PENDAHULUAN HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN URUTAN LINIER A. HIMPUNAN Setiap benda disebut objek. Beberapa objek atau sekelompok objek, karena suatu sebab, membentuk suatu kesatuan yang biasa disebut himpunan. Objek-objek yang membentuk suatu himpunan disebut elemen atau anggota himpunan tersebut. Penulisan : Elemen atau anggota ditulis dengan huruf kecil latin Misal : a, b, c,........ Himpunan dituliskan dengan huruf kapital (huruf besar latin) Misal : A, B, C, ...... Jika objek x menjadi anggota himpunan A dituliskan dengan Jika objek y tidak menjadi anggota himpunan A dituliskan dengan Beberapa teknik penulisan himpunan: 1. Semua anggota himpunan diketahui * + Artinya N merupakan himpunan bilangan asli 1,2,3 dan seterusnya 2. Dalam keadaan syarat keanggotaan suatu himpunan diketahui * + Artinya A merupakan himpunan objek-objek dengan syarat objek itu bilangan nyata yang lebih besar dari pada bilangan 0 Macam –macam himpunan : 1. Himpunan bagian (setiap x anggota himpunan A berakibat x anggota himpunan B ditulis ) 2. Kesamaan Himpunan (x anggota himpunan A berakibat x anggota himpunan B dan sebaliknya ditulis ) 3. Himpunan Kosong * + (himpunan yang tidak mempunyai anggota) 4. Himpunan bagian sejati Contoh :
*
+
*
+
Operasi aljabar pada himpunan PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 1
1. Union ataugabungan. A union B atauAgabungan dapatdinyatakansebagai A B= x x A x B, x R. . * + * + * + 2. Interseksiatauirisan. Ainterseksi B atau A irisan
B
B
dapatdinyatakansebagai A B= x x A x B, x R. *
+
*
+
* + 3. Pengurangan. A – B = x x A x B, x R
*
+
4. Penambahan. A + B = (A B)-(A B) atau dapat di artikan *
+
Dengan contoh himpunan yang sama seperti point 2, *
+
*
+
maka Langkah : A B= = Maka
*
+
5. Perkalian. A x B = (a, b) a A b B, a R, b R. *(
)(
)(
)(
)(
)
+
6. Komplemenatau Acadalah a a A, a R. Perlu dicatat bahwa jika tidak ada anggota A yang menjadi anggota B atau sebaliknya, maka Dalam keadaan seperti ini, dikatakan A dan B dua himpunan yang saling asing (disjoint). Berdasarkan operasi-operasi aljabar himpunan diatas diperoleh teorema-teorema yang mudah dibuktikan. Diketahui A, B, dan C masing-masing himpunan sebarang dalam suatu semesta pembicaraan S diperoleh : 1. Hukum Komutatif (a) Bukti : * + * + PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 2
(b) 2. Hukum Asosiatif (a) ( )
(b) ( ) 3. Hukum Distributif (a) ( ) ( (b) ( ) 4. Hukum indempoten (a) Bukti :
(
* ( *
(
)
) (
(
)
) )
( )
(
)
* * (b) 5. Elemen Netral (a) (b) (c) (d) 6. Hukum De Morgan ) (a) ( Bukti :
+ )+
( * *
) * (
( (
* ( * (
+
+
* )
)+
+ +
(
)+ +
+
) (b) ( Bukti : (diselesaikan bersama-sama) 7. Hukum Komplemen (a) ( ) Bukti : ( ) * ( ) + * ( ))+ (b) (c) Point 7 (b) dan 7(c) di kerjakan bersama-sama
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 3
Latihan : 1. Buktikan bahwa
(
)
(
)
Jawab : *
*
(
2. Buktikan bahwa ( )
+
)
(
)
+
(
)
(
)
(
)
B. RELASI DAN SIFATNYA 1. PengertianRelasi Definisi 1 (Hasil Kali Kartesian) Hasilkalikartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulisAxBadalahsemuapasanganterurut (a, b) untuk a A dan b B. Contoh 1 Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} Banyaknyahimpunan yang terlibatdalamoperasiinimempengaruhinamaoperasinya, jikaoperasitersebuthanyamelibatkanduahimpunan, disebutoperasibiner. Definisi 2 (Relasi) Relasi, dilambangkandenganhuruf besar R, adalahSubsetdarihasilkaliCartesian (Cartesianproduct). Jika (x, y) R, maka x berelasidengan y. {x A| (x, y) R untuksuatu y B} disebutdomaindari R. SedangkanRangedari R= {y B| (x, y) R untuksuatu x A} Contoh 2 Pada contoh 1, kitadapatmembuatrelasi: R1 = {(1, a), (1, b)} R2 = {(1, a), (2, a), (3, a)} R3 = {(1, b), (2, b), (1, a} R4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} R5 = 0 R6={(a, 1), (2, a)} PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 4
Himpunanpasanganterurut R1, R2, R3, R4, R5, merupakansubsetdariAxB, dan membentuksuaturelasi, tetapi R6 bukanrelasidariAxB, karena (a, 1) AxB. Sebuahpasanganterurutmenjadianggotarelasi R1, ditulis: (1, a) R1 atau 1 R1 a. Dan jika (2, a) bukananggotarelasi R1, ditulis: (2,a) R1 atau 2 R1 a. Definisi 3 (Relasibiner atas satuhimpunan A) RelasibineratashimpunanAadalahrelasibinerdari A ke A. Relasi yang demikianini, seringkalimunculdalamkehidupansehari-hari, di dalamkalkulus I, kitakenalrelasidari R ke R, daribilanganriilkebilanganriil. Contoh 3 Masing-masing relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat (Z): R1 = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b Z} R2 = {(a, b)| a < b, dan a, b Z} R3 = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b Z} R4 = {(a, b)| a=b, dan a, b Z} R5 = {(a, b)| a = b+1, dan a, b Z} R6 = {(a, b)| a + b ≤ 3, dan a, b Z} R7 = {(a, b)| a|b, dan a, b Z, dan b≠0} Contoh 4 D={a, b, c} (D)={ 0 , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}} 2. Operasi Relasi Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi: 1. Operasi (intersection) 2. Operasi (union) 3. Operasi (symmetric difference) 4. Operasi - (difference) 5. Operasikomplemen (komplemen relative terhadap Cartesian product) Contoh 5 Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka: R1 R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)} R1 R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)} R1 R2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5, 6)} R1 - R2 = {(5, 5), (6, 6)} (R1 R2) C = AxA – (R1 R2) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 5)}. PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 5
Operasikomposisi, merupakangabungandariduabuahrelasi yang harusmemenuhisyarattertentu, yaitujika R1 relasidari A ke A danR2 relasidari A ke A, makarelasikomposisi R1 dan R2, dinyatakanoleh R2°R1 berartirelasi R1 diteruskanolehrelasi R2. Syarattersebut adalahjika (a, b) R1 dan (b, c) R2, maka (a, c) R2°R1. Contoh 6 Denganmenggunakancontoh 5, didapat: R2°R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)} Yang diperolehdengan cara: Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka: R1 (1,1)
(2,2)
(5,5)
R2 (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6) (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6) (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6)
R2◦R1 (1,1) (1,2) (1,6) (2,2) (2,5) (5,6)
R1 (6,6)
(2,5)
R2 (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6) (1,1) (2,2) (2,5) (1,2) (1,6) (5,6)
R2◦R1 (2,6)
Tentunyaoperasikomposisiinitidakhanyaberlakupadarelasiatassatuhimp unansaja, melainkandapat pula digunakanuntukrelasiyang melibatkanduahimpunan.Jika S relasidarihimpunan A kehimpunan B, dan R relasidarihimpunan B kehimpunan C, makaR°S, komposisi S diteruskanke R adalahjika (a,b) S, dan (b,c) R,maka (a, c) R°S. Contoh 7 Diberikan: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a), (2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan R°S. Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan: R°S = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapatdari PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 6
tabelberikut:
S (1,a)
(2,a)
R (a,x) (a,y) (b,z) (a,x) (a,y) (b,z)
R◦S (1,x) (1,y) (2,x) (2,y) -
S (2,b)
(3,b)
R (a,x) (a,y) (b,z) (a,x) (a,y) (b,z)
R◦S (2,z) (3,z)
3. SifatRelasi Sifatrelasi: 1. Reflexive: a A, maka (a, a) R 2. Symmetry: a, b A, jika (a, b) R (b, a) R 3. Antisymmetry: a, b A, jika (a, b) R a ≠ b (b, a) R {inisetaradengan (a,b) R (b,a) R a=b} 4. Transitivity: a, b, c A, jika (a, b) R (b, c) R (a, c) R Contoh 9: Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikutdiberikanrelasiatas A: R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)} R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)} R6 = {(3, 4)} R7 = {(1, 1)} R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} Manakahdarikedelapanrelasi di atas yang masingmasingbersifat:refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukansimetrisekaligusbukanantisimetri. Jawab: Pada relasi-relasi di atas yang bersifatrefleksifadalah: R3, dan R5.R1 tidak refleksif karena (3, 3) R1. Relasi yang bersifatsimetri: R2, R3, dan R7. Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R6, dan R7. Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7. Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabelberikut: (a,b) (b,c) (a,c) Keterangan (1,1) (1,2) (1,2) Anggota R3 (1,2) (2,2) (1,2) Anggota R3 (1,4) (4,1) (1,1) Anggota R3 PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 7
(2,1) (2,2)
(1,4) (2,1)
(2,4) (2,1)
Bukan Anggota R3 Anggota R3
Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut: R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} (a,b) (b,c) (a,c) Keterangan (1,1) (1,2) (1,2) Anggota R5 (1,2) (2,2) (1,2) Anggota R5 (1,3) (3,3) (1,3) Anggota R5 (1,4) (4,1) (1,1) Anggota R5 (2,2) (2,4) (2,4) Bukan Anggota R3 (2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3 (2,4) (3,3) (3,4) (4,4) 4. Relasi Ekivalen Pengertian Relasi Ekivalen Definisi 4 (Relasi Ekivalen) Adalah relasi yang memenuhi sifat: refleksif, simetri, dan transitif Contoh 15 R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b Z} Padarelasiini, jelasdipenuhi a=a, a Z, berarti (a, a) R ataubersifatrefleksif. Untuksifatsimetri, terdapatduakemungkinan: - Jika a=b, berarti (a, b) R, a, b Z maka b=a, berarti (b, a) R - Jika a=-b, berarti (a, b) R, a, b Z maka b=-a, berarti (b,a) R,Sehingga R bersifat simetri. Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan: - Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c) R, a,b,c Z - Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c) R, a,b,c Z - Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c) R, a,b,c Z - Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c) R, a,b,c Z Sehingga R bersifat transitif. Jadi, R relasi ekivalen. Contoh 16 R= {(a, b)| a-b Z, a, b R} Jelas kita dapatkan a-a =0 Z, berarti (a, a) R, berarti R bersifatrefleksif Jika a-b Z, maka b-a = -(a-b) Z, berarti (b, a) R, berarti Rbersifat simetri PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 8
