FENOMENOS DE TRANSPORTE UN CURSO INTRODUCTORIO
RAMIRO BETANCOURT GRAJALES ING. QUMCO UTS ESP. PETROLEO IPGG BUCAREST PROFESOR ASOCIADO UN
F A C U L T A D DE INGENIERIA Y A R Q U I T E C T U R A UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANIZALES
© FENOMENOS DE TRANSPORTE Autor: Ramiro Betancourt Grajales Universidad Nacional de Colombia Seccional Manizales 1a. Edición Noviembre de 1991 300 Ejemplares Derechos reservados ISBN Obra Completa 958 - 95323 - 4 - 9 Antanas Mockus Sivickas Rector Carlos Enrique Ruiz Vicerrector Seccional Luz Stella Cortés G. Jefe Centro de Publicaciones Impreso en los talleres del Centro de Publicaciones de la Universidad Nacional Seccional Manizales Fax No. (968) 863220 Apartado Aéreo No. 127 Manizales Colombia.
A DON JOAQUIN Y DOÑA CLOTILDEMIS PADRES.
TARTA DE CONTENIDOLI STA DK SIMBOLOS
i
PREFACIO
1
PROLOGO.
4
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
7
1.1
INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR . . . .
7
1.2
LEY DE FOURIER
9
1.3
INTRODUCCION AL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINAMICA DE FLUIDOS
12
1.4 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ENTRE PLACAS. FLUJO DE COUETTE
15
1.5
LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON
16
1.6
FLUIDOS NO NEWTONIANOS
18
1.7
INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE MASA
18
1.8 DEFINICIONES BASICAS
19
1.9
23
PRIMERA LEY DE FICK
1.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE CAPITULO 2. PROPIEDADES I» TRANSPORTE 2.1
. .
24 26
PROPIEDADES DE TRANSPORTE A PARTIR DE LA TEORIA CINETICA DE LOS GASES SIMPLIFICADA.
. .
26
2.2 TRANSFERENCIA DE MASA EN GASES A BAJA PRESION. .
26
2.3 TEORIA RIGUROSA DE CHAH4AN - ENSKOG PARA GASES DILUIDOS
31
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
ECUACIONES RECOMENDADAS PARA PREDECIR PROPIEDADES DE TRANSPORTE
32
CAPITULO 3. ECUACIONES DE BALANCEO. LEYES I» CONSERVACION. . 43
TRATAMIENTO DE UNA CORRIENTE RESIDUAL
46
3.1 APLICACIONES DE LOS BALANCES DIFERENCIALES A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION . . .
47
TRANSPORTE DE ENERGIA CON GENERACION INTERNA GEOMETRIA CILINDRICA 3.2 MANANTIALES CALORIFICOS
50 53
ECUACION DE NAVIER STORES
62
ECUACION DIFERENCIAL DE ENERGIA CALORIFICA
69
CONTINUIDAD PARA UNA MEZCIA BINARIA
70
CAPITUL04. APLICACIONES DE 1AS ECUACIONES I» VARIACION. . . 73 4.1
CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO ESTABLE UNIDIMENSIONAL .. 73 LA PARED PLANA
73
PARED CON CAPAS MULTIPLES
74
SISTEMAS RADIALES
75
EL TUBO COMPUESTO
77
COEFICIENTES GLOBALES
77
LA ESFERA
78
ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO
79
SISTEMAS CONDUCCION - CONVECCION
79
SUPERFICIES ALABEADAS O CON ALETAS
84
EFICIENCIA DE LAS ALETAS
86
ALETAS DE PERFIL TRIANGULAR
87
TABLA DE CONTENIDO
SISTEMAS COK PUENTES DE CALOR
89
4.2 TRANSFERENCIA DE MASA POR DIFUSION WIDIRECCIONAL
ESTACIONARIA
TRANSPORTE DE MASA CON GENERACION INTERNA.
92
. . . 98
4.3 TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO UNIDIRECCIONAL ESTACIONARIO. FLUJO DE COUETTE. .
102
(»ORDENADAS CURVILINEAS
103
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN ANILLO
103
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO CON GENERACION INTERNA
105
ECUACION DE HAGEN - POISEUILLE
111
TRANSPORTE EN UN ANILLO CON GENERACION INTERNA .
113
TRANSPORTE DE CALOR
114
VELOCIDAD NETA DE PERDIDA DE CALOR
115
TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
115
CAIDA DE PRESION EN UN ANILLO
117
APENDICE A.4.1.
118
APENDICE A.4.2
120
APENDICE A.4.3. DEFINICION DE UN VALOR MEDIO
127
APENDICE A.4.4. DETERMINACION DE LA TEMPERATURA MEDIA GLOBAL O PROMEDIO DE BLOQUE . .
129
CAPITULO 5. ÜOEFICIKÜTKS DE TEáMSFEEMCIA Y glSBtfáS MULTXIáSE
131
(DEFICIENTES DE TRANSFERENCIA
132
TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO : FACTOR DE FRICCION
132
III
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
FLUJO EN CONDUCTOS
134
APLICACIONES A SECCIONES TRANSVERSALES ARBITRARIAS. . . 135 COEFICIENTES I® TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA. .
137
TEORIA PELICULAR
138
CONDICIONES GENERALES EN UNA INTERFASE
139
OTRAS CONDICIONES LIMITE EN LA INTERFASE . . . .
141
APENDICE A.5.1. ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD HIDRAULICA
143
METODO DE BUCKINGHAM
147
METODO DE RAYLEIGH
150
ECUACIONES DIFERENCIALES
152
CAPITULO 6. TRANSPORTE TURBULENTO
154
. FLUCTUACIONES DE LA TEMPERATURA Y CONCENTRACION. LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL
156 158
MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA EL TRANSPORTE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UN TUBO
162
PERFIL UNIVERSAL PARA FLUJO TURBULENTO EN TUBOS LISOS
165
SUPERFICIES RUGOSAS
165
CORRELACIONES PARA EL FACTOR DE FRICCION . . . .
167
PAREDES RUGOSAS. (ECUACION DE CHURCHILL) . . . .
169
MODELO PELICULAR
170
MODELO DE LAS TRES REGIONES PARA TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
174
ANALOGIA DE VON KARMAN
176
TABLA DE CONTENIDO III
APENDICE A.6.1. PROMEDIO CON EL TIEMPO
180
CAPITULO 7. FLUJO EN CAPA LIMITE
183
ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN
185
FUERZA VISCOSA EN LA SUPERFICIE
188
ANALISIS EXACTO DE LA CAPA LIMITE LAMINAR. . . .
189
FLUJO SOBRE UNA PLACA PLANA
189
CAPA LIMITE TURBULENTA : VELOCIDADES
193
COEFICIENTE DE ARRASTRE
197
COEFICIENTE DE FORMA
198
ECUACIONES PARA EL MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL Di UNA PARTICULA A TRAVES DE UN FLUIDO
198
FLUJO EN LA REGION DE ENTRADA A UN CONDUCTO. . .
201
* PBRFIL DE VELOCIDAD EN LA CAPA LIMITE
204
ECUACION INTEGRAL DE VON KARMAN
205
LONGITUD DE ENTRADA EN TUBOS
209
CONVECCION NATURAL.
209
TRANSFERENCIA DE MASA BN CONVECCION NATURAL TURBULENTA SOBRE UNA PLACA VERTICAL
216
TRANSFERENCIA DE CALOR - FLUJO CONVECTIVO SOBRE UNA PLACA PLANA
220
TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LIMITE LAMINAR. ANALISIS EXACTO
225
TRANSFERENCIA DE MASA EN LA CAPA LIMITE TURBULENTA SOBRE UNA PLACA PLANA
228
VI FENOMENOS DE TRANSPORTE 1,1 1 1 1 •* ••
1 1
1
i
ANALISIS APROXIMADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN METALES LIQUIDOS PARA FLUJO LAMINAR SOBRE PLACAS PLANAS
230
CAPITULO 8. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA Hi CONDICIONES DIVERSAS
233
PERFIL DE VELOCIDAD PARABOLICO CON TEMPERATURA UNIFORME DE PARED
233
PERFIL DE VELOCIDAD PLANO
234
FLUJO UNIFORME DE CALOR
234
TRANSFERENCIA DE MASA CON FLUJO LAMINAR EN TUBOS CIRCULARES. SOLUCION DE LEVEQUE
235
APLICACION DE ANALOGIAS
241
ECUACION DE PIERCE
241
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PELICULA LIQUIDA DESCENDENTE
242
TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA PLACA PLANA INCLINADA Y UNA PELICULA DESCENDENTE
242
TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE UNA FASE GASEOSA
9.
Y UNA PELICULA LIQUIDA DESCENDENTE
247
CORTOS TIEMPOS DE EXPOSICION
249
TRANSFERENCIA SIMULTANEA DE CALOR Y MASA . . .
253
TEORIA DEL TERMOMETRO DE BULBO HUMEDO
257
TRANSPORTE KN ESTADO TRANSITORIO
258
TRANSPORTE DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO EN UNA PLACA PLANA
258
TABLA DE CONTENIDO
TRANSPORTE DE MASA Y/O CANTIDAD DE MOVIMIENTO. .
264
TRANSPORTE INESTABLE CON RESISTENCIA EXTERNA . .
265
DIFUSION TRANSITORIA EN UNA PLACA
266
DIFUSION A TRAVES DE UNA SOLA SUPERFICIE DE UNA PLACA. .272 DIFUSION EN ESTADO TRANSITORIO EN UN CILINDRO. . INTERDI FUS ION DE DOS GASES ESFERA CON TEMPERATURA INICIAL CONSTANTE . . . .
272 274 277
SISTEMAS CON BAJA RESISTENCIA INTERNA Y ALTA RESISTENCIA EXTERNA. . . .
279
CONDICIONES LIMITE EN FUNCION DEL TIEMPO . . . .
281
CILINDROS Y PLACAS FINITAS
283
TRANSPORTE AL INTERIOR DE UN MEDIO SEMIINFINITO.
287
SOLUCION GRAFICA PARA EL TRASNPORTE INESTABLE UNIDIRECCIONAL : GRAFICO DE SCHMIDT
291
CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO METODOS APROXIMADOS
296
SOLIDO SEMIINFINITO CON PROPIEDADES FISICAS CONSTANTES 298 SOLIDO SEMIINFINITO CON TEMPERATURA DE SUPERFICIE VARIABLE CON EL TIEMPO
299
SOLIDO SEMIINFINITO CON PERDIDAS CONVECTIVAS DE CALOR EN LA SUPERFICIE
301
APENDICE A.9.1. LA FUNCION ERROR Y OTRAS FUNCIONES RELACIONADAS BIBLIOGRAFIA
303 308
III
usui m
iTfwi»
A : ATM; especie química, a", a : Aceleración. B : Constant«; «specie química, b : Constant«; eapeaor. DG : Derivada sustancial de Q. Dfc Or : Calor especifico a volumen constante. et : Concentración de la especie i. Cp : Capacidad calorifica a presión constante. Oto : Difusividad nàsica. dir : Operador divergencia. d : Diàmetro ; diferencial. K : Potencial eléctrico. e:Energia interna; espesor; base de los logaritaos neperianos. exp(x) : exponencial de x ( = e> ). F : fuerza. E(x) : 10« G : Potencial químico. g : Aceleración de la gravedad; grano. h : Constante de Planck; coeficiente de transferencia de calor. I :Corriente eléctrica, i :Vector unitario en la dirección x. J :Densidad de flujo difusivo molar. i :Vector másico.
unitario en
la dirección
y; Densidad
de flujo
difusivo
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE k : Vector unitario térmica.
en la
dirección
z;
constante;
conductividad
k», kf : Coeficiente convectivo de transferencia de masa; I:constante de Boltzman. K :Coeficiente de proporcionalidad; grados Kelvin. m' :Caudal m&sico. Mi :Peso molecular de la especie i. M : Masa m :Masa; caudal molar. N :Número de Avogadro. Ni :Densidad de flujo molar de la especie i. m
:Densidad de flujo másico de la especie i.
P :Perímetro; presión dinámica. Q : Flujo de calor ( energía sobre tiempo ); caudal volumétrico, q rDensidad de flujo de calor ( flujo de calor sobre área). Re :Número de Reynolds. R :Radio. Ri : Velocidad homogénea.
molar de
generación de
materia por reacción química
r : Separación intermolecular; radio (variable) ri rVelocidad de volúmen.
generación másica
de la
especie i
Si :Area perpendicular a la dirección i. T :Temperatura, t :Tiempo. U :Momento dipolar; energía interna; parámetro. V rVelocidad constante; volúmen. vi rVelocidad en la dirección i. W rPeso; relación en peso.
por unidad
de
LISTA DE SIMBOLOS
iii
wt ¡Fracción en peso de la especie i. x :Eje coordenado; fracción molar, y : Eje coordenado; fracción molar, z : Eje coordenado.
Los vectores se representan en el texto con letras en negrilla.
LETRAS GRIEGAS T OIROS SIMBOLOS.
a
: Angulo; Difusividad térmica; Coeficiente de proporcionalidad.
0
:Angulo; Coeficiente de expansión volumétrico.
:Viscosidad cinemática; r por unidad de longitud. ó
coeficiente de
actividad; caudal másico
:Derivada parcial; espesor; momento dipolar adimensional.
A. : Diferencia finita. €
:Parámetro de Lennard Jonnes de energía; rugosidad relativa.
Y
: Cp/Cv
1 :Energía potencial de interacción molecular; término de generación o manantial ; energía potencial; función adimensional 9
:Angulo; variable adimensional.
J:Trayectoria libre media latente de vaporización. U
:Viscosidad.
0
: Angulo.
Q
: Integral de colisión.
n
: Productoria; número pi.
molecular;
rugoidad
relativa;
calor
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
f
: Resistividad eléctrica; densidad.
[i : Concentración másica volumétrica de la especie i. 2
: Si amatoria.
T
: Esfuerzo cortante.
o :Conductividad eléctrica; distancia (Lenard Jonnes); Tensión Superficial. fl : Distancia adimensional; parámetro
de
interacción
molecular
PREFACIO PORQUE ENSEBAR FENOMENOS DE TRANSPORTE. Esta disciplina se refiere a las leyes naturales. Por esto algunos la miran como ciencia más que Ingeniería. Más bien pertenecería a las ciencias ingenieriles. Desde el punto de vista del ingeniero orientado hacia el diseño económico y operación de plantas y equipos, la pregunta es ¿cuál es el valor práctico de los fenómenos de transporte? . Se puede responder en dos formas. Primero, es claro que la transferencia de calor, masa e impulso ocurren en muchos tipos de equipos de Ingeniería (intercambiadores de calor, compresores, reactores químicos y nucleares, humidificadores, enfriadores de aire, secadores, fraccionadores y absorbedores). fi Es importante que el Ingeniero comprenda las leyes físicas que gobiernan estos procesos de transporte si desea entender qué ocurre en el equipo y tomar las desiciones adecuadas para su mejor y más económica operación. Desde otro punto de vista, cuando el Ingeniero diseña equipos de procesos debe predecir las cantidades de calor, masa o impulso a transferir. Esta velocidad de transferencia depende de un parámetro denominado coeficiente de transferencia, que a la vez depende de las dimensiones del equipo, caudal de flujo, propiedades del fluido, etc. Tradicionalmente estos coeficientes se obtienen luego de mediciones lentas y costosas a nivel de laboratorio o planta piloto y correlacionadas a través de ecuaciones empíricas adimensionales. Estas ecuaciones empíricas proveen resultados sobre un determinado rango; no están basadas en teorías y no pueden usarse confiablemente fuera del rango en el cual se realizó la experimentación. El método usado en los fenómenos de transferencia es una forma menos costosa y generalmente más confiable de obtener estos coeficientes que consiste en predecirlos a partir de ecuaciones basadas en las leyes de la naturaleza, confirmando esta predicción a través de investigación ayudada de computador. Desde el punto de vista del diseñador es indiferente como hayan sido obtenidos los coeficientes. Por esta razón el curso de fenómenos de transporte podría hacer énfasis solo en la determinación de los coeficientes de transferencia y dejar el procedimiento de diseño a los cursos de operaciones unitarias. Como es un caso práctico el obtener los parámetros (coeficientes de transferencia) que se usarán en el diseño, el curso de "Fenómenos de Transferencia" puede considerarse tanto un curso en Ingeniería como en ciencia. Adicionalmente existen casos en los cuales el diseñador deberá usar métodos y ecuaciones de Fenómenos de Transporte directamente en el diseño de un equipo. Un ejemplo puede ser un reactor tubular en el
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE cual ocurre una reacción química homogénea. El fluido entra con cierta concentración de reactivos y deja el tubo con una concentración menor de éstos pero mayor concentración de productos. Si la reacción es exotérmica, el calor generado deberá removerse por la pared del tubo y tendremos gradientes radiales de temperatura. Como además la velocidad de reacción aumenta con la temperatura, que será mayor en el eje de simetría, los productos de la reacción tenderán a acumularse en esta linea central mientras los reactivos lo harán hacia la pared del reactor. 0 sea que tanto temperatura como concentración variarán axial y radialmente. Para diseñar un reactor de estos necesitamos conocer, para cualquier longitud la concentración promedia en productos. Como esta se obtiene de valores puntuales promediados sobre la sección transversal, debemos conocer la concentración en cualquier punto del reactor ( axial y radial ). Pero para calcular la concentración en cada punto necesitamos conocer la velocidad de reacción en cada punto y para calcular la velocidad de reacción en cada punto es necesario cbnocer tanto la temperatura como la concentración en cada punto. Además, para calcular la temperatura debemos conocer el caudal y la velocidad del fluido en cada punto. Tenemos así un sistema complicado de ecuaciones diferenciales parciales que se resolverán por métodos sofisticados de cálculo y equipos de alta velocidad ( computador ). Es claro que esté problema no se puede manejar empíricamente, y que son esenciales los procedimientos matemáticos y la teoría de fenómenos de transferencia, a no ser que se gaste tiempo y dinero construyendo plantas piloto de tamaños crecientes, determinando las conversiones en cada una. Aún así, el escalado final es precario e incierto. Obviamente, no todos los problemas actuales pueden resolverse por los métodos de los fenómenos de transporte. Sin embargo, con el desarrollo del computador, más y más podrán resolverse. Si se les desea dar a los estudiantes de Ingeniería Química, una educación que no sea obsolescente, debemos prepararlos con la comprensión de los métodos de los fenómenos de transporte, para que hagan uso de los métodos de cálculo que aparecen día a día. Tanto por su uso potencial como por su utilidad actual, un curso en Fenómenos de Transporte deberá en últimas ser el más útil y práctico en una carrera de pregrado. Si las características físicas de un problema conducen a relaciones matemáticas ( ecuaciones diferenciales, leyes de flujo y condiciones límite ) similares para transferencia de calor y transferencia de masa, se dice que hay una analogía entre los problemas de calor y masa. Intercambiando cantidades análogas ( tales como difusividades ) podemos usar la solución conocida de un problema en transferencia de calor para obtener la solución de un problema en transferencia de masa o al contrario. Lo mismo puede hacerse si hablamos de transporte de impulso y calor o transporte de impulso y masa.
PREFACIO
El uso de analogías hace el proceso de aprendizaje más sencillo y debido a estas similitudes podemos estudiar tres temas (transferencia de calor y de masa y dinámica de fluidos) como si fuesen uno. En la práctica posibilita tomar medidas experimentales en un sistema (digamos calor) para obtener información sobre otro (masa o impulso).
Ramiro Betancourt Grajales. Manizalea, 1987.
PROLOGO. Las Industrias Químicas existían mucho antes de que la profesión de Ingeniero Químico fuera reconocida. La tecnología de cada industria se miraba como una rama especial del conocimiento, y las personas que realizaban el trabajo que hoy hace el Ingeniero Químico eran entrenadas como Químicos, Ingenieros Mecánicos y Técnicos. Los primeros cursos de Ingeniería Química se orientaron al estudio de la tecnología industrial. Estos cursos se modificaron rápidamente con la introducción del concepto de Operación Unitaria. Estos surgieron de la observación de la similitud en los cambios físicos que ocurrían en industrias químicas, bastante diferentes. Así, se reconoció que la evaporación de un líquido desde una solución seguía los mismos principios independientemente de si el proceso era fabricar azúcar o un fertilizante. De esta manera la evaporación se convirtió en una de las primeras operaciones unitarias en reconocerse. Muchas otras etapas alcanzaron el grado de operación unitaria, tales fueron: flujo de fluidos, transferencia de calor, humidificación, secado, destilación, absorción gaseosa, extracción, molienda y tamizado, cristalización, filtración, mezclado, etc. Cuando se comprendieron mejor las operaciones unitarias, se evidenció que no eran entes diferentes. La filtración era claramente un caso de flujo de fluidos, la evaporación una forma de transferencia de calor, la extracción y la absorción gaseosa involucraban transferencia de masa. El secado y la destilación se reconocieron como operaciones en las cuales, tanto la transferencia de masa como la de calor presentaban importancia. Se puede entonces considerar las operaciones unitarias como casos especiales o combinaciones de transferencia de calor, transferencia de masa y flujo de fluidos. Los ingenieros se refieren a estos tres últimos eventos como Fenómenos de Transporte y son la base de las operaciones unitarias. Fenósanoe de transporte, es pues el nombre colectivo que se da al estudio sistemático e integrado de tres áreas clásicas de la ciencia de la Ingeniería : 1) Transporte de Energía o Calor, 2) Transporte de Masa o Difusión, y 3) Transporte de Cantidad de Movimiento o Impulso (Momentum en Ingles), o Dinámica de Fluidos. Debido a que con frecuencia el transporte de masa y de calor ocurren en un fluido, algunos planes de estudio incluyen estos procesos en su tratamiento de la mecánica de fluidos. Pero el tema es de un mayor alcance dado que también hay conducción y difusión en sólidos. También se diferencia de la mecánica de fluidos en que el estudio de fenómenos de transporte utiliza las similitudes entre las ecuaciones usadas para describir el proceso de transferencia de calor, masa e impulso. Estas analogías, como suelen llamarse, pueden ser relativas a similitudes en los mecanismos físicos gracias a los cuales el transporte se verifica. Cano consecuencia, la comprensión de un proceso de transferencia puede facilitar la comprensión de otros procesos. Es más, si las ecuaciones diferenciales y las condiciones límites son las mismas, es necesario obtener la solución para uno
PROLOGO
5
solo de los procesos pues al cambiar la nomenclatura de esa solución, se puede obtener la solución para cualquiera de los otros procesos de transporte. Debe enfatizarse sin embargo, que aunque existen similitudes en los procesos de transferencia, también hay diferencias importantes, especialmente entre el transporte de impulso ( un vector ) y el de calor o masa ( escalares ). De todas formas, un estudio sistemático de las similitudes entre los procesos de transferencia, facilita identificar y entender las diferencias entre ellos. El estudio de los fenómenos de transporte se ha realizado tradicionalmente comenzando por el transporte de cantidad de movimiento, luego el transporte de energía y finalmente el transporte de masa. Para cada proceso de transporte, tópicos como el transporte molecular, los balances en límites planos o curvos y el transporte multidimensional se discuten en forma tal que las similitudes y analogías entre los procesos de transporte pueden inferirse. Se derivan entonces las ecuaciones diferenciales generalizadas del cambio, generalmente expresadas en notación vector-tensorial. Luego el estudiante aprende como simplificar estas ecuaciones para casos físicos específicos. Una organización alternativa es tomar los tópicos similares para los tres fenómenos en forma simultánea. Esta alternativa presenta las siguientes ventajas: 1) Las analogías Be pueden explotar completamente reduciendo la repetición, 2) Las limitaciones de, y las excepciones a, las analogías, pueden relievarse; 3) los tópicos más elementales, tales como transporte unidimensional, pueden abordarse inicialmente; 4) El significado físico de términos tales como difusión, convección, generación y acumulación en las ecuaciones de los balances generales pueden ilustrarse inicialmente por medio de ejemplos físicos simples, sin la complicación de ecuaciones generalizadas; 5) Las ecuaciones multidimensionales generalizadas pueden derivarse como una extensión lógica del transporte unidimensional y como la incorporación en forma general de los términos previamente ilustrados; 6) La simplificación de las ecuaciones multidimensionales puede verificarse así para casos específicos con una completa apreciación de su significado. Como consecuencia de este orden, el difícil tema de transporte laminar de cantidad de movimiento puede tratarse después del más familiar e intuitivo ( para el estudiante ) de la conducción de calor. De esta forma el transporte molecular unidimensional de la cantidad de movimiento en el flujo de Couette se demuestra como análogo a la conducción de calor unidimensional. Luego a través de la ley de Newton del movimiento, se demuestra la relación entre flujo de cantidad de movimiento y esfuerzo viscoso y se discute el significado físico del mismo. Asi pues, para demostrar las analogías entre los procesos de transporte, se propone estudiar cada proceso en paralelo, en lugar del transporte de impulso primero, luego el transporte de energía, y finalmente el transporte de masa. Colateral a mejorar la comprensión, existen otras razones pedagógicas para no usar el estudio en serie
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE tradicional: de loo tres procesos, el concepto y las ecuaciones involucradas en el estudio del transporte de cantidad de movimiento son las más difíciles de entender y usar por parte del principiante. Debido a que es imposible cubrir completamente el transporte de calor y masa sin un previo conocimiento del transporte de impulso, en el método en serie se fuerza a tomar el tema más difícil ( transporte de impulso ) primero. De otra parte, si los temas se estudian en paralelo, el transporte de cantidad de movimiento se hace más comprensible haciendo referencia al tema más familiar de transferencia de calor. Además, el tratamiento en paralelo permite estudiar los conceptos más sencillos primero y avanzar más tarde a las ideas más difíciles y abstractas.
CAPITULO 1. LKYES BASICAS. 1.1
INTRODUCCION A LA TRANSFERENCIA DE CALOR.
De loe tres procesos de transporte a estudiar, el transporte de calor es probablemente el más familiar dado que ee parte de nuestra experiencia diaria, por ejemplo cuando se noe enfria la sopa o el café. Procesos que emplean transporte de oalor aparecen frecuentemente en la industria química: Calentamiento del petróleo crudo (u otra mezcla liquida) hasta su punto de ebullición para separarlo en fracciones en una columna de destilación o la remoción del calor generado en una reacción química. En cualquier caso necesitamos hallar la velocidad a la cual ocurre la transferencia de calor para calcular el tamaño del equipo requerido o pera mejorar el ya existente. De otra parte debemos recordar que el calor es solo una de las formas de la energía y que es esta y no el calor la que se conserva de acuerdo a la primera ley de la termodinámica. La energía como propiedad se utiliza en termodinámica para ayudar a especificar el estado de un sistema. De otra parte la energía se transfiere a través de los límites de un sistema termodinàmico en forma de trabajo o de calor. Transferencia de calor es la expresión usada pera indicar el transporte de energía originado en una diferencia de temperatura. La "Velocidad de Transferencia de Calor" es la expresión de la energía térmica transportada por unidad de tiempo, y "Flujo de Calor" es la velocidad de transferencia de calor por unidad de área. El cálculo de las velocidades locales de transferencia de calor requieren conocer las distribuciones locales de temperatura, las cuales proveen el potencial para la transferencia de calor. Existen tres mecanismos diferentes por los cuales ocurre esta transferencia de calor: i) Conducción, en el que el calor pasa a través de la substancia misma del cuerpo, ii) Convección, en el cual el calor es transferido por el movimiento relativo de partes del cuerpo calentado, y iii) Radiación, mecanismo directamente entre partes electromagnética.
por el que el calor distantes del cuerpo
se transfiere por radiación
En gases y líquidos la convección y la radiación tienen importancia destacada, pero en los sólidos la convección puede considerarse ausente y la radiación generalmente es despreciable.
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION. L? teoría matemática de la conducción del calor puede basarse en una hipótesis sugerida por el siguiente experimento:
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
Tomemos una placa de algún sólido limitada por dos superficies planas paralelas de una extensión tal que, desde el punto de vista de los puntos entre los dos planos, puedan suponerse infinitos. En la práctica esta condición puede acercarse usando una placa plana de dimensiones finitas donde sus caras menores han sido aisladas térmicamente de forma tal que solo existan gradientes de temperatura en la dirección perpendicular a las caras mayores. En este caso la diferencia de temperatura ocurre entre planos perpendiculares al eje z causando transporte en la dirección z. El hecho de que la placa es muy delgada en la dirección z y muy ancha en las direcciones x e y indica que hay pérdidas despreciables en los extremos perpendiculares a los ejes «X e y. De esta forma q* y qy son cero. En general la velocidad de conducción de calor en cualquier punto en un material se caracteriza por un vector de flujo de calor q. el cual puede resolverse en componentes a lo largo de los tres ejes coordenados. Podemos ignorar la naturaleza vectorial de q y considerar solo su componente escalar z para un simple caso de conducción unidimensional de calor. Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes sin que esta diferencia de temperaturas sea tan grande como para causar un cambio sensible en las propiedades del sólido. Por ejemplo, mientras la superficie superior se mantiene a la temperatura de una mezcla hielo agua, la inferior se mantiene a la temperatura de una corriente de agua caliente que fluye constantemente por allí. Después de mantener estas condiciones durante suficiente tiempo, las temperaturas de los diferentes puntos del sólido alcanzaran valores estables, la temperatura siendo igual para planos paralelos a la superficie de la placa (despreciando los efectos terminales).(ver figura 1.1) Supongamos que la temperatura de la superficieinferior es Ti y la de la superficie superior es T2 (Ti > T2), y consideremos que el sólido está inicialmente a temperatura uniforme Tz- La placa tiene un espesor b. Los resultados de los experimentos sugieren que, cuando se ha alcanzado el estado estable, la cantidad de calor que fluye a través de la placa en un tiempo t a través de un área S es igual a:
b
( 1.1)
La constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica. Estrictamente hablando la conductividad térmica no es una constante sino que, de hecho, es una función de la temperatura para todas las fases y en líquidos y gases depende también de la presión, especialmente cerca al estado critico. La conductividad térmica en la madera y cristales varía también en forma ostensible con la dirección. Esta es una de las Propiedades de Transporte de los materiales.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
figura l.to
9
«•»
FIGURA 1.1 La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura para rangos de temperatura pequeños puede expresarse en forma aceptable como k = ko(l + ¿ff), donde ko es el valor de la conductividad térmica en alguna condición de referencia y a es el coeficiente de la temperatura que es positivo o negativo dependiendo del material en cuestión. La figura 1.2 muestra el efecto en el gradiente de temperatura (para estado estable) en una placa plana como resultado de que sea positivo o negativo. Se resalta el que el gradiente de temperatura seré lineal solo cuando la conductividad térmica es constante.
1.2 LEY DE FOURIER. En la sección anterior se considera el caso especial de conducción de calor unidimensional en estado estable en una geometría rectangular. La ecuación ( 1.1 ) es válida sólo para este caso especial y no puede usarse en otraB situaciones tales como geometrías cilindricas o estado transitorio. Tampoco puede usarse para predecir la variación de la temperatura con la posición dentro del medio. Por esta razón es necesario desarrollar una ecuación más general que sea aplicable en cualquier punto, en cualquier geometría y para condiciones estables o inestables (cuando el estado físico de un sistema no cambia con el tiempo, se dice que el sistema se encuentra en estado estable). Con este propósito retomamos del gráfico 1.1b una línea de temperatura contra posición en cualquier momento arbitrario (ver figura 1.3).
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
FIGURA 1.2
FIGURA 1.3 Podemos relacionar la velocidad de flujo de calor Q* en cualquier posición arbitraria z al flujo de calor en la misma posición usando la definición Q* = q«S*. Comencemos por reconocer que la velocidad de flujo de calor puede escribirse a partir de la ecuación (1.1) como : (Qz/S) = (k/b)(Ti-Ta) = q» Si aplicamos
(1.2) a un pequeño
(1.2)
incremento /\z, b será reemplazado
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
11
por A z y (T1-T2) por - A I - El signo menos es necesario de acuerdo a la definición del operador diferencia : AI
=
) - T»
Entonces el flujo promedio de calor a través de una distancia A z es: AT
T(z+Az,t) -T(z,t)
Az
Az
De la figura 1.3 se observa que A X / A z representa la pendiente promedio sobre la región A z de la curva T vs z. También observamos que si hacemos A z cada vez más pequeño obtenemos una mejor aproximación de la pendiente en z. En el limite cuando /\z tiende a cero,obtenemos la derivada parcial de T respecto a z según el teorema fundamental del cálculo. Asi, para estado transitorio, podemos escribir en cualquier localización: q» = - k(6T/6z)
( 1.3 )
La cual es llamada ley de Fourier para conducción de calor en una dimensión, en honor al matemático francés Jean Baptiste Fourier a quien se le atribuye. En el caso de tratarse de estado estable en una dimensión, T seria solo función de z y la derivada sería total. En el caso general, donde hay flujo de calor en las tres direcciones coordenadas, T es función de más de una variable independiente y : qx = -k(6T/óx) ; qy = -k(6T/6y) ; q. = -k(ÓT/6z) serán las componentes del vector flujo de calor... «X = iq* +
jqy + kqy
que puede escribirse en forma de operador con notación abreviada: q
=
Donde div es el operador cartesianas como : div
=
-kdlv(T) divergencia,
( 1.4 ) definido
en
coordenadas
i (6 /6x) + j (Ó /Óy) + k (Ó /óz)
La ecuación (1.4 ) es notación vectorial Gibbs sistema iaotrópico, o independientemente de la calor solo se transfiere temperatura.
una ecuación para la ley de Fourier en o forma vectorial. Es válida para cualquier sea que la conductividad es la misma dirección. El signo menos indica que el en la dirección en la que decrece la
Es interesante hacer notar que la ecuación de Fourier para conducción unidireccional de calor es exactamente análoga a la ley de Ohm para
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE un
conductor eléctrico, la cual puede expresarse como : ÓE =
I
- oS
( 1.5 ) ón
En esta ecuación la corriente eléctrica I corresponde al flujo de calor Q; el potencial eléctrico E corresponde al potencial térmico T, y la conductividad eléctrica a (o =l/f, donde f es la resistividad eléctrica) corresponde a la conductividad térmica k. Como las ecuaciones (1.3) y (1.5) tienen la misma forma, el campo de temperatura dentro del cuerpo calentado, y el campo de potencial eléctrico en un cuerpo de la misma forma, corresponden uno al otro siempre que la distribución de temperatura en la superficie corresponda a la distribución superficial del potencial eléctrico. Esta analogía nos capacita para estudiar problemas de conducción de calor en detalle a través de modelos eléctricos similares.
1.3 INTBODUCCION DE FLUIDOS
AL TRANSPORTE
DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DINAMICA
Ahora que se han visto algunos ejemplos elementales de transporte de calor nos encontramos en mejores condiciones para comprender el tema de transporte de impulso. Dado que el impulso o la ^cantidad de movimiento de un cuerpo, se define como el producto de su masa y velocidad, se puede pensar que la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad de masa. 0 sea que, los cambios en la velocidad de un fluido pueden originar transporte de cantidad de movimiento, así como los cambios de temperatura originan transporte de calor. [ja descripción matemática de este transporte forma una parte importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. Como el concepto de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza, debemos revisar algunas definiciones básicas.
1.3.1 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON. La segunda ley del movimiento de Newton establece que la fuerza F actuando sobre un cuerpo de masa m es proporcional a la velocidad de cambio de su cantidad de movimiento asi: d(mv) F
=
K
=
K (ma)
( 1.6 )
dt Donde a = dv/dt es la aceleración del cuerpo y K es una constante de proporcionalidad que se determina según las unidades que se usen. Las unidades de masa son arbitrarias, por ejemplo la masa puede delinirse en relación a una pieza estándar de una aleación de platino
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
13
e iridio a la que se le asigna la masa de 1 Kg. Luego la masa de un segundo cuerpo puede ser determinada por comparación. Existen diferentes sistemas de unidades asi: los alaternas gravitad anal es de unidades son aquellos en los cuales las unidades de fuerza y de masa se definen en forma tal que el peso de un cuerpo al nivel del mar es numéricamente igual a la masa del cuerpo. En el alterna gravitacional inglés,la unidad de masa es la libra masa (lbm) y la unidad de fuerza, llamada la libra fuerza (lbf), se define en forma tal que el peso en libras fuerza de un objeto al nivel del mar sea numéricamente igual a su masa en libras masa. Como la aceleración de la gravedad al nivel del mar se toma como g=32.2 pie/s2, podemos hallar la magnitud de la constante K permitiendo que el peso en libras fuerza y la masa en libras masa tengan el mismo valor numérico. Así F = W ( el peso ) y a = g = 32.2 pie/s® y la ecuación (1.6) se transforma: W = K (mg) o
W lbf = K (m lb)(32.2pie/s2)
para W = m, esto implica 1 lbf
1
32.2 Ib pie/s}
go
donde go es un factor de conversión igual a 32.2(Ib.pie/s2)/lbf. Debemos ser claros en que aunque go tiene la magnitud de g al nivel del mar, sus unidades no son las mismas y no es la aceleración debida a la gravedad ni ninguna aceleración. Es simplemente un factor de conversión requerido por la selección de unidades. Mientras que go es una constante,la aceleración de la gravedad varía con la distancia desde la tierra.
