b. (a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

A disebut daerah asal (domain) dari R.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

B disebut daerah hasil (codomain) dari R.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(5) D adalah himpunan mahasiswa dan E adalah himpunan mata kuliah. D = {Badu, Almi, Magi}, dan E = {Matematika Diskret, Teknik Digital}. Berapa jumlah perkalian kartesian antara D dan E? Sebutkan himpunan pasangan terurutnya!

|A|.|B|

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

AxB={?}

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil pada semester ganjil.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

R={?}

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(Badu, Matematika Diskret) ∈ R

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Badu R Matematika Diskret

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(Badu, Teknik Digital) ∉ R

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Badu R Teknik Digital

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(6) Ada dua buah himpunan A dan B. A = {5, 9, 11, 21} dan B = {5, 15, 21, 22, 81}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan: (a,b) ∈ R jika a habis membagi b. Tentukan relasi R dan gambarkan!

R={?}

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Gambar 2 cakram dan tuliskan elemen A dan B pada masing-masing cakram.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika (a,b) ∈ R, gambarkan panah dari a ke b yang menyatakan a mempunyai relasi dengan b.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi khusus?

Relasi yang didefinisikan hanya pada sebuah himpunan saja. (Contoh pada himpunan A adalah relasi dari A x A)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Representasi Relasi

(1) Representasi relasi dengan tabel

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(2) Representasi relasi dengan matriks

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(3) Representasi relasi dengan graf berarah

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Directed graph atau digraph.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Setiap elemen himpunan dinyatakan dengan titik, atau disebut sebagai simpul atau vertex.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan panah.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika (a,b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Terdapat simpul asal dan simpul tujuan.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Pasangan terurut (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. (kalang atau loop)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi Inversi

Baca di buku referensi.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Kombinasi Relasi

Relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Operasi himpunan dapat diterapkan. (irisan, gabungan, selisih, beda setangkup, dkk.)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Hasil operasi juga berupa relasi.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(7) A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B. Tentukan R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, R2 – R1, R1 ⊕ R2!

Komposisi Relasi

Menerapkan relasi pertama, baru yang kedua.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(8) R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S!

Tulis “komponen pertama” dari relasi pertama, kemudian tulis “komponen terakhir” dari relasi kedua.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Baca sifat-sifat relasi pada buku referensi.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Fungsi

Berapa lama waktu yang dibutuhkan komputer untuk mengeksekusi sebuah program?

Perkalian matriks.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Terdapat hubungan antara ukuran masukan dengan kebutuhan waktu.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Kebutuhan waktu adalah fungsi dari ukuran masukan.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Relasi biner f dari A ke B merupakan fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat 1 elemen di dalam B.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

f:A→B (f memetakan A ke B)

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Fungsi disebut pemetaan/transformasi.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

f(a) = b, jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan A merupakan daerah asal dari f.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan B adalah daerah hasil dari f.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari a.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

a dinamakan pra-bayangan dari b.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut dengan jelajah (range) dari f.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(9) Apa perbedaan antara relasi dan fungsi? Jelaskan!

Fungsi adalah relasi yang khusus.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Dengan cakupan: 1) tiap elemen di dalam himpunan A harus dipakai oleh prosedur yang mendefinisikan f, 2) terdapat implikasi “dihubungkan tepat satu elemen”: jika (a,b) ∈ f dan (a,c) ∈ f, maka b = c.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Contoh Bentuk Fungsi ●

Himpunan pasangan terurut. ●



Formula pengisian nilai. ●



f(x) = 4x + 3.

Kata-kata. ●



Fungsi adalah relasi.

f adalah fungsi pada blabla..

Kode sumber program ●

Sesuai dengan sintaks. Ada parameter.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(10) Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B. a) Tentukan f(1), f(2), dan f(3)! b) Sebutkan daerah asal, daerah hasil, dan jelajah dari f!

(11) A adalah himpunan mahasiswa di Unsoed. Mana dari pemetaan berikut yang mendefinisikan fungsi pada himpunan A? a) setiap mahasiswa memetakan NIM b) setiap mahasiswa memetakan plat nomor c) setiap mahasiswa memetakan istrinya d) setiap mahasiswa memetakan kosnya e) setiap mahasiswa memetakan dosen walinya f) setiap mahasiswa memetakan dosen favorit

Fungsi satu-ke-satu (injektif), fungsi pada (surjektif), fungsi berkoresponden satu-ke-satu (bijeksi).

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Fungsi Inversi

Baca di buku referensi.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Komposisi Fungsi

Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi B ke himpunan C. Komposisi f dan g dinotasikan dengan f ○ g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f ○ g)(a) = f(g(a)).

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

f ○ g adalah fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

(12) Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u), (3,v)} yang memetakan A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y}, (v,x),(w,z)} yang memetakan B = {u,v,w} ke C = {x,y,z}. Sebutkan fungsi komposisi A ke C!

Daftar Bacaan ●

Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.

Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed