Fenómenos de Transporte. Capítulo 4 - tutoruniversitario.com

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 3: ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, septiembre de 2017.

Capítulo 3.

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos.

CONTENIDO. CONTENIDO. .................................................................................................................. 2 PRESENTACIÓN. ........................................................................................................... 4 ACERCA DEL AUTOR. ................................................................................................. 5 3.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. ................... 7 Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. .... 10 Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .... 11 3.2.- FLUJO ROTACIONAL. .......................................................................................... 12 Ejemplo 3.3. .............................................................................................................. 12 Ejemplo 3.4. .............................................................................................................. 13 Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo 3.5-1 del Bird. Página 3-25. ....................................................................................... 14 Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2 del Bird. Página 3-45. ................................................................................................ 15 Ejemplo 3.7. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción. Problema 3.A-1 del Bird. Segunda Edición. Página 118. ............................................ 16 Ejemplo 3.8. Pérdidas por fricción en cojinetes. Problema 3A.2 del Bird. Segunda Edición. Página 119. .................................................................................................. 17 Ejemplo 3.9. .............................................................................................................. 17 Ejemplo 3.10. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Problema 3.H 2 del Bird. Página 3-46. ................................................................................................ 18 Ejemplo 3.11. ............................................................................................................ 18 Ejemplo 3.12. ............................................................................................................ 19 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 19 Ejemplo 3.13. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. .............................................................................................................. 21 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 22 Forma de la superficie de un líquido que gira. .................................................................. 26 Caso a) El fluido no se derrama. ................................................................................... 33 Resumen de ecuaciones. ............................................................................................... 38 Caso a) El fluido no se derrama. ................................................................................... 38 Ejemplo 3.14. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85. ........................... 40 Ejemplo 3.15. Ejemplo 3-13 del Çengel. Segunda Edición. Página 109...................... 40 Ejemplo 3.16. Problema 5.26 del Giles. Tercera Edición. Página 92. ......................... 41 Caso b) El fluido se derrama. ........................................................................................ 41 Resumen de ecuaciones. ............................................................................................... 46 Ejemplo 3.17. Problema 5.23 del Giles. Tercera Edición. Página 91. ......................... 48 Ejemplo 3.18. Problema 5.24 del Giles. Tercera Edición. Página 91. ......................... 48 Ejemplo 3.19. ............................................................................................................ 48 Caso c) El recipiente es cerrado. ................................................................................... 49 El fondo no está descubierto, z (0)  0 . El tope no es mojado z ( R)  H . ..................... 49 El fondo está descubierto z 0  0 . El tope no es mojado z ( R)  H : .............................. 50 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


El fondo no está descubierto z (0)  0 . El tope es mojado, z ( R)  H :.......................... 51 El fondo está descubierto z 0  0 . El tope es mojado, z ( R)  H :.................................. 52 Ejemplo 3.20. Problema 5.11 del Giles. Tercera Edición. Página 88. ......................... 54 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 54 Ejemplo 3.21. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44. .................................................. 58 3.3.- FLUJO RADIAL. .................................................................................................... 59 Ejemplo 3.22. ............................................................................................................ 59 Ejemplo 3.23. ............................................................................................................ 59 Ejemplo 3.24. ............................................................................................................ 61 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 61 BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................... 63 TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE. ............................................................................. 64 OBRAS DEL MISMO AUTOR..................................................................................... 65

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 58B3CF2D

ó

569A409B,

correo

electrónico:

[email protected]

ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.


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Capítulo 3.


ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales),

Métodos Numéricos, Termodinámica,


Fenómenos de 5

Capítulo 3.


Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de

sólo

lectura

en

línea

y

con

privilegios

limitados)

en

la

página

http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.


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Capítulo 3.


3.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. Coordenadas rectangulares. Ecuación de continuidad:

     ( vx )  ( v y )  ( vz )  0 t  x y z

Ecuación de movimiento. En función de  . Componente x .   vx v  vx  vx  vx x  v y  vz x y z  t

 

  p   x x  y x  z x        x   x y z 

    gx  

  p   x y  y y  z y        y   x y z 

    gy  

Componente y .  vy  vy  vy   vy  vx  vy  vz x y z  t

 

Componente z .   vz v  vz  vz   p   x z  y z  z z     vx z  v y  vz      t  x  y  z  z y z    x

 

    gz  

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes. Componente x .   2vx  2vx  2vx   vx v  vx  vx  p     vx x  v y  vz      2 x y z  x  y2  z2  t  x

    gx  

 

Componente y .

  2v y  2v y  2v y  vy  vy  vy    vy p     vx  vy  vz       x2  y2  z2  t  x  y  z  y   

 

    gy  

Componente z .   vz v  vz  vz  vx z  v y  vz x y z  t

 

  2vz  2vz  2vz  p         2 z  y2  z2   x

    g z 

Coordenadas cilíndricas. Ecuación de continuidad:

 1  1    (  r vr )  (  v )  ( vz )  0 t r r r  z


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Capítulo 3.


Ecuación de movimiento. En función de  . Componente r .   vr

 vr v  vr v2 v    vz r r r  r z  t Componente  .

 

 vr

  v v v  v vr v v  vr      vz  r r  r z  t

 

  p 1  1  r      r z    ( r  )    r r   r  r  r r  r z 

 1p  1  2 1         z      2 (r  r  )    r   r  r r  r z 

    gr  

    g  

Componente z .   vz  v z v  v z  vz   p 1  1   z  z z     vr   vz   (r  r z )   r r  z   z r r r  z  t

 

    gz  

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes. Componente r .   vr

 

 t

 vr

  1   1  2 vr  v r v  v r v2  vr  p 2  v  2 v r        vz   ( r v )    r   r 2  2 r 2    z 2    gr r r  r  z  r   r  r  r 

Componente  .

  1    v  1  2 v v v  v vr v v  1p 2  vr  2 v   vr      v z         (r v )   2      g 2 r r  r z  r  r 2   z2   t  r   r  r  r

 

Componente z .