Jika a-b Z dan b-c Z, maka a-c=(a-b) + (b-c), berarti a-c R,berarti R bersifat transitif. Jadi, R relasi ekivalen. C. FUNGSI Dalam matematika dan banyak aplikasi lain fungsi memainkan peranan penting. Dalam bab ini akan membahas fungsi sebagai bentuk khusus dari relasi. Relasiakandibahassecaralebihmendalamdalam Bab 7. MisalkanA danB adalahhimpunantakkosong.Fungsi dari A ke B, f : AB dapatdipandangsebagaiaturanataucaramemasangkansetiapelemenAde ngantepatsatuelemenB. HimpunanA disebutdaerahasal(domain)darif, danhimpunanB dinamakandaerahkawan(codomain) darif.
Kawan (image) daria Aadalahb = f(a) B, seperti diagram panahpadaGambar 6.1. Daerah hasil(range) darif, dinotasikansebagaiRan(f), adalahhimpunansemuaelemenB yang menjadikawanelemenA. Jadi, Ran(f) B. fungsi f : A B dapat pula dipandangsebagaihimpunanbagianA B danditulispasanganberurut (a,f(a)). Contoh 6.1. Misalkan A = {1, 2,3}dan B = {a, b, c}, maka f = {(1, a),(2, a),(3, c)}adalah fungsi, sedangkan g = {(1, a),(1, b),(3, c)} bukan fungsi karena g(1) = {a, b} (tidak memasangkan elemen A tepat satu pada elemen B). Perhatikan bahwa dalam contoh ini Ran(f) = {a, c}.
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 9
1. Fungsi Kebalikan (Fungsi Invers). Sebuah fungsi f : A B dikatakan dapat dibalik (invers)bila f 1 : B A juga merupakan fungsi.
Contoh 6.2. Fungsi f pada Contoh 6.1 tidak dapat dibalik karena f 1 a {1,2} . 2. Komposisi Fungsi Misalkan f : A B dan g : B C adalah fungsi, maka dapat ditunjukkan bahwa komposisi dari f dan g, f g , adalah fungsi dari A ke C. Jika a Adan b = f(a) B sedangkan c = g(b) C, maka ( f g )(a) = g(f(a)); sehingga ( f g )(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Gambar 6.3 menyajikan komposisifungsi dalam bentuk diagram panah
Contoh 6.3. Misalkan f , g : denganf(x) = x + 1 dan g(y) = y2: Tentukanlan f g dan g f . Jawab: ( f g )(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1: dan PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 10
( g f )(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 + 1: Pada umumnya, g f ≠ g f .
SIFAT – SIFAT FUNGSI A. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. Contoh dalam diagram panah A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}
1
a
2
Fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan
b
3
terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}.
c
Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf :
4
{a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi
surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada. A f B Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B. Contoh : 1
a
2
b
3
c
4 A
A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} fs f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf B, maka fungsi f adalah fungsi into atau
f
B
fungsi ke dalam.
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 11
B. Fungsi Injektif Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2). Contoh : 1
a
A : {1,2,3} , B : {a,b,c}
2
b
f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f
3
c
: {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda
A
B
mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.
Fungsi f C. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh : 1
a
2
b
3
c
A : {1,2,3} , B : {a,b,c} fs f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.
A
B Fungsi f
fungsi
f
adalah
fungsi
bijektif
atau
korespondensi satu-satu.
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 12
LATIHAN RELASI DAN FUNGSI
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 13
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 14
LIMIT FUNGSI, KEKONTINUAN DAN DERIVATIF A. LIMIT FUNGSI Pemahaman secara intuisi Perhatikan fungsi berikut ini : ( )
( ) tidak mempunyai nilai (tidak terdefinisi)
Dekat dengan 1 dari arah kiri
dekat dengan 1 dari arah kanan.
0
1
2
x
0,9
0,99
0,999
0,9999 .......
1,0001 1,001
1,01
1,1
f(x)
4,8
4,98
........
4,9998 ........
5,0002 .......
5,02
........