TABLA 1.1 Sistema
Fuerza
CGS SI Inglés
Dina(din) Newton(N) Poundal
Masa x Aceleración. g.cm/s2 Kg.m/s2 Ib.pie/s2
Un alaterna absoluto de unidades es un sistema en el cual go vale 1.0 y es adimensional. Como ejemplo tenemos el sistema CGS (centímetro gramo segundo), el sistema internacional de unidades (SI) y el sistema inglés (libra poundal pie segundo). En estos sistemas las unidades para la ecuación (1.6) son como se muestran en la tabla 1.1 En un sistema absoluto de unidades la unidad de fuerza se define específicamente en términos de las unidades de masa y aceleración, asi: 1 dina = 1 g.cm/s2; 1 N=10® dinas = 1 Kg.m/s2; 1Poundal = 1 Ib.pie/s2 También se conoce un sistema absoluto de unidades en el cual la
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE unidad de fuerza se toma como 1 lbf y la unidad de masa se define como 1 lbf/(pie/s2) denominada slug. EJEMPLO 1 . 1 Se establece una colonia en la luna donde la aceleración gravitacional es la sexta parte de la de la tierra. Desean adoptar un sistema gravitacional lunar de unidades. Cuál será? Cuál seria un sistema absoluto allí? Use unidades estandar terrestres para la masa en kilogramos. i) Sistema Gravitacional. Primero definamos una nueva unidad, el "kilogramo fuerza La ecuación (1.6) se transforma en
lunar"
kgfL.
F kgft, = (Kl m kg)(a m/s 2 ) para que el peso y la masa sean numéricamente iguales al nivel de la superficie lunar requerimos que F = W = m. Como a, la aceleración gravitacional de la luna es 9 . 8 0 / 6 = 1 . 6 3 m/s2 KL = ( 1 k g f L ) /
( k g ) ( 1 . 6 3 m / s * ) = 1 / GOL
goL = 1 . 6 3 ( k g . m / s 2 ) /
kgfL
Aquí goL es la constante gravitacional lunar. ii) El sistema absoluto serla el mismo de la tierra, debido a que sus unidades son independientes del campo gravitacional. TABLA 1.2 VARIACION DE g CON LA LATITUD AL NIVEL DEL MAR. Latitud
pie/s2
0O 10» 20° 30* 40* 50° 60° 70° 80° 90®
32.0878 32.0929 32.1076 32.1302 32.1578 32.1873 32.2151 32.2377 32.2525 32.2577
m/s2 9.78039 9.781915 9.78641 9.79329 9.80171 9.81071 9.81918 9.82608 9.83059 9.83217
Es conveniente tener presente que la aceleración de la gravedad terrestre al nivel del mar varía con la latitud debido a que la tierra no es completamente esférica sino elipsoidal, y también gracias a la rotación sobre si misma.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
29
Observamos pues que el valor generalmente usado en los textos para la aceleración de la gravedad corresponde a una latitud bastante diferente de la nuestra. 1.4 TRABSPGKFE DB CASTIDAD DB K O T M I E m O ENTRE FLACAS PARALKIAS. FLUJO CB OOUETTX. Consideremos un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas (figura 1.4 a ). La distancia entre las placas es b, que es pequeña comparada con las otras dimensiones de las placas. En el tiempo t=0 la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante v*i=V aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior se deja estacionaria (vx=0). Al moverse la placa inferior arrastra consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente, la que se mueve a la misma velocidad de la superficie. Esta es la condición de frontera denominada de no deslizamiento fundamentada experimental y teóricamente. Como la placa superior está estacionaria, la velocidad del fluido allí es cero. Pero la capa de fluido vecina a la placa respecto a la capa de fluido inmediatamente inferior se mueve con superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le imprime movimiento. De esta manera el movimiento de la placa inferior hace aparecer un campo de velocidades en el liquido, con la velocidad decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en la placa superior. El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en v x , la velocidad del fluido en la dirección x, desde cero hasta algún valor positivo. Cono la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad, habrá un correspondiente aumento en la cantidad de movimiento x. En otras palabras, cantidad de movierato x se transporta en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una capa de fluido a la siguiente.
Placó «uportor MtadoMrta
Z
Z b
X
T
V
Pioto Morlof M nwt con ««oeWad V debido o lo fimo Fi FIGURA 1.4 a
FIGURA 1.4
FIGURA I 4b
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
En la figura 1.4 b se grafican los perfiles de velocidad para varios tiempos. Para t=0 hay un cambio brusco en z=0 desde vx=V hasta v*=0. En t=tila velocidad aumentó cerca del plano inferior, pero el impulso todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. En t=t2, la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa inferior. Finalmente en t=® se obtiene estado estable en el cual la velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. El concepto de tiempo infinito es claramente una abstracción matemática. Para fluidos muy viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar el 99 % de la condición de estado estable. 1.5 LEY DE LA VISCOSIDAD DE NEWTON. Continuemos considerando el flujo entre dos placas. Luego de un cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final estacionario (figura 1.4b). Una vez alcanzado dicho estado estacionario de movimiento es preciso aplicar una fuerza ¥ x constante para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza claramente depende de la velocidad V, de la naturaleza del fluido, de la distancia b entre las placas y del área de contacto S de las mismas con el liquido. Para este caso especial viene dada por: Fx
V =
S
u
( 0 - V ) =
.b
- u
( 1.7 ) (b - 0 )
Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a disminución de la velocidad con la distancia z. La constante proporcionalidad m se denomina viscosidad del fluido.
FIGURA 1.5
FIGURA 1.6
la de
Q^/iz)
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
17
Para desarrollar una expresión más general consideremos una de las curvas de la figura 1.4 b antes de alcanzar el estado estacionario y la grafleamos como v x contra z a t constante (figura 1.5). Considerando una región de espesor A z en la cual la velocidad cambia ea una cantidad Ay*» la cual, usando la definición del operador diferencia se escribe como: V * • VX(«-*V¿XB,-t) -
Vx(»,t)
Una ecuación consistènte con la ( 1.7 ) seré: Fx S
Ay* M
Az *
Donde la pendiente de la curva v x contra z es A y * / A z - Al tomar el limité cuando A z tiende a 0 nos aproximamos a la verdadera pendiente en », la que está dada por la derivada parcial 6v /5z. La ecuación bésicax resultante para el transporte de impulso unidireccional inestable es: t.x = - m ( © W Ó z ) (1.8) Llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. t«x es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido situada a una distancia z, por el fluido existente en la región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación (1.8) se denominan newtonianos. Muchos fluidos de importancia industrial y biológica no obedecen esta ley y se llaman no newtonianos. Algunos ds ellos son la pasta dental plásticos fundidos y soluciones poliméricas. Todos los gases y la mayoría de los líquidos simples, entre ellos el aire y el agua son fluidos newtonianos. Según las consideraciones del numeral anterior T« puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área, o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación (1.7) se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es decir, la dirección de velocidad decreciente, tal cono ocurre con la densidad de flujo de calor que ee proporcional al gradiente negativo de temperatura. Examinando la ecuación también vemos que u tiene las dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo. Anteriormente se expresó en g/cm.s. o poise (P), o en unidades de 0.01P, conocidas como centipoises (cP). En el sistema internacional ds unidades (SI) la viscosidad está dada en pascalsegundo (Pa.s) donde 1 Pa.s = 10 P = 10® cP = 1 Kg/m.s
lfl
FENOMENOS DE TRANSPORTE
1.6 FLUIDOS NO NEWTONIANOS. Un fluido newtoniano se describió como uno en el cual el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad de deformación, o sea la viscosidad es constante e independiente de la velocidad de deformación. Una gráfica de T«X contra -óv^/óz nos dará una linea recta para un fluido newtoniano pero se desviará de la línea recta para un fluido no newtoniano (figura 1.6). Para estos casos se usa frecuentemente la ecuación de la ley de la potencia n, donde n=l para fluidos newtonianos, n>l para un fluido dilatante o que aumenta la viscosidad con el esfuerzo, y n
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
19
1.8 DEFINICIONES BASICAS. La difusión es más compleja que el flujo viscoso o la transmisión de calor debido a la inovación de tener que operar con mezclas. En una mezcla que difunde las velocidades de los componentes individuales son distintas y existen varios métodos adecuados para promediar las velocidades de los componentes con el fin de obtener la velocidad local de la mezcla. La elección de esta velocidad local es necesaria para poder definir las velocidades de difusión. Por lo tanto debemos estudiar con detalle las definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo ( no se exponen conceptos físicos nuevos pero se trata de familiarizarnos con estas definiciones). Adoptamos una regla de notación: cuando se consideran sistemas de dos componentes se especifican las especies A y B. En sistemas de varios componentes se especifican las especies 1, 2, 3, etc., o bien en las discusiones generales se utiliza un subíndice supuesto tal como i, j, k para referir las diferentes especies. Las formulas cuya validez se limita a sistemas binarios se identifican fácilmente porque intervienen los subíndices A y B. CONCENTRACIONES La concentración de las especies en un sitema de varios componentes puede expresarse de diversas formas pero nosotros consideramos sólo las cuatro sguientes: Concentración de masa (densidad) pi que por i unidad de volumen de solución.