1    vz v v  vz v  vz  p     r   z  vr z    vz  r r  z  z  t r  r   r

 1  2vz  2vz    2     gz 2  z2   r 

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares.   vx  v y   y x 

  

  vx  vz  x  z

  

  v y  vz  y  z

  

 x y   y x    

 x z   z x    

 y z   z y    

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


   v  1  vr       r  r  r  

 r     r    r

  vr  v z     r   z

 r z   z r    

  v 1  v z    z r 

  z   z      Caudal: Q  

R

  

vd A

Elemento diferencial de área perpendicular al flujo longitudinal: d A  r d  d r Elemento diferencial de área perpendicular al flujo rotacional: d A  d r d z El elemento diferencial de área perpendicular al flujo radial: d A  r d  d z


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente v z de velocidad es independiente de z .

z x v z (x)



 x y (x) L

Dirección de la gravedad



Determinar: a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad.

VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo <> de longitud L y radio R .

r

p0

L  R

z

L

, R

pL

Determinar: a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad.

VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


3.2.- FLUJO ROTACIONAL. Ejemplo 3.3. La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el fluido permanece en reposo. Determine: La distribución de velocidades del fluido. La distribución de presiones del fluido. La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección tangencial.

w

r z

L

2R

VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.4. Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito. a) Halle el perfil de velocidad. b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte. c) Calcule la velocidad y esfuerzo para r = 1 m. d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula?

w

r z

L

2R

Datos adicionales:   800 kg/m 3 ;   0.01 Pa.s . Desprecie los efectos de borde. VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo 3.5-1 del Bird. Página 3-25. Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular  0 . Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales pueden despreciarse.

0

R

kR

, VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2 del Bird. Página 3-45. Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación de un par conocido. Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos finales.

1

R

kR



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Capítulo 3.


Ejemplo 3.7. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción. Problema 3.A-1 del Bird. Segunda Edición. Página 118. Calcular el momento de torsión en lbf.ft, y la potencia en caballos que se necesitan para hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del lubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lbm/ft3. Despreciar el efecto de la excentricidad.



w

kR

Datos:

k R  1.00 in ,   0.002 in .

Sugerencia:

T  F r ; P  T  w

VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.8. Pérdidas por fricción en cojinetes. Problema 3A.2 del Bird. Segunda Edición. Página 119. Cada una de las dos hélices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor de 4000 hp. El eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de 1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.9. Calcule el par torsión ( T ) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una velocidad constante de w  30 rpm . El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la cavidad es de 2 14 " . El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula.

w  30 rpm

2 ft

2”

2 14 "

VER SOLUCIÓN. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


Ejemplo 3.10. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Problema 3.H2 del Bird. Página 3-46. Determinar v (r ) entre dos cilindros coaxiales de radios R y k R que giran con velocidades angulares  0 y 1 , respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro interno.

0

R

1

kR


Ejemplo 3.11. Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en dirección

z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano de densidad  y viscosidad  . El cilindro interno tiene radio R1 y gira a una velocidad angular w1 , mientras que el cilindro externo tiene radio R2 y una velocidad angular w2 . Con los datos anteriores calcule: a) El perfil de velocidades. b) El radio donde la velocidad es cero. c) Los torques M 1 y M 2 ( M 1 aplicado al cilindro interno y M 2 al cilindro externo) que hay que ejercer. d) Si w1  w2  w y R2  2 R1 , calcule la proporción M 2 / M 1 calculadas en c) y d). Comente. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


Nota: Torque = Fuerza  Brazo. VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.12. Dos tubos concéntricos ( D1  2 cm , D2  10 cm ) verticales (muy largos) giran en direcciones opuestas ( w1  20 rpm, w2  15 rpm). Un fluido newtoniano se encuentra entre estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos:   1250 kg/m 3 ;

  1.0 Pa.s ; Estado estacionario. w2

R2

w1

R1


Ejercicios propuestos. 1. Un cuerpo cilíndrico rota a una velocidad angular constante de 15 rad/s. Una película de aceite de motor separa el cilindro del recipiente que lo contiene. La temperatura promedio de aceite es de 20ºC y el espesor de la película de 210–3 cm. ¿Qué torque se requiere para mantener el movimiento del cilindro a la velocidad indicada? Torque = Fuerza  Distancia al eje. Respuesta:   

4  wk 2R2L . 1 k 2

2. Se tienen dos cilindros verticales concéntricos separados por un fluido de propiedades constantes. Se aplica un par torsor al cilindro interior y por transferencia de cantidad de Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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Capítulo 3.


movimiento gira el cilindro exterior. Determine el perfil de velocidades en función de las velocidades angulares y los radios. Si w1  30 rpm ,   492 cp y v  5 g/s 2 , cuál es la velocidad del cilindro exterior en rpm?

w  30 rpm

2 ft

2”

2 14 "

3. El cojinete de una máquina está formado por un eje cilíndrico giratorio de 0.025 m de diámetro, alojado en un orificio vertical también cilíndrico de 0.0252 m de diámetro interno y 0.2 m de longitud. Entre ambos cilindros se dispone de un aceite lubricante de 800 kg/m3 de densidad de 0.1 kg/m.s de viscosidad. Despreciando los efectos finales, determinar: a) La ecuación de distribución de velocidades. b) La ecuación de distribución de flux de momento. c) La ecuación de distribución de presiones. d) La potencia necesaria para hacer girar el eje del cojinete.


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Capítulo 3.


Ejemplo 3.13. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. Volver a trabajar el Ejemplo 3.5 para un fluido que obedece a la ley de potencias.

0

R

kR

, Ejemplo 3.5. Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular  0 . Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales pueden despreciarse.

0

R

kR

,

VER SOLUCIÓN.


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Capítulo 3.


Ejercicios propuestos. 6. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se encuentra entre dos cilindros concéntricos, tal como se muestra en la figura. El cilindro interno posee una velocidad angular w . Determine el perfil de velocidades y de presiones si se sabe que el esfuerzo cortante según el modelo de la potencia es:

 r

 d v / r   m  r  dr  

n

R

w

aR

, 7. Flujo tangencial de un plástico de Bingham en tubos concéntricos. Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plástico de Bingham en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular  0 , en función del par T comunicado al cilindro exterior. Supóngase flujo laminar incompresible y despréciense los efectos finales.