Nilai fungsi f(x) dekat dengan 5
nilai fungsi dekat dengan 5
Dari tabel di atas, jarak ( ) ke 5 dapat dibuat kurang dari 0,0002 dengan cara mengambil x yang jaraknya ke 1 kurang dari 0,0001 dan
.
Dengan menggunakan lambang matematika hal diatas dapat ditulis dengan : Jika 0,9999 < x < 1,0001 maka 4,9998 < f(x) < 5,0002 Atau Jika 0 < |x-1| < 0,0001 maka |f(x)-5|< 0,0002 Hal ini berarti nilai f(x) dapat didekatkan ke 5 sekehendak kita asalkan nilai x diambil cukup dekat ke 1. Artinya, |f(x)-5| dapat dibuat kecil sekehendak kita asal |x-1| cukup kecil pula. Hal ini dinyatakan dengan lambang matematika : ( ) Atau untuk menyelesaikan suatu limit fungsi dengan menggunakan : 1. Substitusi langsung 2. Memfaktorkan (
)(
)
3. Perkalian sekawan 4. Aturan L-hospital PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 15
Latihan : Ingat ! {
Jika fungsi ( )
{
Maka tentukan : ( )
a.
( )
b. Jawab :
( )
a.
(
{ )
(
dan
)
( )
( )
Dari gambar dapat dilihat antara limit kanan dan limit kiri yaitu : ( )
( )
b. Tanpa melihat bentuk fungsi g(x) diatas, maka : dan Jadi
( )
Bentuk dasar suatu fungsi limit ( )
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 16
Definisi: L disebut limit kiri dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kiri atau
lim f ( x) L artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan () sedemikian x a
sehingga untuk setiap harga dalam interval a x a berlaku (f(x) – L<) Atau berlaku
( )
L disebut limit kanan dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah kanan atau
lim f ( x) L artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan s() xa
sedemikian sehingga untuk setiap harga x dalam interval a x a berlaku (f(x) – L<) Jika
lim f ( x) lim f ( x) L x a
xa
maka dikatakan f(x) mempunyai limit di x = a atau
lim f ( x) L . x a
a+ L a-
a-
a
a+
Gambar 2.1 Skema Limit contoh: 1. Buktikan bahwa Jawab : Ambil sebarang Akan dicari
sehingga
( )
sehingga berlaku
maka (
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
( ) )(
) Page 17
Dimana
dapat dibuat kecil
Jika dipilih
maka
Diperoleh :
Dengan kata lain Jadi dapat ditemukan ( )
(
) sehingga jika
. Terbukti bahwa :
berakibat
.
Latihan : 1. Buktikan bahwa Jawab : maka berlaku ( )
, jika
Dari definisi diatas maka dapat dimengerti dalam pengertian limit fungsi : , jika Akan dicari
maka berlaku
sehingga berlaku
maka
( )
)(
)
( Dimana
dapat dibuat kecil
Jika dipilih
maka
Diperoleh :
Dengan kata lain Jadi dapat ditemukan ( )
(
) sehingga jika
. Terbukti bahwa :
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
berakibat
.
Page 18
2. Buktikan bahwa (Sebagai latihan mahasiswa ) Jawab : jika Dimana
maka berlaku
dapat dibuat kecil
Jika dipilih
maka
Diperoleh : (
)
Dengan kata lain Jadi dapat ditemukan ( )
(
) sehingga jika
. Terbukti bahwa :
berakibat
.
Teorema-teorema tentang limit: Ada beberapa teorema-teorema penting yang tidak diberikan buktinya di sini, akan tetapi di bidang teknik penggunaannya sangat penting. Jika diberikan
lim f ( x) f dan lim g ( x) g , maka x C
1.
x C
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) = f g x C
x C
x C
2. lim k f ( x) k. lim f ( x) , dimana k adalah suatu konstanta. x C
x C
3. lim f ( x).g ( x) lim f ( x) lim g ( x) = f . g x C
4. lim x C
x C
x C
f ( x) f f ( x) lim x C ,g 0 g ( x) lim g ( x) g x C
lim f ( x)
5. lim f ( x)n lim f ( x) n f n x C
6. lim f ( x) g ( x ) x C
x C
lim g ( x ) x C
x C
=fg 7. lim n f ( x) n lim f ( x) n f , f 0 x c
x c
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 19
8. lim ln f ( x) ln lim f ( x) ln f , f 0 X C
x c
lim f ( x )
9. lim k f ( x ) k x c x c
kf
1 1 10. lim 1 lim 1 x x x x
x
e
B. Kekontinuan Kontinu berarti terus menerus (berkelanjutan) tanpa perubahan mendadak (tidak terputus). Setiap umat manusia perlu ditanamkan sifat kontinu dalam beramal sholeh, sebagaimana disabdakan. Konsep kekontinuan fungsi sangat penting dalam kalkulus, naik kalkulus diferensial maupun integral. Konsep ini didasarkan atas konsep limit. Jika konsep limit dipahami dengan baik, tidaklah sulit untuk memahami konsep kekontinuan. Konsep-konsep limit kiri, limit kanan dan limit fungsi disuatu titik akan digunakan dalam pengertian kekontinuan fungsi di suatu titik.