es la masa de la especie i
Concentración molar ci=pi/Mi (densidad molar) que es el moles de la especie i por unidad de volumen de solución.
número de
Fracción másica w i = P i / t es la concentración de masa de la especie dividida por la densidad total de la solución.
i
Fracción molar xi=ci/c que es la concentración molar de la especie i dividida por la concentración molar de la solución. Frecuentemente usaremos yi en el caso de gases. Mediante la palabra solución se designa una mezcla gaseosa, liquida o sólida que forma una sola fase. Para el caso de sistemas binarios la mutua relación de estas unidades de concentración es p=pA+pB= densidad de la solución (g/cm3) g de A PA=CA.MA
cm® de solución
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE
WA=
fA
= fracción de masa
P
C=CA+CB
CA= PA/MA
M = p/c
XA=CA/C= (A/MAC
peso molecular medio de la mezcla
XA+ XB = 1
WA+ WB = 1
XAMA + XBMB = M
WA/MA + WB/MB = 1 / M = ( p A / p M A ) + ( p B / p M B ) XA »
(WA/MA)/(WA/MA+WB/MB)
WA = (XAMA)/(XAMA+XBMB)
DENSIDADES DE
de A.
dWdwA
= (CA+CB)/p =
C/F
=(MAMB(WA/MA+WBMB)2)_1
d w A / d x A = MAMB (XAMA+XBMB)~ 2
FLUJO.
Supongamos un fluido puro que es transportado por un conducto .circular. Su caudal puede expresarse como Q = vA en unidades de a al cubo por unidad de tiempo, donde v es la velocidad m&sica > promedio y A es el área seccional del conducto.El caudal másico se expresa como m'= fQ con dimensiones de masa por unidad de tiempo. Podemos definir entonces la densidad de flujo másico referida a ejes estacionarios como : n = m/A = fv [masa/tiempo.área] Si pensamos ahora que el fluido está constituido por dos especies A y B, la densidad de flujo másico de la mezcla podría definirse simplememte como n = HA + nB . La velocidad de un objeto único es intuitivamente clara. La velocidad de un conjunto de partículas que se mueven pero mantiene la misma posición relativa entre ellas es la misma de cualquier partícula individual. Pero la velocidad de este conjunto se vuelve confusa si las partículas se mueven con velocidades diferentes , que es lo que ocurre en una mezcla que presenta gradientes de concentración o sea que difunde. Si llamamos v a la velocidad de la especie A con respecto a ejes coordenados estacionarios (la palabra velocidad no expresa aquí la velocidad de una molécula individual de la especie A sino la suma de las velocidades de las moléculas de esta especie comprendidas en un pequeño elemento de volumen, dividido por el número de dichas moléculas). Por lo tanto, la velocidad méaica media para una especie de la mezcla de dos componentes podría definirse como: VA = NA / [ A
= NA /
CA
donde NA = NA / MA es la densidad
de flujo
molar de la especie A.
CAPITULO 1. LEYES BASICAS
21
En resumen: n = nA +NA = fAVA + (BVB = fv y también: v = n/f
= (nA + n B ) / ( F A +
fe)
= (fAV +
fnv)/f
= WAVA + WBVB
Si consideraros el flujo de las moles más bien que el de la masa podemos definir similamiente vina velocidad molar media para la mezcla: V * = N/c = (NA + N B ) / ( C A + C B ) = (CAV A + CBV<)/C = XAVA + XBVB
otras lalaciones son: (v - v * ) = WA(VA (v* -
V)
v * ) + WB(VB -
v*)
= XA(VA - v ) + XB(VB - v )
Observamos pues que las densidades de flujo son magnitudes vectoriales que representan la masa (o los moles) de una especie que cruzan la unidad de área por unidad de tiempo. El movimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias, pero también puede estar referido a un plano que avance a la velocidad media local molar v* o másica v. Estas últimas pueden definirse como densidades de flujo superpuestas al flujo global o densidades de flujo difusionales: J A = CA (VA -
que es la densidad de flujo difusión ordinaria, y JA =
V*)
molar relativa
a la
v», muy usada en
("A(VA - v )
conocida como la densidad de flujo de masa del componente A con respecto a unos ejes que se mueven a la velocidad v, muy usado en la difusión térmica. También podemos definir J A ' = JaMa
o densidad de flujo másico referida a la v*, y JA'
= J A /MA
denominada densidad de flujo molar referido a la v. EJEMPLQ1.2 Cómo están relacionados JA y NA ? NA = CAVA J A = CAVA -
J A = CA(VA -
V*)
( C A / C ) ( C A V A + CBVB) = NA -
V * = XA VA+ XB VB XA(NA + N B )
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE O sea : NA = J A + XAN
Esto implica que el flujo molar de A con respecto a los ejes fijos es el flujo con respecto a la velocidad molar promedio m&s el flujo de A causado por el flujo global relacionado a v* o sea N. Podemos observar también que : Ja = Na - xaN;
JB = NB - XBN
Ja + Jb = N - (xa + xb)N = 0 JA = - JB
es decir
lo que nos indica que la suma de las densidades molares de difusión relativas a la velocidad media molar en cualquier mezcla es cero. En general: £ ni = fv = n ;
2 ji = 0 ;
ji - ni - wiEnu
E Ni = cv* = N ;
Z Ji = 0 ;
Ji = Ni - xi£Nk
EJEMPLO 1.3 Estudiemos un comportamiento velocidades:
sifcema concreto para asi comprender
siguiendo gráficamente su mejor las distintas clases de
Un liquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo largo que inicialmente está lleno de vapor B. Analicemos los distintos vectores velocidad para un punto en el cual XA=1/6; v*=12; (VA-V*)=3; MA=6MB;calcular VA, VB, V ,
(VB-V*),
(VA-V) y (VB-V)
Solución: al evaporarse A, empuja el vapor B hacia arriba. Sin embargo, no existe una linea recta de separación de los dos vapores, sino que el desplazamiento del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de los dos vapores. Por tanto debido a la difusión, en un punto cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo que corresponde al movimiento medio global, y en cambio B se mueve más lentamente. XA=1/6 (VA
XB=5/6
- v*) = 3
v * = (CAVA + CBVB)/C = XAVA + XBVB = 12
va = 15
VB = (12 - 15/6)(6/5) = (72 - 15)/5 =57/5 = 11 2/5 (VB
- v*) = 11 2/5 - 12 = - 3/5
CAPITULO 1. LEYES BASICAS MA=5Mb:
WA= xaMa/(XAMa + xbME< - C5/6)MB/(5/6MB + 5/6Mb) - i/2
WB = 1/2; IVA-V!