0

R

kR

 ,  0 , 0 Sugerencia: Para un fluido de Bingham:  r    0   0 r


d  v    dr r  22

Capítulo 3.


v T Respuesta:     r 4  L  0 r02

  r0  2   0  r  v ln   para k R  r  r0 ,    para 1      r   r    0  r0 

r0  r  R 8. Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo cegador denominada <
10 cm

9.9 cm 10.1 cm

Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede

 / 10 N.m ; y la capa gira a 3.8 r.p.m cuando el par de torsión es  / 5 N.m . ¿Qué clase de fluido es <> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo? 9. Encuéntrense las propiedades de flujo de una carga de 5 toneladas de un excelente chocolate caliente, después de 72 horas de mezclado, a partir de los siguientes datos obtenidos

en

un

viscosímetro

rotatorio

de

separación

estrecha

( R1  25 mm , R2  28 mm , L  76.4 mm ) Par de torsión (N.m) Velocidad de rotación (r.p.m)

0.0051

0.0077

0.0158

0.0414

Empieza justo a girar

0.39

2.62

14.81


23

Capítulo 3.


10. Se sumerge un cilindro ( R  0.95 cm , L  4 cm ) en un recipiente de zumo de naranja concentrado a 0ºC, se hace girar y se mide el par de torsión, con los siguientes resultados: Velocidad de rotación (s–1) Factor de torsión (N.m)

0.1

0.2

0.5

1.0

42 106

63 106

107 106

152 106

Encuéntrense las características de flujo de esta muestra de zumo de naranja. 11. Se tienen dos cilindros concéntricos de longitud L y radios R1 y R2 respectivamente como puede verse en la figura. El cilindro interior (de radio R1 ) gira a una velocidad angular w , mientras que el cilindro exterior permanece fijo. Si el espacio entre estos dos cilindros se llena con un fluido tipo Bingham, determine: a) El perfil de velocidades (aquí no calcule las constantes de integración, sólo plantee las ecuaciones necesarias para su solución). b) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro interno. c) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro externo y compárelo con el calculado en el apartado anterior. ¿Qué ocurre? Comente.

R2 w

R1

 ,  0 , 0 12. Se tienen dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura. Entre ambos cilindros se encuentran dos fluidos dispuestos de forma concéntrica, siendo el fluido más interno un fluido tipo Bingham (   3 cp ,   800 kg/m 3 ;  0  5000 Pa ) y el más externo un fluido newtoniano (   5 Pa.s ,   1000 kg/m 3 ). Si se aplica al cilindro interno una fuerza de 2000 N/m para hacerlo rotar y se mantiene el cilindro externo fijo, determine en estado estacionario: i. El perfil de velocidades de los dos fluidos. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

24

Capítulo 3.


ii. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el fluido newtoniano sobre el cilindro externo. iii. La velocidad angular del cilindro interno.

R1  4 cm , R2  8 cm , R3  12 cm .


25

Capítulo 3.


Forma de la superficie de un líquido que gira. Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R , tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular  . El eje del cilindro es vertical, de forma que g r  g  0 y g z   g . Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. 

H

zi

z0

z R

r

Solución. Condiciones: Estado estacionario. Flujo laminar. Fluido Newtoniano. Propiedades del fluido constantes (  ,  ). Flujo angular (en dirección  ): vr  0 , v  0 , v z  0 . La velocidad tangencial varía en función de r : v  v (r ) . Ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas:

d 1   1   (  r vr )  (  v )  ( vz )  0 dt r r r  z Fluido incompresible:

d  0: dt

 1  1  (  r vr )  (  v )  ( vz )  0 r r r  z

vr  0 :

 1  (  v )  ( vz )  0 r  z


26

Capítulo 3.


1  (  v )  0 r 

vz  0 :

 (  v )  0 

 es constante:



 v 0 

 v 0 

(3.1)

Ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas: Componente r :

  1    vr  1  2 vr 2  v  2 vr   vr v  vr v2  vr  p      vr    vz     r     r  r  r (r vr )   r 2   2  r 2     z 2    g r  t  r r   r  z        vr Estado estacionario: 0 t   1   1  2 vr  v r v  v r v2 v  p 2  v  2 v r     v z r        (r v r )   2      gr 2 r  r z  r r 2   z2   r   r  r  r  r  v2   2 v  p vr  0 :           2     g r r  r    r  

  v r

De la ecuación de continuidad:  v2  p      gr r  r 

 v  0: 

  

gr  0 :

  



 v2  p    r  r 

v2  p  r r

(3.2)

Componente  :


27

Capítulo 3.


  1    v  1  2 v v v  v vr v v  1p 2  vr  2 v   vr      v z         (r v )   2    2 r r  r z  r  r 2   z2   t  r   r  r  r  v Estado estacionario: 0 t

 



  vr 

 v v  v vr v v    vz  r r  r z

 v  v v  vz  vr  0 :    z  r 

vz  0 :

  1    1  2 v 1p 2  vr  2 v        (r v )   2   2 2 r   r r  r   r   r  z2    

  1    1  2 v  2 v 1p        (r v )   2  2 r   r r  r r    z2    

  1   v  v   1  2 v  2 v 1p        (r v )   2  2 r   z2  r    r   r  r  r

 

    g 

    g 

De la ecuación de continuidad:

 v  0: 

0

  1    2 v 1p     (r v )   2 r   z  r  r  r

    g 

v  v (r ) :

0

  1   1p     (r v )    g r    r  r  r

p  0: 

  1   0     (r v )    g   r  r  r

g  0 :

  1   0     (r v )    r  r  r

(3.3)

 d 1 d  0     (r v )   d r  r d r Integrando la ecuación anterior: 1 d (r v )  C1 r dr

Al separar las variables en la ecuación anterior:

d (r v )  C1 r d r Al integrar ambos miembros de la ecuación anterior: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

28

    g 

Capítulo 3.


 d (r v )   C

1

rdr

 d (r v )  C  r d r 1

La integración conduce a: r v  C1 r 2  C 2

Al despejar v de la ecuación anterior: v  C1 r 

C2 r

(3.4)

Condición de borde: Para r  0 , v   . Al sustituir en la ecuación (3.4): 0  C1 (0) 

C2 (0)



0

C2 (0)



C2  0

v  C1 r

(3.5)

Condición de borde: Para r  R , v   R Al sustituir en la ecuación (3.5):

 R  C1 R

C1   v   r

(3.6)

Al sustituir la ecuación (3.6) en la ecuación (3.2):



( r ) 2  p  r r

p   2r r

(3.7)

Componente z :

1    vz   vz  v z v  v z  vz  p     r  vr   vz   t  r r    z  z r  r    r 

 


 1  2vz  2vz    2    gz 2 2  r    z  

29

Capítulo 3.