Definisi: sebuah fungsi f dinamakan kontinu pada c, jika lim f ( x) f (C ) x C
jadi syarat f kontinu di c: 1. f(c) ada (f terdefinisi di c) 2. lim f ( x) ada , berarti limit kanan sama dengan limit kiri x c
3. lim f ( x) f (C ) x c
Jika salah satu syarat tidak dipenuhi , maka f(x) diskontinu di C Contoh : 1. Fungsi ( )
diskontinu di x = 2 karena f(2) tidak terdefinisi
2. Selidikilah kekontinuan fungsi berikut :
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 20
( )
{
Apakah ( ) kontinu di x = 2 1.
( ) ( )
Jika 2.
(ada)
dan
sehingga dapat dikatakan
( ) Sehingga dapat dikatan fungsi f(x) diskontinu di x = 2 Contoh : ( )
{
Apakah ( ) kontinu di x =-1? Jawab : 1.
( ) (
Jika (
2.
)
)
(
)
)
(ada) (
dan ( )
dapat dikatakan 3.
(
)
sehingga
(ada)
( )
Dapat dilihat dari point 1 dan 2 bahwa nilai dari
(
)
( ) Sehingga dapat dikatan fungsi g(x) kontinu di x = -1
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 21
LATIHAN SOAL
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 22
C. Derivatif Skema :
Q P
Gambar 2.2. Fungsi y = f(x) untuk Mempermudah pemahaman derivative
Jika ada 2 titik : P(x,y); Q (x + x, y + y) P dan Q berada pada fungsi y = f(x). Garis singgung di P membentuk dengan sumbu x. Garis singgung di Q membentuk + dengan sumbu x. tan< QPS =
y dengan x mendekati 0, dan mendekati 0, koefisien arah garis x
singgung di P = tan = lim
x 0
tan =
x . Jika Lim ada maka y
dy Y ' ( x) Dy( x) = derivatif pertama dari y ke x dx
y = f(x) maka y + y = f(x + x) dy f ( x x) f ( x) f ' ( x) lim atau dy = f’(x) dx x 0 dx x
y = f(x) maka y’ =
df f ' ( x) dx
Contoh: PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 23
y = 3 1 x 4 (1 x 4 )
1 3
du 4x 3 dx
misal u = 1 – x4
dy 1 2 3 u dx 3
y = u1/3
dy dy du 1 . 1 x4 dx du dx 3
2
3
(4 x 3 )
Definisi 1. Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang bukan suatu titik. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada selang I, jika turunannya (f’) terdefinisi. 2. Derivatif pertama dari y = f(x) ke-x dy f ( x x) f ( x) lim x 0 dx x
= y’ =
dy f ' ( x) . dx
2.4.1.Rumus-rumus Derivatif jika u, v, w fungsi dari x, a, b, c, n = konstan: 1.
d (c ) 0 dx
2.
d (cx ) c dx
3.
d (cx n ) ncx n 1 dx
9.
d n du (u ) n u n 1 dx dx
4.
d (u v w ...) dx
10.
dy dy du . dx du dx
11.
du 1 dx dx du
=
du dv dw ... dx dx dx
5.
d du (cu ) c dx dx
6.
d dv du (uv) u v dx dx dx
d dw dv du 7. (uvw) uv uw vw dx dx dx dx
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
d u 8. dx v
v
du dv u dx dx 2 v
v0
dy d 12. du dx dx du
13.
d du sin u cos u dx dx
Page 24
d (v ln u ) dx
14.
d du cos u sin u dx dx
e v ln u
15.
d du tan u sec 2 u dx dx
16.
d du cot u csc 2 u dx dx
17.
d du sec u sec u tan u dx dx
v du e v ln u u dx du e v ln u ln u (1) dx du dv vu v 1 u v ln u dx dx
18.
d du csc u csc u cot u dx dx
30.
d du sinh u cosh u dx dx
d 1 du 19. sin 1 u 2 dx 1 u dx
31.
d du cosh u sinh u dx dx
d 1 du 20. cos 1 u dx 1 u 2 dx
32.
d du tanh u sec h 2 u dx dx
33.
d du coth u c sec h dx dx
34.
d du sec hu sec hu tanh u dx dx
35.
d du c sec hu c sec hu cthu dx dx
36.
d 1 du sinh 1 u . dx u 2 1 dx
37.
d 1 du cosh 1 u dx u 3 1 dx
21.
d 1 du tan 1 u dx 1 u 2 dx
d 1 du 22. cot 1 u dx 1 u 2 dx
23.
d 1 du sec 1 u 2 dx u u 1 dx
24.
d 1 du cse 1u dx u u 2 1 dx
25. 26.
d a 1 du log u . dx u ln a dx d 1 du ln u . dx u dx
d u du 27. a a u ln a dx dx
28.
d u du e eu dx dx
29.
d v d v ln u u e dx dx
d 1 du tanh 1 u 38. dx 1 u 2 dx 1 u 1
d 1 du coth 1 u . 39. dx 1 u 2 dx u 1 \ / u 1
40.
