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FUNÇÃO DO 1º GRAU

FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado. Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; .A correspondência por pares ordenados seria:

NOÇÕES DE FUNÇÃO: Considere os diagramas abaixo:

1

2

3

4

5 Condições de existência: (1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y. (2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Analisando os diagramas acima:

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O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2). Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM: Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados será: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. f(1)=2 Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4}



DETERMINAÇÃO DE FUNÇÃO: OBSERVE: 1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.

3) Determine o conjunto imagem de cada função: a) D(f) = {1,2,3} y = f(x) = x + 1 [Sol] f(1) = 1+1 = 2 f(2) = 2+1 = 3 f(3) =3+1 = 4 Logo: Im(f)={2,3,4} b) D(f) = {1,3,5} y = f(x) = x² [Sol] f(1) = 1² = 1 f(3) = 3² = 9 f(5) = 5² = 25 Logo: Im(f)={1,9,25}



PLANO CARTESIANO

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A. Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas: x // x' e y // y' Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x' Nessas condições, definimos: - Abscissa de P é um número real representado por P1 - Ordenada de P é um número real representado por P2 - A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' ) - O eixo das abscissas é o eixo x - O eixo das ordenadas é o eixo y - A origem do sistema é o ponto 0 - Plano cartesiano é o plano A.

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau! Exemplo: Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido. a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido. [Sol] y=salário fixo + comissão y=500 + 50x b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos? [Sol] y=500+50x , onde x=4 y=500+50.4 = 500+200 = 700 c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?



[Solução] y=500+50x , onde y=1000 1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10 A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com

,

e

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU: O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

EXEMPLO: 1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1: [Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

x y=f(x)=x+1 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1. [Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y=f(x)=-x+1 O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-2 3 1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)} -1 2 0 1 1 0 2 -1



Gráficos crescente e decrescente respectivamente:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1

Função crescente y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1

Função decrescente



RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. [Solução] Basta determinar o valor de x para termos y=0 x+1=0 » x=-1 Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.



2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico. [Solução] Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1 Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

SINAL DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAU: Observe os gráficos:

a>0

a<0

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.



EXEMPLOS: 1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0. a) y=f(x)=x+1 [Solução] x+1>0 » x>-1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1 x+1<0 » x<-1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1 b) y=f(x)=-x+1 [Solução] * -x+1>0 » -x>-1 » x<1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1 -x+1<0 » -x<-1 » x>1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1 (*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)

DETERMINANDO UMA FUNÇÃO AFIM Descobrindo a lei de formação de uma função afim, conhecendo apenas os valores de dois pontos. Para isso, veremos as expressões para determinarmos os coeficientes por meio de uma expressão que depende apenas dos valores de cada ponto. Vamos determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)). Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes precisamos apenas de dois pontos e o valor da função nesses pontos. Antes de mostrarmos a expressão do caso geral, vejamos como proceder em um exemplo. Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos. Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b Destacaremos essas duas relações de igualdade: 6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte



resultado: 4=a+b 2=a,

ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para

encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. Usaremos a segunda: 4=a+b como a=2 teremos , 4=2+b assim teremos, b=2 Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4 e f(2)=6, será a seguinte: f(x)=2x+b. Mas este é o processo realizado para um caso específico. Como seria a expressão para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer função? Veremos agora. Seja y1=f(x1) e y2=f(x2), sendo estes pontos, pontos distintos. Teremos que a expressão destes pontos será dada da seguinte forma: y1=f(x1)=ax1+b y2=f(x2)=ax2+b, faça a subtração da expressão debaixo pela de cima. Com isso, teremos:

Tendo a expressão para o coeficiente a, substituiremos a expressão para esse coeficiente em y1.

Desta forma, veja que as expressões para os coeficientes a, b, são determinadas apenas pelos valores dos pontos, valores estes que conhecemos. Desta forma, fica demonstrado que é possível determinar uma função afim, conhecendo apenas os valores de dois pontos.



COEFICIENTE LINEAR DE FUNÇÃO DO 1º GRAU

As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante. Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico representativo da função:

y=x+1 b=1



y = –x – 1 b = –1

y = 2x + 4 b=4



y = 2x – 4 b=–4

y = 6x – 3 b=–3



y = 5x b=0

APLICAÇÕES DE FUNÇÃO DE 1º GRAU APLICAÇÃO 1 Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Condições dos planos: Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período. Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período. Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré – estabelecido. Vamos determinar: a) A função correspondente a cada plano. b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem. a) Plano A: f(x) = 20x + 140 Plano B: g(x) = 25x + 110



b) Para que o plano A seja mais econômico: g(x) > f(x) 25x + 110 > 20x + 140 25x – 20x > 140 – 110 5x > 30 x > 30/5 x>6 Para que o Plano B seja mais econômico: g(x) < f(x) 25x + 110 < 20x + 140 25x – 20x < 140 – 110 5x < 30 x < 30/5 x<6 Para que eles sejam equivalentes: g(x) = f(x) 25x + 110 = 20x + 140 25x – 20x = 140 – 110 5x = 30 x = 30/5 x=6 O plano mais econômico será: Plano A = quando o número de consultas for maior que 6. Plano B = quando número de consultas for menor que 6. Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.

APLICAÇÃO 2 Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine: a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças; b) Calcule o custo de produção de 400 peças. Respostas a) f(x) = 1,5x + 16 b) f(x) = 1,5x + 16 f(400) = 1,5*400 + 16 f(400) = 600 + 16 f(400) = 616 O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.



APLICAÇÃO 3 Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros? f(x) = 0,9x + 4,5 f(22) = 0,9*22 + 4,5 f(22) = 19,8 + 4,5 f(22) = 24,3 O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30


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