 vz 0 t

Estado estacionario:



  vr 

 v z v  v z  vz   vz r r  z

1    vz  p     r  z r  r   r 

vz  0 :

0

p   gz z

g z  g :

0

p   ( g ) z

0

 1  2vz  2vz    2     gz 2  z2   r 

p g z

p   g z

(3.8)

De la ecuación (3.7):

p   2r r  p   2 r  r

Integrando:

 p     rr 2

p   2  r  r p  12   2 r 2  f ( z )

(3.9)

Al derivar la ecuación (3.9) con respecto a z :

p d f  z d z

(3.10)

Al igualar las ecuaciones (3.8) y (3.10):

d f   g dz

d f   g d z

(3.11)

Integrando la ecuación (3.11): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

30

Capítulo 3.


d f    gd z f   g  d z f    g z  C2

(3.12)

Al sustituir la ecuación (3.12) en la ecuación (3.9): p  12   2 r 2   g z  C2

(3.13)

Condición de borde: Para r  0 , z  z 0 y p  p0 Al sustituir en la ecuación (3.13): p0  12   2 (0) 2   g ( z 0 )  C2

p0    g z 0  C 2

(3.14)

Al despejar C 2 de la ecuación (3.14): C 2  p0   g z 0

(3.15)


p  12   2 r 2   g z  p0   g z 0 p  p0  12   2 r 2   g ( z  z 0 )

(3.16)

En cualquier punto que se encuentre sobre la superficie libre p  p0 . De la ecuación (3.16):

0  12   2 r 2   g ( z  z 0 )

(3.17)

Al despejar z de la ecuación (3.17):

 g ( z  z 0 )  12   2 r 2 g ( z  z 0 )  12  2 r 2

 2  2  r z  z 0   2g   2  2  r z  z 0   2g 

(3.18)

La ecuación (3.18) corresponde a una parábola y, tratándose de una superficie, un paraboloide, y proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura del Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

31

Capítulo 3.


vórtice ( z 0 ), la velocidad angular (  ), la aceleración de la gravedad ( g ) y la distancia radial medida desde el centro del recipiente ( r ). Para generalizar, el punto de la superficie libre en el eje de rotación desciende una altura igual a la elevación que sufren los puntos del líquido en contacto con las paredes del recipiente. Es conveniente expresar la ecuación (3.18) en términos de la altura inicial de fluido en el recipiente mientras se encuentra en reposo ( z i ) y para ello se consideran tres casos: Caso a) El fluido no se derrama. Caso b) El fluido se derrama. Caso c) El recipiente es cerrado. La altura de la superficie, medida como la diferencia de altura en las paredes (con respecto a la altura inicial, z i ) y la altura del vórtice z 0 es:

2 R2 z  2g De tal manera que para saber si el recipiente se derrama o no, o si parte del fondo queda descubierto o no, es necesario conocer el umbral de aplicación de esta altura. La diferencia de altura se distribuye equitativamente entre el tope (H) y el fondo ( z 0 ), quedando el criterio como sigue: Si z i 

Si

2 R2  H , el fluido se derrama. 4g

2 R2  z i , parte del fondo queda descubierto. 4g

Estas dos ecuaciones son válidas para el caso de un recipiente abierto. Si el recipiente es cerrado, el primer criterio sirve para determinar si el fluido moja o no el tope del recipiente. Para un recipiente cerrado se tiene entonces: Si z i 

2 R2  H , el fluido moja el tope del recipiente. 4g

A continuación se desarrollan cada uno de los casos citados. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

32

Capítulo 3.


Caso a) El fluido no se derrama. Cálculo de z 0 (Altura del vórtice). Volumen de fluido en reposo (volumen inicial): Vi   R 2 z i

(3.19)

R

Volumen del fluido en movimiento: V   d V

(3.20)

0

R

Volumen de fluido en reposo = Volumen de fluido en movimiento:  R 2 z i   d V . 0

La integral corresponde al volumen de un cuerpo de revolución determinado mediante el método de las capas cilíndricas. r2

V  2   (Radio de giro ) (Altura) (Elemento diferencia l de radio ) r1

r2

V  2   r z (r ) d r r1

R

 R 2 z i  2   r z (r ) d r

(3.21)

0




R

 2 



 r 2  d r  R 2 z i  2   r  z 0   0 2g    R



 2  3   r  d r 2g  

 R 2 z i  2    z 0 r   0



La integración conduce a:

 r 2  2  r 4   R z i  2   z 0    2  2 g  4  2



 R 2 zi  2   z0 

   0  R

R 2  2  R 4     2  2 g  4 

 R 2 zi   z0 R 2 

 2 R4 4g

 2 R 2     R zi   R  z0  4 g   2

2


33

Capítulo 3.


zi  z0 

2 R2 4g

z0  zi 

2 R2 4g

Altura del vórtice.

(3.22)

Altura de la superficie del fluido. Al sustituir la ecuación (3.22) en la ecuación (3.18):

z  zi 

2 R2  2  2  r   4g 2g 

z  zi 

2 R2 2 2  r 4g 2g

z  zi 

2 R2 2g

 r2 1   2   2 R

(3.23)

La ecuación (3.23) proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura inicial ( z i ). Si el vórtice toca el fondo: Para r  0 , z  0 . Al sustituir en la ecuación (3.23): (0)  z i 

 2 R 2  (0) 2 1     2 g  R2 2

0  zi 

2 R2 2g

0  zi 

2 R2 4g

zi 

 1    2

2 R2 4g

(3.24)

- Altura mínima del recipiente. Para r  R , z  H min . Al sustituir en la ecuación (3.18): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

34

Capítulo 3.


H min

 2  2  R  z 0   2 g  

H min

2 R 2  z0  2g

(3.25)

En función de la altura inicial ( z i ). Al sustituir la ecuación (3.22) en la ecuación (3.25):

H min

2 R 2 2 R 2  zi   4g 2g

H min  z i 

2 R 2 4g

(3.26)

La ecuación (3.26) proporciona la altura mínima del recipiente para que el fluido no se derrame. - Velocidad angular mínima. Para r  R , z  H . Al sustituir en la ecuación (3.18):

 2 H  z 0   min  2g   2min   2g

 2  R 

 2  R  H  z 0 

 2min H  z 0  2g R2  2min 

 min 

2 (H  z0 ) g R2

2 (H  z0 ) g R

(3.27)

En función de la altura inicial ( z i ). Para r  R , z  H . Al sustituir en la ecuación (3.23): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

35

Capítulo 3.