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
d 1 du sec h 1u dx u 1 u 2 dx
Page 25
41.
d 1 du cseh 1u dx u 1 u 2 dx
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 26
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Contoh : 1. f(x) = x sin x maka f’(x) = x cos x + 1. Sin x = x cos x + sin x 2. f(x) = 2 x3 + 3 x2 tan x, x 0, maka f’(x) = 6x2 + 3x2. Sec2x + 6x tan x x 0
3. f(x) = f’(x) =
sin x ,x 0 x
x. cos x 1sin x ,x0 x2
4. f(x) = 2x5 – 3x2 -
1 3 , maka x x2
f'(x) = 10x4 - 6x + x-2 -6x-3. 5. f(x) =
1 x , x 1, maka 1 x
f'(x) = {(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2. Catatan : 1 1 cos 2 x 2 1 cos 2 x cos 2 x 1 2
sin 2 x
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 27
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2.4.2.Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai Komposisi fungsi: (f o g)1 (x ) = f’ (g(x)) . g’(x) Aturan rantai dy dy du . dx du dx dy dy du dv dw . . . dx du dv dw dx
Contoh: 1. f(x) =
2 x 2 3x
dibentuk f(x) = (g o h) (x) = g (h(x)) g(x) =
x
g(h(x)) =
h(x)
h(x) = 2x2 + 3x maka (g o h)1 (x) = g’ (h(x)) . h’(x)
1 h’ (x) = 4x + 3
f’ (x) =
2 h( x )
h' ( x )
1 2 2 x 2 3x
g’ (x) =
.4 x 3
1 12 1 x 2 2 x
cara lain u = 2x2 + 3x
f(x) = y =
u y’ =
du 4x 3 dx
u = 2x2 + 3x
1 2 u
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 28
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA dy dy du . dx du dx 1 f’ (x) = .4 x 3 2 u 1 .4 x 3 2 2 x 2 3x
2. f(x) = sin (tan x), maka f'(x) = {cos(tan x)}sec2x 3. f(x) = sec
1 x , maka 1 x
f'(x) = {sec
1 x 1 x tan }{{(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2} 1 x 1 x
2.4.3.Teorema Turunan Fungsi Invers misal y = f(x) x’(y) =
1 f ' ( x)
dx 1 dy dy dx teorema turunan fungsi f (x) = xr, r rasional f(x) = xr
f’(x) = rxr-1
contoh : Diberikan suatu fungsi f(x) =
3
( x 2 2 x) 2 = (x2 – 2x)2/3, maka
1
2 f’(x) = ( x 2 2 x) 3 (2 x 2) 3
4( x 1)
=
3
3
x 2 2x
, x {0,2} 1
g(x) = cos
3
tan x cos (tan x) 3
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 29
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 1
2
1 g’(x) = - sin (tan x) 3 . (tan x) 3 sec 2 x = 3
sin 3 tan x . sec 2 x 3
-
3
(tan 2 x)
,
1 x k , k bulat 2
Contoh: 1. f(x) =
1 x 1 x
2. f(x) =
x sin x
3. f(x) =
3
sin x
4. Jawab : 1
1) f(x) =
1 x 1 x 2 = 1 x 1 x
1
1 1 x 2 (1)(1 x) (1 x)1 f’(x) = . 2 1 x (1 x) 2
1
1 1 x 2 1 x 1 x = . 2 1 x (1 x) 2
1
1 1 x 2 2 = = . 2 1 x (1 x) 2
1 1 1 1 x 2 (1 x) (1 x) 2 (1 x) 2 . 1 x 1 (1 x) 2 1 3
1
(1 x) 2 (1 x) 2
2) f(x) =
x sin x ( x sin x)
1
2
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 30
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 1 1 ( x sin x) 2 (1. sin x s cos x) f’(x) = 2 1 1 ( x sin x) 2 (sin x x cos x) 2
3) f(x) =
3
sin x (sin x )
1
3
1 1 1 2 (sin x ) 3 . cos x ( x 2 ) 2 f’(x) = 3 1 12 2 x (sin x ) 3 . cos x 6
cari
dy dari x3 + y2 + x2 y3=3 dx
di (1,1) d f ( x, y) dy dy 3x 2 2 y 2 xy 3 3 y 2 x 2 0 dx dx dx
dy dy 23 0 dx dx dy 55 0 dx 3 2
di (1.1)
jika diminta untuk mencari 5
dy , maka dx
dy dy = – 5 , maka = –1 . dx dx
2.4.4.Mendeferensialkan Fungsi Implisit Fungsi implicit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut: Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa Contoh: 1)
x2 + y2= 25 (fungsi Implisit) dy dy 2x 2 y 0 dx dx
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 31
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2x 2 y 2y
dy 0 dx
dy 2 x dx
dy 2x dx 2y dy x dx y
2)
jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0 tentukan di titik
dy d2y dan 2 dx dx
x3 y2
x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0 2x + 2y
dy dy 26 0 dx dx
(2y - 6)
dy =2 – 2x dx
2 (y-3)
dy =2(1-x) dx
dy 1 x = dx y 3
di (3,2)
dy 2 2 dx 1
d 2 y d 1 x dx 2 dx y 3
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 32
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA ( y 3)(1) (1 x)(1) ( y 3) 2
dy dx
dy
(3 y ) (1 x) dx (2 3) 2 (3 2) (1 3).2 (2 3) 2 3)
1 (2) 2 5 1
f(x,y)= x + xy2 – x sin y (atau, x + xy2 = x sin y) cari
dy d2y dan dx dx 2
2.4.5.Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2, u3, …, un adalah fungsi dari x, maka dz z du1 z du 2 z du n . . ... . dx u1 dx u 2 dx u n dx
z = derifatif parsiil pertama dari z ke u u
artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan. Contoh: z = x2+y3+x2y3
dz dy dy z' 2 x 3 y 2 2 xy 3 3 y 2 x 2 dx dx dx z z x 2 x 2 xy 3 x z zy 3 y 2 3 y 2 x 2 y
2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 33
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA x f (t )
t = parameter
y g (t )
y t dy dt y t lim dy y t 0 lim lim dx x 0 x t 0 x t lim x t dx dt t 0
dy y' dx dy Jika Y dt dx X dt
y’=
Y
maka
X
dy dy d 2 y d dt d dt dt . dx 2 dx dx dt dx dx dt dt
dx d 2 y dy d 2 x 1 2 2 dt dt dx dt dt dt = 2 dx ( ) dt
= y"
xyyx x
y'
3
y
x
Contoh: 1) x= 2 – t y=t2 – 6t + 5
dy y maka y’ = dx x dx y 2t 6 dt dx x 1 dt dy 2t 6 y' 6 2t 2(2 t ) 2 dx 1
= 2x+2 PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 34
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA = 2(x+1) 2)
x t sin t y 1 cos t
0
dx 1 cos t dt dy y sin t dt sin t sin t y' 1 cos t y
x
sin t dinyatakan dalam y y= 1 – cos t cos t = 1 – y
(sin2t + cos2t = 1)
sin t = 1 cos 2 t 1 (1 y) 2 = 1 (1 2 y y 2 )
11 2y y 2 = 2 y y 2
y’=
1 2y y2 y
2.4.7.Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka
df dapat dx
dicari dengan 2 cara: 1. z = uv ln z = ln uv ln z = v ln u diturunkan ke-x: 1 dz dv v du . ln u z dx dx u dx dz v du dv u v ln u dx u dx dx
2. z = uv z = e ln u e v ln u v
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 35
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA dz v du dv e v ln u ln u dx u dx dx v du dv u v ln u u dx dx
contoh: Diketahui z = xx Cara pertama: z = xx ln z = ln xx ln = x ln x 1 dz x 1. ln x z dx x
dz x =x (ln x +1) dx
Cara kedua: z = xx z = e ln X e x ln x X
dz e x ln x 1ln x dx
x x
e x ln x ln x 1 x x (ln x 1)
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 36
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA LATIHAN 1. tentukan fungsi turunan pertama a.
( )
b.
( )
√
( )
(
dari fungsi-fungsi berikut :
c. d.
)
2. Tentukan turunan dari a.
( )
(
√ )
b.
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 37
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA TERAPAN DERIVATIF 3.1. FUNGSI NAIK DAN TURUN Definisi : Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1< x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) . Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1> x2 yang terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) . Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1. Skema : fs naik
x0-h
x1
x0
x2
x0+h
fs turun x0-h
x1
x0
x2
x0+h
Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun Dalil : Jika
f ' ( x0 ) 0
y = f (x) naik di x = x0
f ' ( x0 ) 0
y = f (x) turun di x = x0
f ' ( x0 ) 0
titik stasioner dari fungsi f tercapai
f " ( x0 ) 0
maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 38
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum
f " ( x0 ) 0
Contoh :
f ( x) 2 x 4 4 x 2 3 Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsif Jawab : f(x)
= 2x4 – 4x2 + 3
f’ (x)
= 8x3 – 8x = 8x (x2 – 1)
f” (x) = 24x2 – 8 Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0 f’ (x)
= 8x (x2 – 1) = 0 = 8x (x+1) (x-1) = 0 x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1 f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1
-
+ -1
0
+ 1
f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun. Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 39
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. Jika f " ( x) 0 Grafik f cekung ke atas pada I 2. Jika f " ( x) 0 Grafik f cekung ke bawah pada I
Definisi Titik Belok (Ekstrim) f fungsi kontinu pada selang terbuka I a I . Titik ( a , f ( a )) dikatakan titik belok jika dipenuhi 2 syarat berikut : 1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsif disekitar x = a 2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di ( a , f ( a )) Contoh :
f ( x) 5 x 3 3 x 5 2 f ' ( x) 15x 4 15x 2 0
x 2 (15 15x 2 ) (a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah (b) Tentukan semua titik ekstrimnya Jawab :
f ( x) 5 x 3 3 x 5 2 , x R f ' ( x) 15x 2 15x 4
, x R
f " ( x) 30 x 60 x 3 , x R 1 = 60 x( x 2 ) 2
= 60 x( x
x1 0 f (0) 2
1 1 2) (x 2 2 2
x2
;
f (
1 2 2
1 7 2) 2 2 2 8
x3
;
f(
1 2 2
1 7 2) 2 2 2 8
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 40