=
23
15
v - WAVA+ WBVB = 1/2(15+11 2/5) - 13 1/5 -
13
1/5
T
1 4/5
IVB-Vl
:
11
2/5
-
13
1/5
=
-
1
4/5
1.9 PRIMERA LEY DE FIOK Para definir algunos de ios términos usados en ei estudio de la difusión consideremos un ejemplo simple y de geometría similar al usado en las otras formas de transporte Dos placas grandes se colocan a una distancia b, pequeña en comparación con las :>tras dimensiones de la placa El aire entre ambas está inicialmente seco y permanece libre de corrientes. En el momento t = 0 la placa inferior se humedece completamente en un líquido (digamos agua) y así se mantiene para asegurar que la película de fluido adyacente a la misma conserve una concentración uniforme de vapor el líquido e igual al de saturación a la temperatura y presión ambientes. La placa superior está constituida de un material fuerte mente adsorbente (sílica-gel si el vapor es de agua ) que garantice que la película de fluido vecina a la placa superior permanece a concentración cero. A medida que transcurre el tiempo la humedad penetra en la película gaseosa hasta que alcanza la placa superior y eventualmente pasado un espacio de tiempo suficientemente grande alcanza el estado estacionario donde el perfil de concentraciones no cambiará más con el tiempo (ver figura 1.7).
Superficie d*Mconte
-a2
t=00
estado estable
Superficie húmeda FIGURA 1.7a
FIGURA 1.7b
FIGURA 1.7. A nosotros nos interesaría saber cuanta substancia se transporta entre las dos superficies en un cierto tiempo* Para hacer tal cálculo necesitamos una expresión que relacione la velocidad de difusión con las concentraciones y la distancia entre las placas, y alguna otra variable. Sabemos que la densidad de flujo molar es la velocidad de flujo dividida por el área perpendicular a la dirección del transporte.
lfl FENOMENOS DE TRANSPORTE ya especificamos, en general, el transporte de la especia A puede ocurrir por difusión y convección. 0 sea que la densidad de flujo total es la suma del flujo difusivo y el convectivo. B1 flujo convectivo está dado por C A V » S donde v« es la velocidad de la corriente en la dirección z. La densidad de flujo molar total seria NA«=JAJB+CAV* donde JA« ea la densidad de flujo molar difusivo de A . En el experimento que nos ocupa para la película gaseosa completamente estancada se ha encontrado que J A » • - D A B ( Ó C A / Ó Z ) .
COBO
Aquí DAB, la propiedad de transporte es la difusividad másica de la especie A a través de la especie B. Esta ecuación es una forma simplificada de la primera ley de Fick de la difusión, que mantiene su validsz para soIliciones binarias diluidas de densidad constante. Un análisis riguroso basado en la termodinámica de los procesos irreversibles muestra que el gradiente de potencial correcto no es el gradiente de concentraciones sino el gradiente de potencial químico y que, para mezclas multicomponentes, deben incluirse los gradientes de las otras especies en la ecuación. Sin embargo se acostumbra asumir para mezclas multicomponentes que la especie B representa todos los componentes diferentes de A. 1.10 ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENOMENOS DE TRANSPORTE. Hasta ahora se han usado los mismos modelos básicos para desarrollar las siguientes leyes de flujo (ecuaciones constitutivas o expresiones fenomenológicas) para el transporte de energía, masa y cantidad de movimiento: Energía
q* = - k (ÓT/ óz)
Ley de Fourier.
Materia
JA« = - DAB (ÓCA / óz)
Ley de Fick
Cantidad de movimiento unidireccional
T«X = - M (ÓV* / ÓZ)
Ley de Newton de la viscocidad.
En cada caso las ecuaciones toman la forma : Densidad de Flujo=(Propiedad de Transporte)x(Gradiente de Potencial) Donde k, DAB y u se llaman las propiedades de transporte moleculares, y T, CA y v* son los potenciales. Aunque estas ecuaciones son similares ellas no son completamente análogas debido a que las propiedades de transporte tienen unidades diferentes. Notando que las dimensiones de la difusividad másica son [longitud al cuadrado / tiempo], podemos definir difusividades para calor y cantidad de movimiento como Difusividad Térmica presión constante.
= a
= k/ fCp donde Cp es capacidad calorífica a
CAPITULO 1. LEYES BASICAS Difusividad da cantidad de viecocidad cinemática. Suponiendo que como:
movimiento =
r =
u/f
llamada
25
también
Cp y f eon constantes reescribimos las leyes de flujo
ô(fCpT) Energía :
q« = - a 6z 6CA
Masa :
JA« = - DAB — 6z
Cantidad de Movimiento
T.X = - T
8(fvx) 6z
Notemos que fCpT tiene unidades de energía por unidad de volumen o concentración de energía por analogía con c (moles por unidad de volumen). Además fv tiene dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de volumen y puede interpretarse como concentración de cantidad de movimiento. Aguí las leyes de flujo están escritas en la forma difusional: Flujo = - Difuaividad x Gradiente de Concentración. Como las difusividades poseen las miamas dimensiones, su relación nos dará cantidades adimensionales: Número de Prandtl : Número de Schmidt : Número de Lewis :
Pr = T/a Sc = F / D A B Le = O/DAB
Estas cantidades aparecen en situaciones donde hay transporte simultáneo de calor e impulso; masa e impulso; o calor y masa respectivamente.
CAPITULO 2. PROPIEDADES DK TRANSPORTE. 2.1 PROPIEDADES DE TRANSPORTE GASES SIMPLIFICADA.
A PARTIR DE IA TEORIA CINETICA DE LOS
Las teorías moleculares son útiles para mejorar la comprensión de los varios procesos de transporte. También pueden 3er útiles para predecir cualitativa y/o cuantitativamente la dependencia de los coeficientes de transporte, n, DAB, y K de la temperatura y la presión. Idealmente, una teoría molecular permitiría predecir estos coeficientes para una substancia dada sin necesidad de recurrir a mediciones experimentales. Sin embargo, este objetivo solo se ha logrado para los gases.
2.2 TRANSPORTE DE MASA EN GASES A BAJA PRESION. Para obtener una visión simplificada del mecanismo de transporte difusional en gases, consideremos una mezcla de los gases A y B en equilibrio, es decir, a temperatura, presión y concentración uniformes. Según la teoría cinética las moléculas estarán en movimiento caótico colisionando unas con otras a razón de aproximadamente 10 21 choques por segundo. En un momento y lugar dado cada molécula tendrá su propia velocidad, y puede atravesar una cierta distancia antes de chocar con otra. Habrá una distribución de velocidades que oscilará entre 0 y 1. Conociendo esta distribución podemos calcular una velocidad promedio V y una distancia media entre colisiones, -1-, llamada la "Trayectoria libre media" Como las condiciones son uniformes dentro del gas, V y no variarán con la posición, y dado que todas las direcciones son posibles para el movimiento molecular V será el mismo para todas las direcciones y orientaciones de los ejes coordenados, o sea, es un escalar. Considerando un plano arbitrario en y = y, el número de moléculas que lo atraviesan en la unidad de tiempo y que se originan por debajo del plano, será igual al que lo atraviesa teniendo origen por encima del mismo. No habrá un flujo neto o difusión molecular de A en la dirección y. Supongamos ahora que XA es la fracción molar de A en la mésela y que existe un gradiente de A en la dirección y, dcA/dy o dxA/dy, pero no en la dirección x o z? Si la concentración de A es mayor a menores valores de y, o sea que dcA/dy es negativa, habrá más moléculas de A que atraviesan el plano desde abajo que desde arriba simplemente porque hay más moléculas de A por unidad de volumen en la región inferior.