 2min R 2 H  zi  2g

 R2 1   2   2 R

 2min R 2  1  H  zi  1   2g  2 H  zi 

 2min R 2 4g

 2min R 2  H  zi 4g  2min 

 min 

4 (H  zi ) g R2

2 ( H  zi ) g

(3.28)

R

La ecuación (3.28) proporciona la velocidad angular mínima del recipiente para que el fluido no se derrame. Relación entre H , z i y z 0 cuando la velocidad angular es la mínima requerida para que el fluido no se derrame. Al igualar las ecuaciones (3.27) y (3.28):

2 (H  z0 ) g R



2 ( H  zi ) g R

2 ( H  z0 ) g  2 ( H  zi ) g 2 ( H  z0 ) g  4 ( H  zi ) g

H  z0  2 ( H  zi ) H  z0  2 H  2 zi z0  2 zi  H

(3.29)

Radio del fondo descubierto. Para z  0 , r  r0 . Al sustituir en la ecuación (3.18): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

36

Capítulo 3.


 2  2  r0 0  z 0   2 g    2  2   r0   z 0 2g 

2 2 r0   z 0 2g r02  

2 g z0 2

r0 



(3.30)

2 g z0 2

(3.31)

En función de la altura inicial ( z i ). Al sustituir la ecuación (3.22) en la ecuación (3.31):

 2 R2 2 g  z i  4g  r02   2 

  

 2 R2  2 g   z i   4g  r02  2  2 R2  2 g zi 2 2 r0  2

r02  r0 

R 2 2 g zi  2 2 R 2 2 g zi  2 2

(3.32)

(3.33)

Área del fondo descubierta.

A   r02

(3.34)



37

Capítulo 3.


  2 g z0  A  2    A

 2 g z0 2

(3.35)

En función de la altura inicial ( z i ). Al sustituir la ecuación (3.32) en la ecuación (3.34):  R 2 2 g zi A     2 2 

A

 R2 2



  

2  g zi 2

(3.36)

Resumen de ecuaciones. 

H

zi

z0

z R

r

Altura de la superficie del fluido:

 2  2  r z  z 0   2 g  

(3.18)

Volumen inicial:

Vi   R 2 z i

(3.19)

Volumen final:

R  2 R2 V f   2  r z d r , V f   R 2  z 0  0 4g 

  

Caso a) El fluido no se derrama. Altura del vórtice:

z0  zi 


2 R2 4g

(3.22)

38

Capítulo 3.



2 R2 z  zi  2g

Si el vórtice toca el fondo:

2 R2 zi  4g

Altura mínima del recipiente:

H min  z i 

Velocidad angular mínima:

 min 

Radio del fondo descubierto:

r0 

Área del fondo descubierto:

A


 r2 1   2   2 R

(3.24)

2 R 2 4g

2 ( H  zi ) g R

R 2 2 g zi  2 2

 R2 2



(3.23)

2  g zi 2

(3.26)

(3.27)

(3.33)

(3.36)

39

Capítulo 3.


Ejemplo 3.14. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85. Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y D cuando w  6.00 rad/s ?

2m 1.5 m C

D

1m

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.15. Ejemplo 3-13 del Çengel. Segunda Edición. Página 109. Un recipiente cilíndrico vertical de 20 cm de diámetro y 60 cm de alto, está parcialmente lleno con un líquido cuya densidad es 850 kg/m3 hasta una altura de 50 cm. Ahora se hace girar el cilindro a una velocidad constante. Determine la velocidad de rotación a la cual el líquido empezará a derramarse por los bordes del recipiente.

VER SOLUCIÓN.


40

Capítulo 3.


Ejemplo 3.16. Problema 5.26 del Giles. Tercera Edición. Página 92. Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación.

VER SOLUCIÓN.

Caso b) El fluido se derrama. - Cálculo de z 0 . Para r  R , z  H . Al sustituir en la ecuación (3.18):  2  2  R H  z 0   2g 

2 R2 H  z0  2g z0  H 

2 R2 2g

(3.37)

Altura de la superficie del fluido. Al sustituir la ecuación (3.37) en la ecuación (3.18): zH

2 R 2  2  2  r   2g 2g 

2 2 zH (r  R 2 ) 2g zH

2 R2 2g

 r2   2  1 R 

zH

2 R2 2g

 r  2     1  R  


(3.38) 41

Capítulo 3.


Si el vórtice toca el fondo: Para r  0 , z  0 . Al sustituir en la ecuación (3.38):

(0)  H 

0H

2 R2 2g

 0  2     1   R 

2 R 2 (1) 2g

2 R2 0H 2g H

2 R2 2g

(3.39)

Radio del fondo descubierto. Para r  r0 , z  0 . Al sustituir en la ecuación (3.38):

2 R2 0H 2g

 r0  2     1   R 

2  2 R 2   r0   0H 1     2 g   R  

2 R2 2g

  r0  2  1      H   R   2

2g H r  1  0   2 2  R R 2

2g H  r0     1 2 2  R R

r02 2g H  1 2 2 2 R  R  2g H  r02  R 2 1  2 2    R  Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

(3.40) 42

Capítulo 3.

r0 

1


2g H R 2 R2

(3.41)

Área del fondo descubierta.

A   r02

(3.42)


  2 g H  A    R 2 1  2 2     R 

 2g H  A   R 2 1  2 2    R 

(3.43)

- Volumen que permanece en el recipiente. R

Si el vórtice no toca el fondo: V f   d V . 0

R

Si el vórtice toca el fondo: V f   d V r0

Partiendo de la premisa que el vórtice no toca el fondo: R

V f   2 r z d r

(3.44)

0

Al sustituir la ecuación (3.18) en la ecuación (3.44): R   2  2   r  d r V f  2   r  z 0   0 2g    R  2  3   r  d r V f  2    z 0 r   0 2 g    


 r 2  2  r 4  V f  2 z0   2  2 g  4 

   0  R

 R2  2  R4   V f  2  z0    2 2 g   4  


43

Capítulo 3.