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Titik Ekstrim
Titik Ekstrim
--
++
Titik Ekstrim
++
--
0
1 2 2 x
1 2 2
(b) Karena f”(x) ada di x R dan disekitar x
1 2 2
x
1 2 2
1 2 2
1 2x0 2
(a) f cekung ke atas : 1 2 n , 2
;
1 2 0 , 2
fcekung ke bawah : 1 2 , 0 2
;
1 2 , n 2
,
x0 ,
x
1 2 ada 2
perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya 7 7 1 1 2 , 2 2 ; 0 , 2 ; 2 , 2 2 8 8 2 2
Teorema-teorema yang mendukung pembahasan diatas adalah: 1. Teorema Rolle Misalkan f memenuhi syarat : a) Kontinu pada selang tertutup (a, b) b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b) c) f (a) = f (b) Maka terdapat suatu c (a , b) Э f’ (c) = 0 (Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0 atau garis singgung mendatar). Skema : f’(c) = 0 f (c) PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 41
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA f f (a) = f (b) a
c
b
Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle. 2. Teorema Nilai Rata-rata Misalkan f memenuhi syarat : a) Kontinu pada selang tertutup (a, b) b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b) Maka terdapat suatu c (a , b) sehingga f ' (c)
f (b) f (a) ba
(Teorema ini menjamin adanya titik pada fyang garis singgung // dengan ruas garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)). Skema : f’(c) f (c) (b, f (b))
f (b) f (a) a
c
b
b–a Gambar 3.3 Skema Teorema Nilai Rata-rata.
3.2.Teorema, Rumus Tayor Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk : f(x)
= f ( x0 )
f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2!
f ( n ) ( x0 ) f ( n1) (c) ( x x0 ) n ( x x0 ) n1 n! (n 1)!
c terletak antara x dan x0 . PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 42
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Dapat ditulis :
f ( x) Pn ( x) Rn ( x) Dimana : Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n Rn(x) =
f ( n1) (c) ( x x0 ) n1 (n 1)!
= suku sisa uraian Taylor Contoh : Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0 Jawab : f(x)
= sin x
f (0) = 0
f’(x)
= cos x
f’(0) = 1
f”(x)
= -sin x
f”(0) = 0
f3(x)
= -cos x
f3(0) = -1
f4(x)
= sin x
f4(0) = 0
f5(x)
= cos x
f5(0) = 1
f(x)= f (0)
f ' (0) f " (0) 2 x x 1! 2!
= 0 1.x 0 = x
(1) 3 x 3!
x3 x5 3! 5!
Deret Taylor dimana x0=0 dinamakan Deret Mac Laurin. Contoh : Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5 Tentukan semua titik ekstrimnya. Jawab: f'(x) = 3x2-18x+15 Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15=0 atau x2-6x+5 = 0. Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1. f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 43
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik (1,12). 3.3. Bentuk-bentuk Tidak Tertentu Yang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut: 0 0
;
; 0. ; ; 1
; 00
; 0
Aturan dari de l’Hospital : 1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali disekitar x=a.
f (a) f ' (a) f " (a) f ( n1) (a) 0 g (a) g ' (a) g" (a) g ( n1) (a) 0 Sedang f (n) (a) dan g(n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka : f ( x) g ( x)
lim x a
f ( n ) (a) g ( n ) (a)
2. Kecuali untuk bentuk
0 , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk bentuk . 0
f (a) f ' (a) f " (a) f g (a) g ' (a) g" (a) g
n 1
n 1
(a)
(a)
Sedang f(n) (a) dan g(n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka : f ( x) g ( x)
lim x a
f ( n ) (a) g ( n ) (a)
Contoh: 1.
lim
x2 x 2 0 2 x 0
lim
sin x 2 0 2 sin x 0
x2
2.
x0
=
x 2
lim lim
2 x cos x 2 0 sin 2 x 0
lim
2 cos x 2 (2 x) (2 x) sin x 2 2 cos 2 x
x0
=
lim
2 x cos x 2 0 2 sin x cos x 0
x0
=
=
x0
2x 1 3 1
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 44
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA = 3.
2.1 1 2
lim x
=
x2 x 2 3x 1
lim
2x 1 6x
lim
2x 1 x x 21 6x 6 3 x
x
=
x
lim x
2 1 6 3
Contoh: 1.
lim x
2
lim x
2
1 2 ln( x ) 2 = lim x / 2 = lim cos x = x /2 tan x sec 2 x x x 2
2
1 / 2(cos 2 x 1) 1 / 2(2 sin 2 x) = lim =0 x / 2 1 x 2
ex 1 ex ex = lim lim 1/ 2 x 0 2 x x 0 2 x 0 x2
2. lim 3.
lim
x2 x 1
= lim
2x 2 = lim x 0 x x e e
x
x
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 45
NURYADI 2013 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PEND.MATEMATIKA FKIP UMB-YOGYAKARTA
Page 46