V f   z0 R 2 


 2 R4 4g

 2 R2 V f   R 2  z 0  4g 

  

(3-12-45)

En función de la altura del recipiente ( H ). Al sustituir la ecuación (3.37) en la ecuación (3.45):  2 R2 2 R2   V f   R 2  H   2g 4 g  

 2 R2   V f   R 2  H  4 g  

(3.46)

Volumen derramado. Vd  Vi  V f

(3.47)

Al sustituir las ecuaciones (3.19) y (3.46) en la ecuación (3.47):  2 R 2 Vd   R 2 z i   R 2  H  4g 

  

  2 R 2 Vd   R 2  z i   H 4g  

(3.48)

Si inicialmente en cilindro está lleno: z i  H . Al sustituir en la ecuación (3.48):

Vd 

 2 R4 4g

(3.49)

Partiendo de la premisa que el vórtice toca el fondo: R

V f   2 r z d r r0

(3.50)

Al sustituir la ecuación (3.18) en la ecuación (3.50): R   2  2   r  d r V f  2   r  z 0   r0 2g   


44

Capítulo 3.


R  2  3   r  d r V f  2    z 0 r   r0 2g   


 r 2  2  r 4  V f  2 z0   2  2 g  4 

   ro  R

 ( R 2  r02 )   2  ( R 4  r04 )   V f  2  z0    2 4 2g     z0 2   2  4 2  ( R  r04 )  V f  2   ( R  r0 )    8g  2 

(3.51)

Al sustituir la ecuación (3.40) en la ecuación (3.51):  z V f  2  0  2

2  2 2 g H    2   4 2g H     2 4  R  R 1   2 R 2    8 g   R  R 1   2 R 2              

z V f  2  0 2

2 2 2 2 2g H    4g R H 4g H         2  2    4      8g   

 gH  1  g2H 2      g R 2 H  V f  2   z 0  2     2       2g     g H  R2H g H 2  V f  2  z0  2     2 2 2      R2H g H  H  V f  2   2  z0    2     2

Vf 

 R2H 2



 gH 2

(2 z 0  H )

(3.52)

En función de la altura del recipiente ( H ). Al sustituir la ecuación (3.37) en la ecuación (3.52):

Vf 

 R2H 2



 gH   2

 2 R 2     H  2  H  2g    


45

Capítulo 3.

Vf  Vf 

Vf 

Vf 


 R2H 2

 R2H 2

 R2H 2







 gH  2

 2 H  

 gH  

2

 H  

 gH2 2



 2 R2  H  g 

2 R2 g

  

 R2H 2

 H 2g

(3.53)

2

Volumen derramado. Vd  Vi  V f

(3.54)

Al sustituir las ecuaciones (3.19) y (3.53) en la ecuación (3.54):

Vd   R z i  2

 H 2g

(3.55)

2

Si inicialmente en cilindro está lleno: z i  H . Al sustituir en la ecuación (3.55):

Vd   R H  2

 H 2g

(3.56)

2

Resumen de ecuaciones.

2 R2 2g

Altura del vórtice:

z0  H 

Altura de la superficie de fluido:

zH

Si el vórtice toca el fondo:

H

2 R2 2g

Radio del fondo descubierto:

r0 

1

Área del fondo descubierto:

 2g H  A   R 2 1  2 2    R 

2 R2 2g

 r  2     1  R  

2g H R 2 R2

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.41) (3.43)

Volumen que permanece en el recipiente cuando z 0  0 : Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

46

Capítulo 3.


 2 R2    Vf   R H  4 g   2

(3.46)

Volumen que permanece en el recipiente cuando r0  0 :

Vf 

 H 2g

(3.53)

2

  2 R 2 Volumen derramado cuando z 0  0 : Vd   R 2  z i   H 4g  

Volumen derramado cuando r0  0 : Vd   R 2 z i 

 H 2g 2

(3.48)

(3.55)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y z 0  0 :

Vd 

 2 R4

(3.49)

4g

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y r0  0 :

Vd   R 2 H 

 H 2g 2


(3.56)

47

Capítulo 3.


Ejemplo 3.17. Problema 5.23 del Giles. Tercera Edición. Página 91. Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad del eje?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.18. Problema 5.24 del Giles. Tercera Edición. Página 91. Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿A qué velocidad debe girar el depósito para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.19. Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de 115 rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua que se pierde en kg. Propiedades del agua:   1000 kg/m 3 y   1 cp .

700 mm 300 mm

350 mm

Sugerencias: a) Determine el perfil de presiones. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

48

Capítulo 3.


b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido. c) Calcule el volumen final del fluido. d) Compare con el volumen inicial.

VER SOLUCIÓN.

Caso c) El recipiente es cerrado. Si el recipiente es cerrado, el volumen de aire dentro del mismo es constante. Volumen de aire en reposo:

Vi   R 2 ( H  z i )

(3.57)

Volumen de aire en movimiento. Depende si el fondo está descubierto o no, y si la parte superior del recipiente es mojada o no. En todos los casos se cumple la ecuación (3.18).  2  2  r z  z 0   2g 

Se define:

(3.18)

r0 : Radio del fondo descubierto. rs : Radio del tope mojado.

El fondo no está descubierto, z (0)  0 . El tope no es mojado z ( R)  H . Criterios:

2 R2  zi 4g zi 

2 R2 H 4g

Se trata del mismo caso en que el fluido no se derrama. Altura del vórtice:

z0  zi 


z  zi 


2 R2 4g

2 R2 2g

 r2 1   2   2 R

(3.22)

(3.23) 49

Capítulo 3.


El fondo está descubierto z 0  0 . El tope no es mojado z ( R)  H : Criterios:

2 R2  zi 4g 2 R2 zi  H 4g Radio del fondo descubierto. De la ecuación (3.18):

r0 



2 g z0 2

(3.31)

Volumen de aire en el recipiente: R

V   r02 H   2  r [ H  z (r )] d r

(3.60)

r0

Al sustituir la ecuación (3.18) en la ecuación (3.60) y resolver la integral:

V   R 2 (H  z0 ) 

 2 R4 4g



 g z 02

(3.61)

2


 R 2 ( H  zi )   R 2 ( H  z0 )  R 2 ( H  zi )  R 2 ( H  z0 ) 

 2 R 4 4g



 g z 02 2

 2 R 4 g z 02  2 4g 

 2 R 4 g z 02 R ( H  zi )  R ( H  z0 )    2 4g  2

2

 R 2 zi  R 2 z0  

 2 R 4 g z 02  2 4g 

g z 02 2 R 4 2  R z   R 2 zi  0 0 4g 2 Al resolver la ecuación de segundo grado anterior: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

50

Capítulo 3.


zi 2 R2 z0   R 2g g El fondo no está descubierto z (0)  0 . El tope es mojado, z ( R)  H :

(3.62)

Criterios:

2 R2  zi 4g 2 R2 H 4g

zi 

Radio del tope mojado. Para z  H , r  rs . Al sustituir en la ecuación (3.18):  2  2  rs H  z 0   2g 

 2  2  rs H  z 0   2g  rs2 

2 g (H  z0 ) 2

2 g (H  z0 ) 2

rs 

Volumen de aire en el recipiente: rs

V   2  r [ H  z (r )] d r 0

(3.63)

Al sustituir la ecuación (3.18) en la ecuación (3.63) y resolver la integral:

V

 g (H  z0 ) 2

(3.64)

2


 R 2 ( H  zi ) 

 g (H  z0 ) 2 2


51

Capítulo 3.


g (H  z0 ) 2 2

R 2 ( H  zi ) 

 2 R 2 ( H  zi )  (H  z0 ) 2 g

 2 R 2 ( H  zi )  H  z0 g z0  H 

 2 R 2 ( H  zi ) g

(3.65)

El fondo está descubierto z 0  0 . El tope es mojado, z ( R)  H : Criterios:

2 R2  zi 4g zi 

2 R2 H 4g

Radio del fondo descubierto.

r0 



2 g z0 2

(3.31)

Radio del tope mojado.

rs 

2 g (H  z0 ) 2

Volumen de aire en el recipiente. rs

V   r02 H   2  r [ H  z (r )] d r r0

(3.66)

Al sustituir la ecuación (3.18) en la ecuación (3.66) y resolver la integral: V

 g H (H  2 z0 )

(3.67)

2


 R 2 ( H  zi ) 

 g H (H  2 z0 ) 2


52

Capítulo 3.


R 2 (H  zi ) 

g H (H  2 z0 ) 2

 2 R 2 ( H  zi )  H  2 z0 gH  2 R 2 ( H  zi ) 2 z0  H  gH H  2 R 2 ( H  zi ) z0   2 2g H

(3.68)

Altura de la superficie del fluido. Al sustituir la ecuación (3.68) en la ecuación (3.18):

z

H R 2  2 ( H  zi )   2  2  r    2 2g H 2g 

r0  r  rs

(3.69)

Área del fondo descubierta. Al sustituir la ecuación (3.68) en la ecuación (3.35):

2  g  H R 2  2 ( H  zi )   A   2    2g H  2  A

A A

 gH 2

 gH 2

 gH 2





 R 2 (H  zi ) H

 R 2 H   R 2 zi

 R2 

H

 R 2 zi H

  g H  R 2 zi A   R    2 H   2

   

 g H R 2 zi   A   R 2    2  H   


(3.70)

53

Capítulo 3.


Ejemplo 3.20. Problema 5.11 del Giles. Tercera Edición. Página 88. Un depósito cilíndrico cerrado de 1.8 m de altura y 0.9 m de diámetro contiene 1.40 m de agua. Cuando gire a una velocidad angular constante de 20.0 rad/s, ¿qué área del fondo quedará descubierto?

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos. 13. [GE] Considere el depósito del Ejemplo 3.14 cerrado y con el aire sobre la superficie libre a una presión de 1.09 kp/cm2. Cuando la velocidad angular es de 12.0 rad/s, ¿cuáles son las presiones, en kp/cm2, en los puntos C y D de la figura? Respuesta: PC  113266.81 Pa ; PD  129447.78 Pa . 14. [GE] A qué velocidad debe girar el depósito del problema 13 para que el centro del fondo tenga una profundidad de agua igual a cero? Respuesta: 17.7 rad/s. 15. [YÇ] Un tanque cilíndrico vertical de 3 ft de diámetro abierto a la atmósfera contiene agua hasta una altura de 1 ft. Ahora se hace girar el tanque alrededor de la línea central y el nivel del agua desciende en el centro al mismo tiempo que se eleva en los bordes. Determine la velocidad angular a la cual el fondo del tanque empezará a quedar expuesto. Asimismo, determine la altura máxima del agua en este momento. 16. [YÇ] Un recipiente cilíndrico vertical, de 40 cm de diámetro y 90 cm de alto está semilleno con agua hasta una altura de 60 cm. Ahora se hace girar el tanque a una velocidad angular constante de 120 rpm. Determine cuánto descenderá el nivel del líquido en el centro del cilindro como resultado de este movimiento de rotación. Respuesta: 0.1610 m. 17. [GE] Un recipiente cerrado, de 1 m de diámetro, está totalmente lleno de agua. Si el recipiente está girando a 1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia de la parte superior del depósito? Respuesta: 19319.10 Pa. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

54

Capítulo 3.


18. [YÇ] Un tanque cilíndrico vertical, de 3 m de diámetro, que contiene leche, gira a una razón constante de 12 rpm. Si la presión en el centro de la superficie del fondo es de 130 kPa, determine la presión en el borde de la superficie del fondo del tanque. Tome la densidad de la leche como 1030 kg/m3. 19. [YÇ] Un cilindro vertical sellado, de 1.2 m de diámetro y 3 m de alto, está lleno con gasolina cuya densidad es de 740 kg/m3. Ahora se hace girar el tanque alrededor de su eje vertical a razón de 70 rpm. Determine a) la diferencia entre las presiones en el centro de las superficies del fondo y de arriba y b) la diferencia entre las presiones en el centro y el borde de la superficie del fondo. 20. Si el sistema mostrado gira con una velocidad angular w  30 rpm . ¿Cuál será la altura h de los tubos capilares, después de alcanzar el estado estacionario? No considere los

efectos de capilaridad.

Respuesta: 0.6654 m en la pared externa y 0.6628 m en la pared interna. En el tubo interior la altura máxima en las paredes es 0.6011 m. 21. [YÇ] Las distancia entre los centros de dos ramas de un tubo en U abierto a la atmósfera es de 30 cm y el tubo contiene alcohol hasta una altura de 20 cm en ambas ramas. Ahora se hace girar el tubo alrededor de su rama izquierda a 4.2 rad/s. Determine la diferencia en la elevación entre las superficies del fluido en las dos ramas.


55

Capítulo 3.


22. Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial. a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios k R y R , y el líquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el cilindro interior gira con velocidad angular  i y el cilindro exterior permanece fijo, la superficie libre del líquido tiene la forma

1  k 2 R i  z R  z0  2 g  1  k 2

2

 2  (  4 ln    2 ) (3B.15-1) 

donde z R es la altura del líquido en la pared del cilindro exterior, y   r / R . b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y el cilindro exterior girando a una velocidad angular  0 . Demostrar que la forma de la superficie del líquido es 2

1  k 2 R 0    [( 2  1)  4 k 2 ln   k 4 ( 2  1)] (3B.15-2) z R  z0  2 g  1  k 2  c) Trazar un dibujo en el que se comparen estas dos formas de la superficie del líquido. 23. Un fluido newtoniano está contenido en un tanque cilíndrico que rota con una velocidad angular w0 alrededor del eje central (ver figura). Halle la ecuación que describe la posición de la superficie libre como función de la coordenada radial r. Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección  en todo punto y que los efectos de tensión superficial son despreciables. La altura cuando el fluido está en reposo es h0 . ¿Cómo sería la forma de la interfase si el fluido siguiera el modelo de Bingham? Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

56

Capítulo 3.


24. Flujo laminar en un ducto cuadrado. a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud L y su sección transversal es cuadrada, limitada por las rectas x   B y y   B . Un colega comenta al lector que la distribución de velocidad está dada por 2 2 ( P0  PL ) B 2   x     y   vz  1     1     4 L   B     B  

(3.B.3-1)

debido a que este colega a veces le ha malinformado en el pasado, usted se siente obligado a comprobar el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la ecuación diferencial relevante? b) Según el artículo de revisión escrito por Berker, la velocidad de flujo másico en un ducto cuadrado está dada por w 

0.563 ( P0  PL ) B 4  L

Comparar el coeficiente de esta expresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la ecuación 3.B.3-1. Respuesta: a) Se satisfacen las condiciones de borde. No se satisface la ecuación de movimiento; b) w 

1 9

( P0  PL ) B 4  . L


57

Capítulo 3.


Ejemplo 3.21. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44. 3.A.3.- Efecto de la altitud sobre la presión del aire. En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (602 pies sobre el nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Usar la ecuación de movimiento para calcular la presión barométrica en la cima del Government Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 70ºF y que ésta disminuye, al aumentar la altitud, a razón constante de 3ºF por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla sur del lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud puede despreciarse para este problema. La variación de la densidad del aire en función de la temperatura se muestra en la tabla siguiente.

T (º C)

 (kg/m 3 )

T (º C)

 (kg/m 3 )

–25 –20 –15 –10 –5 0 5

1423 1395 1368 1342 1317 1292 1269

10 15 20 25 30 35 40

1247 1225 1204 1184 1165 1146 1127

VER SOLUCIÓN.


58

Capítulo 3.


3.3.- FLUJO RADIAL. Ejemplo 3.22. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo 2 R lleno de un fluido newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior ( r  2 R ) se mantiene a una presión 2 p0 , mientras que la superficie interior se mantiene a una presión p0 , provocando que el fluido se mueva de afuera hacia adentro. Despreciando los efectos de gravedad y suponiendo propiedades conocidas, calcule: a) El perfil de velocidades, b) La distribución de presiones, c) El caudal que pasa por el espacio anular.

2 p0

2R p0

R

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.23. Se establece un flujo en la dirección radial en un espacio anular entre dos cilindros concéntricos de longitud L (ver figura). El fluido se introduce al cilindro interior y pasa a través de una placa porosa al espacio anular, para luego salir a través de la pared del cilindro exterior, que es también porosa. Determine el perfil de velocidades radiales, sabiendo que el flujo volumétrico de fluido desde el cilindro interior al espacio anular es

Q . Halle también el gradiente de presión en la dirección radial (  P /  r ). El fluido es newtoniano, el flujo es incompresible y estacionario. Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección radial y que existe simetría angular y axial.


59

Capítulo 3.


VER SOLUCIÓN.


60

Capítulo 3.


Ejemplo 3.24. Se tiene un espacio anular de radio interno R1 y radio externo R2 lleno de un fluido newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior se mantiene a una presión p0 y se induce un caudal radial Q constante de adentro hacia afuera. Despreciando los efectos de gravedad, calcule: a) El perfil de velocidades. b) La distribución de presiones.

p0

L

R1 R2

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos. 25. Un fluido newtoniano fluye entre dos cilindros concéntricos en dirección angular. El fluido tiene una densidad  , una viscosidad  , y fluye en flujo estacionario e incompresible. Ambos cilindros están fijos. El fluido entra a través de la sección 1 y sale a través de la sección 2 (Ver figura). Las presiones en dichas secciones son P1 y P2 , respectivamente ( P1  P2 ). Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección angular. Los ejes de los cilindros están alineados con el vector aceleración de gravedad (dicho Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

61

Capítulo 3.


vector apunta en dirección perpendicular al plano de la figura). Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas ( r , , z ) . Los cilindros tienen longitud L .

a) Demuestre que la presión varía linealmente con la posición angular ( ) . b) Determine el perfil de velocidades en el fluido. c) Determine la fuerza en dirección angular que el fluido ejerce sobre ambos cilindros.


62

Capítulo 3.


BIBLIOGRAFÍA. BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté., Barcelona, 1996. BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006. ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012. GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición., Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994. MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall., México, 1996. MOTT, R, Mecánica de Fluidos, Sexta Edición., Pearson Educación de México, S.A de C.V., México, 2006. SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana S.A. Santa Fe de Bogotá, Colombia, 1995. STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial McGraw Hill., México, 1988. STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición., Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000. WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición. Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.


63

Capítulo 3.


TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE.


64

Capítulo 3.


OBRAS DEL MISMO AUTOR. Serie Problemas Resueltos y Propuestos de: - Electricidad (Física II).

- Química. - Cálculo Diferencial. - Cálculo Integral. - Cálculo Vectorial. - Ecuaciones Diferenciales. - Métodos Numéricos. - Estadística. - Mecánica Vectorial (Estática).

- Termodinámica Básica. - Termodinámica Aplicada.


65

Capítulo 3.


Videotutoriales. Cálculo diferencial: Límites de funciones.

Cálculo diferencial: Derivadas de funciones.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.


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Fenómenos de Transporte. Capítulo 4 - tutoruniversitario.com

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